人教版八年级上数学第十四章小结与复习2
八年级数学上册知识点总结第14章
八年级数学上册知识点总结第14章
八年级数学试卷对知识点考查很细、覆盖面广、实验操作题多,难度较去年有所上升,要求考生有较强应用知识的能力。
小编整理了关于八年级数学上册第14章的知识点总结，希望对大家有帮助!
八年级数学上册知识点总结第14章(一)
整式的乘法：
⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.
⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.
⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.
3.计算公式：
⑴平方差公式：(a-b)⨯(a+b)=a2-b2
⑵完全平方公式：(a+b)=a2+2ab+b2;(a-b)=a2-2ab+b2
八年级数学上册知识点总结第14章(二)
整式的除法：
⑴同底数幂的除法：am÷an=am-n
⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式.
⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.
⑷多项式÷多项式：用竖式.
八年级数学上册知识点总结第14章(三)
因式分解方法：
⑴提公因式法：找出最大公因式.
⑵公式法：
①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)
③立方和：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
④立方差：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
⑶十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
⑷拆项法
⑸添项法。
新人教版八上课件 第十四章 小结与复习(2)
求证：
A
E
B
C
D
F
配套练习 等腰三角形的辅助线
5.如图，△ABC中，AB=AC，E是CA延 长线上一点，在AB上截取AF=AE。求 证：EF⊥BC。
E
A F
B
C
配套练习 等腰三角形的辅助线
6.如图，BD=DC，BF交AD与点E，交
AC与点F，AF=EF。ຫໍສະໝຸດ 求证：BE=AC。A
F E
B
C
D
知识构架
等腰三角形
生 活 轴对称
中
的
对
用坐标表示轴对称
称
轴对称变换
等边三角形 作对称轴
作轴对称图形
典型例题 线段垂直平分线性质 例1.如图，在△ABC中，DE是AC的垂 直平分线，△ABC和△ABD的周长分 别为18cm和12cm。求线段AE的长。
A
E
B
D
C
配套练习 线段垂直平分线应用
1.如图，在△ABC中，AB=AC=10，DE
垂直平分AB，△BDC的周长为17，求
BC。
A
E D
B
C
配套练习 线段垂直平分线应用
2.在△ABC中，AB>AC，M是BC的中
点，且MD⊥BC，∠A的平分线与MD
相交于点D， DE⊥AB于E， A
DF⊥AC于F。
求证：BE=CF。
E
B
M
C
F
D
配套练习 线段垂直平分线证法 3.如图， AB=AC，MB=MC，直线AM 是线段BC的垂直平分线吗？为什么？
A
M
C
B
典型例题 等腰三角形的性质
例2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD =DE=BE，求∠A。
最新人教版初中八年级上册数学第十四章《整式的乘法与因式分解》精品教案(小结复习课)
4
3
3
3 a3b5 1 a2b4 8 a6b3
4
9
27
27 ab 8 a6b3 4 27
2a7b4.
本题源自《教材帮》
深化练习 1
整式的混合运算：
(1) 3 a3b5 (1 ab2 )2 ( 2 a2b)3;
4
3
3
(2) [(-2xy)3(2x2y)2-xy2(-4xy2)2]÷(-16x2y3) ;
本题源自《教材帮》
深化练习 1
整式的混合运算：
(1) 3 a3b5 (1 ab2 )2 ( 2 a2b)3;
4
3
3
(2) [(-2xy)3(2x2y)2-xy2(-4xy2)2]÷(-16x2y3) ;
(3) x(2x+1)-(x-3)(2x-1) .
解：(3) x(2x+1)-(x-3)(2x-1) = 2x2+x-(2x2-x-6x+3) = 2x2+x-(2x2-7x+3) = 2x2+x-2x2+7x-3 = 8x-3.
符号表示：aman=am+n （m，n都是正整数）.
同底数幂的乘法的性质也适用于三个及三个以上的同底数幂相乘
amanap=am+n+p （m，n，p都为正整数）.
知识梳理
幂的乘方的性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
符号表示：(am)n=amn（m，n都是正整数）.
