四年级奥数第18讲-重叠问题(教)
小学奥数教案-第18讲-重叠问题(教)
教师辅导讲义 学员编：年 级：四年级 课 时 数：3 学员姓名：辅导科目：数学 教师： 授课主题第18讲-重叠问题 授课类型T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标① 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 ② 掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用 授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：A B A B A B =+-，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理． 图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB ，即阴影面积． 图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类知识梳理1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．考点一：两量重叠问题例1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ C BA【解析】如图所示，A 圆表示参加语文兴趣小组的人，B 圆表示参加数学兴趣小组的人，A 与B 重合的部分C (阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有281216-=(人)；图中B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有291217-=(人)．方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16121745++=(人)．方法二：根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小典例分析图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次．2．再排除：A B C A B B C A C ++---重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++-A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．A B【解析】如图，用长方形表示1~100的全部自然数，圆表示1~100中3的倍数，B圆表示1~100中5的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由1003331÷=可知，1~100中3的倍数有33个；由100520÷=可知，1~100中5的倍数有20个；由10035610（）可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．÷⨯=由包含排除法，3或5的倍数有：3320647+-=(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753-=(个)．考点五：容斥原理中的最值问题例1、将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？【解析】越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中，最大和为：13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？AC B【解析】如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人，图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43376-=(人)，图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：583721-=(人)．2、科技活动小组有55人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人．每个同学都至少完成了一项制作．问两项制作都完成的同学有多少人？AC B【解析】因为403272>，所以必有人两项制作都完成了．+=，7255由于每个同学都至少完成了一项制作，根据包含排除法可知：全组人数4032=+-完成了两项制作的人数，即5572=-完成了两项制作的人数．所以，完成了两项制作的人数为：725517-=(人)．3、五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么，参331，100610．根据包含排除法，能被中任一个整除的数有3320+、如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于张板盖住的总面积是张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？5、四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【解析】因423476+=，7663>，所以必有人同时完成了这两项活动．由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，4234+-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即76-(完成了两项活动的人数)63=．由减法运算法则知，完成两项活动的人数为766313-=(人)．（也可画图分析）1、(第二届小学迎春杯数学竞赛)有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？【解析】方法一：在100人中懂英语或俄语的有：1001090-=(人)．又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：907515-=(人)．从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的8315- 68=(人)就是既懂英语又懂俄语的旅客．方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：75839068A B A B A B =+-=+-=(人)．(Summary-Embedded)——归纳总结容斥原理的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
小学数学《重叠问题》教学设计学情分析教材分析课后反思
《重叠问题》教学设计及设计意图【教学内容】青岛版小学数学六三制四年级下册“智慧广场”—重叠问题。
【教材分析】《重叠问题》属于四年级下册“智慧广场”的内容，教材选取学生熟悉的社会实践活动为素材，让学生在摆姓名的过程中，通过合作、讨论、摆摆、圈圈等过程得出韦恩图的雏形，发现图形表示的优越性，体味新知的价值。
