第二章弹性力学的基本原理
第二章：弹性力学基本理论及变分原理
第二章 弹性力学基本理论及变分原理弹性力学是固体力学的一个分支。
它研究弹性体在外力或其他因素（如温度变化）作用下产生的应力、应变和位移，并为各种结构或其构件的强度、刚度和稳定性等的计算提供必要的理论基础和计算方法。
本章将介绍弹性力学的基本方程及有关的变分原理。
§2.1小位移变形弹性力学的基本方程和变分原理在结构数值分析中，经常用到弹性力学中的定解问题及与之等效的变分原理。
现将它们连同相应的矩阵形式的张量表达式综合引述于后，详细推导可参阅有关的书籍。
§2.1.1弹性力学的基本方程的矩阵形式弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量表示，它们的矩阵表示称为应力列阵或应力向量111213141516222324252633343536444546555666x x y y z z xy xy yz yz zx zx D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D σεσεσετγτγτγ⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎣⎦⎩⎭ (2.1.1) 弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，弹性体内任意一点位移可用3个位移分量表示，它们的矩阵形式为[]T u u v u v w w ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭(2.1.2)弹性体内任意一点的应变，可由6个应变分量表示，应变的矩阵形式为x y Tz xy z xy yz zx xy yz zx εεεσεεεγγγγγγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭(2.1.3)对于三维问题，弹性力学的基本方程可写成如下形式 1 平衡方程0xy x zx x f x y z τστ∂∂∂+++=∂∂∂ 0xy y zy y f xyzτστ∂∂∂+++=∂∂∂0yz zx zz f x y zττσ∂∂∂+++=∂∂∂ x f 、y f 和z f 为单位体积的体积力在x 、y 、z 方向的分量。
弹性力学原理
弹性力学原理引言：弹性力学原理是工程力学的一个重要分支，研究材料在外力作用下的弹性变形和应力分布规律。
本文将探讨弹性力学原理的基本概念、公式和应用，以及一些实际工程中常见的弹性力学问题。
1. 弹性力学基本概念1.1 应力和应变弹性力学研究的核心概念是应力和应变。
应力是单位面积上的内力，表示材料受力状态的强度和方向。
应变是单位长度上的变形量，表示材料受到外力作用后的形变程度。
1.2 弹性恢复弹性力学的基本原则是材料在外力作用下会发生弹性变形，即承受外力后会产生形变，但在作用力消失后会完全恢复到原来的状态。
这个特性使得弹性材料非常适合许多工程应用。
2. 弹性力学公式2.1 长度变化和应力关系弹性力学公式中最基本的是胡克定律，它描述了材料在拉伸等均匀变形情况下的应力和应变之间的关系。
胡克定律可以用公式表示为σ = Eε，其中σ是应力，E是弹性模量，ε是应变。
2.2 弯曲弹性力学在弯曲问题中，弹性力学公式需要考虑横截面的形状和材料的性质。
弯曲弹性力学在结构设计中起着重要的作用，可以用公式M = EIθ 表示，其中M是弯矩，E是弹性模量，I是截面惯性矩，θ是单位长度的转角。
3. 弹性力学应用3.1 结构设计弹性力学原理在结构设计中有广泛的应用，可以通过计算应力和应变来确定材料的安全强度和结构的合理性。
例如，根据桥梁的设计要求和材料的性质，可以计算出合适的截面尺寸和材料类型，以确保桥梁在负荷下不会发生过度的弯曲或破坏。
3.2 材料研究弹性力学原理在材料研究中也起着重要的作用。
通过测量材料的应变和应力，可以获得材料的弹性性质和力学特性。
这些信息可以用于开发新的材料或改进现有材料的性能。
3.3 软件模拟随着计算机技术的发展，弹性力学原理被应用于软件模拟和计算机辅助设计。
通过建立弹性力学模型，可以在计算机上模拟各种力学行为，并进行虚拟测试和分析。
这些技术在工程设计和产品开发中起到了关键作用。
结论：弹性力学原理是工程力学领域中的核心内容，研究材料在外力作用下的弹性变形和应力分布规律。
第2章_弹性力学基础及有限元法的基本原理1
W U
当外力的形式是多样的时，外力的虚功等于：
W f Pc f Pv dV f Ps dS
T T T v s
• 1.4 平面问题定义
严格地讲，任何结构都是空间的。对于某些特殊情 况，空间问题可以转化为平面问题。
（1）平面应力问题 满足条件： 1）几何条件 厚度尺寸远远小于截面尺寸； 2）载荷条件 载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀 分布，而板平面不受任何外力作用。