同底数幂的乘法的性质也适用于三个及三个以上的同底数幂相乘
本题源自《教材帮》
1.老师引导学生归纳本课知识点。 2.师生共同反思学习心得。
教科书本课课后习题第一题。完成后同桌之 间相互订正
八年级数学上册-人教版八年级上册数学 14章小结与复习乘法公式应用中蕴涵的数学思想
乘法公式中的数学思想 思想方法是数学的灵魂，而乘法公式是初中数学当中的最常用公式之一，应用非常的广泛，因此，我们必须彻底弄清公式的本质特征．下面，给同学们总结一下运用乘法公式解决问题的思想方法．一、整体的思想研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是有意识放大考查问题的视角，将要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或做整体处理后，达到顺利而又简捷地解决问题的目的，这就是整体思想。
在利用乘法公式进行计算时，由于同学们对公式的结构缺乏整体认识，往往不会灵活运用，因此造成解答费时、费力，甚至出现错误．例 1 求代数式2)(by ax +)(ax by -－2)(by ax +－2)(by ax -的值，其中4-=a ，1-=x ．解；原式=﹣[2)(by ax +－2)(by ax +)(ax by -+2)(by ax -=﹣[)(by ax +－)(ax by -]2=﹣422x a把4-=a ，1-=x 代入上式，得：原式=﹣4×2)4(-×2)1(-=﹣64评注：此题将by ax +、ax by -看做一个整体，在括号前添“﹣”，中括号内恰好能够运用完全平方公式，在进行合并同类项后在平方，简化了运算过程．二、转化的思想 转化是解数学题的一种重要的思维方法。
转化思想是分析和解决问题的一个重要的基本思想，就解题的本质而言，解题即意味着转化，即把生疏问题转化为熟悉问题，把抽象问题转化为特殊问题，把复杂问题转化为低次问题，把未知条件转化为已知条件，把一个综合问题转化为几个基本问题，把顺向思维转化为逆向思维等等．例2 化简：5)(w z y x -+-6)(z w x y -+-解：原式=5)(w z y x -+-[﹣6)](w z y x -+-=65)(+-+-w z y x=11)(w z y x -+-点评：解答本题关键是将6)(z w x y -+-转化为6)(w z y x -+-，经过适当的变形，化为可以利用公式进行计算的形式，从而使运算简便．三、换元的方法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．换元法又称辅助元素法、变量代换法。
最新人教版八年级上册数学第十四章整式的乘法与因式分解知识点复习
本章知识结构图返回目录源自核心内容同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变， 指数相加． am·an=am+n（m，n都是正整数）
幂的 运算
幂的乘方法则：幂的乘方,底数不变，指数相 乘．（am）n=amn（m，n都是正整数）
积的乘方法则：把积的每一个因式分别乘方，再把 所得的幂相乘．（ab）n=anbn（n为正整数）
整式的乘 一般地,多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘
除法
另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
一般地,单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的 因式,对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为 商的一个因式
一般地,多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以 这个单项式，再把所得的商相加
完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和， 加上（或减去）它们的积的2倍,即（a±b）2=a2±2ab+b2． 完全平方公式特征：①左边是两个数的和(或差)的平方；②右边 是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间 一项是两项积的2倍，其符号与左边的运算符号相同；③公式中的 a，b可以是单项式，也可以是多项式
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乘法 公式
平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 平方差． 即（a+b）（a-b）=a2-b2. 平方差公式特征：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式 中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方 减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单 项式或多项式
同底数幂的除法法则：同底数幂相除,底数不变，指 数相减． am÷an=am-n（a≠0，m，n都是正整数，m＞n）
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人教版八年级数学上册 第十四章 章末复习与小结
=（xm）3÷（xn ）2
而xm=2,xn=3，故原式=
8 9
专题选讲—— 整式的化简与求值
类型一 幂的运算
练一练：已知ax=5，ay=-4，求： （1）ax-y的值； （2）a3y的值； （3）a2x+y的值.
解：（1）ax+y=ax÷ay=5÷（-4）=-1.25. （2）a3y=（ay）3=（-4）3=-64. （3）a2x+y=a2x·ay=（ax）2·ay=52×（-4）3=-100.
专题选讲—— 乘法公式的运用技巧
类型二 连续应用
例 计算： (a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8);
解：(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8) =(a2-b2)(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8) =(a4-b4)(a4+b4)(a8+b8) =(a8-b8)(a8+b8) =a16-b16.
专题选讲—— 乘法公式的运用技巧
类型一 整体应用
例 若a+b=3，a2+b2=7，则ab等于（ B ）
A.2 B.1 C.-2 D.-1
专题选讲—— 乘法公式的运用技巧
类型一 整体应用 练一练： （1）已知m+n=12，m-n=2，则m2-n2=___2_4___； （2）若(a+b+1)(a+b-1)=899，则a+b的值为_3_0_或__-3_0_.
=-m(m-5)+2(m-5) =(2-m)(m-5)
专题选讲—— 因式分解方法大全
类型二 运用公式法因式分解
人教版八年级上册数学教学课件 章末小结与复习 第十四章 章末复习与小结
专题选讲—— 整式的化简与求值
类型一 幂的运算
例2 （1）若a3m=3,b3n=2，求(a2m)3+(bn)3-a2m·bn·a4m·b2n的值
;
解：(a2m)3+(bn)3-a2m·bn·a4m·b2n
=a6m+b3n-a6m·b3n
而a3m=3,b3n=2，故原式=-7
（2解）：若xx3mm=-22n,xn=3，求x3m-2n的值.