学生在探索活动中建立起重叠问题的数学模型，并能运用数学模型解决实际问题。
在这个过程中，渗透有关的数学思想方法，如数学模型、集合思想、数形结合等策略与方法，其中“模型思想”和“集合思想”是“重叠问题”的核心，在生活中也比较广泛的应用。
该内容的教材编排体现了以下德育范畴：1.思维严谨：教材编排充分展示了学生的探索过程，有利于学生进行规范的操作和有理有据的推理与表达，从而培养学生良好的逻辑思维习惯。
2.理性精神：教材选取生活中的社会实践活动为素材，旨在引导学生用数学的眼光观察生活，学会用数学的思维解决实际问题，并用严谨的语言表达思想。
通过引领学生经历知识发生与发展的过程，在加强学生建模思想的同时，培养学生敢于探索、敢于质疑、善于创新的理性精神。
3.数学审美：学生在探索重叠问题的过程中充分体味韦恩图直观形象的作用，感受数形结合和集合思想的数学美；同时在建立“重叠模型”中感受重叠问题的模型之美；学生在运用模型解决实际问题时进一步体悟数学之美。
【教学目标】1.引导学生经历韦恩图的产生过程，能借助韦恩图，利用数形结合的思想方法解决简单的重叠问题，突出解决问题策略的多样性。
通过建立重叠问题的数学模型，从而学会分清主次、抓住本质，思维严谨。
2. 在解决问题的过程中，运用韦恩图，感受数形结合的魅力，同时感受数学在解决生活问题中的作用，培养学生应用意识和兴趣。
3. 渗透集合、数学建模和数形结合等思想，匡助学生逐步积累数学活动经验，培养学生言必有据、敢于探索、敢于质疑、善于创新的理性精神。
【教学重、难点】教学重点：引导学生经历韦恩图的产生过程，能借助韦恩图，利用数形结合的思想方法解决简单的重叠问题，并建立重叠问题的数学模型。
《重叠问题》(教案)-四年级下册数学青岛版
教案：《重叠问题》-四年级下册数学青岛版一、教学目标1. 让学生理解重叠问题的概念，知道什么是重叠问题，并能用数学语言描述出来。
2. 培养学生运用集合的思想解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3. 通过对重叠问题的探究，激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。
二、教学内容1. 重叠问题的概念2. 重叠问题的解决方法3. 重叠问题的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：掌握重叠问题的概念和解决方法，能够运用集合的思想解决实际问题。
2. 教学难点：理解重叠问题的实质，运用集合的思想解决实际问题。
四、教学过程1. 导入通过生活中的实例，如家庭成员、学校社团等，引导学生发现重叠现象，激发学生对重叠问题的兴趣。
2. 新课导入（1）讲解重叠问题的概念，让学生理解什么是重叠问题。
（2）通过实例，让学生了解重叠问题的解决方法，如韦恩图等。
3. 实践操作让学生分组讨论，找出生活中的重叠问题，并尝试用所学方法解决。
4. 小结对本节课所学内容进行小结，让学生明确重叠问题的概念、解决方法及应用。
5. 作业布置布置一些与重叠问题相关的练习题，让学生巩固所学知识。
五、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
1. 是否达到教学目标，学生是否掌握了重叠问题的概念和解决方法。
2. 教学过程中是否存在不足，如讲解是否清晰、实例是否恰当等。
3. 学生在实践操作中是否积极参与，合作意识和探究精神是否得到培养。
通过以上反思，教师可以不断提高教学质量，为学生的数学学习奠定坚实基础。
重点关注的细节是“教学过程”部分，尤其是实践操作环节。
这个环节是学生将理论知识应用到实际问题中的关键步骤，也是检验学生学习效果的重要环节。
以下是对这个重点细节的详细补充和说明：实践操作环节的详细补充和说明1. 分组讨论在实践操作环节，教师应先将学生分成小组，每组3-5人。
分组时要注意学生的个性、能力等因素，力求使每组学生都能在讨论中发挥作用。
重叠问题(教案) 数学四年级下册
《重叠问题》—教学设计教学目标：1.引导学生经历集合图的产生过程，能借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的重叠问题，突出解决问题策略的多样性。
2.通过设计有效的教学活动，学生经历探究的过程，在自主探索与合作交流中学习、发展，体验重叠问题建模的过程，并初步感知数学的严密逻辑。
3.引导学生在积极主动参与数学活动的过程中体验身边数学的价值，获得成功的体验，提高学习数学的兴趣。
教学重点：使学生初步体会集合的有关思想方法，并能用它来解决实际问题。
教学难点：理解有重复时，应从和中减去重复部分。
教学方法：观察法、讨论法教学准备：多媒体课件、姓名卡片、磁石贴等教学过程：一、创设情境，提出问题师：同学们，清明小长假期间四年级一班的同学们参加了社会实践活动，让我们一起来看一下吧。
课件展示师：下面是四年级一班同学假期参加实践活动的情况记录，发现了哪些数学信息？学生欣赏、观察、口答信息预设：1.参加小记者的10人2.参加小交警的9人3.两项都参加的4人师：你能提出什么问题？学生提出问题预设：参加社会实践活动的一共有几人？学生口答提出的问题追问：果真是19人吗？下面请大家再仔细观察这两组信息，你发现了什么？预设：有人两项实践活动都参加了。
引出课题：这就是我们今天要研究的重叠问题（板书）【设计意图】结合学生的生活实际，开门见山的导入新课，引导学生提出问题，顺理成章的引出课题。
二、自主探究，建立模型1.组织游戏比赛课件出示规则：（1）左边同学代表小交警队，右边同学代表小记者队；（2）每队派一名同学作为队长到前面来；（3）老师每出示一个名字，若是你们队的，队长请快速抢，下面同学可提示自己队长；（4）最先把自己队里名字抢全的获胜。
学生分组、推选队长到前面来开始游戏预设：游戏过程中因姓名卡片而产生矛盾师：怎样解决这个问题呢？预设：都给一边；平均分；放在中间一起用全班研讨决定：放在中间一起用。
师：放在中间一起用，这个方法是不是两全其美？面对复杂的问题，大家换一个角度思考，抢卡片的问题就解决了2.数形结合，说图明理师：指指看，参加小记者活动的10人在哪里？参加小交警活动的9人呢？怎样让大家看的更清楚一些呢？预设：圈一圈两位队长各自圈出参加小记者和小交警的人学生指一指，说一说各部分表示什么意思。
奥数重叠问题ppt课件
题一
例：如图所示：把12张图片用图钉钉在橱窗里一共用多少颗图钉
1张纸用几个？
4
4+2=6
2张纸用几个？
6
4张纸用几个？
10
6
4+2+2+2=10
4+2+2=8
3张纸用几个？
8
我们看到每增加1张纸 图钉要增加 2 个
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
题一：方法一
例：如图所示：把12张图片用图钉钉在橱窗里一共用多少颗图钉
11
题目中的几个量： 一、重叠数量 11
二、重叠部分的量 2
三、未重叠部分的量 4
解：重叠数量×重叠部分的量+未重叠部分的量 11×2+4=26
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
题二
思路一
例：有4块各长80厘米的木板，钉成一块长木板，中间钉在一起重叠部 分是10厘米。钉成的长木板的长度长多少厘米
80
70
70
70
题目中的几个量： 一、重叠个数 3
二、未重叠部分的量 70
三、单个物品的量
80