1）位移函数 分片插值→ 假设一种函数来表示单元位移分布 一般选取多项式（简单而且易求导）
可用于离散的单元： • 三角形单元； • 矩形单元； • 不规则四边形单元。 DOF 节点的自由度：节点所具有的位移分量的数量。 一个单元所有节点的自由度总和称为单元自由度。 （1）单元参数只能通过节点传递到相邻单元 （2）单元和节点必须统一编号
2.2 单元分析（位移、应力、应变） 任务：形成单元刚度矩阵，建立单元特性方程 因此必须建立坐标系，如下图：
1D问题的弹性模量
E杨氏弹性模量
泊松比是指材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向 正应变的绝对值的比值，也叫横向变形系数，它是反映材 料横向变形的弹性常数。 若在弹性范围内加载，横向应变εx与纵向应变εy之间存 在下列关系： εx=- νεy 式中ν为材料的一个弹性常数，称为泊松比。泊松比是 量纲为一的量。 可以这样记忆：空气的泊松比为0，45#钢0.3，水的泊松 比为0.5，中间的可以推出。
• 未知数 应力 6个+应变 6个+位移 3个=15个 • 方程个数 平衡方程 3个+几何方程6个+物理方程6个=15个 原则上可以根据15个方程求出15个未知物理量 但实际求解时先求出一部分再通过方程求解剩下的。 目前有限元法主要采用的是位移法，以三个位移 分量为基本未知量。位移-应变-应力，应力和外力平衡
2--弹性力学基本理论
yz
zx
• 应变的定义
• 设平行六面体单元，3个轴棱边 ：
– 变形前为MA，MB，MC； – 变形后变为M'A'，M'B'，M'C'
。
x、 y、 z
•正应变（小变形）
•符号规定： 正应变以伸长为正。
•剪应变
•符号规定： 正应变以伸长为正；剪应变以角度变小为正。
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
y
y
q
q
sx
ͼ 1-1a
x
0
sx x
ͼ 1-1b
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
ͼ 1-3a ͼ 1-3b
2.1 弹性力学的基本假定
• 连续性假设：物体所占的空间被介 质充满，不考虑材料缺陷，在物体 内的物理量是连续的, 可以采用连续 函数来描述对象。
虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究， 但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。 材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而 要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这 样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近 似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单 元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析 的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们 可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度， 并确定它们的适用范围。
当△S 趋近于0，则为P点的面力
•面力分量 •符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。 •面力的量纲：[力]/[长度]^2 •列阵表示：Fs={X Y Z}T
集中力
体力与面力都是分布力，集中力则只是作用在一个点
弹性力学第二章平面问题的基本理论
在应力约束 面上： 设 面法线与x轴正向夹角
的余玄为l，与y轴正向夹角
的余玄为m。
混合条件：
位移约束与应力约束的组合。
边界条件举例
x
y q
x
y
p
圣维南原理及其应用
圣 维 南 （ Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant ， 1797～1886）原理：如果把物体的一小部分边界上的面力， 变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同 一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著改变， 但是远处所受的影响可以忽略不计。
— 边界条件
按位移求解平面应力问题(5)
— 小结
按位移求解平面问题需要：
1. 位移分量满足微分方程：
2.边界条件：
按位移求解平面问题(5)
— 举例
x
ρg
y=h y
按位移求解平面问题(6)
— 举例
x
ρg
y=h y
按应力求解平面应力问题(1)
— 用位移表达应变（几何方程）
