截面法求内力讲解

解： 1. 确定支座反力
B Fx 0 MA 0
FBy
Fy 0
FAx 0 2FPa FPa FBy 3a 0 FAy FBy 2FP 0
FBy

FP 3
FAy

5FP 3
2FP FQE
A 5FP
C E ME
3
Fy 0
2FP
FQE

5FP 3

0
A
F
EC D
B
FQA 70kN FQDL 10kN FQB 50kN
FQC 10kN
FQDR 50kN
（3）作弯矩图
100 120 100 122.5
M 图（单位kN.m）
MA MB 0 MC 120 kN m
[例2]: 试绘制图示梁的内力图。
8kN·m
2kN/m
F Ky M KJ K
绘制内力图的步骤
(1)根据平衡方程求支座反力和中间连接力。 (2)采用截面法求控制截面的内力值。
控制截面：支承点、集中力/力偶作用点左右截面、分布荷载的起点及终点 (3)叠加法绘制弯矩图。
a.用截面法求两杆端弯矩，竖标顶点之间连一虚线 b.以该虚线为基线，叠加上简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图 (4)分段画剪力图和轴力图。在两杆端剪力/轴力之间连直线 (5)校核内力图
（1）计算梁的支座反力
((aa))
FF
Ax Ax
AA
FFF44PPP33===1CC11000000kkkNNN
BB
(a)
F Ax A
FF
Ay Ay
22mm43 C
22mm
B FF BByy
Fx 0 : FAx 60kN( ) MB 0: FAy 40kN()
Fy 0 : FBy 40kN()
M＝0
0 x a
0 x a
FQ M0 B
C M
FQ＝0 a x l
M＝M0 a x l
x q
A
B
l
ql
+
FQ图
1 ql 2 2
1 ql 2 8
M图
FQ q M
FQ＝qx 0 x l
B
M＝ 1 qx2 2
0 x l
x FP
A
l
l
(a x l)
x A FAy
M0
C
B
a l
b FBy
MA 0
Fy 0
FBy


M0 l
FAy

M0 l
M0 l
+
FQ图
M 0b l
M 0a l
M图
A M0 l
FQ
M
FQ
FQ

M0 l
M M M0 x
l
(0 x a) (0 x a)
B
FQ

M0 l
(a x l)
22
FP
M0
FP
FQ图
+
FP(l-a)
M图
M0
FP 内力图形状特征 M0
FPb l
+
FQ图 FPa
-
l
M0 l
+
M 0b l
M图
FP ab l
M 0a l
q
ql
+
1 ql 2 2
1 ql 2 8
q
ql 2
+ -
ql 2
ql 2 8
x
q=20kN/m
F Ax
A
C
FP=40kN DB
FAx 0 FAy 70kN() FBy 50kN()
F Ay 70 +
A
A
4m
2m 2m
F By
A
EC D
B 70
10 10 -
50 50
FQ
FQ图（单位kN）
M
F EC D B
q FQ FQ 70 20x
M 70x 10x2
M
40 B
FQ 10
50 M 160 Байду номын сангаас0x
(0 x 4) (0 x 4)
(4 x 6) (4 x 6)
100 120 100 122.5
M 图（单位kN.m）
FQ M
B
FQ 50 (6 x 8)
50 M 400 50x (6 x 8)
叠加法
条件：结构线弹性、小变形
荷载叠加法： 当结构上同时作用有许多荷载
时，先分别作出各荷载单独作用 下的内力图，再将各个内力图的 竖标相叠加（代数和），便得到 各荷载共同作用下的内力图。
80kN
m
(c)
F
CRMM
R CR C
CFQRC
B4400kkNN
（3）计算点C右截面的内力
C
M
R C
40kN FNRC 0 FQRC 40kN
M
R C

80 kN
m
内力图：表示结构上各截面的内力随横截面位置变化规律的图形。
列方程作内力图
FP x
A
Ca B
l
FP
+
FQ图 FP(l-a)
M JK J
F QJK
M JK J
F Jy1
lJK
J M JK
截面法
q
M JK
lJK
K
M KJ 受力等效
J
F QKJ
F Jy
荷载叠加
M JK
M KJ K
J
JJ
K
M JK
FKy1 FJy2
lJK
FKy2 F Jy
M KJ
K+
ql2 8
=J M JK
q M KJ
K
lJK q
ql2 lJK8
ql2 8
F Ky M KJM KJ KK
((bb)) (b)
6600FkkNNAy
2m
A
6044k00NkkNN A
CCMMMFFCLCCLLQQ2LLCCmFFF
L NLC NC
L NC
F By
((cc))
40kN FFACCRR
C CFFFQQQRRCCLC
BB
（2）计算点C左截面的内力
FNLC 60kN
FQLC 40kN
M
L C
FQE