解：重叠数量×重叠部分的量+单个物品的量 3 ×70+80=290
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
方法二
例：如图所示：把12张图片用图钉钉在橱窗里一共用多少颗图钉
青岛版四年级下册数学 重叠问题教学设计
重叠问题【教材解读】数学广角是新课程增设的内容，也是新教材的一大特色，其实它是属于小学奥数的一个教学内容，但是现在要拿来面对班学生进行教学，无疑在内容上要进行简化，在教学上要进行细化，不然的话就不能达到教学目标。
本册的重叠问题是日常生活中应用比较广泛的数学知识。
集合思想是最基本的数学思想。
从学生一开始学习数学，就已经在运用集合的思想了。
如，我们学过的分类思想和方法实际上就是集合理论的基础。
集合是比较系统、抽象的数学思想方法，针对三年级学生的认知水平，在这里只是让学生通过生活中容易理解的题材去初步体会集合思想，为后继学习打下必要的基础。
【教学理念】数学源于生活，从学生熟悉的生活事例引入，既可以激发学生的学习兴趣，产生亲切感；也可以使学生认识到现实生活中蕴含丰富的数学问题，体验数学的应用价值，进一步感受数学与生活的联系。
本节课我结合实际，使学生初步体会集合这种数学思想方法，调动学生已有的经验，借助学生熟悉的题材学习集合的有关思想方法，帮助学生理解并掌握利用直观图解决问题的策略。
本课的难点是帮助学生理解为什么要减去重复数，我利用图示法帮助学生建立数学模型，更好地解决问题。
选择了学生熟悉的教学素材，利用画图的方式让学生初步明白了，重叠后总数的计算和以往有所不同。
【教学目标】1、理解重叠问题各部分之间的关系，正确解答重叠现象中的相关数量。
2、经历活动过程，在猜想、验证、思考、交流等探究活动中发展学生的探究意识与探究能力；3、在探究生活中的重叠问题过程中，体验到数学与生活的联系，感悟到数学价值的。
【教学重难点】重点：理解并掌握利用直观图解决问题的策略。
难点：体会集合的数学思想。
【教学过程】一、课前交流师：昨天和语文老师商量要对班上近期表现好的孩子进行奖励，结果语文老师挑了7名同学，数学老师挑了5名同学，请问这次获奖的同学有几个？生答：12名师：请列式，老师提出表扬，并统计是这样做的同学有哪些？继续问，想不想知道是哪些同学获奖了？生：想。
2023-2024学年四年级下学期数学智慧广场——重叠问题(教案)
20232024学年四年级下学期数学智慧广场——重叠问题（教案）作为一名经验丰富的教师，我深知教学的重要性，下面是我为四年级下学期数学智慧广场——重叠问题所准备的教案。
一、教学内容本节课的教学内容选自教材第四章第二节“重叠问题”。
我们将通过实际例题，让学生理解重叠问题的概念，学会如何用图示和数学语言描述重叠问题，以及如何运用基本的数学运算解决重叠问题。
二、教学目标1. 学生能够理解重叠问题的概念，认识重叠问题中的交集和并集。
2. 学生能够用图示和数学语言描述重叠问题。
3. 学生能够运用基本的数学运算解决重叠问题。
4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：如何引导学生理解重叠问题的本质，以及如何运用数学运算解决重叠问题。
2. 教学重点：让学生通过实际例题，掌握解决重叠问题的方法和技巧。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。
2. 学具：练习本、笔、彩色粉笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过一个实际生活中的例子，比如学校运动会上的跳远和跳高比赛，引入重叠问题的概念。
2. 讲解重叠问题的定义和性质：用图示和数学语言解释重叠问题，让学生理解交集和并集的概念。
3. 例题讲解：通过具体的例题，讲解如何解决重叠问题。
4. 随堂练习：让学生通过练习，巩固所学知识。
5. 作业布置：布置一些有关重叠问题的题目，让学生课后巩固所学。
六、板书设计板书设计将包括重叠问题的定义、交集和并集的概念，以及解决重叠问题的方法和技巧。
七、作业设计1. 题目：小明有20个糖果，他给了小红一些糖果后，还剩下10个糖果。
请问小明给了小红多少个糖果？答案：小明给了小红10个糖果。
2. 题目：在一次数学测试中，班级里有30名学生及格，其中15名学生得了满分。
请问有多少名学生没有得满分？答案：有15名学生没有得满分。
八、课后反思及拓展延伸课后，我将反思本节课的教学效果，观察学生对重叠问题的理解和掌握程度，对教学方法和内容进行调整，以提高教学效果。
重叠问题(教案)2023-2024学年数学四年级下册
教案：重叠问题年级：四年级学科：数学教学目标：1. 让学生理解重叠问题的概念和意义。
2. 培养学生运用重叠问题的方法解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。
教学重点：1. 重叠问题的概念和意义。
2. 重叠问题的解决方法。
教学难点：1. 重叠问题的理解和应用。
2. 解决重叠问题的逻辑思维和抽象思维能力。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 重叠问题的练习题。
教学过程：一、导入1. 引入重叠问题的概念，通过图片或实物展示重叠现象。
2. 引导学生观察和思考重叠问题，提出问题并引导学生进行讨论。
二、新课导入1. 讲解重叠问题的概念和意义，通过示例进行解释和说明。
2. 讲解重叠问题的解决方法，通过示例进行解释和说明。
3. 引导学生进行练习，解决重叠问题。
三、巩固练习1. 布置练习题，让学生独立完成。
2. 引导学生进行练习，解决重叠问题。
3. 对学生的练习进行评讲和指导。
四、总结和拓展1. 对重叠问题的概念和解决方法进行总结。
2. 引导学生思考重叠问题在实际生活中的应用。
3. 提供一些拓展性的问题和练习，让学生进行思考和解决。
五、作业布置1. 布置一些重叠问题的练习题，让学生回家进行练习。
2. 要求学生在练习中运用所学的重叠问题的解决方法。
教学反思：本节课通过引入重叠问题的概念和意义，讲解重叠问题的解决方法，并进行练习和巩固，使学生能够理解和掌握重叠问题的解决方法。
在教学过程中，要注意引导学生进行观察和思考，培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。
同时，要注重练习和巩固，提高学生的实际应用能力。
在今后的教学中，可以进一步拓展重叠问题的内容和应用，提高学生的数学素养。
重点关注的细节：重叠问题的解决方法在重叠问题的教学中，解决方法是学生能否成功应用知识解决实际问题的关键。
因此，教师需要详细补充和说明重叠问题的解决方法，以便学生能够理解和掌握。
一、重叠问题的分类重叠问题主要分为两种类型：集合重叠和图形重叠。
四年级奥数第18讲重叠问题(教师版)
图中 圆不含阴影的部分表示只学画画的人,有： (人),
图中 圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人,有： (人)．
2、科技活动小组有 人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中,老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有 人,制作好一艘舰艇的同学有 人．每个同学都至少完成了一项制作．问两项制作都完成的同学有多少人?
