2.2.2反证法(优秀课件)
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人教A版选修2-22.2.2反证法课件23张ppt优质课件PPT
一、问题情境 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”
你能对小华的判断说出理由吗？
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。
小华的理由：
我们可以把这种说理方法总结一下：
1．反证法 假设原命题______(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________，从而证明了__________，这种证明方法叫做反证法． 2．反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与________、____、____、____等矛盾．
A
B
C
P
证明：假设PB=PC。 在△ABP与△ACP中 AB=AC(已知） AP=AP（公共边） PB=PC（已知） ∴△ABP≌△ACP（S.S.S) ∴∠APB=∠APC(全等三角形对应边相等） 这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾，假设不成立. ∴PB≠PC
作业： 练习：学案中巩固提高 习题91页：A组
独立 作业
谢谢大家
0
（平行四边形对边平行）
证明：假设CD、BE互相平分
连结DE，故四边形BCED是平行四边形
∴BD∥CE
这与BD、CE交于点A矛盾
假设错误， ∴CD、BE不能互相平分
变式训练1 已知a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ca不大于零． 证明：假设ab＋bc＋ca>0， 因为a2＋b2＋c2≥0. 则(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)>0. 所以(a＋b＋c)2>0，即a＋b＋c≠0，这与a＋b＋c＝0矛盾，所以假设不成立，故ab＋bc＋ca≤0.
显然这与故事中的李树长满果子相矛盾。说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？
(vip免费)【数学】2.2.2《反证法》课件(人教A版选修2-2)
2.2.2 反证法
一般地，从要证明的结论出发，逐步
寻求推证过程中，使每一步结论成立的充
分条件，直至最后，把要证明的结论归结
为判定一个明显成立的条件（已知条件、
定理、定义、公理等）为止，这种证明的
方法叫做分析法．
特点：执果索因.
用框图表示分析法
得到一个明显
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
成立的结论
坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习 态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师 走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主 任王老师对我的成长起了很大引导作用，王 老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精 力，看重做事的过程而不重结果。每当学生 没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓 励学生注重学习的过程。”
曹杨二中高三(14)班学生
班级职务：学习委员
高考志愿：北京 大学中文系
高考成绩：语文121分数学146分
英语146分历史134分
综合28分总分
575分
(另有附加分10
分)
上海高考文科状元-结自己的成功经验，常方舟认为学习的高 效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚 上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动。 早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的睡 眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜 车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学 习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨 两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响 次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会 花太多时间做功课，常常是做完老师布置的 作业就算完。
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。
一般地，从要证明的结论出发，逐步
寻求推证过程中，使每一步结论成立的充
分条件，直至最后，把要证明的结论归结
为判定一个明显成立的条件（已知条件、
定理、定义、公理等）为止，这种证明的
方法叫做分析法．
特点：执果索因.
用框图表示分析法
得到一个明显
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
成立的结论
坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习 态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师 走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主 任王老师对我的成长起了很大引导作用，王 老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精 力，看重做事的过程而不重结果。每当学生 没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓 励学生注重学习的过程。”
曹杨二中高三(14)班学生
班级职务：学习委员
高考志愿：北京 大学中文系
高考成绩：语文121分数学146分
英语146分历史134分
综合28分总分
575分
(另有附加分10
分)
上海高考文科状元-结自己的成功经验，常方舟认为学习的高 效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚 上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动。 早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的睡 眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜 车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学 习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨 两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响 次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会 花太多时间做功课，常常是做完老师布置的 作业就算完。
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。
课件7：2.2.2 反证法
名师点评
证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命
题，即存在性和唯一性．本例用直接证法中的综合法证
明了存在性，反证法证明了唯一性．
跟踪训练
2．(1)证明：方程2x＝3有且只有一个根．
(2)证明：两条相交直线有且只有一个交点．
证明：(1)∵2x＝3，∴x＝log23.这说明方程有一个根．
下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的．
成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明
原命题
假设
________错误，从而证明了_________成立，这种证
明方法叫做反证法．
想一想
1.用反证法证明命题“若p，则q”时，为什么证出綈q假，
就说明“若p，则q”就真？
提示：“若p，则綈q”是“若p，则q”的否定，二者一真一
假，所以“若p，则綈q”为假从而说明“若p，则q”为真．
想一想
2.“反证法”与“证逆否命题”有什么主要区别？
提示：(1)两种证法的逻辑原理不同．“反证法”的原理是
命题与命题的否定一真一假，“证逆否命题”的原理是命
题与其逆否命题的等价性(即同真假)．
(2)两种证明的推理形式不同，证明逆否命题实际上就是
从结论的反面出发，推出条件的反面成立．而反证法一
般是假设结论的反面成立，然后通过推理导出矛盾．
2
4
4 2
4 2
2
即( λ－3) ＝λ( λ－4)⇔ λ －4λ＋9＝ λ －4λ⇔9＝0，
3
9
9
9
矛盾．所以对任意实数 λ，{an}不是等比数列．
设{an}，{bn}的公比分别为p，q(p≠q)．
∵a＝an－1·an＋1，b＝bn－1·bn＋1，
2.2.2--反证法 课件(人教A版选修2-2)
2（ n+1-1）<1+ 1 1 ... 1 2 n(nn*)
23
n
1 2
2
2( k k 1), k N *
k 2 k k k 1
1 1 1 1
23
n
2[( 1 0) ( 2 1) ( 3 2) ( n n 1)] 2 n.
