第二章弹性力学的基本原理

第二章 弹性力学的基本原理

§2.1 应力分析

2.1.1应力与应力张量

应力被定义为：用假想截面将物体截开，在截面上一点P 的周围取一微元S ∆, 设S ∆的外法线为ν, S ∆上的力为T ∆，如极限ν∆∆∆T S T S =→/lim 0

存在，则称νT 为P 点在该截面上的应力矢量。

考察三个面为与坐标面平行的截面(即以321,,x x x 三个坐标轴为法线的三个截面), )3()2()1( , ,T T T 分别表示三个截面上的应力矢量。每一个应力矢量又分解为沿三个坐标轴的应力分量，有

j ij i e T σ=)( (i ,j =1,2,3) (2.1)

这里的张量运算形式满足“求和约定”，即凡是同一指标字母在乘积中出现两次时，则理解为对所有同类求和，即j ij e σ应理解为∑=3

1j j ij e σ。这样的求和指标j 称之为假指标或哑指标。由此得到

九个应力分量表示一点的应力状态，这九个分量组成应力张量：

⎪

⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛=333231232221131211σσσσσσσσσσij 或⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=zz zy zx yz yy yx

xz xy xx ij στττστττσσ (2.2) 在本书第一章致第九章，应力分量符号(正负号)规定如下：对于正应力，我们规定张应力为正，压应力为负。对于剪应力，如果截面外法向与坐标轴的正方向一致，则沿坐标轴正方向的剪应力为正，反之为负。如果沿截面外法向与坐标轴的正方向相反，则沿坐标轴正方向的剪应力为负。

2.1.2 柯西(Cauchy)方程

记S 为过P 点的外法向为n 的斜截面。外法线n 的方向可由其方向余弦记为),,cos(11x n n =α

),cos(22x n n =α, ),cos(33x n n =α。

设此斜截面ABC ∆的面积为S , 则如图2.1, 过此点所取的小四面体OABC 另外三个面为与坐标面平行的截面(即以321,,x x x 三个坐标轴为法线的三个截面), 其面积分别为

⎪⎪⎪

⎭⎫

⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=333222111),cos(:),cos(:),cos(:n n n S x S S OAB S x S S OAC S x S S OBC α∆α∆α∆n n n (2.3) 此截面上的应力矢量记为)(n T , 即

j n j n T e T )()(= (2.4)

另外三个面上的应力矢量分别为)1(T -, )2(T -, )3(T -。 考虑此微元(四面体OABC 的平衡，其平衡方程为

()031

3)3(2)2(1)1()(=⋅⋅+⋅+⋅+⋅-⋅h S S S S S n f T T T T (2.5)

其中f 为作用于此单元上的体力，h 为O 点至截面ABC 的垂直距离，h S ⋅3

1

为此微元的体积。当

此四面体微元无限缩小时, 上式中最后一项为更高阶的无穷小量，可略去不计，从而得

3)3(2)2(1)1()(n n n n ααα⋅+⋅+⋅=T T T T (2.6)

将(2.1)代入, 就得到

j ni ij n e T ασ=)( (2.7) 与(2.4)比较就得到)(n T 的坐标分量与应力分量间的关系为：

ij ni n j T σα=)( (2.8) 这就是柯西(Cauchy)公式，写成矩阵形式就是

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211)(3)(2)(1n n n n n n T T T ααασσσσσσσσσ 或

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m l T T T zz zy zx

yz yy yx xz xy xx n z n y n x στττστττσ)()

()( (2.9)

斜截面上总应力在法线方向上的分量(正应力)为

ij nj ni n j nj T σααασν==)( (2.10) 或将321 , ,n n n ααα写成l , m , n ,

312312332222112222σσσσσσσνnl mn lm n m l +++++= (2.11)

切线方向上的分量(剪应力)

()

()()()

22)(3

2)(2

2)(1

22

)(νννσστ-++=

-=

n n n n T T T T

(2.12)

2.1.3 坐标变换

建立新的正交坐标系1x ', 2

x ', 3x ', 并将上面所述的斜截面作为一个新的坐标面1x ', 新坐标轴1x ', 2

x ', 3x '与原坐标轴1x , 2x , 3x 之间的夹角余弦如下表示：

则上面的应力矢量成为)1('

T 将应力分量从原坐标系xyz o -变换到新坐标系'''z y x o -，(2.10)

成为

ij j i j j T σααασ11)1(111''''''== (2.13)

同理

图2.1

⎪⎭

⎪

⎬⎫====''''''''''''ij j i j j ij j i j j T T σααασσααασ31)

1(33121)1(221 (2.14) 一般地，有

ij j j i i i j j j j i T σααασ''''''==)( (2.15)

上式为应力张量坐标变换式, 用矩阵表示为

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''''''''''''''''333231322221131211333231232221131211332313322212312111'3'3'2'3'1'3'3'2'2'2'1'2'3'1'2'1'1'1αααααααααστττστττσααααααααασσσσσσσσσ (2.16) 上式用在具体计算时比较方便。在理论推导中，用应力张量的变换符号表示比较方便： 其中αi i '为新坐标中x i ’与旧坐标中x i 之间夹角的方向余弦。

剪应力互等定理:

设体积微元(小长方体)的三个边长各为dx 1、dx 2、dx 3, 作用于此体积元上所有的力(包括惯性力)对于任一轴的矩的代数和必然为零。因而得

ji ij σσ= (2.17)

这就是剪应力互等定理。它表明，应力张量是对称张量。

2.1.4 主应力与应力张量不变量

如果在某一截面上剪应力为零，则该截面的法向称为主方向，相应的截面称为主平面。主平面的正应力为主应力。设方向n 为主方向，其方向余弦为)(321n n n 、、, 此面上的主应力为σ, 则

⎪⎭

⎪

⎬⎫

⋅=⋅=⋅=3)(32)(21)(1n T n T n T n n n σσσ (2.18) 将上式代入柯西公式(2.7), 得

⎪⎭

⎪

⎬⎫

=-++=+-+=++-0)(0)(0)(333232131323222221313212111n n n n n n n n n σσσσσσσσσσσσ (2.20) 上式写成张量形式就是：

()0=-i ij ij

ασδσ

(2.21)

其中ij δ为克罗耐克尔(Kroneker)符号：

⎩

⎨⎧≠==j i j i ij 0

1δ

因为321n n n 、、不能同时为零，所以(2.20)的系数行列式必须为零。得

0)

()()

(223231

23221213

12

11=---i i i σσσσσσσσσσσσ (2.22) 上式写成张量形式就是： ()0det =-ij ij σδσ (2.23)

将(2.22)的行列式展开后得