流体力学第三章流体运动学与动力学基础

第三章流体运动学与动力学基础主要内容●基本概念●欧拉运动微分方程●连续性方程——质量守恒*●伯努利方程——能量守恒** 重点●动量方程——动量守恒** 难点●方程的应用第一节研究流体运动的两种方法●流体质点：物理点。

是构成连续介质的流体的基本单位，宏观上无穷小（体积非常微小，其几何尺寸可忽略），微观上无穷大（包含许许多多的流体分子，体现了许多流体分子的统计学特性）。

●空间点：几何点，表示空间位置。

流体质点是流体的组成部分，在运动时，一个质点在某一瞬时占据一定的空间点（x，y，z）上，具有一定的速度、压力、密度、温度等标志其状态的运动参数。

拉格朗日法以流体质点为研究对象，而欧拉法以空间点为研究对象。

一、拉格朗日法（跟踪法、质点法）Lagrangian method1、定义：以运动着的流体质点为研究对象，跟踪观察个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变化规律，然后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律。

2、拉格朗日变数：取t=t0时，以每个质点的空间坐标位置为（a，b，c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。

3、方程：设任意时刻t，质点坐标为(x，y，z) ，则：x = x(a,b,c,t)y = y(a,b,c,t)z = z(a,b,c,t)4、适用情况：流体的振动和波动问题。

5、优点：可以描述各个质点在不同时间参量变化，研究流体运动轨迹上各流动参量的变化。

缺点：不便于研究整个流场的特性。

二、欧拉法（站岗法、流场法）Eulerian method1、定义：以流场内的空间点为研究对象，研究质点经过空间点时运动参数随时间的变化规律，把足够多的空间点综合起来得出整个流场的运动规律。

2、欧拉变数：空间坐标（x ，y ，z ）称为欧拉变数。

3、方程：因为欧拉法是描写流场内不同位置的质点的流动参量随时间的变化，则流动参量应是空间坐标和时间的函数。

位置： x = x(x,y,z,t) y = y(x,y,z,t) z = z(x,y,z,t) 速度： u x =u x （x,y,z,t ） u y =u y （x,y,z,t ） u z =u z （x,y,z,t ）同理： p =p （x,y,z,t ） ，ρ=ρ(x,y,z,t) 说明： x 、y 、z 也是时间t 的函数。

加速度：z uu y u u x u u t u a x z x y x x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=z u u yu u xu u tu a y zy yy xy y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=z u u y u u x u u t u a z z z y z x z z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=全加速度＝当地加速度＋迁移加速度当地加速度：在一定位置上，流体质点速度随时间的变化率。

迁移加速度：流体质点所在的空间位置的变化而引起的速度变化率。

说明：两种方法具有互换性。

但由于欧拉法较简单，且本书着重讨论流场的整体运动特性。

所以，采用欧拉法研究问题。

四、流场分类1、 三元流场：凡具有三个坐标自变量的流场称为三元流场（或三维流场）。

一般来说，速度是三个坐标自变量的函数：V =V (x,y,z,t) 2、二元流场：凡具有两个坐标自变量的流场。

3、一元流场：具有一个坐标自变量的流场。

管截面A=A(l )，若人们研究的是各截面上流动的平均物理参数，则它可以简化为一元流场B=B(l , t)。

ky x j xy i xy u 5421221+-=——二维流场第二节 流体运动的基本概念一、稳定流动和不稳定流动1、不稳定流动（非定常流场）：经过空间点流体质点运动参数的全部或者部分随时间而变化的流动。

（物理参数场与时间有关者）p =p （x,y,z,t ） u =u （x,y,z,t ）2、稳定流动（定常流场）：物理参数场与时间无关的流动。

p =p （x,y,z ） u =u （x,y,z ）z uu y u u x u u a x z x y x xx ∂∂+∂∂+∂∂=z u u yu u xu u a y zy yy x y ∂∂+∂∂+∂∂=z u u y u u x u u a z z z y z xz ∂∂+∂∂+∂∂=二、迹线和流线 1、迹线：（拉格朗日法）① 定义：流体质点在一段时间内运动所经过的路线。

② 迹线特点：每个质点都有一个运动轨迹，所以迹线是一簇曲线，且只随质点不同而异，与时间无关。

③ 迹线方程：可由“欧拉法”与“拉格朗日法”互换求出。

由欧拉法： u x =u x （x,y,z,t ） u y =u y （x,y,z,t ） u z =u z （x,y,z,t ）但dt dx u x =dt dy u y = dt dzu z =则——这就是迹线微分方程式。

2、流线：（欧拉法）① 定义：是某一瞬时流场中的一条曲线，该曲线上所有质点的速度矢量都和该曲线相切。

——表示流场在某一瞬时的流动方向 ② 流线的特性：不稳定流时，流线的空间方位形状随时间变化；稳定流时，流线的形状不随时间变化，并与迹线重合；流线是一条光滑曲线，既不能相交，也不能转折。

特例：点源、点汇、驻点、相切点③ 流线方程：证明：在M 点沿流线方向取有向微元长dS 设dS =idx +jdy +kdz ，M 点质点速度为u ， u =iu x +ju y +ku z因为 u //dS ， 所以 u ×dS =0则： z y xu dz u dy u dx == ——证毕。

④ 例题：已知：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=0z y x u t y u t x u 求：t ＝0 时，A （－1，1）点流线的方程。