例4、巳知：a、b、c∈ R ，求证：
P2 P3
…
成立的结论
复习
经过证明 的结论
思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个 数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱 取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同 前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 乙、丙三箱原有小球数
若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾, 故假设不成立，结论 a > b成立。
例2 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根。
证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2
则ax1 = b，ax2 = b ∴ ax1 = ax2 ∴ ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2）= 0 ∵ x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0 ∴a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 故假设不成立，结论成立。
a2 ab b2 a2 ac c2 a b c
同时 m a b c d 2 ab ab cd dc
∴1 < m < 2 即原式成立
例2已知a,b是实数，求证:
a+b
a
b
.
1 a b 1 a 1 b
课件9：2.2.2 反证法
这里所说的矛盾不是一味追求与原命题题设矛盾，还可 以是与已知公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相 矛盾等． (3)由反证法的定义可知反证法的一般步骤是： ①反设：否定结论，即假设命题结论不成立，即假设结 论的反面成立；②归谬：从假设出发，经过推理论证， 得出矛盾的结果；③由矛盾判断出假设不正确，从而肯 定原命题的结论正确.
n∈N*)
－1，n∈N*)
n任意
某个
所有的
某些
特例 至多有 1 个 至少有 2 个 至少有 1 个 至多有 0 个，即一个也没有
变式探究3 已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1， ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数． 证明：假设a≥0，b≥0，c≥0，d≥0. ∵a＋b＝c＋d＝1， ∴(a＋b)(c＋d)＝1， ∴ac＋bd＋bc＋ad＝1. 而ac＋bd＋bc＋ad＞ac＋bd＞1，与上式矛盾，
点评：(1)当一个命题的结论中含有“至多”“至少”等词语时， 宜用反证法来证明． (2)“至多”“至少”“都”等词语的否定形式如下表：
“至多”“至少”“都” 否定形式
等词语
至多有 n 个(即 x≤n，n∈ 至少有 n＋1 个(即 x＞n⇔
N*)
x≥n＋1，n∈N*)
至少有 n 个(即 x≥n，至多有 n－1 个(即 x＜x⇔x≤n
x
不
存在某个
x
成立
原结论词 都是 一定是 p 或 q p 且 q
反设词
不 都 不 一 定 綈 p 且綈 q 綈 p 或綈 q 是是
练习 用反证法证明“如果 a＞b，那么3 a＞3 b”， 假设的内容应是________．
【答案】3 a≤3 b
新视点·名师博客 1.对反证法概念的理解 (1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．第一个否定 是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果 否定”．反证法的主要依据是逻辑中的排中律，在证明 数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者 必居其一，不可能有第三种情形出现．
2.2.2反证法课件人教新课标2
活动与探究
1.反证法证明时常见的矛盾有哪些?
答:(1)与已知条件矛盾;(2)与假设矛盾;(3)与公认的事实矛盾;(4)与
数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾.
2.可用反证法证明的题型有哪些?
