20186月浙江省数学学考试题(卷)与答案解析

2018年6月省数学学考试题
一 选择题(每小题３分，共５４分)
1. 已知集合{1,2}A =，{2,3}B =，则A B =（ ）
A ．{1} B.{2} C.{1,2} D.{1,2,3}
2. 函数2log (1)y x =+的定义域是（ ）
A.(1,)-+∞
B.[1,)-+∞
C.(0,)+∞
D.[0,)+∞
3. 设R α∈，则sin()2π
α-=（ ）
A.sin α
B.sin α-
C.cos α
D.cos α-
4. 将一个球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的（ ）
A.2倍
B.4倍
C.6倍
D.8倍
5. 双曲线22
1169
x y -=的焦点坐标是（ ）
A.(5,0)-，(5,0)
B.(0,5)-，(0,5)
C.(0)，
D.(0,，
6. 已知向量(,1)a x =，(2,3)b =-，若//a b ，则实数x 的值是（ ） A.23-
B.23
C.32-
D.32 7. 设实数x ，y 满足0230x y x y -≥⎧⎨+-≤⎩
，则x y +的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
8. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知45B =，30C =，1c =， 则b =（ ）
A. B. 9. 已知直线l ，m 和平面α，m α⊂，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
10. 要得到函数()sin(2)4f x x π=-的图象，只需将函数()sin 2g x x =的图象（ ） A.向右平移8π个单位 B.向左平移8
π个单位 C.向右平移4π个单位 D.向左平移4
π个单位 11. 若关于x 的不等式2x m n -<的解集为(,)αβ，则βα-的值（ ）
A.与m 有关，且与n 有关
B.与m 有关，但与n 无关
C.与m 无关，且与n 无关
D.与m 无关，但与n 有关
12. 在如图所示的几何体中，正方形DCEF 与梯形
ABCD 所在的平面互相垂直，N ，6AB =，
2AD DC ==，23BC =，则该几何体的正视图为（ ）
A B C D
13. 在第12题的几何体中，二面角E AB C --的正切值为（ ）
A.33
B.32
C.1
D.
233 14. 如图，A ，B 分别为椭圆22
:1(0)x y C a b a b
+=>>的右顶点和上顶点，O 为坐标原点，E 为线段AB 的中点，H 为O 在AB
上的射影，若OE 平分HOA ∠，则该椭圆的离心率为（ ）
A. 13
B.33
C.23
D.63
15. 三棱柱各面所在平面将空间分为（ ）
A.14部分
B.18部分
C.21部分
D.24部分
16. 函数2
()()x n m f x e -=（其中e 为自然对数的底数）的图象如图所示，则（ ）
A. 0m >，01n <<
B.0m >，10n -<<
C.0m <，01n <<
D.0m <，10n -<<
17. 数列{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 为其前n 项和.若对任意的n N *∈，有3n S S ≥，则65
a a 的值不可能为（ ） A.43 B.32 C.53
D.2 18. 已知x ，y 是正实数，则下列式子中能使x y >恒成立的是（ ）
A.21x y y x +
>+ B.112x y y x +>+ C.21x y y x ->- D.112x y y x
->- 二 填空题(每空3分)
19. 圆22
(3)1x y -+=的圆心坐标是_______，半径长为_______.
20. 如图，设边长为4的正方形为第1个正方形，将其各边相邻的中点
相连， 得到第2个正方形，再将第2个正方形各边相邻的中点相连，
得到第3个正方形，依此类推，则第6个正方形的面积为____ __.
21. 已知lg lg lg()a b a b -=-，则实数a 的取值围是_______.
22. 已知动点P 在直线:22l x y +=上，过点P 作互相垂直的直线PA ，PB 分别交x 轴、
y 轴于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，
则OM OP ⋅的最小值为_______. 三 解答题
23. （本题10分）已知函数13()sin cos 2f x x x =+，x R ∈. （Ⅰ）求()6
f π
的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并求出取到最大值时x 的集合.