解： t y dy t x dx +-=+积分：ln(x+t)=-ln(-y+t)+C → (x+t) (-y+t)=C` 当t ＝0时，x ＝－1，y ＝1，代入上式得： C`＝1 所以，过A （－1，1）点流线的方程为：xy ＝－1 ⑤ 流线的绘制方法：采用微元长切线方法 P 49三、流管、流束、总流1① 定义：在流场内画一条曲线，从曲线上每一点做流线，由许多流线围成的管子。

（人为引入的一个虚构空间） ② 特性：A. 流管内外无流体质点交换B. 稳定流时，流管形状不随时间而变 2、流束：充满在流管内部的流体微小流束：断面无穷小的流束——断面上各点运动要素相等。

3、 总流：无数微小流束的总和——所有问题都归于总流问题四、有效断面、流量和断面平均流速1、 有效断面（过流断面）：流束或总流上，垂直于流线的断面。

有效断面可以是曲面或平面2、流量：单位时间内流过有效断面的流体量。

它有三种表达方法：（a ）体积流量：单位时间内流过有效断面的流体体积 dQ ＝udA⎰=AudAQ 单位 m 3/s（b ）质量流量： Q M ρ= 单位 Kg/s （c ）重量流量： Q G γ= 单位 N/s3、断面平均流速V假想断面上各点流速相等，以V 表示，且其流量等于实际流速u 流过该断面的流量。

则：QudA vA A==⎰A Q AudA v A==⎰第三节 连续性方程流体的连续性方程是质量守恒定律的一个特殊形式，对于不同的液流情形，连续性方程有不同的表现形式。

质量守恒定律：对于空间固定的封闭曲面，dt 时间内流出的流体质量与流入的流体质量之差应等于封闭曲面内的流体质量的减少。

dt 时间内： 流出质量－流入质量＝减少量一、一元流动（管流）连续性方程即设同一截面上的物理量均匀，因此，前面引入了断面平均流速的概念。

1、 微小流束的连续性方程 有效断面1上：dA 1、u 1、ρ1 有效断面2上：dA2、u 2、ρ2dt 时间内：（侧面无液体流入或流出） 流出质量：ρ2 u 2 dA 2dt 流入质量：ρ1 u 1 dA 1dt稳定流动，dM ＝0，即 流出质量＝流入质量 ρ2 u 2 dA 2dt ＝ρ1 u 1 dA 1dt即： ρ1u 1 dA 1＝ρ2u 2 dA 2——可压缩流体沿微小流束稳定流的连续性方程。

2、总流的连续性方程22211121dA u dA u A A ρρ⎰⎰=均匀管流： 22211121dA u dA u A A ⎰⎰=ρρ即2211Q Q ρρ= 或 222111A V A V ρρ=——可压缩流体稳定流沿总流的连续性方程：沿流程的质量流量保持不变。

对于不可压缩流体：ρ＝C或——不可压缩流体稳定流动总流的连续性方程：沿流程的体积流量保持不变。

分流与汇流2＝Q 3A 2，Q 2 二、空间运动的连续性方程本节介绍直角坐标中的连续性方程：微元分析法。

在流场中任取一微元六面体，其边长分别为dx ，dy ，dz ；a 点速度u 在三个方向的分量为u x ，u y ，u z 。

讨论分两个部分：● dt 时间内流出与流入微元体的质量之差Δm ● dt 时间前后，微元体内流体质量变化 m 1－m 21、dt 时间内流出与流入微元体的质量之差Δm x 方向：dt 时间内流入的质量：dt 时间内流出的质量：沿 x 轴方向流出和流入之差：1122m m m x-=∆同理可求：所以，dt 时间内流出与流入微元体的质量之差Δm为2、dt时间前后，微元体内流体质量变化m'∆（由于密度变化引起的）dt 时间前：dxdydz mρ=1dt3、据流体的连续流动和质量守恒：m m'∆=∆整理可得流体运动的连续性微分方程式：（1）4、公式说明：✓物理意义：单位时间内，流体流经单位体积的流出与流入之差与其内部质量变化的代数和为零。

✓（2）三、连续性方程的用途：1、反过来判断流场是否连续2、减少未知数，定义流函数、势函数3、求解复杂问题时，使方程封闭第四节 理想流体运动微分方程式及伯努利（Bernoulli ）方程一、理想流体运动微分方程式（Euler 方程）它表达了理想流体受力与运动之间的动力学关系。

公式推导在流场中取微元体如图。

中心点 a压力为 p速度为 u x ，u y ，u z 。

以 x 轴方向为例推导方程。

1、受力分析：（1）因为理想流体μ＝0，质量力为 Xdm ，则 单位质量流体受的质量力为：X（2）单位质量流体受的表面力（3所以，dt du x p X x=∂∂-ρ1同理：dt du y p Y y =∂∂-ρ1 dt du z p Z z=∂∂-ρ1——Euler 运动微分方程2、公式说明：（1）物理意义：作用在单位质量流体上的质量力与表面力之代数和等于加速度。

（2）适用条件：① 理想流体：无粘性、无能量消耗。

② 可压缩、不可压缩流体 ③ 稳定流、不稳定流（3）u x ＝u y ＝u z 时，得Euler 平衡微分方程 （4）方程可解性四个未知数u x ，u y ，u z ，p ，三个方程加一个连续性方程：可解。