专题选讲—— 幂的运算与应用
类型二 逆用幂的运算法则
例 已知ax=-2,ay=3.求： （1）ax+y的值； （2）a3x的值； （3）a3x+2y的值. 解：（1）ax+y=ax·ay=-2×3=-6. （2）a3x=（ax）3=（-2）3=-8. （3）a3x+2y=a3x·a2y=（ax）3（ay）2=（-2）3×32=-72.
专题选讲—— 整式的化简与求值
类型一 幂的运算
例1 计算：
（1）(-2x2y)3+8(x2)2·(-x)2·(-y)3; 解：(-2x2y)3+8(x2)2·(-x)2·(-y)3 =-8x6y3-8x6y3 =-16x6y3.
（2）(x4)2÷(x2)2÷x2-x2. 解：(x4)2÷(x2)2÷x2-x2 =x2-x2 =0
方法归纳
1.a2+b2的变形： （1）a2+b2=(a+b)2-2ab; （2）a2+b2=(a-b)2+2ab; （3）a2+b2= 1 [(a+b)2+(a-b)2].
2
2.ab的变形： （1）ab= 1［(a+b)2-(a2+b2)］；
2
人教版八年级数学上册第十四章小结与复习
第十四章 整式的乘法与因式分解 (时间：60分钟 满分：100分)一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1.下列各式运算正确的是（ ）A.532a a a =+B.532a a a =⋅C.632)(ab ab =D.5210a a a =÷ 2. 计算232(3)x x ⋅-的结果是（ ）A. 56xB. 62xC.62x -D. 56x - 3．计算32)21(b a -的结果正确的是（ ）A. 2441b a B.3681b a C. 3681b a - D.5318a b - 4. 44221625)(______)45(b a b a -=+-括号内应填（ ）A 、2245b a +B 、2245b a +C 、2245b a +-D 、2245b a -- 5.如图，阴影部分的面积是( )A ．xy 27B ．xy 29C ．xy 4D ．xy 2 6.()()22x a x ax a -++的计算结果是( ) A. 3232x ax a +- B. 33x a -C.3232x a x a +-D.222322x ax a a ++- 7．下面是某同学在一次测验中的计算摘录①325a b ab +=； ②33345m n mn m n -=-；③5236)2(3x x x -=-⋅； ④324(2)2a b a b a ÷-=-； ⑤()235a a =；⑥()()32a a a -÷-=-．其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D. 4个 8.下列分解因式正确的是( )A.32(1)x x x x -=-．B.2(3)(3)9a a a +-=-C. 29(3)(3)a a a -=+-.D.22()()x y x y x y +=+-.9. 如(x ＋m )与(x ＋3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为( )．A ．0B ．3C ．－3D ．110. 若3x =15, 3y =5，则3x y -= ( )．A ．5B ．3C ．15D ．10二、填空题（本大题共有7小题，每空2分，共16分） 11．计算(－3x 2y )·(213xy )＝__________． 12．计算22()()33m n m n -+--＝__________． 13．201()3π+=________14.当x __________时，(x －3)0＝1． 15. 若22210a b b -+-+=，则a = ，b ＝校名 班级 姓名 学号密 封 线装 订 线 内 不 要 答 题16.已知4x 2＋mx ＋9是完全平方式，则m ＝_________． 17. 已知5=+b a ，3ab =则22a b +=__________． 18. 定义2a b a b *=-，则(12)3**= ． 三、解答题（本大题共有7小题，共54分） 19．（9分）计算:（1）34223()()a b ab ÷ （2）))(()(2y x y x y x -+-+.(3)xy xy y x y x 2)232(2223÷+--20.（12分）分解因式：(1) 12abc －2bc 2； (2) 2a 3－12a 2＋18a ；(3) 9a(x －y)＋3b(x －y)； (4) (x ＋y )2＋2(x ＋y )＋1.21.（5分）先化简，再求值：()()()22x y x y x y x ⎡⎤-++-÷⎣⎦，其中x=3,y=122. (5分) 请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解．2224()19a x y b +， ， ，23．