FP 3
ME 0
ME

2FP

a 2

5F 3

3a 2

0
ME

3FP a 2
FQE FPa
D
B
ME E
FP
Fy 0
3
FQE FBy 0
FQE


FP 3
ME 0
M
E

FP a

FP 3

3a 2

0
ME

3FP a 2
例2 图示为在截面C处承受一斜向集中力的简支梁。试求截面 C处左、 右两截面的内力。
3m
3m
2m
2kN·m
4kN·m
4kN·m
+
4kN·m
1kN·m
6kN·m 4kN·m
1kN·m
= 2kN·m
[例3] 试画出该多跨梁的内力图。 5kN / m
先附属，后基本 10kN
A
BC
DE
F
4m
1m 2m 2m 1m 1m
11.25kN
3.75kN
10kN
5kN
11.25 （+）
FQ 图（kN）
（-）
8.75
5
5 （+）
（-） 5
10
M图（kN.m）
10
5
5
[例4]试作图示多跨静定梁的内力图。
10kN/m
60kN·m
12 40kN
34 10kN
52m 10m
10kN 56 20kN
FQ图 M图
40kN
10kN
60kN·m 5kN·m
10kN 20kN·m
5kN·m 20kN·m
分段－定点－连线－校核
[例1]: 试绘制图示简支梁的内力图。
F Ax F Ay
q=20kN/m A
4m
（1）计算梁的支座反力 FP=40kN
FAx 0
C DB
FAy 70kN() FBy 50kN()
2m 2m F By
70
（2）作剪力图
+ A
EC D
B
10 10 -
50 50 FQ图（单位kN）
截面法
剪力方程 弯矩方程
FQ FQ x M Mx
FQ B
M
FQ＝0
M＝0
0 x a
0 x a
FQ FP B
C M
FQ＝FP a x l
M＝ FP (x a) a x l
M图
M0 x
A
C
B a
l
FQ图 M0 M图
FQ B
M
FQ＝0
M 0 M M 0 (l x) (a x l)
l
l
x
A FAy
ql 2
+
q l
FQ图
ql 2 8
M图
B
MA 0
FBy

ql 2
FBy
Fy 0
FAy

ql 2
-
q FQ
FQ

ql 2

qx
(0 x l)
ql
A
2
ql
2
M
M ql x q x2
(0 x l)
平: 对留下部分写平衡方程求出内力的值
FQ(+)
FQ(+)
M(+)
M(+)
（1）平衡方程的正负和内力的正负是完全不同性质的两套符号系统。 （2）取简单部分作为隔离体，列平衡方程时，尽量使一个方程含有一个未知量
例1 求E截面内力
A FAx
FAy
2FP FPa
C
D
1.5a E
a
a
a
2. 用截面法研究内力
C
a
FAy
b l
FPb l
+
FP a
-
l FQ图
FPab M图
l
B FBy
A FPb
l
FQ
M
MA 0
Fy 0
FBy

FP a l
FAy

FPb l
FQ
FQ

FPb l
(0 x a)
M
M FPb x (0 x a)
l
B
FQ


FP a l
(a x l)
FPa M FPa (l x)
2FP FPa
AC
DB
a
a
a
2FP AC
DB
a
a
a
FPa
AC
DB
a
a
a
用分段叠加法绘弯矩图
对于直杆区段，用截面法求出该段两
端的截面弯矩后，将两个竖标的顶点以虚
FP
q
M 线相连，并以此为基线，再将该段作为简
A
J
lJK
K
B 支梁，作出简支梁在外荷载作用下的弯矩 图，叠加到基线上（弯矩竖标叠加），最
后所得图线就是实际的弯矩图。
受弯构件
M
M
梁：以弯曲变形为主的构件
纯弯曲
P/2
P/2
P
剪切和弯曲
静定梁的基本形式
(a)
简支梁
(b)
伸臂梁
(c)
悬臂梁
计算杆件内力的基本方法：截面法
m
A
m
l
M FN
FQ
FN(+)
FN(+)
切: 假想沿指定横截面将杆切开
B 留: 留下左半段或右半段，标注荷载和反力
代: 将抛掉部分对留下部分的作用用内力代替