答:(1)一些基本命题、基本定理;
(2)易导出与已知矛盾的命题;
(3)“否定性”命题;
(4)“唯一性”命题;
的两个实根.
因为 α≠β,不妨设 α<β,又因为函数 f(x)在[a,b]上是增函数,
所以 f(α)<f(β).
这与假设 f(α)=0=f(β)矛盾,
所以方程 f(x)=0 在区间[a,b]上至多有一个实根.
方法点拨:“至多”“至少”问题,从正面处理,情况多而复杂,若用反
证法从反面处理会简化解决问题的过程.
设 α 和 β 相交于过点 A 的直线 c.
∵a⊥α,c⊂ α,∴a⊥c.
同理可得 b⊥c.
这样在平面 β 内,过点 A 就有两条直线垂直于 c,
这与平面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线矛盾,故假设
错误,
从而这样的直线 a 是唯一的.
2.2.2
问题导学
反证法
当堂检测
一
二
课前预习导学
课堂合作探索
辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.这个过程包括下面三
个步骤:
(1)反设——假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真;
(2)归谬——由“反设”作为条件,经过一系列正确的推理,得出矛盾;
(3)存真——由矛盾结果断定反设错误,从而肯定原结论成立.
即反证法的证明过程可以概括为:反设——归谬——存真.
一
二
课前预习导学
1.反证法证明时常见的矛盾有哪些?
答:(1)与已知条件矛盾;(2)与假设矛盾;(3)与公认的事实矛盾;(4)与
数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾.
2.可用反证法证明的题型有哪些?
答:(1)一些基本命题、基本定理;
(2)易导出与已知矛盾的命题;
(3)“否定性”命题;
(4)“唯一性”命题;
的两个实根.
因为 α≠β,不妨设 α<β,又因为函数 f(x)在[a,b]上是增函数,
所以 f(α)<f(β).
这与假设 f(α)=0=f(β)矛盾,
所以方程 f(x)=0 在区间[a,b]上至多有一个实根.
方法点拨:“至多”“至少”问题,从正面处理,情况多而复杂,若用反
证法从反面处理会简化解决问题的过程.
设 α 和 β 相交于过点 A 的直线 c.
∵a⊥α,c⊂ α,∴a⊥c.
同理可得 b⊥c.
这样在平面 β 内,过点 A 就有两条直线垂直于 c,
这与平面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线矛盾,故假设
错误,
从而这样的直线 a 是唯一的.
2.2.2
问题导学
反证法
当堂检测
一
二
课前预习导学
课堂合作探索
辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.这个过程包括下面三
个步骤:
(1)反设——假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真;
(2)归谬——由“反设”作为条件,经过一系列正确的推理,得出矛盾;
(3)存真——由矛盾结果断定反设错误,从而肯定原结论成立.
即反证法的证明过程可以概括为:反设——归谬——存真.
一
二
课前预习导学
人教A版选修(2-2)2.2.2《反证法》课件(23张ppt)
因此，a、b、c 中至少有一个大于 0.
用反证法证明唯一性问题
结论以“有且只有一个”、“只有一个”、 “唯一存在”等形式出现的命题，由于 反设结论易于导出矛盾，所以用反证 法证其唯一性简单明了． 【方法引导】 证明“有且只有一个” 的问题，需要证明两个命题，即存在 性和唯一性．
【例3】求证方程2x＝3有 且仅有一个实根．
矛盾，假设不成立.
∴PB≠PC
A
P C
全课总结
1、知识小结： 反证法证明的思路：假设命题不成
立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命 题的结论
2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确
而全面的找出命题结论的反面。
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止 否定不当或有所遗漏；
三个判别式都小于0 → a的范围 → 与已知a≥－1矛盾 → 否定假设 → 肯定结论
【证明】 假设三个方程都没有实根，则 三个方程中：它们的判别式都小于 0，即：
4a2－4－4a＋3<0
a－12－4a2<0
⇒
2a2＋4×2a<0
－23<a<12 a>13或a<－1 －2<a<0
⇒－32<a<－1，这与已知 a≥－1 矛盾，所以
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题 的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
独立 作业
作业： 练习：学案中巩固提高
习题91页：A组
谢谢大家
a不垂直于b
2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC
用反证法证明唯一性问题
结论以“有且只有一个”、“只有一个”、 “唯一存在”等形式出现的命题，由于 反设结论易于导出矛盾，所以用反证 法证其唯一性简单明了． 【方法引导】 证明“有且只有一个” 的问题，需要证明两个命题，即存在 性和唯一性．
【例3】求证方程2x＝3有 且仅有一个实根．
矛盾，假设不成立.