(8分)解下列方程与不等式(1) 3(7)18(315)x x x x-=--；（2）(3)(7)8(5)(1)x x x x+-+>+-.24. （7分）数学课上老师出了一道题：计算2962的值，喜欢数学的小亮举手做出这道题，他的解题过程如下：2962=(300－4)2=3002－2×300×(－4)+42=90000+2400+16=92416老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的错误，你认为小亮的解题过程错在哪儿，并给出正确的答案.25．(8分) 下面是某同学对多项式（x2－4x+2）（x2－4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2－4x=y原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）= y2+8y+16 （第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2－4x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______．A．提取公因式 B．平方差公式C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？________．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解．参考答案1. B；2.D；3. C；4 .D；5．A6．B；7．B；8．C.9．C10．B11．－x3y3；12．2249m n-；13.10914. ≠315．2, 116．12±；17. 1918．-219．（1）32a b；（2）222y xy+（3）2312x y xy--+20．(1)2bc(6a－c)；(2)2a(a－3)2；(3) 3(x－y)(3a＋b)；(4) (x＋y＋1)2.21.x-y 222．解：答案不惟一，如291(31)(31)b b b -=+-23.(1) 3x = (2) 1x <- 24.错在“－2×300×(－4)”,应为“－2×300×4”,公式用错. ∴2962=(300－4)2=3002－2×300×4 +42=90000－2400+16 =87616.25．（1）C ；（2）分解不彻底；4(2)x -（3）4(1)x -。
人教八年级数学上册《第十四章 小结与复习》课件
拓广探究
练习2 某种产品的原料提价，因而厂家决定对产 品进行提价，现有三种方案： 方案1：第一次提价p％，第二次提价q％；
方案2：第一次提价q％；第二次提价p％；
方案3：第一、二次提价均为 p
+ 2
Байду номын сангаас
q
％．
其中，p、q 是不相等的正数．三种方案哪种提价
最多？
课堂小结
（1）本节课复习了哪些主要内容？ （2）你有哪些收获？你觉得还有什么需要注意的地
• 学习重点： 复习整式乘法法则和因式分解，建立本章知识结构．
知识梳理
问题1 计算下列各题并思考：下列各题中都运用
到我们学过的哪些运算法则？它们之间有怎样的关系？
（1）（-2x2y3） （ 2 xy） 3；
（2）（ 2a+3b） （ 2a-b） ； （3） 5x （ 2x+1 ） （ x-1 ） ；
体系建构
本章知识结构图：
整式乘法 整式除法
乘法公式 因式分解
典型例题
例1 计算：
（1）（ - 5 m + 3 m ） （ - 5 m - 3 m ） ；
（2）（ a - 2 ） （ 2a + 2 ） （ 2a 2 + 4 ） 2 ；
（3）（ 3a+2b） 2-（ 3a-3b） 2；
7
7
（4）（ 2 x- 3y+ 1 ） （ - 2 x+ 3y+ 1 ） ．
八年级 上册
第十四章 小结与复习
课件说明
• 本章小结构建本章的知识结构，形成知识体系；围 绕本节课的重点，通过典型例题，促使学生在理解 乘法公式结构的基础上灵活运用乘法公式进行计算、 因式分解和解决实际问题．
最新人教版初中八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》精品教案(小结复习课)
解：(1) (x-y)2-8(x2-y2)+16(x+y)2 = (x-y)2-8(x-y)(x+y)+[4(x+y)]2 = (x-y)2-2(x-y)∙4(x+y)+[4(x+y)]2 = [(x-y)-4(x+y)]2 = (-3x-5y)2 = (3x+5y)2 ;
解：(2) (x+2)(x-8)+25 =x2-8x+2x-16+25 =x2-6x+9 =x2-2∙x∙3+32 =(x-3)2 .
本题源自《教材帮》深化Fra bibliotek习 3计算：整数x，y满足方程 2xy+x+y=83，则 x+y 的值为多少？ 解析：利用因式分解将等式变形为左边是两个整式的乘积，右边是一个整 数的形式，再求出x，y的值，进而求出x+y的值.
本题的难点是如何将2xy+x+y=83进行变形并因式分解.
本题源自《教材帮》
深化练习 3
本题源自《教材帮》
深化练习 1
若：4x2+mxy+9y2是完全平方式，则m的值为多少？
解：完全平方公式是形如 a2+2ab+b2，a2-2ab+b2 的式子， 将条件中的式子进行变形. ∵4x2+mxy+9y2=(2x)2+mxy+(3y)2，且原式是完全平方式， ∴±mxy=2∙2x∙3y. ∴m=±12.