【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分,
所以,由包含排除法知,焊接后这根铁条长 (厘米)．
例2、两张长 厘米,宽 厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上,覆盖面积有多少平方厘米?
【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分),
重叠部分恰好是边长为 厘米的正方形,
如果利用两个 的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积,
【解析】阴影部分是有两块重叠的部分,被计算两次,
而三张纸重叠部分是被计算了三次．
所以三张纸重叠部分的面积 (平方厘米)．
5、四年级科技活动组共有 人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中,老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有 人,装配好一架飞机模型的同学有 人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人?
本节课我学到了
我需要努力的地方是
【解析】如图,用长方形表示全班人数,
圆表示会游泳的人数, 圆表示会打篮球的人数,长方形中阴影部分表示两项都不会的人数．
由图中可以看出,全班人数 至少会一项的人数 两项都不会的人数,至少会一项的人数为： (人),全班人数为： (人)．
例3、在 人参加的采摘活动中,只采了樱桃的有 人,既采了樱桃又采了杏的有 人,既没采樱桃又没采杏的有 人,问：只采了杏的有多少人?
10.1.重叠问题(教案)2023-2024学年数学四年级上册-北京版
10.1.重叠问题（教案）20232024学年数学四年级上册北京版今天，我们来学习的是四年级上册的数学问题——重叠问题。
这个问题在我们的日常生活中非常常见，比如我们要安排时间，或者分配资源时，就需要考虑到重叠的问题。
我要给大家讲解的是重叠问题的基本概念和解决方法。
这部分的内容主要来自于北京版的四年级上册数学教材第10章第1节。
我会通过具体的例题来让大家理解重叠问题的本质。
在教学的过程中，我会重点讲解重叠问题的解题方法，这将是我们的难点和重点。
我会通过具体的例题来让大家理解并掌握这个方法。
为了让大家更好地理解重叠问题，我会准备一些教具和学具，比如图片、卡片等。
同时，我也会让大家通过小组讨论和上台演示的方式来加深对重叠问题的理解。
对于作业的设计，我会让大家完成一些关于重叠问题的练习题。
这些题目将帮助大家巩固所学的内容，并且能够灵活运用到实际问题中。
在课后，我会进行反思和拓展延伸。
我会想一想，本节课的教学是否达到了预期的效果，学生们是否掌握了重叠问题的解题方法。
同时，我也会找一些相关的资料，为大家的拓展学习提供更多的信息。
这就是我对于重叠问题的教学计划。
希望大家能够通过本节课的学习，掌握重叠问题的解题方法，并且能够灵活运用到实际问题中。
重点和难点解析：在上述教案中，有几个重要的细节是需要我们重点关注的。
对于教学内容的引入和实践情景的结合，这是让学生产生共鸣和兴趣的关键。
对于教学目标的设定，我们需要明确知道我们的教学目标是什么，才能更好地引导学生达到预期的学习效果。
再次，对于教学过程的设计，我们需要尽可能地让学生参与到课堂中来，通过各种方式来加深对重叠问题的理解。
对于作业的设计，我们需要设计一些有挑战性但又能够让学生通过思考和练习掌握知识点的题目。
对于这些重点细节，我想进行一些补充和说明。
关于教学内容的引入和实践情景的结合。
在引入重叠问题的概念时，我使用了“安排时间”和“分配资源”的实践情景。
这是因为，重叠问题在我们的日常生活中非常常见，通过这些实践情景的引入，学生们能够更好地理解和接受重叠问题的概念。
重叠问题(教案)-2022-2023学年数学四年级下册
重叠问题（教案）-2022-2023学年数学四年级下册教学目标：1.了解重叠问题的概念，并能通过简单的画图和计算进行解决。
2.能够应用重叠问题的解决方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和数学运算技能。
教学重点：1.学生能够理解和掌握重叠问题的基本概念。
2.学生能够通过画图和计算解决简单的重叠问题。
教学难点：1.学生能够将抽象的概念转化为具体的图形，进行计算和解决问题。
2.学生能够应用所学的知识解决实际问题。
教学内容：一、重叠问题的概念及基本原理1.引导学生通过实际例子感知重叠问题的存在和实际意义。
2.通过简单的图形、图片让学生了解重叠问题的定义和基本原理。
二、重叠问题的解决方法1.教师通过画图和简单的计算方式讲解解决重叠问题的基本方法，例如：我们可以通过计算两个图形的面积之和减去重叠部分的面积，来计算两个图形不重叠时的总面积。
2.通过课堂练习让学生掌握相关的计算方法和技巧，例如：计算重叠部分的面积时，我们需要找到两个图形之间的公共部分，通过几何图形的知识，可以找到该部分的面积，并进行减法运算。
3.在讲解的过程中，需要贯穿实际的例子，让学生更好地理解和认知重叠问题。
三、应用练习1.给学生提供一些实际问题，让他们应用所学的知识解决问题。
2.练习的过程中，可以适当加入竞赛和小组活动，调动学生的积极性。
教学方法：1.课堂授课与演示相结合2.课堂互动与小组讨论相结合3.课堂实践与个案辅导相结合教学资源：1.短视频教学资料2.数学综合教材3.练习题教学评估：1.考试成绩评价2.课堂小测试评价3.个人作业评价教学反思：1.课堂授课过程中需要注意学生的情况，及时调整教学方法和内容。
2.饬令提高课堂互动性，让学生积极参与到教学中来。
3.综合评估学生的学习情况，提高教学质量，为学生提供更好的教育服务。
《重叠问题》教案
-解决实际问题时的策略选择：学生在解决具体问题时，可能会面临多种解决策略，如何引导学生选择合适的策略解决问题是教学难点。
举例解释：
-在讲解集合的抽象概念时，教师可以通过展示具体的物品或学生分组，让学生将抽象的集合概念与具体的事物联系起来，降低理解难度。
在实践活动和小组讨论中，学生们表现得相当活跃，能够积极参与讨论和实验操作。但在实验操作过程中，我发现有些小组在绘制韦恩图时遇到了困难。针对这个问题，我计划在接下来的课程中增加一些针对性的练习，让学生们有更多的机会去实践和掌握韦恩图的绘制方法。