∴PB≠PC
A
P C
全课总结
1、知识小结： 反证法证明的思路：假设命题不成
立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命 题的结论
2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确
而全面的找出命题结论的反面。
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止 否定不当或有所遗漏；
三个判别式都小于0 → a的范围 → 与已知a≥－1矛盾 → 否定假设 → 肯定结论
【证明】 假设三个方程都没有实根，则 三个方程中：它们的判别式都小于 0，即：
4a2－4－4a＋3<0
a－12－4a2<0
⇒
2a2＋4×2a<0
－23<a<12 a>13或a<－1 －2<a<0
⇒－32<a<－1，这与已知 a≥－1 矛盾，所以
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题 的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
独立 作业
作业： 练习：学案中巩固提高
习题91页：A组
谢谢大家
a不垂直于b
2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC
人教A版选修(2-2)2.2.2《反证法》课件(23张ppt)最新课件PPT
b是0或负数
（4）a⊥b
a不垂直于b
2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC
证明：假设PB=PC。
在△ABP与△ACP中
AB=AC(已知）
AP=AP（公共边）
PB=PC（已知）
∴△ABP≌△ACP（S.S.S)
∴∠APB=∠APC(全等三角形
对应边相等）
B
这与已知条件∠APB≠∠APC
假设不成立，故三个方程中至少有一个方程
有实数解．
变式训练 2 若 a、b、c 均为实数，且 a＝ x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6， 求证：a、b、c 中至少有一个大于 0.
证明：假设 a、b、c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0， c≤0， 则 a＋b＋c≤0，
而 a＋b＋c＝x2－2y＋π2＋y2－2z＋π3＋z2－2x ＋π6 ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. ∵π－3＞0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0， ∴a＋b＋c＞0， 这与 a＋b＋c≤0 矛盾．
三个判别式都小于0 → a的范围 → 与已知a≥－1矛盾 → 否定假设 → 肯定结论
【证明】 假设三个方程都没有实根，则 三个方程中：它们的判别式都小于 0，即：
4a2－4－4a＋3<0
a－12－4a2<0
⇒
2a2＋4×2a<0
－23<a<12 a>13或a<－1 －2<a<0
⇒－32<a<－1，这与已知 a≥－1 矛盾，所以
显然这与故事中的李 树长满果子相矛盾。说明 李子是甜的这个假设是错 的还是对的？
所以，李子是苦的
年高中数学人教A版选修2-2课件：2.2.2反证法(共18张PPT)
另一解法：正面、反面四种情况，若已知是正面，则反面是三 种情况即x，y至少有个是偶数即不都是奇数。
2）构造(x-1)2+(y-2)2=0。或同1）另一解法。 3)构造(x-1)(y-2)=0。或同1）另一解法
4)构造一个平面直角坐标系，正面是二、三、四象项，反面是一象限。或同1） 另一解法
结论1：（1）“或”的否定为“且”，
----要善待每一位同学
引入
我们从初中就开始学习反证法，到了高中继续学习。所以对反 证法的要求比起初中是有提高的。
这节课三个问题。 一、通俗讲反证法是什么东西？说的专业学术点就是反证法的 本质是什么。 二、反证法有什么用？ 三、什么时候用反证法？
同学们，反正发其实很难的，一些同学觉得挺简单，如果这样 我高兴。为什么反证法难？因为你们已经习惯了正面思考问题，对 于反面思考问题感觉不太适应。这是第一个原因，第二个原因是有 些事物的反面是很难知道的。我会举例子说明，这些例子如果是我 教的学生我已经举过了。
（2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”。
方法：1、构造一个具体的模型。2、列出全 部情况，剩余情况即为否定，类比于集合的 补集。
准确地作出否定结论是非常重要的，下面是 一些常见的结论的否定形式.