形变协调方程或相容方程 连续体的形变分量不是相互独立的，它们之间必须满足 相容方程，才能保证真实的位移分量存在。
因此，由 中第一式：
最后得到：
由 中第二式：
常体力情况下的简化（5）
— 平衡方程的解
通解
特解
常体力情况下的简化（6）
— 艾里应力函数表示的相容方程
应力调和方程 代入
得到：
简写为：
常体力情况下的平面问题
常体力情况下的平面问题需要满足：
1.艾里应力函数表示的相容方程：
2.边界条件
3.位移单值条件
弹性力学第二章平面问题的基本理论
弹性力学的基本原理
弹性力学的基本原理弹性力学是研究物体在受力下发生形变并恢复原状的力学学科。
它基于一系列基本原理，旨在描述和解释物体弹性行为的特性。
本文将围绕弹性力学的基本原理展开论述，以便更全面地理解这一学科。
杨氏模量在弹性力学中，杨氏模量（Young's modulus）是描述物体刚度的重要参数。
它定义了应力和应变之间的关系，即弹性形变的比率。
杨氏模量由弹性学常数表示，在许多实际情况中，可以通过在物体上施加外力并测量其引起的形变来确定。
修形变模量修形变模量（Shear modulus）是另一个描述材料弹性特性的参数。
它衡量了材料抵抗垂直于应力方向的剪切应变的能力。
修形变模量通常在弹性固体力学和构造工程设计中起着重要的作用，用于计算材料的弯曲和扭转刚度。
泊松比泊松比（Poisson's ratio）是描述材料压缩形变和纵向拉伸形变之间关系的参数。
它是材料体积减少与相应的横向面积增加之间的比率。
泊松比通常为正值，但某些物质，如橡胶，也可以具有负值。
泊松比的概念在设计工程中非常重要，因为它影响材料的膨胀和收缩。
胡克定律胡克定律（Hooke's law）是弹性力学中最基本的原理之一。
它表明，当物体在弹性限度范围内受到外力时，其应变与应力成正比。
胡克定律的数学表达式为F = kx，其中F是物体所受外力，k是弹性系数，x是物体的形变量。
通过胡克定律，可以计算出材料的刚度和弹性常数。
超弹性当物体受到超过其弹性极限的外力时，它将发生塑性变形，不再恢复原状。
然而，有些材料具有超弹性（superelasticity）的特性，即能够在超过其弹性极限的范围内发生可逆变形。
超弹性现象常见于一些合金和弹簧材料中，并且具有重要的实际应用，如弹簧、形状记忆合金等。
应力集中与疲劳在实际工程应用中，物体经常会受到集中载荷或者循环载荷的作用。
这会导致应力集中和疲劳破坏的风险。
应力集中是指应力在物体内部发生非均匀分布的现象，常常会导致局部变形和断裂。
弹性力学的基本原理
弹性力学的基本原理弹性力学是研究物体在受力后能够恢复原状的力学分支。
它的基本原理可以总结如下：背景介绍弹性力学是力学学科的一个重要分支，研究物体受力后能够恢复原状的性质和行为。
弹性力学的研究对象可以是实物材料，如金属、塑料等，也可以是抽象的理想模型。
本文主要内容本文将讨论弹性力学的基本原理，包括以下几个方面：1. 倍力定律：弹性力学的基本原理之一是倍力定律。
倍力定律指出，在弹性变形范围内，物体受力与其变形之间存在着线性关系。
换句话说，物体受力越大，变形也越大，且两者之间成正比。
2. 弹性恢复：另一个基本原理是弹性恢复。
当外力作用于物体时，物体会变形，但在外力消失后，物体会努力恢复到原来的形状和尺寸。
这种恢复性质是弹性力学的核心特征。
3. 施加力和变形的关系：弹性力学研究物体受力后的变形情况。
在弹性力学中，施加力的方式和大小与物体的变形密切相关。
不同的力学作用方式将导致不同类型的变形，如拉伸、压缩、弯曲等。
4. 弹性模量：弹性力学的另一个关键概念是弹性模量。
弹性模量是衡量物体对外力的抵抗程度的指标。
不同材料具有不同的弹性模量，例如金属具有较高的弹性模量，而橡胶具有较低的弹性模量。
结论弹性力学的基本原理包括倍力定律、弹性恢复、施加力和变形的关系以及弹性模量等重要概念。
理解这些原理可以帮助我们更好地理解物体的弹性行为和性质。
请注意，本文的内容仅为简要介绍弹性力学的基本原理，详细的数学理论和推导过程超出了本文的范围。
参考文献：。
第2章 弹性力学的基本知识
（2）均匀性假设：假定物体内各点处材料均相同。
（3）各向同性假设：假定物体内各点处各个方向上的物理性质相同。
(4)完全弹性假设:胡可定律
（5）几何假设——小变形假设： 变形产生的位移与物体的尺 寸相比 ,是微小的。
关于外力、应力、应变和位移的定义
1.外力
体力 （定义）分布在物体体积内的力，如重力、惯性力等。 分为体积力（体力）和表面力（面力）两类。 有限元分析也使用集中力这一概念。
以通过一点的沿坐标正向微分线段的 正应变ε和 切（剪）应变 γ 来表示。 正应变εx ，εy ， εz 以伸长为正。
切应变γxy , γyz ,γzx 以直角减小为正, 用弧度表示。 正应变和切应变都是无因次的量 应变列阵 x y z xy yz zx
Tຫໍສະໝຸດ 4. 位移材力研究方法
也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用近 似的计算假设（如平面 截面假设）来简化问题，并在许多 方面进行了近似的处理。 因此材料力学建立的是近似理论，得出的是近似的解答。 从其精度来看，材力解法只能 适用于杆件形状的结构。
