第二章角动量分解

o
x
dx
x
解： 如图，距O点为x，长为dx的质元dm m 的质量 dm dx
其所受阻力矩
M xdmg
l dM x(dm g) mg L 1
l
x

0
xdx
2
mgL
o
dx x
三、质点角动量守恒定律
若外力对某个固定点O的力矩为零时，即 M 0 ， 则对同一固定点O的角动量不变，即 L L0
【补充例】质点的圆周运动 （对圆心的）角动量：
L
m
v
【补充例】 行星在绕太阳公转时的椭圆轨 道运动对定点（太阳）的角动量： L
大小： L mvr sin
L r p m(r v)
voBiblioteka rθ方向：垂直于轨道平面
【补充例】 一质量为m、长为L的均匀细棒， 可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转 动，已知细棒与桌面的摩擦因素为 ,求棒转动 时受到的摩擦力矩的大小。
2.何时M 为零？ a. F 0 b.力的作用线与轴相交 c.受到有心力作用
注意：
3.如果力 F 的方向始终指向一个固定点，则该力就称为
有心力，该固定点称为这个力的力心。 受到有心力作用的物体，相对于力心，其所受力矩为零。
【补充例】一质量为m的质点沿着一条空间曲线运 动，该曲线在直角坐标下的矢径为：
r a cost i b sint j
其中a、b、 皆为常数，求该质点对原点的角动量。
d r 解： v a sin t i b cos t j d r v dt a sin t i b cos tj
§2.3 角动量定理
力矩是通过分析引起转动状态改变的原因而引入的。 本部分通过研究力矩的时间累积效应，引进冲量矩的 概念，建立刻画与力矩的作用效果有关的质点运动 状态的另一描述量—角动量，推导出质点角动量定 理，并将之推广到质点系的一般情形，并考虑了重 要的力矩的时间累计效应为零这一特殊情形。作为 力学基本定理的总结，本部分扼要介绍对称性与守 恒律的问题。 本 §2.3 .1 质点角动量定理与角动量守恒定律 部 §2.3 .2 质点角动量定理与角动量守恒定律 分 内 §2.4 对称性与守恒定律 容
§2.3.1 质点的角动量定理 一、力矩 M 力对参考点O的力矩：
z
r
M r F
为力的作用点的位置矢量
x
O
r

P
F
y
方向由右手螺旋规则确定。
力矩大小：
M Fr sin
在直角坐标系中
r xi yj zk
F Fxi Fy j Fz k
2
M r F
L r mv
P x
1 2 L r m v b i gt j mgtj bmgtk 2
方向垂直于纸面向里
o r L r (mv) mr v (r v) 大小：L mvr sin mvr 方向：
d A B dA dB B A dt dt dt


r F M
v mv r F
dL M dt
质点对固定点O的角动量定理 在惯性参考系中，质点对固定参考点的角 动量在任意时刻的时间变化率等于质点在 该时刻所受合外力对该点的力矩。
二、质点的角动量、角动量定理 在惯性参考系中，一质点 的角动量 L
z
L r p r mv
p
r
为质点的位置矢量
方向由右手螺旋规则确定
大小： L pr sin 由矢量微商法则
x
O
r

P
y
得
dL dr d p pr dt dt dt
z
i j k j k i k i j
M r F x
k
i
j
P
x
i j y Fy k z Fz
O
y
( yFz zFy )i
M xi M y j M z k
Fx
( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
L (4i 3 j ) 6mj 24m k (Z轴正方向)
解：分析 L r mv, r 4i 3 j
0
x
思考：该时刻质点受到的对0点
利用
的力矩的大小和方向？
M r F
【补充例】 t=0时，质量为m的质点由 P点自由下落。 问：1. 在任意t时刻，质点所受的对原点O的力矩? 2.在任意t时刻，质点对原点O的角动量。 O b 解: 在任意t时刻 F mgj 1 2 r xi yj bi gt j v gt j 2 y 1 2 M r F ( bi gt j ) mgj bmg k
dt
L r mv
2 2 mab k mab cos t k mab sin t k
【补充例】质量为 m 的质点，某时刻的位置如图， y 速度为 v 6 j 受力为 F 2 j （4，3） 求：该时刻质点对 0点的角动量 L ？ （SI）
定义冲量矩：

tb
ta
b Mdt dL Lb La
a
角动量定理的另一形式 在惯性参考系中，质点所受合外力在其任一运动过程 中对任一固定点的冲量矩等于质点对该点的角动量在 该过程中的增量。
1. r 为物体相对于指定参考点的位矢，所以求物体所受 的力矩时必须先指明参考点，相对于不同的参考点，对 应的位矢 r 不同。物体所受的力矩不同。