因式分解： (1) a4-16a2 ;
解：(1) a4-16a2 = a2(a2-16) = a2(a+4)(a-4) ;
(2) -2a2b2+a3b+ab3 ;
第14章数学8上知识总结
第14章数学8上知识总结标题：第14章数学8上知识总结一、引言在本章中，我们将总结第14章数学内容，涵盖了整式乘除法、因式分解、分式等重要知识点。
通过本章的学习，学生将能够掌握这些基础数学知识，为后续学习打下坚实的基础。
二、知识点总结1. 整式乘除法整式乘除法是本章的基础知识点，包括单项式与多项式的乘除法。
学生需要掌握乘除法的运算法则，并能正确地进行整式的乘除运算。
2. 因式分解因式分解是本章的重点之一，包括提取公因式法、公式法等。
学生需要掌握因式分解的基本方法，并能根据不同情况选择合适的分解方法。
3. 分式分式是本章的另一个重点，包括分式的概念、基本性质、通分、约分、求最值等。
学生需要掌握分式的概念和性质，并能正确地进行通分、约分等操作。
三、重点与难点1. 重点(1)掌握整式乘除法的基本法则和方法；(2)理解并正确运用因式分解的基本方法；(3)理解分式的概念、性质和运算方法。
2. 难点(1)如何正确地进行通分、约分等操作；(2)在因式分解中处理复杂的多项式；(3)分式的运算中需要注意的细节和难点问题。
四、典型例题分析为了帮助学生掌握本章知识，我们将列举一些典型例题进行分析，包括整式乘除法、因式分解和分式等。
通过例题的解析，学生能够更好地理解解题思路和方法。
例题1：计算（3x-2y）（-2y+3x）的结果为（）。
解：原式=［（3x）²-（2y）²］+［（3x）（-2y）］+［（-2y）（3x）］=9x²-4y²-6xy。
因此，本题正确答案为多项式乘法的例子。
例题2：求解因式分解：（a+b）²-2ab。
解：原式=［（a+b）+2ab］［（a+b）-2ab］=［a+b+2ab］［a+b-2ab］。
因此，本题正确答案为分组分解的例子。
例题3：求分式$\frac{x}{x²+4x+4}$的最小值。
解：首先，我们需要将分式通分，得到$\frac{x(x+2)}{(x+2)^{2}}$。
人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解小结与复习教学课件
考点二 整式的运算
例3 计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)] ÷3x2y,其中x=1,y=3.
解析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练
正确地运用运算法则.
解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) ÷3x2y
=(2x3y2-2x2y) ÷3x2y
例6 把多项式2x2－8分解因式，结果正确的是( C )
A．2(x2－8)
B．2(x－2)2
C．2(x＋2)(x－2) D．2x(x－ )
4 x
归纳总结
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆 运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求 分解到每一个因式都不能再分解为止.
3.(1)已知3m=6,9n=2,求3m+2n,32m-4n的值. (2)比较大小：420与1510. 解：(1)∵3m=6,9n=2, ∴3m+2n=3m·32n=3m·(32)n=3m·9n=6×2=12. 32m-4n=32m÷34n=(3m)2÷(32n)2=(3m)2÷(9n)2=62÷22=9. (2) ∵420=（42）10=1610， ∵1610>1510,
=a2－(b－3)2=a2－b2＋6b－9. (3)原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2
=(9x2－4y2)2=81x4－72x2y2＋16y4
11.用简便方法计算
(1)2002－400×199＋1992； (2)999×1 001. 解：(1)原式＝(200－199)2=1;
(2) 原式＝(1000－1)(1000+1) ＝10002－1 ＝999999.
人教版初中数学八年级上册第十四章小结与复习2
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第十四章整式的乘法与因式分解
单元检测
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一 选择题（每小题 3 分，共 30 分）
分数：
1.下列式子中，正确的是.........................................
()
A.3x+5y=8xy
B.3y2-y2=3
C.15ab-15ab=0
D.29x3-28x3=x
2.当 a= -1 时，代数式 2(a+1) + a(a+3)的值等于…
()
A.-4
B.4
C.-2
D.2
3.若-4x2y 和-2xmyn 是同类项，则 m，n 的值分别是…… ( )
A.m=2,n=1 B.m=2,n=0 C.m=4,n=1 D.m=4，n=0
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更理性地看待人生
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4.化简(-x)3·(-x)2 的结果正确的是……………( )
A.-x6
B.x6
C.x5
D.-x5
5.若 x2+2(m-3)x+16 是完全平方式，则 m 的值等于…( )
A.3
B.-5
C.7.
D.7 或-1
6.下列各式是完全平方式的是（ ） 1
A、x2 － x + B、1+4x2 C、a2+ab+b2 4
八年级数学人教版(上册)第14章小结与复习
(am )n amn （m，n都是正整数）
底数不变 幂的乘方，底数__不__变__，指数___相__乘__.
侵权必究
3. 积的乘方
(ab) n = __a_n_b_n__(n_为正整数) 积的乘方，等于把积的每一个因式分别_乘__方___， 再把所得的幂__相__乘___ .
侵权必究
4. 整式的乘法
解：(1)原式=(3x)2－52 =9x2－25；
(2)原式=(－2a)2－b2 =4a2－b2；
(3)原式=(7m)2+2·7m·8n+(8n)2 (4)原式=（100＋2）(100－2)
=49m2+112mn+64n2；
= 1002-22
=10000 – 4
侵权必究
考点5 因式分解 例8 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( B ) A．a(x－y)＝ax－ay B．x2－1＝(x＋1)(x－1) C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3 D．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
侵权必究
5. 乘法公式
平方差公式： (a+b)(a－b)=a2－ b2. 完全平方公式： (a+b)2 = a2 +2ab+b2 (a-b)2 =a2 - 2ab+b2.