★ 弹塑性力学研究问题的基本方法
在受力物体 内任取一点 （单元体）为 研究对象。
写成矩阵形式:
ε=
σ
ε=φσ 显然: φ=D-1
三、平衡方程
弹性体中任一点满足平衡方程, 在给定边界上满 足应力边界条件。
弹力的研究方法
在体积V内 由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程； 由微分线段上应变与位移的几何关系，建立几何方程； 由应力与形变之间的物理关系,建立物理方程； 在边界 S 面上
x
二、物理方程
若弹性体只有单向拉伸或压缩时,根据材料 力学胡克定律:
弹性力学基本理论(车辆工程)
基本量和基本方程的矩阵表示
采用矩阵表示,可使公式统一、简洁，且 便于编制程序。
本章无特别指明，均表示为平面应力问 题的公式。
基本物理量：
• 体力 • 面力 • 位移函数
f ( fx f y )T 。 f ( fx f y )T 。 d (u(x, y),v(x, y))T。
• 应变
ε (εx εy γxy )T 。
2
P
1
y
N
B
x
将x、y轴分别放在两个主 A 应力的方向
N
N
§2-2 弹性力学的基本假设
•工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不 分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困 难，将使得问题无法求解。
•根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提 出一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范 围。
切应变： 以直角变小时为正，变大时为负； 线应变和切应变都是量纲为1的量
（四）位移
位移：物体变形时各点位置的改变量称为位移 1.当物体各点发生位置改变时，一般认为是由两种 性质的位移组成：
（1）整个物体像一个刚体一样运动所引起的位移， 包括平移、转动、平面运动等。这种位移并不使物 体的形状、质点间的相对距离发生变化。（刚体位 移）
△S
P
y 图1-3
（3）面力集度：
S上面力的平均集度为： F S
P点所受面力的集度为：
f lim F S 0 S
（4）面力分量：
z
fz F
P点的面力分量
△S
fx
f
fy P
y
为 f x 、f y 、f z ，其方向 与坐标轴正向相同时为正，
因次是[力][长度]-2。
第二章 弹性力学的基本方程和一般定理 1
§2-1 弹性力学中的几个基本概念 §2-2 平衡（运动）微分方程 §2-3 几何方程和连续性方程 §2-4 广义Hooke定律 §2-5 斜面应力公式与应力边界条件 §2-6 位移边界条件
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
基本概念： 外力、应力、形变、位移。
1. 外力 体力、面力 （材力：集中力、分布力。）
PA dx PB dy
变形前
变形后
u
P
P
v
y
x
P u dx
v P A
dy
B
A
B
A
A
B
B
注：这里略去了二阶 以上高阶无穷小量。
PA的正应变：
O
x
u
+
u x
dx
u
dx
u x
PB的正应变：
y
v
+
v y
dy
dy
v
v y
y
P点的剪应变：
P点两直角线段夹 角的变化
+
xy
z
2 2
yz
u x
同理：
y
yz
x
zx
y
+
xy
z
2
2 zx
v y
z
yz
x
+
zx
y
xy
z
2 2 xy
w z
P
(法线)
弹性力学-第二章
(a)
(b)
y
o
z
a
b
x
(c) 刚性槽
2.平面问题的应力边界条件 设在S 部分边界上给定了面力分量 f x ( s) 和 f y ( s) ， 则可由边界上任一点微分体的平衡条件，导出应力 与面力之间的关系式。
0 o y P y
tyx txy
x
B
y
fx
A
x
P
x
fy
fx
n
fy
f
斜面上的应力
由式 (2-3)
x=-b为负x 面
l cos n, x cos180 1
m cos n, y cos 90 0
(σ x ) xb f x , (t xy ) x b f y
n
b a x
fx fy
σx
σx
fx fy
t xy
y
t xy
应力边界条件的两种表达式： （1）公式写法 公式写法通常只用于 边界为非坐标面时
x=a为正x 面
l cos n, x cos 0 1
m cos n, y cos 90 0
(σ x ) xa f x , (t xy ) xa f y
b a x
n
fx fy
σx
σx
fx fy
t xy
y
t xy
当边界面为坐标面时
(l x mt xy ) s f x ( s) (m y lt xy ) s f y ( s)
( 2) 斜边 y x tan