原结论 否定词 原结论
否定词
是
不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
则有∠A+∠B+∠C ＜180°，
这与三角形内角和等于180°相矛盾。
所以假设不成立，
所以原结论成立，即在个三角形中，至少有一个内角不 小于60°
注：结论中含“至多、至少”形式出现；直接证明难以下
手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考。
2）构造(x-1)2+(y-2)2=0。或同1）另一解法。 3)构造(x-1)(y-2)=0。或同1）另一解法
4)构造一个平面直角坐标系，正面是二、三、四象项，反面是一象限。或同1） 另一解法
结论1：（1）“或”的否定为“且”，
----要善待每一位同学
引入
我们从初中就开始学习反证法，到了高中继续学习。所以对反 证法的要求比起初中是有提高的。
这节课三个问题。 一、通俗讲反证法是什么东西？说的专业学术点就是反证法的 本质是什么。 二、反证法有什么用？ 三、什么时候用反证法？
同学们，反正发其实很难的，一些同学觉得挺简单，如果这样 我高兴。为什么反证法难？因为你们已经习惯了正面思考问题，对 于反面思考问题感觉不太适应。这是第一个原因，第二个原因是有 些事物的反面是很难知道的。我会举例子说明，这些例子如果是我 教的学生我已经举过了。
（2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”。
方法：1、构造一个具体的模型。2、列出全 部情况，剩余情况即为否定，类比于集合的 补集。
准确地作出否定结论是非常重要的，下面是 一些常见的结论的否定形式.
原结论 否定词 原结论
否定词
是
不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
则有∠A+∠B+∠C ＜180°，
这与三角形内角和等于180°相矛盾。
所以假设不成立，
所以原结论成立，即在个三角形中，至少有一个内角不 小于60°
注：结论中含“至多、至少”形式出现；直接证明难以下
手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考。
《2.2.2反证法》3精品PPT课件
所以假设不成立，2是有理数成立。
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
《2.2.2 反证法》课件3
பைடு நூலகம்
一般地，从要证明的结论出发，逐步
寻求推证过程中，使每一步结论成立的充
分条件，直至最后，把要证明的结论归结
为判定一个明显成立的条件（已知条件、
定理、定义、公理等）为止，这种证明的
方法叫做分析法．
特点：执果索因.
用框图表示分析法
得到一个明显
Q P1
P1 P2
P2 P3
例3：证明：圆的两条不全是直径的相交
弦不能互相平分. 已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且
AB、CD不全是直径
求证：AB、CD不能互相平分。
C
A
P
B
O
D
例4 求证：2 是无理数。
∴ m2是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈ N）
从而有4k2 = 2n2，即n2 = 2k2 ∴ n2也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
反证法的思维方法：
正难则反
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾：
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
《2.2.2 反证法》课件3
பைடு நூலகம்
一般地，从要证明的结论出发，逐步
寻求推证过程中，使每一步结论成立的充
分条件，直至最后，把要证明的结论归结
为判定一个明显成立的条件（已知条件、
定理、定义、公理等）为止，这种证明的
方法叫做分析法．
特点：执果索因.