侵权必究
6. 因式分解
因式分解：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式, 像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这 个多项式分解因式.
侵权必究
4.先化简再求值：[(x-y)2+(x+y)(x-y)] ÷2x,其中 x=3,y=1.5.
解：原式=(x2-2xy+y2+x2-y2) ÷2x =(2x2-2xy) ÷2x =x-y.
人教版八年级上册数学 14章小结与复习乘法公式_要点全析(2)
乘法公式·要点全析1．平方差公式（formula for the difference of squares ）（1）表达式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2．（2）语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．（3）注意事项：①运用公式要抓住公式的结构特征，左边是两个数的和与这两个数的差相乘，右边正好是这两个数的平方差，对于形如两数和与这两数差相乘，就可运用上述公式计算．②公式中的字母可表示具体的数，也可表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可运用该公式．③在运用公式时，要求分清哪个数相当于公式中的a ，哪个数相当于公式中的b ，按公式的结构相乘．例如：①（m ＋4）（m －4）＝m 2－42＝m 2－16．②（2a 2＋3b ）（2a 2－3b ）＝（2a 2）2－（3b ）2＝4a 4－9b 2．③（－43xy 3－32x 3）（43xy 3－32x 3）＝（－32x 3－43xy 3）（－32x 3＋43xy 3）＝（－32x 3）2－（43xy 3）2＝94x 6－169x 2y 6．2．完全平方公式（formula for the square of the sum ）（1）字母表达式：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2，（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2．可合写为（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2．（2）语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．右面可说为：“首平方，尾平方，首尾之积的2倍加减在中央”．（3）注意事项：①对于形如两数和（或差）的平方运算，可运用完全平方公式计算．利用公式计算时，首先确定将哪个数或式看作a ，将哪个看作b ，再按公式结构展开． ②这两个公式，是据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的． ③公式中的a 、b 可表示具体的一个数或其他的一个代数式． ④可推广：如（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ．（a ＋b ＋c ＋d ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋2ab ＋2ac ＋2ad ＋2bc ＋2bd ＋2cd ．……3．平方差公式的灵活运用有些式子在计算时，不能直接利用平方差公式，需要稍加变形或变式后，才能使用．常用的方法有如下几种：（1）调换位置．如：（1＋2a ）（－2a ＋1）＝（1＋2a ）（1－2a ）＝1－4a 2．（2）提取－1或其他公因式．如：（－a －b ）（a －b ）＝－（a ＋b ）（a －b ）＝－（a 2－b 2）＝b 2－a 2．又如：（6x ＋2y ）（3x －4y ）＝2（3x ＋4y ）（3x －4y）＝2（9x 2－162y ）＝18x 2－81y 2．（3）分组．如：（a －b ＋c －d ）（a ＋b －c －d ）＝［（a －d ）－（b －c ）］［（a －d ）＋（b －c ）］＝（a －d ）2－（b －c ）2＝a 2－2ad ＋d 2－b 2－c 2＋2bc ．（4）运用积的乘方变形．如：（a －b ）2（a ＋b ）2＝［（a －b ）（a ＋b ）］2＝（a 2－b 2）2＝a 4－2a 2b 2＋b 4．（5）将乘式同时乘以并且同时除以一个适当的因式．如：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）＝（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）＝（22－1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）…＝216－1．又如：（1－m ）（1＋m 2）（1＋m 4）（m ≠－1）＝m m m m m ＋）＋）（＋）（－）（＋（1111142＝m m m m ＋＋）（＋）（－（1)111422＝m m ＋－118（6）把一个因式适当变形．如：3（22＋1）（24＋1）（28＋1）＝（22－1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）＝（24－1）（24＋1）（28＋1）＝216－1．（7）将因式多项式拆项或添项．如：（a －b ）（a ＋2b ）＝（a －b ）［（a ＋b ）＋b ］＝a 2－b 2＋b （a －b ）＝a 2－b 2＋ab －b 2＝a 2＋ab －2b 2．