插值与拟合课件
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十讲插值与拟合ppt课件
容易确定．例如知道时间与因变量有二次函数
关系，且过原点。
2019/7/27
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19
10.6 曲线拟合
• 所以选取 r1(x)x2,r2(x)x ，用
ya1x2 a2x
作拟合．若无法知道y与x之间的关系，
通常可以将数据（xi，yi），i＝1，2，…，
n作图，直观地判断应该用什么样的曲线 去作拟合．人们常用的曲线有（参见图7）
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10.6 曲线拟合
• 1．线性最小二乘法
• 曲线拟合问题的提法是，已知一组 （二维）数据，即平面上的n个点（xi,yi)， i=1，2，…，n，xi互不相同，寻求一个 函数（曲线）y=f(x)，使f(x)在某种准则 下与所有数据点最为接近，即曲线拟合 得最好，如下图， 图中δi为（x i ，y i） 与y=f(x)的距离）．
• 拟合准则是使n个点（xi，yi），i=1，2，…，
n，与y＝f（xi）的距离δi的平方和最小，称最 小二乘准则．
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10.6 曲线拟合
2．函数rk (x) 的选取
• 面对一组数据（xi，yi）， i = 1， 2，…n，用
线性最小二乘法作曲线拟合时，首要的、也是 关键的一步是恰当地选取 r1(x)r,2(x) , rm (x) 如果通过机理分析、能够知道 y与 x之间应 该有什么样的函数关系，则 r1(x)r,2(x) , rm (x)
• 格式 yi = interp1(x,Y,xi) %返回插值向量yi， 每一元素对应于参量xi，同时由向量x与Y的内 插值决定。参量x指定数据Y的点。若Y为一矩 阵 ， 则 按 Y 的 每 列 计 算 。 yi 是 阶 数 为 length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。
关系，且过原点。
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10.6 曲线拟合
• 所以选取 r1(x)x2,r2(x)x ，用
ya1x2 a2x
作拟合．若无法知道y与x之间的关系，
通常可以将数据（xi，yi），i＝1，2，…，
n作图，直观地判断应该用什么样的曲线 去作拟合．人们常用的曲线有（参见图7）
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10.6 曲线拟合
• 1．线性最小二乘法
• 曲线拟合问题的提法是，已知一组 （二维）数据，即平面上的n个点（xi,yi)， i=1，2，…，n，xi互不相同，寻求一个 函数（曲线）y=f(x)，使f(x)在某种准则 下与所有数据点最为接近，即曲线拟合 得最好，如下图， 图中δi为（x i ，y i） 与y=f(x)的距离）．
• 拟合准则是使n个点（xi，yi），i=1，2，…，
n，与y＝f（xi）的距离δi的平方和最小，称最 小二乘准则．
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10.6 曲线拟合
2．函数rk (x) 的选取
• 面对一组数据（xi，yi）， i = 1， 2，…n，用
线性最小二乘法作曲线拟合时，首要的、也是 关键的一步是恰当地选取 r1(x)r,2(x) , rm (x) 如果通过机理分析、能够知道 y与 x之间应 该有什么样的函数关系，则 r1(x)r,2(x) , rm (x)
• 格式 yi = interp1(x,Y,xi) %返回插值向量yi， 每一元素对应于参量xi，同时由向量x与Y的内 插值决定。参量x指定数据Y的点。若Y为一矩 阵 ， 则 按 Y 的 每 列 计 算 。 yi 是 阶 数 为 length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。
数学建模～插值与拟合(课件ppt)