24.（10分）如图，直线l 不与坐标轴垂直，且与抛物线2
:C y x =有且只有一个公共点P . （Ⅰ）当点P 的坐标为(1,1)时，求直线l 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与y 轴的交点为R ，过点R 且与直线l 垂直的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点.当2
RA RB RP ⋅=时，求点P 的坐标.
24. (11分)设函数2
()3()f x ax x a =-+，其中a R ∈.
（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的值域；
（Ⅱ）若对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-，数a 的取值围.
2018年6月省数学学考试卷答案
一 选择题
1.B
2.A
3.C
4.D
5.A
6.A
7.B
8.C
9.B 10.A 11.D 12.C
13.D 14.D 15.C 16.C 17.A 18.B
二 填空题 19.(3,0)；1. 20, 12. 21. [4,)+∞. 22. 25. 三 解答题
23解答：（Ⅰ）1313()sin cos 1626644f π
ππ=+=+=.
（Ⅱ）因为()cos
sin sin cos sin()333f x x x x πππ=+=+，所以，函数()f x 的最大值为1，当232x k π
π
π+=+，即2()6x k k Z π
π=+
∈时，()f x 取到最大值，所以，取到最大值时x 的集合为{|2,}6x x k k Z π
π=+∈.
24.答案：（Ⅰ）210x y -+=；（Ⅱ）1
1(,)42±.
解答：
（Ⅰ）设直线l 的斜率为(0)k k ≠，则l 的方程为1(1)y k x -=-，联
立方程组21(1)y k x y x
-=-⎧⎨=⎩，消去x ，得210ky y k -+-=，由已知
可得14(1)0k k ∆=--=，解得12k =
，故，所求直线l 的方程为210x y -+=. （Ⅱ）设点P 的坐标为2(,)t t ，直线l 的斜率为(0)k k ≠，则l 的方程为2()y t k x t -=-，
联立方程组22()y t k x t y x
⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消去x ，得220ky y t kt -+-=，由已知可得214()0k t kt ∆=--=，得1(0)2k t t =
≠，所以，点R 的纵坐标22
t t kt -=，从而，点R 的纵坐标为(0,)2t ，由m l ⊥可知，直线m 的斜率为2t -，所以，直线m 的方程为22t y tx =-+.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将直线m 的方程代入2y x =，得2
2224(21)04t t x t x -++=，
所以2242(21)4410t t t ∆=+-=+>，12116
x x =，又1RA =，
2RB =，24214RP t t =+，由2RA RB RP ⋅=，得242121(14)4
t x x t t +=+，即24211(14)164t t t +=+，解得12t =±，所以，点P 的坐标为11(,)42
±. 25.解答：
（Ⅰ）当1a =时，2251,0()1,0
x x x f x x x x ⎧---≤⎪=⎨-+->⎪⎩， （ⅰ）当0x ≤时，2521()()24f x x =-++，此时21()(,]4
f x ∈-∞； （ⅱ）当0x >时，213()()24f x x =---，此时3()(,]4
f x ∈-∞-， 由（ⅰ）（ⅱ），得()f x 的值域为21(,]4-∞. （Ⅱ）因为对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-，所以()1(1)1
f a f a ≥-⎧⎨
+≥-⎩，即2223413(1)(21)1a a a a a ⎧-≥-⎪⎨+-+≥-⎪⎩，解得10a -≤≤. 下面证明，当[1,0]a ∈-，对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-，
（ⅰ）当0a x ≤≤时，22()f x x ax a =-+-，2
()(0)1f a f a ==-≥-，故()min{(),(0)}1f x f a f ≥≥-成立；
（ⅱ）当01x a ≤≤+时，22
()5f x x ax a =---，(1)1f a +≥-，(0)1f ≥-，故()min{(1),(0)}1f x f a f ≥+≥-成立.
由此，对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-.
. 所以，实数a的取值围为[1,0]。