4．完全平方公式的灵活运用a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab ，a 2＋b 2＝（a －b ）2＋2ab ， （a ＋b ）2＋（a －b ）2＝2（a 2＋b 2），（a ＋b ）2－（a －b ）2＝4ab ．（1）恒等式a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab 和a 2＋b 2＝（a －b ）2＋2ab 的应用． 在此恒等式中，有三个量a 2＋b 2、（a ＋b ）2或（a －b ）2、ab ，若已知任意两个，则可求第三个，求得（a ＋b ）2或（a －b ）2，也就求得a ＋b 或a －b ． 例如：①若a 2＋b 2＝3，ab ＝1，可求（a ＋b ）2．∵ 3＝（a ＋b ）2－2×1，∴ （a ＋b ）2＝5．②若a －b ＝3，ab ＝4，则可求a 2＋b 2．∵ a 2＋b 2＝（a －b ）2＋2ab ，∴ a 2＋b 2＝32＋2×4＝17．（2）恒等式（a ＋b ）2＋（a －b ）2＝2（a 2＋b 2）的应用．在恒等式（a ＋b ）2＋（a －b ）2＝2（a 2＋b 2）中，有三个量a ＋b 、a －b 、a2＋b 2，若已知两个量，就可求第三个量．例如：已知a －b ＝－1，a 2＋b 2＝5．求a ＋b ．解：∵ （a ＋b ）2＋（a －b ）2＝2（a 2＋b 2），∴ （a ＋b ）2＋（－1）2＝2×5，（a ＋b ）2＝9．∴ a ＋b ＝±3．（3）恒等式（a ＋b ）2－（a －b ）2＝4ab 的应用．在此等式中，有三个量a ＋b ，a －b ，ab ．若知任两个量，可求第三个量． 例如：已知a －b ＝1，ab ＝2，求a ＋b ．解：∵ （a ＋b ）2－（a －b ）2＝4ab ，∴ （a ＋b ）2－1＝8，（a ＋b ）2＝9． ∴ a ＋b ＝±3．（4）利用完全平方公式，求平方数．如：152＝（10＋5）2＝102＋2×10×5＋52＝100＋100＋25＝225． 232＝（20＋3）2＝202＋2×20×3＋32＝400＋120＋9＝529．672＝（70－3）2＝702－2×70×3＋32＝4 900－420＋9＝4 489． 79.22＝（80－0.8）2＝6 400－128＋0.64＝6 272.64．（5）完全平方数是非负数．任何一个完全平方数M 都能化为n 2的形式，即M ＝n 2，由偶次幂的性质得n 2≥0．当n ＝0时，n 2的最小值是0，并且n 2具有非负数的性质，即若n 个非负数的和为0，则这几个非负数就同时为0．因此，（a ±b ）2≥0．当a ±b ＝0时，（a ±b ）2的最小值为0．例如：①已知（x ＋y －1）2＋（x －2）2＝0，则x ＝_______，y ＝___________．解：∵ （x ＋y －1）2≥0，（x －2）2≥0，由非负数的性质得⎩⎨⎧．＝－， ＝－＋0201x y x ∴ ⎩⎨⎧．＝－，＝12y x例如：②已知，a 、b 为自然数，且a ＋b ＝2，求ab 的最大值及a 、b 的值． 解：∵ （a ＋b ）2－（a －b ）2＝4ab ，∴ ab ＝41［（a ＋b ）2－（a －b ）2］＝41［4－（a －b ）2］，∵ （a －b ）2≥0，∴ 当（a －b ）2＝0时，ab 的值最大，即a ＝b 时，ab 的值最大，为41×4＝1又∵ a ＋b ＝2，∴ a ＝b ＝1．5．完全平方公式的逆运用，即a 2±2ab ＋b 2＝（a ±b ）2把一个形如a 2±2ab ＋b 2的二次三项式化为（a ±b ）2的形式，然后运用（a ±b ）2的性质求解问题．例如：已知x 2＋4x ＋y 2－2y ＋5＝0，求x 、y 的值．解：∵ （x 2＋4x ＋4）＋（y 2－2y ＋1）＝0，即（x ＋2）2＋（y －1）2＝0，∴ ⎩⎨⎧．＝－，＝＋0102y x ∴ ⎩⎨⎧12＝，＝－y x再如：已知a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ，则a 、b 、c 的关系为_______． 解：∵ a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ，∴ 2a 2＋2ab ＋2c 2＝2ab ＋2ac ＋2bc ．∴ （a 2－2ab ＋b 2）＋（a 2－2ac ＋c 2）＋（b 2－2bc ＋c 2）＝0，即（a －b ）2＋（a －c ）2＋（b －c ）2＝0．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧．＝－＝－，＝－000c b c a b a ∴ a ＝b ＝c ．也可以运用公式a 2±2ab ＋b 2＝（a ±b ）2把一类二次三项式直接化为（a ±b ）2的形式．如4x 2－4xy ＋y 2＝（2x ）2－2×2x ×y ＋y 2＝（2x －y ）2．6．完全平方式因为a 2±2ab ＋b 2能化成（a ±b ）2的形式，所以，形如a 2±2ab ＋b 2的式子叫做完全平方式，其中a 、b 表示代数式．例如：①已知x 2＋4x ＋k 是完全平方式，求常数k 的值．解：∵ x 2＋4x ＋k 是完全平方式，∴ 设x 2＋4x ＋k ＝（x ＋p ）2，即x 2＋4x ＋k ＝x 2＋2px ＋p 2．∴ ⎩⎨⎧，＝，＝224p k p ∴ ⎩⎨⎧．＝，＝42k p ∴ k 值为4．②已知x 2＋2kx ＋4是完全平方式，求常数k 的值．