另外，在小组讨论环节，学生们对于重叠问题在实际生活中的应用提出了很多有趣的观点，这让我感到很欣慰。但在讨论过程中，我也注意到有些学生发言不够积极，可能是由于对讨论主题不够自信。在今后的教学中，我会鼓励更多的学生发表自己的看法，培养他们的自信心和表达能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解重叠问题的基本概念。重叠问题是指在某些情况下，两个或多个集合之间存在共同元素的问题。它是帮助我们理解和解决集合交集、并集问题的关键。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们班有30人，其中10人参加了篮球社，15人参加了乒乓球社，有5人同时参加了两个社团。这个案例展示了重叠问题在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“重叠问题在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
重叠问题(教案)青岛版四年级下册数学
标题：重叠问题（教案）青岛版四年级下册数学一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握重叠问题的概念，学会用集合图和列表法表示重叠问题，并能运用这些方法解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的观察能力、操作能力和团队合作能力，提高学生解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生积极思考、勇于探究的良好习惯，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
二、教学重点与难点1. 教学重点：掌握重叠问题的概念，学会用集合图和列表法表示重叠问题。
2. 教学难点：运用集合图和列表法解决实际问题，理解重叠问题的本质。
三、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，如参加篮球和足球兴趣小组的学生，引出重叠问题的概念。
2. 新课：讲解重叠问题的概念，引导学生用集合图和列表法表示重叠问题，并通过实例让学生了解重叠问题的应用。
3. 练习：设计不同层次的练习题，让学生独立或合作完成，巩固所学知识。
4. 小结：总结本节课的主要内容，强调重叠问题的概念和解决方法。
5. 作业：布置适当的作业，让学生回家后自主完成，巩固所学知识。
四、教学反思1. 教师在教学中要注意观察学生的反应，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够理解和掌握重叠问题的概念和解决方法。
2. 在练习环节，教师要关注学生的完成情况，对有困难的学生给予个别指导，确保每个学生都能跟上教学进度。
3. 教师要注重培养学生的团队合作能力，鼓励学生在解决问题时相互讨论、交流，共同提高。
4. 教师要关注学生的情感态度与价值观的培养，激发学生对数学学习的兴趣，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
总之，本节课的教学要注重学生的参与和实践，通过观察、操作、交流等活动，使学生理解和掌握重叠问题的概念和解决方法，培养学生的数学素养。
重点关注的细节是“教学过程”部分，尤其是新课的讲解和练习环节。
这部分是学生理解和掌握重叠问题概念和解决方法的关键环节，需要教师精心设计和实施。
重叠问题(教案)四年级上册奥数人教版
教案：重叠问题年级：四年级上册教材：奥数人教版教学目标：1. 让学生理解重叠问题的概念，能够识别和解决重叠问题。
2. 培养学生的观察能力、分析能力和逻辑思维能力。
3. 培养学生运用重叠问题的方法解决实际问题的能力。
教学重点：1. 理解重叠问题的概念和解决方法。
2. 解决重叠问题的实际应用。
教学难点：1. 重叠问题的解决方法的理解和运用。
2. 解决实际问题中的重叠问题。
教学准备：1. 教学课件或黑板、粉笔。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生观察教室里的物品，如书本、文具等，让学生发现重叠现象。
2. 提问：你们在生活中还见过哪些重叠现象？让学生举例并说明。
二、新课导入（10分钟）1. 引入重叠问题的概念，解释重叠问题是指在图形、物体或数据中存在部分相同或重复的情况。
2. 通过举例，让学生理解重叠问题的含义和特点。
三、解决重叠问题的方法（15分钟）1. 介绍解决重叠问题的方法，如排除法、画图法、列表法等。
2. 通过具体的例子，引导学生运用这些方法解决重叠问题。
四、实际应用（10分钟）1. 提供一些实际问题，让学生运用重叠问题的方法解决。
2. 引导学生观察、分析和解决实际问题，培养学生的应用能力。
五、巩固练习（10分钟）1. 提供一些练习题，让学生独立完成。
2. 引导学生分析和解决练习题，巩固所学知识。
六、总结和拓展（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结，让学生明确重叠问题的概念和解决方法。
2. 提供一些拓展问题，让学生思考和探索。
教学反思：本节课通过引入生活中的重叠现象，让学生理解重叠问题的概念和解决方法。
在教学过程中，注重培养学生的观察能力、分析能力和逻辑思维能力。
通过实际问题的解决，让学生将所学知识运用到实际中，培养学生的应用能力。
在巩固练习环节，提供一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
最后，通过总结和拓展，让学生对重叠问题有更深入的理解和思考。
需要重点关注的细节是“解决重叠问题的方法”。
第18讲-重叠问题(1)(习题导学案教案)(奥数实战演练习题)
学员编号：
年级：四年级
课时数：3
学员姓名：
辅导科目：数学
学科教师：
授课主题
第18讲-重叠问题
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
1了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容
2掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、两量重叠问题
【解析】根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：(人)．
2、某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有人，参加军棋比赛的有人，有人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？
【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，