• 代数多项式插值是最常用的插值方式，其内容也 是最丰富的，它又可分为以下几种插值方式： （1）非等距节点插值，包括拉格朗日插值、利用 均差的牛顿插值和埃特金插值； （2）非等距节点插值，包括利用差分的牛顿插值 和高斯插值等； （3）在插值中增加了导数的Hermite（埃尔米特） 插值； （4）分段插值，包括分段线性插值、分段Hermite （埃尔米特）插值和样条函数插值； （5）反插值。 • 按被插值函数的变量个数还可把插值法分为一元 插值和多元插值。
引言2---插值和拟合的联系与区别
联系：二者都是函数逼近的主要方法
• 区别： •运算过程上的区别：
– 拟合：是将数据点用最恰当的曲线描述出来，以反映问题的规律， 是特殊到一般的过程。 – 插值：是在知道曲线的形状后得出某些具体点的性质的过程,是 从一般到特殊。
•求解误差上的区别：
– 拟合：考虑观察值的误差（误差不可避免时）。以偏差的某种最 小为拟合标准
n n ik
0 i k 而： lk xi 1 i k
22
例1
x1 1, x2 2, x3 4, f ( x1 ) 8, f ( x2 ) 1, f ( x3 ) 5
求二次插值多项式。
解:
按拉格朗日方法，有：
L( x) y1l1 x y2l2 x y3l3 x ( x 2)( x 4) ( x 1)( x 4) ( x 1)( x 2) 8 1 5 (1 2)(1 4) (2 1)(2 4) (4 1)(4 2) 3x 2 16 x 21
4.2 插值方法 选用不同类型的插值函数，逼近的效 果就不同，一般有： （1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）分段线性插值 （3）Hermite （4）三次样条插值。
第3章插值与拟合ppt课件-PPT精品文档
3.1 插值法 3.1.1 问题的提出 ) 插值问题的一般描述：若已知函数 y f (x （通常为 , ,x 未知）在给定的 n 1 个互不相同的观测点 x 0,x 1 n , ,y 上的函数值（通常为实验或观测值）y 0, y 1 n ， 希望寻求某一近似函数 ( x) , 使满足 ( x f ( x y , i 0 , 1 , 2 , ,n i) i) i （3.1） 则我们称此类问题为插值问题，近似函数 ( x) 称为插 值函数，观测点称为插值节点，式（3.1）称为插值条 min { x }, b max { x } i i 件，若令 a , 则[a,b]称为插值区间。 0 i n 0 i n 若 ( x) 已找到，则在任一点 x （ x ） 上的函 [a ,b ] 数值 f ( x ) 就可以由其插值函数 ( x ) 近似估计。
3.1.2 插值多项式的求法
1 一般方法 线性插值：给定两个互不相同的观测点 ( x0 , y0 ) 和 (x1, y1), ( x ) a a x 求一线性多项式 p 1 0 1 ( x ) y , p ( x ) y 1 0 0 1 1 1 使其通过这两个观测点，即 p 。显然 p1 ( x) 是平面上的一条直线，其表达式可采用两点式或点斜式直接 y y 1 0 给出，即 p( x ) y ( x x ) 1 0 0 x x （3.4） 1 0 当然，也可以利用代数方程组的方法求出待定参数 a 0 , a1 . p1 ( x) 通过这两个观测点，故有 由插值条件，
解此线性方程组，可采用消元法，也可以采用矩阵方法直接 求解. 详见3.1.3.
a0 a1 x0 y0 a0 a1 x1 y1
( x0 , y0 ) , (x1, y1) 和 (， x2 y2 ) 二次插值：给定三个互不相同的观测点， 2 p ( x ) a a x a x 求一个次数不超过2次的多项式 2 0 1 2 使其通过这三个观测点。求解方法与线性插值完全类似，此处 不再累述。二次插值又称抛物型插值。 n次插值多项式：当 n 大于或等于2时，采用上述方法无法直 接给出多项式的表达式，需要求解线性方程组。对 n 次插值多 项式的确定，由于多项式中含有 n +1 个待定系数，通常需要 给定 n +1个互不相同的观测点，由此可建立 n +1元线性方程 组，如下式： 2 n a0 a1 x0 a2 x0 an x0 y0 2 n a0 a1 x1 a2 x1 an x1 y1 a a x a x2 a x n y （3.5） n n n 0 1 n 2 n 直接解此线性方程组，通常比较麻烦，可通过数学软件(如 Matlab)求解。
4插值与拟合方法课件-11