l cos n, x cos 90 sin
m cos n, y cos
《弹性力学》第二章_平面问题的基本理论
o
xy
x
y
P
yx
y
A
XN
x
设AB面在xy平面内的长度为dS， 厚度为一个单位长度，N为该面的外 法线方向，其方向余弦为：
B
N
N
N
cos(N , x) l , cos(N , y) m
9
YN S
图2 － 4
斜面AB上全应力沿x轴及y轴的投影分别为XN和YN。由PAB 的平衡条件 Fx 0 可得： X N dS xldS yxmdS
2.主应力的方向
1 与 2 互相垂直。
11
§2-4
几何方程、刚体位移
在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。 通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图2-5所示。弹性 体受力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。 一、P点的正应变
u (u dx) u u x x dx x
二、P点的剪应变
线段PA的转角：
同理可得线段PB的转角：
u y
所以
xy
v u x y
13
因此得到平面问题的几何方程：
u x x v y y v u xy x y
由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变 分量即可完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分 量却不能完全确定。
z
E
( x y )
16
二、平面应变问题的物理方程 1 2 x ( x y ) E 1 1 2 y ( y x ) E 1 2(1 ) xy xy E 三、平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式之间的 变换关系 1 ( ) y 将平面应力中的关系式： x E x
弹性力学ppt课件
应变定义
物体在外力作用下产生的 形变，表示物体尺寸和形 状的变化。
应力与应变关系
应力与应变之间存在一一 对应关系，通过本构方程 来描述。
广义胡克定律及应用
1 2
广义胡克定律 又称作弹性本构关系，表示应力与应变之间的线 性关系。
广义胡克定律的应用 用于计算弹性体在复杂应力状态下的应力和应变， 是弹性力学中的重要基础。
弹性力学ppt课件
contents
目录
• 弹性力学概述 • 弹性力学基本原理 • 线性弹性力学问题求解方法 • 非线性弹性力学问题简介 • 弹性力学实验方法与技术应用 • 弹性力学在相关领域拓展应用
01 弹性力学概述
弹性力学定义与研究对象
弹性力学定义
弹性力学是研究弹性体在外力和其他 外界因素作用下产生的变形和内力， 从而在变形与外力之间建立一定关系 的科学。
有限元法在弹性力学中应用
有限元法基本原理
将连续体离散化为有限个单元，每个单元用简单的函数近似表示，通 过变分原理得到有限元方程。
有限元法求解过程
包括网格划分、单元分析、整体分析、边界条件处理和求解有限元方 程等步骤。
有限元法的优缺点
有限元法可以求解复杂几何形状、非均质材料和非线性问题，但存在 网格划分和计算精度等问题。
布。
弹性模量和泊松比测定实验
拉伸法
通过对标准试件进行拉伸实验，测量试件的应力和应变，从 而计算得到弹性模量和泊松比。
压缩法
通过对标准试件进行压缩实验，测量试件的应力和应变，进 而计算弹性模量和泊松比，适用于脆性材料的测量。
弯曲法
通过对梁式试件进行三点或四点弯曲实验，测量试件的挠度 和应力，从而推算出弹性模量，特别适用于细长构件的测量。
第二章：弹性力学的基本原理
I '3
0
三个系数I’1, I’2, I’3分别为为应变张量的第
一、第二、第三不变量
I '1 11 22 33
I '2
11 21
12 22 22 32
11 12 13
I
3
21
22
23
31 32 33
23 33 33 13
3
1
11
应变张量分解为球张量和偏斜张量
ij 0 ij ij
变形协调方程：意义是用形变积分得到位 移是单值函数。满足它的必要条件是：物 体内部任何一个体积微元在变形之后仍能 保持相互的连续性。满足它的充分条件则 要求用形变积分得到位移与积分路径无关。 变形协调方程可以统一写成：
ij'kl
kl 'ij
ik ' jl
jl 'ik
2 11
2 22
2
N
11
22
2
2
2
11
22
2
2
2 12
1 2
11
22
2
11
2
22
2
2 12
应力张量分解为球张量和偏(斜)张量
Sij ij 0 ij
S 3 J1S 2 J2S J3 0
J1 S11 S22 S33 0
J2
S11 S21
S12 S22 S22 S32
在弹性力学中，应力分量与应变分量间成 一一对应的关系, 且通常为线性关系，称之 为广义虎克定律。
11 211 , 23 2 23,
22 2 22 , 31 231,
33 2 33 , 12 212.