重叠部分恰好是边长为厘米的正方形，
如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，
【解析】阴影部分是有两块重叠的部分，被计算两次，
而三张纸重叠部分是被计算了三次．
所以三张纸重叠部分的面积(平方厘米)．
5、四年级科技活动组共有人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有人，装配好一架飞机模型的同学有人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？
【解析】因，，
所以必有人同时完成了这两项活动．
由于每个同学都至少完成了一项活动，
根据包含排除法知，(完成了两项活动的人数)全组人数，
即(完成了两项活动的人数)．
由减法运算法则知，完成两项活动的人数为(人)．（也可画图分析）
1、(第二届小学迎春杯数学竞赛)有位旅客，其中有人既不懂英语又不懂俄语，有人懂英语，人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？
《重叠问题》说课稿(通用3篇)
《重叠问题》说课稿（通用3篇）在教学工作者实际的教学活动中，常常要写一份优秀的说课稿，借助说课稿可以提高教学质量，取得良好的教学效果。
那么优秀的说课稿是什么样的呢？下面是作者为大家收集的《重叠问题》说课稿（通用3篇），欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《重叠问题》说课稿1我说课的内容是：人教版义务教育课程标准实验教科书三年级《数学》下册第108页的数学广角例1，也就是重叠问题。
我先说说对教材的理解和认识。
一、说教材1、数学广角是新课程增设的内容，也是新教材的一大特色，其实它是属于小学奥数的一个教学内容，但是现在要拿来面对班学生进行教学，无疑在内容上要进行简化，在教学上要进行细化，不然的话就不能达到教学目标。
这节课的重叠问题是日常生活中应用比较广泛的数学知识。
集合的知识体系集合是比较系统、抽象的数学思想方法，是数学中最基本的思想。
从学生一开始学习数学，其实就已经在运用集合思想方法了，所以对集合有一定的生活经验和知识基础。
但还没有抽象成集合的思想。
而以后学习的平面图形之间的关系都要用到集合的思想，如，把一堆图形分类，需要一定的标准，这种分类思想就是集合理论的基础，所以集合的重要性由此可见一斑。
但这些都只是单独的一个集合圈。
本节课教材例1借助学生熟悉的题材，渗透了集合的有关思想，并利用直观图的方式求出两个小组的总人数。
教学要使学生理解用直观图（集合圈）表示“重叠现象”的方法，了解到直观图各部分的意义，特别是重叠部分（交集）的意义，掌握根据直观图列式计算总数（两个集合的并集）的方法。
对于三年级学生来说，学习这部分内容，思维力度较强，有一定的挑战性。
2、说教学目标结合本课的教材内容和三年级学生认知水平，我制定了如下目标：知识与技能：使学生借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的重叠问题，并能用数学语言表述。
过程与方法：使学生感知集合图的产生过程，初步培养学生的建模意识和能力，渗透多种方法解决问题的意识。
四年级上册数学教案-《重叠问题》 ︳青岛版
《重叠问题》教学设计教学内容：教学目标：1．让学生通过独立思考，小组交流与汇报等活动，认识韦恩图，理解“韦恩图”中每部分的含义，并能运用数学语言进行描述。
2．让学生能初步利用集合的思想方法，解决简单的实际问题。
3．让学生养成善于思考的良好习惯，体会数学的严谨，感受数学与生活的联系，提高学习数学的兴趣。
教学重点：理解“韦恩图”中每部分的含义，能初步利用集合的思想方法，解决简单的实际问题。
教学难点：理解“韦恩图”中每部分的含义。
教学准备：多媒体课件、集合圈、练习题纸。
教学过程：一、课前谈话：1．师：今天我们来到大家上课，在这么多老师的面前展示自己，开心吗？生齐答：开心。
师：你们紧张吗？生齐答：有点紧张。
师：老师也有一点紧张，不过没关系，我们就当今天我们面对是一次挑战，你们有没有信心？生齐答：有。
师：好，那等下汇报时，请你大声一点，让全教室的人都能听见你的声音好吗？2．师：老师知道我们306班的孩子有很多兴趣爱好，你喜欢什么？几个学生汇报。
师：老师调查一下：喜欢XX的同学请举手，喜欢XX的同学请举手，我看到有人举了两次手，你来说说。
引出“喜欢”，“只喜欢”，“既……又…”二、创设情景，导入新课。
1．师创设情景：这一段时间同学们的表现都不错，有一些同学被评为了我们306班的“合作之星”、“倾听之星”。
这节课，我们班哪些同学将又会有谁被评为“合作之星”、“倾听之星”呢？老师看到XX现在……（组织教学）。
2．师介绍：被评为“合作之星”的有6人，他们是……（课件出示“表扬信”名单），被评为“倾听之星”的有8人，他们是……（课件出示名单），共有14人（在黑板左上角板书“14”）。
下面，请被评为“合作之星”的6位同学站到我的右手边，被评为“倾听之星”的8位同学站到我的左手边来。
学生自己站队。
师：好像还差人啊，是不是还有同学没上来？学生发现问题：不差人，因为徐怡馨、薛怿昂既被评为了“合作之星”，又被评为了“倾听之星”，重复了。
2023-2024学年四年级下学期数学智慧广场——重叠问题(教案)
2023-2024学年四年级下学期数学智慧广场——重叠问题（教案）一、教学目标1. 让学生理解重叠问题的概念，掌握解决重叠问题的方法。
2. 培养学生运用重叠问题的方法解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作交流、动手操作的能力。
二、教学内容1. 重叠问题的概念2. 解决重叠问题的方法3. 重叠问题的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：掌握解决重叠问题的方法。
2. 教学难点：运用重叠问题的方法解决实际问题。
四、教学过程1. 导入：通过生活中的实例导入重叠问题，激发学生的学习兴趣。
2. 新课：讲解重叠问题的概念，让学生明确什么是重叠问题。
3. 方法指导：讲解解决重叠问题的方法，让学生掌握如何解决重叠问题。
4. 实践操作：让学生分组进行实践操作，运用重叠问题的方法解决实际问题。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重叠问题的应用。
6. 作业布置：布置与重叠问题相关的作业，巩固所学知识。
五、教学评价1. 学生能理解重叠问题的概念，掌握解决重叠问题的方法。
2. 学生能运用重叠问题的方法解决实际问题。
3. 学生在实践操作中表现出合作交流、动手操作的能力。
