专题三 第二讲 数列的综合应用
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一、选择题
1.(2011·安徽高考)若数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n ·(3n -2),则a 1+a 2+…+a 10=
( )
A .15
B .12
C .-12
D .-15
解析:a 1+a 2+…+a 10=-1+4-7+10+…+(-1)10·(3×10-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9·(3×9-2)+(-1)10·(3×10-2)]=3×5=15.
答案:A
2.向量v =(a n +1-a n 2,a 2n +12a n
),v 是直线y =x 的方向向量,a 1=5,则数列{a n }的前10项和为( )
A .50
B .100
C .150
D .200
解析:依题意得a 2n +12a n =a n +1-a n 2
,化简得a n +1=a n .又a 1=5,所以a n =5,数列{a n }的前10项和为5×10=50.
答案:A
3.等差数列{a n }中,a 1>0,公差d <0,S n 为其前n 项和,对任意自然数n ,若点(n ,S n )在以下4条曲线中的某一条上,则这条曲线应是( )
解析:∵S n =na 1+n (n -1)2d ,∴S n =d 2n 2+(a 1-d 2
)n ,又a 1>0,公差d <0,所以点(n ,S n )所在抛物线开口向下,对称轴在y 轴右侧.
答案:C
4.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧
(1-3a )x +10a ,x ≤6,a x -7, x >6.若数列{a n }满足a n =f (n )(n ∈N *),且{a n }是递减数列,则实数a 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫13,1
B.⎝⎛⎭⎫13,12
C.⎝⎛⎭⎫13,58
D.⎝⎛⎭⎫58,1
解析:∵f (n )=⎩⎪⎨⎪⎧
(1-3a )n +10a ,n ≤6,a n -7, n >6是递减数列, ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1-3a <0,0 f (6)>f (7), 即⎩⎪⎨⎪⎧ 1-3a <0,01,解得13 . 答案:C 二、填空题 5.(2011·北京高考)在等比数列{a n }中,若a 1=12 ,a 4=-4,则公比q =____________;|a 1|+|a 2|+…+|a n |=____________. 解析:设等比数列{a n }的公比为q ,则a 4=a 1q 3,代入数据解得q 3=-8,所以q =-2; 等比数列{|a n |}的公比为|q |=2,则|a n |= 12×2n -1,所以|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=12 (1+2+22+…+2n - 1) =12(2n -1)=2n -1-12 . 答案:-2 2n -1-12 6.设曲线y =x n + 1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,x n =________,令a n =lg x n ,则a 1+a 2+…+a 99的值为________. 解析:∵y =x n + 1, ∴y ′=(n +1)x n ,它在点(1,1)处的切线方程为y -1=(n +1)(x -1),它与x 轴交点的横坐标为 x n =1-1n +1=n n +1 . 由a n =lg x n ,得a n =lg n -lg(n +1), 于是a 1+a 2+…+a 99=lg1-lg2+lg2-lg3+…+lg99-lg100=lg1-lg100=0-2=-2. 答案:n n +1 -2 7.(2011·陕西高考)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边.使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为________(米). 解析:当放在最左侧坑时,路程和为2×(0+10+20+…+190);当放在左侧第2个坑时,路程和为2×(10+0+10+20+…+180)(减少了360米);当放在左侧第3个坑时,路程和为2×(20+10+0+10+20+…+170)(减少了680米);依次进行,显然当放在中间的第10、11个坑时,路程和最小,为2×(90+80+…+0+10+20+…+100)=2 000米. 答案:2 000 三、解答题 8.已知二次函数f (x )=x 2-2(10-3n )x +9n 2-61n +100(n ∈N *). (1)设函数y =f (x )的图像的顶点的横坐标构成数列{a n },求证:数列{a n }是等差数列; (2)在(1)的条件下,若数列{c n }满足c n =1+14n -252 +a n (n ∈N *),求数列{c n }中最大的项和最小的项. 解:(1)证明:y =f (x )的图像的顶点的横坐标为x =- b 2a =--2(10-3n )2 =10-3n ,∴a n =10-3n , ∴a n -a n -1=-3.∴{a n }是等差数列. (2)∵c n =1+14n -252+a n =1+14n -252+10-3n =1+22n -5 , 当n ≤2时, 22n -5<0,且c 1>c 2, 当n ≥3时,22n -5 >0且c n >c n +1. ∴{c n }中最小的项为c 2=-1,最大的项为c 3=3. 9.(2011·北京海淀)数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,且S n =S n -1+2n (n ≥2,n ∈N *). (1)求S n ; (2)是否存在等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 2=a 3,b 3=a 9?若存在,则求出数列{b n }的通项公式;若不存在,则说明理由. 解:(1)因为S n =S n -1+2n , 所以有S n -S n -1=2n 对n ≥2,n ∈N *成立. 即a n =2n 对n ≥2成立.又a 1=S 1=2×1, 所以a n =2n 对n ∈N *成立. 所以a n +1-a n =2对n ∈N *成立.所以{a n }是等差数列. 所以S n =a 1+a n 2 ·n =n 2+n ,n ∈N *. (2)存在.由(1)知a n =2n 对n ∈N *成立, 则a 3=6,a 9=18.又a 1=2, 所以由b 1=a 1,b 2=a 3,b 3=a 9,得b 2b 1=b 3b 2 =3.