第4章 插值与拟合方法插值与拟合方法是用有限个函数值(),(0,1,,)i f x i n =⋅⋅⋅去推断或表示函数()f x 的方法，它在理论数学中提到的不多。
本章主要介绍有关解决这类问题的理论和方法，涉及的内容有多项式插值，分段插值及曲线拟合等。
对应的方法有Lagrange 插值，Newton 插值，Hermite 插值，分段多项式插值和线性最小二乘拟合。
4.1 实际案例4.2 问题的描述与基本概念先获得函数（已知或未知）()y f x =在有限个点n x x x ⋅⋅⋅,,10上的值x0x 1x … n x y0y 1y … n y 由表中数据构造一个函数P (x )作为f (x ) 的近似函数，去参与有关f (x )的运算。
科学计算中，解决不易求出的未知函数的问题主要采用插值和拟合两种方法。
1）插值问题的描述已知函数()y f x =在[a,b ]上的n +1个互异点x ,0处的函数值()i i y f x =，求f (x ) 的一个近似函数P (x )，满足()()(0,1,,)i i P x f x i n ==⋅⋅⋅ （4.1）● P (x ) 称为f (x )的一个插值函数;● f (x ) 称为被插函数;点i x 为插值节点; ● ()()(0,1,,)i i P x f x i n ==⋅⋅⋅称为插值条件; ● ()()()R x f x P x =-称为插值余项。
当插值函数P (x )是多项式时称为代数插值（或多项式插值）。
一个代数插值函数P (x )可写为0()()()mkm k k k P x P x a x a R ===∈∑若它满足插值条件（4.1），则有线性方程组20102000201121112012m m mm m nn m n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ⎧+++⋅⋅⋅=⎪+++⋅⋅⋅=⎪⎨⎪⎪+++⋅⋅⋅=⎩ （4.2）当m=n ，它的系数行列式为范德蒙行列式)(1110212110200j i ni j nnnn nn x x x x x x x x x x x D -∏==≤≤≤因为插值节点互异，0D ≠，故线性方程组（4.2）有唯一解，于是有定理 4.1 当插值节点互异时，存在一个满足插值条件()()(0,1i i P x f x i n ==⋅⋅⋅的n 次插值多项式。
《插值与拟合》课件
拟合的方法
1
最小二乘法
通过最小化残差平方和，找到与数据最匹配的函数。
2
局部加权回归
给予附近数据点更高的权重，拟合接近局部数据点的函数。
3
多项式拟合
用多项式函数逼近数据，通过选择合适的次数实现拟合。
插值与拟合的误差分析
插值和拟合都会引入近似误差，需要评估误差范围和影响因素。
插值与拟合在数据处理与分析中的应用
数据分析
通过插值和拟合方法对数据进 行探索和分析。
数据处理
在数据处理过程中使用插值和 拟合技术来填充缺失值和平滑 数据。
数据建模
利用插值和拟合模型对数据特 征进行捕捉和预测分析。
插值与拟合的推广和发展前景
随着数据科学和人工智能的不断发展，插值和拟合在各个领域的应用前景越 来越广阔。
插值与拟合的应用范围
科学研究
用于数据分析、信号优化设计、近似计算和 效能提升。
经济金融
用于市场分析、预测模型和 风险评估。
插值的方法
1
拉格朗日插值
基于多项式插值公式，用拉格朗日多项式逼近函数。
2
牛顿插值
基于差商的概念，用多项式逼近函数的值。
3
分段插值
将插值区间划分为多个子区间，并在每个子区间上进行插值。
《插值与拟合》PPT课件
插值与拟合是数值计算和数据分析中重要的概念。
插值与拟合的概念
插值
通过已知值的推算，计算在未知点的近似值。
拟合
通过曲线或曲面拟合已知数据，以描述和预 测未知数据。
插值与拟合的区别与联系
1 区别
2 联系
插值重点关注已知点的准确性，而拟合则 着重于整体形状的拟合。
插值和拟合都通过数学模型逼近离散数据， 以实现数据的补全和预测。
实验六拟合与插值问题PPT课件
2021/8/17
插值问题实例1
机翼下 轮廓线
y
x
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插值问题的提法 已知 n+1个节点 (xj,yj)(j 0 ,1 ,L n ,其中 x j
互不相同，不妨设 a x 0 x 1 L x n b ) , 求任一插值点 x*( xj )处的插值 y * .