六、教学反思本节课通过讲解重叠问题的概念、方法及应用，让学生掌握了解决重叠问题的方法。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时进行指导与总结。
同时，要加强学生的实践操作能力，培养学生的合作交流意识。
附件：教学课件、实践操作材料重点关注的细节：教学过程详细补充和说明：一、导入在导入环节，教师可以通过生活中的实例来引出重叠问题。
例如，可以展示一张图片，图片中有两个重叠的圆形，让学生观察并思考这两个圆形的重叠部分。
通过这种方式，可以激发学生的学习兴趣，让他们对重叠问题产生好奇心。
二、新课在新课环节，教师需要详细讲解重叠问题的概念。
可以通过一些简单的例子来说明重叠问题，例如，可以让学生想象一下，如果有两个集合A和B，它们之间有一些元素是相同的，这些相同的元素就是重叠部分。
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A CB
【解析】因为 40 32 72， 72 55 ，所以必有人两项制作都完成了． 由于每个同学都至少完成了一项制作，根据包含排除法可知： 全组人数 40 32 完成了两项制作的人数， 即 55 72 完成了两项制作的人数． 所以，完成了两项制作的人数为： 72 55 17 (人)．
于是，被覆盖面积 422 22 12 (平方厘米)．
例 3、三个面积均为 50 平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10 平方厘米．三个 纸片盖住桌面的总面积是100 厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？
A
B
10
C
【解析】将图中的三个圆标上 A 、 B 、 C ．根据包含排除法， 三个纸片盖住桌面的总面积 ( A 圆面积 B 圆面积 C 圆面积）（ A 与 B 重合部分面积 A 与 C 重合部分面积 B 与 C 重合部分面积） 三个纸片共同重叠的面积， 得：100 （50 50 50）（A与 B 重合部分面积 A 与 C 重合部分面积 B 与 C 重合部分面积）10 ， 得到 A 、 B 、 C 三个圆两两重合面积之和为：160 100 60 平方厘米， 而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和， 即： 60 103 阴影部分面积， 则阴影部分面积为： 60 30 30 (平方厘米)．
由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和， 则至少采了一种的人数为： 46 6 40 (人)， 而至少采了一种的人数 只采了樱桃的人数 两种都采了的人数 只采了杏的人数， 所以，只采了杏的人数为： 40 18 7 15(人)． 例 4、育才小学画展上展出了许多幅画，其中有 16 幅画不是六年级的，有 15 幅画不是五年级的，五、六年级 共展出 25 幅画，其他年级的画共有多少幅？
乙 丙甲
A
B
【解析】通过 16 幅画不是六年级的可以知道，五年级和其他年级的画作数量之和是 16， 通过 15 幅画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是 15， 那也就是说五年级的画比六年级多 1 幅，我们还知道五、六年级共展出 25 幅画， 进而可以求出五年级画作有 13 幅，六年级画作有 12 幅， 那么就可以求出其他年级的画作共有 3 幅．
1．先包含—— A B 重叠部分 A B 计算了 2 次，多加了1 次；
2．再排除—— 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合 A、B 的并集 A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合 A、B 的元素个数，然后把加多起加来了，即次先的求重A叠部B分(意思是把减A去、．B 的一切元素都“包含”进
会两 游项 泳都 的会
A的
两项都不会的
会 打 篮 球 的
B
【解析】如图，用长方形表示全班人数， A 圆表示会游泳的人数， B 圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数．
由图中可以看出，全班人数 至少会一项的人数 两项都不会的人数，至少会一项的人数为： 20 25 10 35 (人)，全班人数为： 35 9 44 (人)．
知识梳理
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把 两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，
用式子可表示成： A B A B A B ，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理． 图示如下: A 表示小圆部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B ，即阴影面积． 图示如下: A 表示小圆部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B ，即阴影面积．
4 厘 米
2厘 米 图3
【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，
重叠部分恰好是边长为 2 厘米的正方形，
如果利用两个 4 2 的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，
那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，
而实际上这部分只需计算一次就可以了．
所以，被覆盖面积 长方形面积之和-重叠部分．
图中小圆表示 A 的元素的个数，中圆表示 B 的元素的个数， 大圆表示 的元素的个数．
1．先包含： A B C
重叠部分 A B 、B C 、C A 重叠了 2 次，多加了1 次．
2．再排除： A B C A B B C A C
重叠部分
重叠了 次，但是在进行
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来计帮算助时分都析被思减考掉．了．
例 3、在 46 人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18 人，既采了樱桃又采了杏的有 7 人，既没采樱桃又没采 杏的有 6 人，问：只采了杏的有多少人？
既采
A
樱桃 又采
B
杏的
既没采樱桃 又没采杏的