ij 2ij ij
第二章弹性力学基础
第二章弹性力学基础弹性力学又称弹性理论，它是固体力学的一个分支。
弹性力学任务是确定结构或机械零件在外载荷作用或温度改变等原因而发生的应力、位移和应变。
弹性力学与材料力学总的任务是相同的，但弹性力学研究的问题比材料力学要更加深刻和精确，并研究材料力学所不能解决的一些问题。
材料力学-----研究杆状构件（长度>>高度和宽度）在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。
弹性力学-----研究板壳、挡土墙、堤坝、地基等实体结构。
对杆状构件作较精确的分析，也需用弹性力学。
结构力学-----研究杆状构件所组成的结构。
例如桁架、刚架。
第一节弹性力学假设在弹性力学中，所研究的问题主要是理想弹性体的线性问题，所谓理想弹性体的线性问题，是指符合以下假定的物体。
1. 假设物体是线弹性的假定物体服从虎克定律，即应变与引起该应变的应力成正比，反映这一比例关系的常数，就是弹性常数。
即该比例关系不随应力、应变的大小和符号而变。
由材料力学已知：脆性材料的物体：在应力≤比例极限以前，可作为近似的完全弹性体；韧性（塑性）材料的物体：在应力＜屈服极限以前，可作为近似的完全弹性体。
这个假定，使得物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载的历史和加载顺序无关。
2. 假设物体是连续性的假设整个物体的体积都被该物体介质完全充满，不留下任何空隙。
有了这一假定决定了应力、应变、位移是连续的，可用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
注：实际上，一切物体都是由微粒组成的，都不能符合该假定。
但是由于物体粒子的尺寸以及相邻粒子间的距离，都比物体自己本身的尺寸小得很多，因此连续性假设不会引起显着的误差。
3. 假设物体是均匀性、各向同性的整个物体是由同一材料组成的。
这样整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性常数不随坐标而变化，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析，然后把分析所得结果应用于整个物体。
《弹性力学》第二章平面问题的基本理论
平面问题研究方法
01
02
03
解析法
通过弹性力学的基本方程 和边界条件，求解出满足 条件的应力、应变和位移 分量。
数值法
利用计算机进行数值计算， 如有限元法、差分法等， 求解出弹性体的应力、应 变和位移分布。
实验法
通过实验手段，如光弹性 实验、应变电测实验等， 直接测定弹性体的应力、 应变和位移。
02 基本方程与定解条件
物理方程反映了材料的力学性质，是弹性力学中的重要基础。
03
定解条件（边界条件与初始条件）
01
02
03
定解条件是弹性力学问 题中必须满足的附加条 件，包括边界条件和初
始条件。
边界条件描述了物体边 界上的应力、位移等物 理量的已知情况，是求 解弹性力学问题的重要
依据。
初始条件描述了物体在 初始时刻的应力、位移 等物理量的已知情况， 对于动态问题和瞬态问
04 平面问题解法及实例分析
按位移求解平面问题
位移边界条件
在位移边界上，物体受到的约束可以 转化为在给定位移边界上各点的位移。
平衡微分方程
根据弹性力学的基本方程，可以建立 以位移表示的平衡微分方程。
应力边界条件
在应力边界上，物体受到的面力可以 转化为应力边界上各点的应力分量。
求解方法
通过联立平衡微分方程和应力边界条 件，可以求解出位移分量，进而求得 应力分量。
复杂应力函数求解技巧
复杂应力函数的特点
复杂应力函数可能具有复杂的数学形式和边界条件，求解难度较大。
求解技巧
针对复杂应力函数的求解，可以采用变量分离法、积分变换法、复 变函数法等数学工具进行简化处理，降低求解难度。
实例分析
以一个复杂的弹性力学问题为例，介绍如何运用上述技巧求解复杂 应力函数，并给出相应的应力分量分布图。
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第二章 弹性力学的基本原理§2.1 应力分析2.1.1应力与应力张量应力被定义为：用假想截面将物体截开，在截面上一点P 的周围取一微元S ∆, 设S ∆的外法线为ν, S ∆上的力为T ∆，如极限ν∆∆∆T S T S =→/lim 0存在，则称νT 为P 点在该截面上的应力矢量。
考察三个面为与坐标面平行的截面(即以321,,x x x 三个坐标轴为法线的三个截面), )3()2()1( , ,T T T 分别表示三个截面上的应力矢量。
每一个应力矢量又分解为沿三个坐标轴的应力分量，有j ij i e T σ=)( (i ,j =1,2,3) (2.1)这里的张量运算形式满足“求和约定”，即凡是同一指标字母在乘积中出现两次时，则理解为对所有同类求和，即j ij e σ应理解为∑=31j j ij e σ。