解：∵ x 2＋2kx ＋4是完全平方式，∴ 设x 2＋2kx ＋4＝（x ±2）2， 思考题；已知x 2＋M ＋4是一个完全平方式，求代数式M （提示：①当M 为常数项时；②当M 为乘积项，即“一次项式”时；③当M 为“二次项式”时．并分析在三种情况下，M 的值有多少个．）注意：完全平方数是完全平方式的特例．总之，完全平方公式，应用广泛，灵活，具有丰富的方法和技巧．7．平方差公式可变形后运用（1）可变形为a 2＝（a ＋b ）（a －b ）＋b 2，可快速求两位数的平方． 如：352＝（35＋5）（35－5）＋52＝1 225．972＝（97＋3）（97－3）＋32＝100×94＋9＝9 409．（2）在（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2中，有三个多项式，若已知任意两个的值，即可求第三个的值．如：已知a ＋b ＝3，a 2－b 2＝4，则a －b ＝34．（3）对公式（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2的逆运用，即利用公式a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）求解问题．（其实（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2和a 2－b 2＝（a ＋b ）（a－b ）都是平方差公式）如：①x 2－4＝x 2－22＝（x ＋2）（x －2）．②1－4a 2b 2＝（1＋2ab ）（1－2ab ）．③（a ＋b ）2－（a －b ）2＝（a ＋b ＋a －b ）（a ＋b －a ＋b ）＝2a ·2b ＝4ab ．④（1－221）（1－231）（1－241）…（1－2101）＝（1＋21）（1－21）（1＋31）（1－31）…（1＋101）（1－101）＝23×21×34×32×45×43×…×1011×109＝21×1011＝2011．。
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第十四章整式的乘法与因式分解
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姓名： 班级： 考号： 分数：
一 选择题（每小题3分，共30分）
1.下列式子中，正确的是......................................... ( )
A.3x+5y=8xy
B.3y 2-y 2=3
C.15ab-15ab=0
D.29x 3-28x 3=x 2.当a= -1时，代数式2(a+1) + a(a+3)的值等于… ( )
A.-4
B.4
C.-2
D.2
3.若-4x 2y 和-2x m y n 是同类项，则m ，n 的值分别是…… ( )
A.m=2,n=1
B.m=2,n=0
C.m=4,n=1
D.m=4，n=0
4.化简(-x)3·(-x)2的结果正确的是……………( )
A.-x 6
B.x 6
C.x 5
D.-x 5
5.若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m 的值等于…( )
A.3
B.-5
C.7.
D.7或-1 6.下列各式是完全平方式的是（ ）
A 、x 2 － x + 14
B 、1+4x 2
C 、a 2+ab+b 2
D 、x 2+2x －1 7.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
（A ）22)(b a -+ （B ）mn m 2052- （C ）22y x -- （D ）92+-x
8.若3x ＝15, 3y ＝5，则3x －
y 等于( )．
A ．5
B ．3
C ．15
D ．10 9.一个正方形的边长增加了2cm ，面积相增加了32cm 2，则这个正方形的边
223()32x y --
1a 22()()
33m n m n -+--2
1
a 长为（ ）
A 、6cm
B 、5cm
C 、8cm
D 、7cm
10.下列运算中，正确的是( )
A. x 2·x 3=x 6
B. (ab)3=a 3b 3
C. 3a+2a=5a 2
D.（x ³）²= x 5
二、填空题（每小题3分，共30分）
11、当x__________时，(x －4)0＝1.
12.计算：（x ＋5）（x －1）＝________．
13. 在实数范围内分解因式=-62a
14. =_______。
15、已知， , 求
= ； 16、若3x ＝15,3y ＝5，则3x －y 等于
17、已知a ＋ ＝3，则a 2＋ 的值是__________．
18、计算： ＝__________.
19．计算： ＝__________.
20．若|a －2|＋b 2－2b ＋1＝0，则a ＝__________，b ＝__________.
a b ab +=-=31，a b 22+()()4352a a -⋅-
ab
b a b a 4)58(223÷-1
222-+-b ab a 三 解答题（40分）
21、解不等式（5分）
(x+1)(x-1)+8＞(x+5)(x-1).
22、计算（5分）
23、因式分解：（10分）
24、先化简，再求值．（10分）
（2x+3y ）2 — (2x+3y)(2x-3y), 其中x=3，
y=1
25、若△ABC三边a、b、c满足a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca．判断△ABC的
形状（10分）。