节点可视为由
y* y1
2[a1
xi
a2)
yi ]xi
0
i1
2[a1xi
a2 )
yi
]
0
a1,a2
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用MATLAB作线性最小二乘拟合 1. 作多项式f(x)=a1xm+ …+amx+am+1拟合,可利用已有程序:
a=polyfit(x,y,m)
输出拟合多项式系数 a=[a1, …,am , am+1] (数组）
1200
1000
800
600
400
200
0
0
2
4
6
8
10
12
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二、插 值
1. 插值的基本原理；三种插值方法：拉格朗日 插值，分段线性插值，三次样条插值。
2. 面 对 一 个 实 际 问 题，应 该 用 插 值，还 是 拟 合。
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y* y1
y0 •
• •
• •
x0 x1 x*
xn
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《数值分析》第二讲插值法PPT课件
1 xn xn2 xnn Vandermonde行列式
即方程组（2）有唯一解 (a0, a1, , an)
所以插值多项式
P (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
存在且唯一
第二章：插值
§2.2 Lagrange插值
y
数值分析
1、线性插值
P 即(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk)
l k ( x k 1 ) 0 ,l k ( x k ) 1 ,l k ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 0 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 1
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) lk(x)((xx k x xk k 1 1))((x xkxx k k1)1)
第二章：插值
数值分析
3、Lagrange插值多项式
令 L n ( x ) y 0 l 0 ( x ) y 1 l 1 ( x ) y n l n ( x )
其中，基函数
lk (x ) (x ( k x x x 0 ) 0 ) (( x x k x x k k 1 1 ) )x x k ( ( x x k k 1 ) 1 ) (( x x k x n x )n )
因此 P (x ) lk (x )y k lk 1 (x )y k 1
且
P (x k ) y k P (x k 1 ) y k 1
lk(x), lk1(x) 称为一次插值基函数
数值分析
第二章：插值
2、抛物线插值 令
y (xk , yk )
f (x)
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) p( x) (xk1,yk1)
拟合与插值专题ppt课件
在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析 函数描述数据(通常是测量值)的任务。对这个问 题有两种方法。
一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数 据点之间所发生的情况。
另一种方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线， 它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
本专题的主要目的是：了解插值和拟合的基本内容； 掌握用Matlab求解插值与拟合问题的基本命令。
cj 103 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59
该问题即解最优化问题：
min 1 F (a,b, k)
2
1 2
10
[a be0.02kt j
j 1
c j ]2
解法1. 用命令lsqcurvefit
F(x，tdata)= (a be0.02kt1 ,, a be0.02kt10 )T ，x=(a，b，k)
ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan） lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数
F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F（x，xdatan））T
中的参变量x(向量),使得
1
2
n i 1
( F ( x,
xdatai )
2
ydatai )
最小
输入格式: (1) x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,lb, ub);
1）编写M-文件 curvefun1.m
function f=curvefun1(x,tdata)
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)
一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数 据点之间所发生的情况。
另一种方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线， 它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
本专题的主要目的是：了解插值和拟合的基本内容； 掌握用Matlab求解插值与拟合问题的基本命令。
cj 103 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59
该问题即解最优化问题：
min 1 F (a,b, k)
2
1 2
10
[a be0.02kt j
j 1
c j ]2
解法1. 用命令lsqcurvefit
F(x，tdata)= (a be0.02kt1 ,, a be0.02kt10 )T ，x=(a，b，k)
ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan） lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数
F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F（x，xdatan））T
中的参变量x(向量),使得
1
2
n i 1
( F ( x,
xdatai )
2
ydatai )
最小
输入格式: (1) x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,lb, ub);
1）编写M-文件 curvefun1.m
function f=curvefun1(x,tdata)
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)
第五章插值法与曲线拟合插值法精品PPT课件
f (n1) (x
(n 1)!
)
wn1(x)
,
x (a,b)
n
Ln(x) f (xi)li(x)
i0
其中
li(x ) (( x x i x x 0 0 ))(( x x i x x ii 1 1 ) )( (x x i x x ii 1 1 ) )
(x x n ) ,i
(x i x n )
计算各阶差分可按如下差分表进行.
向前差分表
xi fi fi 2 fi 3 fi
n fi
x0 f0 x1 f1 f0 x2 f2 f1 2 f0 x3 f3 f2 2 f1 3 f0
xn fn fn1 2 fn2 3 fn3
n f0
差分具有如下性质:
.