这样的求和指标j 称之为假指标或哑指标。
由此得到九个应力分量表示一点的应力状态，这九个分量组成应力张量：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211σσσσσσσσσσij 或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=zz zy zx yz yy yxxz xy xx ij στττστττσσ (2.2) 在本书第一章致第九章，应力分量符号(正负号)规定如下：对于正应力，我们规定张应力为正，压应力为负。
对于剪应力，如果截面外法向与坐标轴的正方向一致，则沿坐标轴正方向的剪应力为正，反之为负。
如果沿截面外法向与坐标轴的正方向相反，则沿坐标轴正方向的剪应力为负。
2.1.2 柯西(Cauchy)方程记S 为过P 点的外法向为n 的斜截面。
外法线n 的方向可由其方向余弦记为),,cos(11x n n =α),cos(22x n n =α, ),cos(33x n n =α。
设此斜截面ABC ∆的面积为S , 则如图2.1, 过此点所取的小四面体OABC 另外三个面为与坐标面平行的截面(即以321,,x x x 三个坐标轴为法线的三个截面), 其面积分别为⎪⎪⎪⎭⎫⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=333222111),cos(:),cos(:),cos(:n n n S x S S OAB S x S S OAC S x S S OBC α∆α∆α∆n n n (2.3) 此截面上的应力矢量记为)(n T , 即j n j n T e T )()(= (2.4)另外三个面上的应力矢量分别为)1(T -, )2(T -, )3(T -。
考虑此微元(四面体OABC 的平衡，其平衡方程为()0313)3(2)2(1)1()(=⋅⋅+⋅+⋅+⋅-⋅h S S S S S n f T T T T (2.5)其中f 为作用于此单元上的体力，h 为O 点至截面ABC 的垂直距离，h S ⋅31为此微元的体积。
当此四面体微元无限缩小时, 上式中最后一项为更高阶的无穷小量，可略去不计，从而得3)3(2)2(1)1()(n n n n ααα⋅+⋅+⋅=T T T T (2.6)将(2.1)代入, 就得到j ni ij n e T ασ=)( (2.7) 与(2.4)比较就得到)(n T 的坐标分量与应力分量间的关系为：ij ni n j T σα=)( (2.8) 这就是柯西(Cauchy)公式，写成矩阵形式就是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211)(3)(2)(1n n n n n n T T T ααασσσσσσσσσ 或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m l T T T zz zy zxyz yy yx xz xy xx n z n y n x στττστττσ)()()( (2.9)斜截面上总应力在法线方向上的分量(正应力)为ij nj ni n j nj T σααασν==)( (2.10) 或将321 , ,n n n ααα写成l , m , n ,312312332222112222σσσσσσσνnl mn lm n m l +++++= (2.11)切线方向上的分量(剪应力)()()()()22)(32)(22)(122)(νννσστ-++=-=n n n n T T T T(2.12)2.1.3 坐标变换建立新的正交坐标系1x ', 2x ', 3x ', 并将上面所述的斜截面作为一个新的坐标面1x ', 新坐标轴1x ', 2x ', 3x '与原坐标轴1x , 2x , 3x 之间的夹角余弦如下表示：则上面的应力矢量成为)1('T 将应力分量从原坐标系xyz o -变换到新坐标系'''z y x o -，(2.10)成为ij j i j j T σααασ11)1(111''''''== (2.13)同理图2.1⎪⎭⎪⎬⎫====''''''''''''ij j i j j ij j i j j T T σααασσααασ31)1(33121)1(221 (2.14) 一般地，有ij j j i i i j j j j i T σααασ''''''==)( (2.15)上式为应力张量坐标变换式, 用矩阵表示为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''''''''''''''''333231322221131211333231232221131211332313322212312111'3'3'2'3'1'3'3'2'2'2'1'2'3'1'2'1'1'1αααααααααστττστττσααααααααασσσσσσσσσ (2.16) 上式用在具体计算时比较方便。