用框图表示分析法
得到一个明显
Q P1
P1 P2
P2 P3
例3：证明：圆的两条不全是直径的相交
弦不能互相平分. 已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且
AB、CD不全是直径
求证：AB、CD不能互相平分。
C
A
P
B
O
D
例4 求证：2 是无理数。
∴ m2是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈ N）
从而有4k2 = 2n2，即n2 = 2k2 ∴ n2也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
反证法的思维方法：
正难则反
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾：
课件7：2.2.2 反证法
【解析】 (1)假设的内容应为结论“a3>b3”的否定 “a3≤b3”，故选C． (2)根据反证法证题的三步骤：否定结论、导出矛盾、 得出结论．
跟踪练习 1 已知三个正数 a，b，c 成等比数列但不成 等差数列．求证： a， b， c不成等差数列． 证明：假设 a， b， c成等差数列，则 a＋ c＝2 b， 即 a＋c＋2 ac＝4b， 又 a，b，c 成等比数列，所以 b2＝ac，即 b＝ ac. 所以 a＋c＋2 ac＝4 ac，即( a－ c)2＝0，所以 a＝c，
这与①矛盾．
所以假设不成立，故不存在实数 k，使得 A、B 关于直线
y＝ax 对称．
课堂验收
1．命题“△ABC 中，若∠A>∠B，则 a>b”的结论的否定
应该是 ( B )
A．a<b
B．a≤b
C．a＝b
D．a≥b
【解析】 “a>b”的对立面为“a≤b”．
2．“实数 a，b，c 不全为 0”等价于 ( D ) A．a，b，c 均不为 0 B．a，b，c 中至多有一个为 0 C．a，b，c 中至少有一个为 0 D．a，b，c 中至少有一个不为 0 【解析】 “不全为 0”的对立面为“全为 0”，故“不全为 0” 的含义为“至少有一个不为 0”．
4．设 a，b，c，d∈R，且 ad－bc＝1.求证：a2＋b2＋c2＋ d2＋ab＋cd≠1. 证明：假设 a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，则 a2＋b2＋c2 ＋d2＋ab＋cd－ad＋bc＝0，即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2 ＋(b＋c)2＝0，所以 a＋b＝0 且 c＋d＝0 且 a－d＝0 且 b ＋c＝0，所以 a＝b＝c＝d＝0 与 ad－bc＝1 矛盾． 所以假设不成立，原结论成立．
2.2.2反证法课件人教新课标4
2
，b=y2-2z+ 3
，c=z2-
2x+
6
，求证:a，b，c中至少有一个大于0.
【解题探究】1.题(1)中“至少有两个钝角”的含义是什么？ 2.题(2)中a，b，c有什么特点？怎样应用这些特点？ 【探究提示】1.“至少有两个钝角”的含义是“有两个钝角或两 个以上钝角”，即钝角的个数大于等于2.
(2)用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不 是反证法.用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有 一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情 况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结 论成立. (3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在 性和唯一性.
结论词 至少有一个
至多有一个 至少有n个 至多有n个
反设词 一个也没有
至少有两个 至多有n-1个 至少有n+1个
结论词 对所有x
成立 对任意x 不成立
p或q p且q
反设词
存在某个 x0不成立 存在某个
x0成立 p且q p或q
【变式训练】已知a，b，c是互不相等的实数，求证:由 y1=ax2+2bx+c，y2=bx2+2cx+a和y3=cx2+2ax+b确定的三条抛物线 至少有一条与x轴有两个不同的交点.
证明.
(2)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b
至少有一个能被5整除”，则假设的内容是
.
【解析】(1)当直接证明比较困难时，可以采用反证法，本题即 属于此类型，需用反证法证明比较合适. 答案:反证法 (2)“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即a，b至少有一 个能被5整除的否定是a，b都不能被5整除. 答案:a，b都不能被5整除
课件8：2.2.2 反证法
2．反证法证题与“逆否命题法”是否相同？ 反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路 不完全是证明一个命题的逆否命题．反证法在否定结论 后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假 设矛盾，与定义、定理、公式、事实矛盾．因此，反证 法与证明逆否命题是不同的．
当堂检测
1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，
第一步应假设
( B)
A．三角形中至少有一个直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角
D．三角形中三个角都是直角或钝角
2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，
应先假设这个三角形中
( B)
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
探究点三 用反证法证明否定性命题 例 2 求证： 2不是有理数． 证明：假设 2是有理数．于是，存在互质的正整数 m，n， 使得 2＝mn ，从而有 m＝ 2n， 因此 m2＝2n2， 所以 m 为偶数．于是可设 m＝2k(k 是正整数)，从而有
即 n2＝2k2， 所以 n 也为偶数．这与 m，n 互质矛盾． 由上述矛盾可知假设错误，从而 2不是有理数．
证明：假设 a，b，c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0，c≤0， 所以 a＋b＋c≤0，
而 a＋b＋c＝(x2－2y＋π2)＋(y2－2z＋π3)＋(z2－2x＋π6) ＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3， 所以 a＋b＋c>0，这与 a＋b＋c≤0 矛盾， 故 a、b、c 中至少有一个大于 0.