性质1(差分与函数值的关系) 各阶差分均可表示为函值
(1)
使满足
cn(xx0)(xx1)(xx2) (xxn 1)
N n (x i) f(x i), i 0 ,1 , n
(2)
为了使 N n ( x ) 的形式得到简化,引入如下记号
0(x)1
i(x)(xxi1)i1(x)
(3)
(xx0)(xx1) (xxi1), i1,2, n
定义 由式(3)定义的n+1个多项式 0(x),1(x), ,n(x)
表示f(x)在x0及x1两点的一阶差商. 用记号 f[x0,x1,x2]f[x0,xx10 ] xf2[x1,x2]
表示f(x)在x0,x1,x2三点的二阶差商. 一般地,有了k-1阶差商之后, 可以定义f(x)在x0,x1,..,xk的k阶差商
f[x 0 ,x 1 ,
,x k] f[x 0 ,x 1 ,
2 f (xi ) (f (xi )) ( f (xi h) f (xi )) f (xi h) f (xi ) f (xi 2h) 2 f (xi h) f (xi )
第8讲 excel 插值与拟合
常用插值方法
一维插值-一个自变量
线性插值、一次插值 非线性插值
二次插值 三次插值 三次样条插值
二维插值-两个自变量
1.1.1 线性插值
已知数据点x0,y0,x1,y1(x0<x1)，求 在x处(x0<x<x1)相应的y值。 y1 解法：由x0,y0,x1,y1构造直线方程：
0.2 0.6 0.8
p
0.4
0.495
由表1-2的数据观测可得，DME 的饱和蒸气压和温度有正相关关系， 0.0 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 如果以函数p=a+bt来拟合,则拟合函 t 数是一条直线。通过计算均方误差Q ( a , b )最小值而确定直线方程。
Q(a, b) ( p(ti ) pi ) (a bti pi ) 2
i 1 m
y
m
i
x
i 1 m i 1 2 i
m
i
m
x
i 1 m i 1
m
i
2 x i m
xi
i 1 m i 1
m
2 x i m m
( yi x xi xi yi ) /(m x ( xi ) 2 )
i 1 i 1 2 i i 1
b (m xi yi xi yi ) (m x ( xi ) 2 )
0.6
0.4 y=0.24845+0.00957 x+0.00015 x2 0.2
0.0 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
温度 , t(℃ )
图1-4 DME饱和蒸气压和温度之间的 二次拟合
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li ( x)是n次多项式，满足
li ( xj ) =
ìïïíïïî
0, 1,
(i = 0,1,L ,n).
j ¹ i, j = i.
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基础部数学教研室
数学 建模
拉格朗日插值函数
邋 Õ Ln( x) =
n
yili ( x) =源自i= 0骣n i= 0
yi
çççççç桫jj=¹n
0 i
xxi -
函数 S( x)称为 f ( x)的三次样条插值函数。
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基础部数学教研室
数学 建模
由条件（2），不妨将 S( x)记为 S( x) = {Si ( x), x ? [ xi , xi+ 1], i 0,1,L , n - 1}， Si ( x) = ai x3 + bi x2 + ci x + di ， 其中ai ,bi ,ci ,di 为待定系数，共4n个。
线。
显然，折线是一次样条曲线。
12/63
基础部数学教研室
数学
建模 2 三次样条插值
利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，
称为样条插值。例如分段线性插值是一次样条插值。这
里只介绍三次样条插值，即已知函数 y = f ( x)在区间
[a,b]上的n + 1个节点
a = x0 < x1 < L < xn- 1 < xn = b
f ( xi ) = yi，i = 0,1,L , n.
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基础部数学教研室
数学
建模
拟合也是已知有限个数据点，求近似函数，不要求
过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总
偏差最小。
插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似， 由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。而 面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时容易确 定，有时则并不明显。
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基础部数学教研室
数学 建模
Matlab 中三次样条插值有如下函数 y=interp1(x0,y0,x,'spline')； y=spline(x0,y0,x)； pp=csape(x0,y0,conds)； pp=csape(x0,y0,conds,valconds)；y=fnval(pp,x)； 其中 x0,y0 是已知数据点，x 是插值点，y 是插值点的函 数值。
数学
建模 3.1.1 分段线性插值
简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形
成的一条折线就是分段线性插值函数，记作 In( x)，它满足
In( xi ) = yi ，且 In( x) 在每个小区间[ xi , xi+ 1]上是线性函数
(i = 0,1,L ,n)。
n
å In( x)可以表示为 In( x) = yili ( x)，其中
三次样条插值函数。
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数学 建模
（2）S"(a) = y0"，S"(b) = yn"。特别地 y0" = yn" = 0 时，称为自然边界条件。
（3） S'(a + 0) = S'(b - 0)， S"(a + 0) = S"(b - 0)， 此条件称为周期条件。
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建模 1 样条函数的概念
所谓样条（Spline）本来是工程设计中使用的一种 绘图工具，它是富有弹性的细木条或细金属条。绘图员 利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线（称为样条曲 线），并使连接点处有连续的曲率。三次样条插值就是 由此抽象出来的。
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数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。具 体地说，给定区间[a, b]的一个分划
lim
n
I
n
(
x
)
=
f (x).