【解析】如图，用长方形表示全体采摘人员 46 人， A 圆表示采了樱桃的人数， B 圆表示采了杏的人数． 长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数．
3、五年级一班共有 36 人，每人参加一个兴趣小组，共有 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五个小组，若参加 A 组的有15 人，参加 B 组的人数仅次于 A 组，参加 C 组、 D 组的人数相同，参加 E 组的人数最少，只有 4 人．那么，参
加 B 组的有_______人． 【解析】参加 B ， C ， D 三组的总人数是 36 15 4 17 (人)， C ， D 每组至少 5 人， 当 C ， D 每组 6 人时， B 组为 5 人，不符合题意， 所以参加 B 组的有17 5 5 7 (人)．
考点三：图形中的重叠问题 例 1、把长 38 厘米和 53 厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长 4 厘米，焊接后这根铁条有多长？ 【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分， 所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长 38 53 4 87 (厘米)．
例 2、两张长 4 厘米，宽 2 厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？
P(Practice-Oriented)——实战演练
实战演练
➢ 课堂狙击 1、芳草地小学四年级有 58 人学钢琴， 43 人学画画， 37 人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别 有多少人？
AC B
【解析】如图， A 圆表示学画画的人， B 圆表示学钢琴的人， C 表示既学钢琴又学画画的人， 图中 A 圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有： 43 37 6 (人)， 图中 B 圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有： 58 37 21(人)．
3．再包含：
．
典例分析
考点一：两量重叠问题 例 1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有 28 人，参加数学兴趣小组的有 29 人，有12 人两个小组都 参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？
AC B
【解析】如图所示， A 圆表示参加语文兴趣小组的人， B 圆表示参加数学兴趣小组的人， A 与 B 重合的部分 C (阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中 A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣 小组的人，有 28 12 16(人)；图中 B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人， 有 29 12 17 (人)．
来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 C A B (意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题
A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和 A 类元素的个数 B 类元素个数 C 类元素个数 既是 A 类又是 B 类
的元素个数 既是 B 类又是 C 类的元素个数 既是 A 类又是 C 类的元素个数 同时是 A 类、 B 类、 C 类的元 素个数．用符号表示为： A B C A B C A B B C A C A B C ．图示如下：
学员编号： 学员姓名：
授课主题 授课类型 教学目标 授课日期及时段
学科教师辅导讲义
年 级：四年级 辅导科目：数学
课 时 数：3 学科教师：
第 18 讲-重叠问题
T 同步课堂
P 实战演练
① 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 ② 掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用
S 归纳总结
T（Textbook-Based）——同步课堂
那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，
考点二：三量重叠问题 例 1、全班有 25 个学生，其中17 人会骑自行车，13 人会游泳， 8 人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至 少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有 6 个人数学不及格，那么， （1） 数学成绩优秀的有几个学生？ （2）有几个人既会游泳，又会滑冰？ 【解析】（1）有 6 个数学不及格，那么及格的有： 25 6 19 (人)， 即最多不会超过19 人会这三项运动之一． 而又因为没人全会这三项运动，那么， 最少也会有：（17 13 8） 2 19 (人)至少会这三项运动之一． 于是，至少会三项运动之一的只能是19 人， 而这19 人又不是优秀，说明全班 25 人中除了19 人外，剩下的 6 名不及格， 所以没有数学成绩优秀的． （2）上面分析可知，及格的19 人中，每人都会两项运动； 会骑车的一定有一部分会游泳，一部分会滑冰； 会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰， 而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳， 但既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车．所以， 全班有19 17 2 (人)既会游泳又会滑冰．
4、如下图，一张长 8 厘米，宽 6 厘米，另一个正方形边长为 6 厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为 4 厘米 的正方形，求这个组合图形的面积．86 Nhomakorabea4