2.2.2 反证法
学习要求 1．了解反证法是间接证明的一种基本方法． 2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．
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反证法的证明步骤：
①假设——假设命题的结论不成立，即假设命题结论的否定成立；
②找矛盾——从假设出发，经过一系列正确的逻辑推理，推出矛 盾（与已知矛盾，与已知定义，公理，定理事实等矛 盾，与出现的临时假设矛盾，在证明过程中出现自相矛 盾等等），从而否定假设； ③下结论——由矛盾结果，断定假设不成立，从而肯定原命题的 结论成立。
注：结论中含“至多、至少”形式出现；直接证明难以下
手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考。
四、例题选讲
例2.已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。 证：由于a ≠0，因此方程至少有一个根x=b/a， ```如果方程不只一个根，不妨设x1,x2 （x1 ≠x2 )是 方程的两个根. 则ax1 = b，ax2 = b ∴ax1 = ax2 ∴ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2） =0
（1）直接证明有困难的一些命题（如有些基本定理的 证明如平行线的传递性的证明）
（2）关于唯一性结论的命题 （即结论中有有且只有，有且仅有等关键字眼） （3）以否定性判断作为结论的命题 （4）以至多，至少，不多于等形式陈述的命题 （5）一些不等量命题的证明 即正难则反!
2.常用的正面叙述词语及其否定：
1、求证： 2, 3, 5 不可能成等差数列
2 3 2 5 , 这显然不成立
所以假设不成立，
2, 3, 5
不可能成等差数列
五.课堂练习：
2、证明：在△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是
锐角。 证明：假设∠B不是锐角，则∠B≧90°， 又因为∠A＞0°，∠C=90°
2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反 证 法
一、复习回顾 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法 已知条件 分析法
结论
结论 由因导果 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
简单记为：否定结论——推出矛盾——肯定结论， （其中推出矛盾是反证法证明的关键。）
反证法是制造矛盾的专家。
四、例题选讲
例1.求证：在个三角形中，至少有一个内角不小于60°
分析：从条件出发很难入手去证，可以考虑从反面入手 证明：假设三角开有三个内角∠A 、∠B 、∠C都小于60°
则有∠A+∠B+∠C ＜180°， 这与三角形内角和等于180°相矛盾。 所以假设不成立， 所以原结论成立，即在个三角形中，至少有一个内角 不小于60°
三、基本概念 把这种不是直接从原命题的条件逐步推 得命题成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法 一般地，假设原命题不成立（即假设在原命题的 条件下，结论不成立）， 经过正确的推理，最后得 出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成 立， 这种证明方法叫做反证法。
反证法的思维方法：正难则反
正面 词语 否定 等于 大于（>） 小于 (<) 是 都是 都不 是
不等于
不大于
不小于
（小于或 （大于或 不是 等于)（≤） 等于）（≥）
至少有 不都是 一个是
正面 词语
否定
至多有 一个
至少有 两个
至少有 一个
一个也 没有
任意的
所有的
至多有n 个
任意 两个
某个
某些
至少有n 某两个 ＋1个
五.课堂练习：
所以∠A+∠B+∠C ＞180°，
这与三角形内角和等于180°相矛盾。
所以假设不成立， ∠B一定是锐角。
六.课堂小结
1、基本概念： ①间接证明； ②反证法 2、反证法的证明步骤： ①与已知条件矛盾； ⑴否定结论 ⑵推出矛盾—— ②与假设矛盾。 ③与已有公理、定理、定义矛盾。 ⑶肯定结论， 3、常见适用反证法的命题： （1）直接证明有困难 （2）唯一性命题 （3）否定性命题 （4）至多，至少型命题
二、引入思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎， C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为 什么？
分析:假设C没有撒谎,
则C真. 那么A假且B假;
由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.
二、引入思考？
同一只鸽笼，对吗？
正难则反!
（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在 （2）将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少 有5个球是同色的，你能证明这个结论吗？ 假设有某种染法使同色的球数都不超过4个，则 球的总数不超过4+4=8，这与球的总数是9矛盾。 因此，假设不成立， 无论怎样染，至少有5个球是同色的 我们可以把这种说理方法应用到数学问题上
∵a ≠ 0
∴ x1 - x2 0,即x1 = x2
与x1 x2矛盾 故假设不成立，结论成立。
注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,
是唯一性问题,常用反证法
例3. 已知直线a，b和平面， 如果a ，b ，且a // b， 求证：a //
a
b
p
小结： 1、哪些命题适宜用反证法加以证明？