在理论推导中，用应力张量的变换符号表示比较方便： 其中αi i '为新坐标中x i ’与旧坐标中x i 之间夹角的方向余弦。
剪应力互等定理:设体积微元(小长方体)的三个边长各为dx 1、dx 2、dx 3, 作用于此体积元上所有的力(包括惯性力)对于任一轴的矩的代数和必然为零。
因而得ji ij σσ= (2.17)这就是剪应力互等定理。
它表明，应力张量是对称张量。
2.1.4 主应力与应力张量不变量如果在某一截面上剪应力为零，则该截面的法向称为主方向，相应的截面称为主平面。
主平面的正应力为主应力。
设方向n 为主方向，其方向余弦为)(321n n n 、、, 此面上的主应力为σ, 则⎪⎭⎪⎬⎫⋅=⋅=⋅=3)(32)(21)(1n T n T n T n n n σσσ (2.18) 将上式代入柯西公式(2.7), 得⎪⎭⎪⎬⎫=-++=+-+=++-0)(0)(0)(333232131323222221313212111n n n n n n n n n σσσσσσσσσσσσ (2.20) 上式写成张量形式就是：()0=-i ij ijασδσ(2.21)其中ij δ为克罗耐克尔(Kroneker)符号：⎩⎨⎧≠==j i j i ij 01δ因为321n n n 、、不能同时为零，所以(2.20)的系数行列式必须为零。
得0)()()(223231232212131211=---i i i σσσσσσσσσσσσ (2.22) 上式写成张量形式就是： ()0det =-ij ij σδσ (2.23)将(2.22)的行列式展开后得032213=-+-I I I i σσσ (2.24)方程(2.13)称为应力状态特征方程，其三个系数分别为⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=++=++=333231232221131211311133133333223222221121123322111 σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσI I I (2.25)特征方程(2.24)在坐标变换时保持不变，即它的三个系数I 1, I 2, I 3不随坐标系的变化而改变，I 1, I 2, I 3分别称之为应力张量的第一、第二、第三不变量。
解特征方程求得三个实根就是主应力, 通常取321σσσ≥≥。
将其值代入方程组(2.20), 并和条件1232221=++n n n 联立, 即可求得对应于每一个主应力i σ)3,2,1(=i 的主方向()()321321,,1,,w w w Hn n n i ==n )3,2,1(=i (2.26) 其中()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-+-=+-=+-=2123222111212221123131211232231222131,,,w w w H w w w i i i i σσσσσσσσσσσσσσσσ )3,2,1(=i (2.27)上述过程在数学上实际就是求应力张量矩阵的特征值和特征向量。
如果选择主方向为坐标轴321,,x x x , 则应力张量不变量(2.25)可化简为⎪⎭⎪⎬⎫=++=++=321313322123211σσσσσσσσσσσσI I I (2.28)2.1.5最大剪应力可以证明，三个最大剪应力分别为⎪⎭⎪⎬⎫-±=-±=-±=)()()(13131322123212112σστσστσστ (2.29)这些剪应力所在的截面平行某一主轴面而与另外两个主轴成45°夹角。
最大剪应力在塑性力学的屈服准则和断裂力学的Dugdale 模型中会用到。
2.1.6 应力圆(Mohr 圆)记N σ为某一截面上的正应力，τ为该截面上的剪应力。
Mohr 圆为τσ-N 平面上的一个圆，这个圆的圆心C 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,22211σσ, 半径为212222112σσσ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-。
圆上的一点表示某一截面上的应力。
该点的横坐标表示该截面上的正应力，纵坐标表示该截面上的剪应力。
这个圆用方程表示就是：2122221122221122σσστσσσ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-N (2.30)图2.2显示了Mohr 圆，其中A 点代表以1x 轴为法线的截面上的应力),(1211σσ。
该截面的法线与第一主方向的夹角为'α。
延长AC 交Mohr 圆于D 点。