用 In( x)计算 x点的插值时，只用到 x 左右的两个节 点，计算量与节点个数n无关。但n越大，分段越多， 插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时，分段线 性插值就足够了，如数学、物理中用的特殊函数表，数 理统计中用的概率分布表等。
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数学建模培训
第3次课 插值与拟合
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在实际问题中，一个函数 y = f (x)往往是 从实验观测得到的，所知道的仅为函数 f (x)在 某区间[a, b]上一系列点上的值
yi = f ( xi )，i = 0,1,L , n， 当需要在这些结点 x0 , x1,L , xn 之间的点 x 上的 函数值时，常用较简单的、满足一定条件的函 数f ( x)去代替 f (x)，插值法是一种常用方法， 其插值函数f ( x)满足条件
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3.1.4 Matlab插值工具箱
1 一维插值函数
Matlab 中有现成的一维插值函数 interp1，语法为 y=interp1(x0,y0,x,'method')
其中 method 指定插值的方法，默认为线性插值。其值 可为
'nearest' 最近项插值 'linear' 线性插值 'spline' 立方样条插值 'cubic' 立方插值
所有的插值方法要求 x0 是单调的。
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当 x0 为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法 的格式为'*nearest'、'*linear'、'*spline'、'*cubic'。
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建模 2 三次样条插值
在 Matlab 中数据点称之为断点。如果三次样条插值 没有边界条件，最常用的方法，就是采用非扭结 （not-a-knot）条件。这个条件强迫第 1 个和第 2 个三次 多项式的三阶导数相等。对最后一个和倒数第 2 个三次 多项式也做同样地处理。
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例 3.2 已知速度曲线v(t)上的四个数据点如表 3.2 所 示。
表 3.2 速度的四个观测值 t 0.15 0.16 0.17 0.18 v(t) 3.5 1.5 2.5 2.8
0.18
ò 用三次样条插值求位移S = v(t)dt 。 0.15
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由条件（3）
ìïïïïíïïïïî
Si ( xi+ 1 ) = Si'( xi+ 1 ) = Si"( xi+ 1 ) =
Si+ 1( xi+ 1 ), Si'+ 1( xi+ 1 ), （i Si"+ 1( xi+ 1 ),
=
0,1,L , n -
2）.
（3.2）
容易看出，（1）、（2）式共含有4n- 2个方程，为确定 S( x)的4n
上的值 yi = f ( xi )(i = 0,1,L , n)，求插值函数 S( x)，使得
（1） S( xi ) = yi (i = 0,1,L , n)；
（3.1）
（2）在每个小区间[ xi , xi+ 1](i = 0,1,L , n - 1)上S( x)是
三次多项式，记为Si ( x)；
（3） S( x)在[a,b]上二阶连续可微。
i= 0
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li ( x)
=
ìïïïïïïïïíïïïïïïïïî
xxi xxi 0，
xi- 1 , xi- 1
x 喂[ xi- 1 , xi ]
xi+ 1 ， xi+ 1
x 喂[ xi , xi+ 1]
其它.
(i 0）, （i n）,
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In( x)有良好的收敛性，即对于 x Î [a,b]，有
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对于三次样条插值，提倡使用函数 csape，csape 的返 回值是 pp 形式，要求插值点的函数值，必须调用函数 fnval。
pp=csape(x0,y0)使用默认的边界条件，即 Lagrange 边 界条件。
pp=csape(x0,y0,conds,valconds)中的 conds 指定插值 的边界条件，其值可为
个待定参数，尚需再给出 2 个边界条件。
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常用的三次样条函数的边界条件有 3 种类型
（1）S'(a) = y0' ，S'(b) = yn' 。由这种边界条件建立 的样条插值函数称为 f ( x)的完备三次样条插值函数。
特别地，y0' = yn' = 0时，样条曲线在端点处呈水平状态。 如果 f '( x)不知道，可以要求 S'( x)与 f '( x)在端点
需要得到 x坐标每改变 0.1 时的 y 坐标。试完成加工所需数
据，画出曲线，并求出 x = 0处的曲线斜率和13 ＃x 15范围
内 y的最小值。要求用分段线性和三次样条两种插值方法计
算。
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表 3.1 插值数据点
x 0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 y 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6
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