电路的复频域分析

今后讨论的拉氏变换均为 0 拉氏变换,计及t=0时f(t)包含 的冲击。
简写
F(S) L f (t)
f
(t)
L1
F
(S
)
正变换 反变换
注 1 F (S) f (t )estdt 0 f (t )estdt f (t )estdt
0
0
0
在t＝0 至t＝0＋ f(t)=(t)时此项 0
由上述推导可得：
Ck
F
( jk1)
T
k F ( jk1) 2
f (t)
Ck e jk1t
k F ( jk1) e jk1t 2
当 T
k d
求和变积分
k1
所以
f (t) 1 F ( j)e jtd
2
此式称为傅里叶反变换，他把一个频率函数变成时间函数
注意：在傅里叶变换中，函数f(t)应满足：
2 象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)。
原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。
3 象函数F(s) 存在的条件：
0 f (t )est dt est为收敛因子
如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足：
f (t) Mect t [0, )
则
0
f (t)estdt
当 T 但是 T • Ck
频谱变为连续 仍为有限值
Ck 0
于是可定义一个新的函数：
T
F
(
jk1)
Байду номын сангаас T gCk
2 k
gCk
2 T
2
f (t)e jk1tdt
当 T
即
F ( j)
1
2
T
d
k1
f (t)e jt dt
此式称为傅里叶积分或傅 里叶变换，他把一个时间 函数变成了频率函数
2.傅里叶反变换
于是，傅里叶变换式可写成
F1( j)
f (t)ete jt dt
F ( j)
f (t)e( j )t dt
令 s j
则有
F(s) f (t)estdt
此式称为推广 的傅里叶变换
考虑到电路理论中，通常将换路时刻取为t=0,又考虑到f(t) 可能包含冲激函数，所以，在上式中将积分下限取为0-, 即得推广的傅里叶正变换：
此式称为拉普 拉斯反变换
记为
L1[F (s)] f (t)
1
j
F (s)estds
2 j j
二.拉普拉斯变换法的概念
1. 拉氏变换法 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数
f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换
为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的 代数方程以便求解。
s为复频率 s j
应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析 法，又称运算法。
2. 拉氏变换的定义 t < 0 , f(t)=0
F (s)
f (t )estdt
0
f (t)
1
c j F (s)e stds
2j c j
正变换 反变换
0 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。 00 积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。
观察 由于绝对可积的条件限制，某些增长函 数，如eat(a>0)的傅里叶变换不存在。
由于绝对可积的条件限制，某些不衰减 函数，如正弦函数、阶跃函数等的傅里 叶变换也不可直接求出。
为解决上述问题，引出拉普拉斯变换！
3. 拉普拉斯变换
在傅里叶变换中引入一个衰减因子，如e-σt(σ为任 意常数)，只要σ 选得足够大，则f(t)e-σt就一定收敛， 绝对可积条件就容易满足。
例 熟悉的变换
1 对数变换 把乘法运算变换为加法运算
A B AB
lg A lg B lg AB
2 相量法 把时域的正弦运算变换为复数运算
正弦量 相量
i1 i2 i I1 I2 I
拉氏变换：
时域函数f(t)(原函数)
对应 复频域函数F(s)(象函数)
简写 F(s) L f (t)
Me (sc)t dt
0
M sC
总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值，即 f(t)的拉氏变换式F(s)总存在。
3.典型函数的拉氏变换
F (S) 0 f (t )estdt
(1)单位阶跃函数的象函数
f (t) (t)
F(s) L[ (t)]
(t)estdt
0
0 e stdt
其中
f (t) Cke jk1t
T
Ck
1 T
T 0
f (t)e jk1t dt 1 2 T T
f (t)e jk1tdt(k 0, 1, 2,
)
2
Ck的幅度频谱和相位频谱是kω1的函数，并且为离散线谱，
其线间相距： k (k 1)1 k1 1 2 / T
可见，当T变大时， Ck以及∆ω1都将变小。
1 est 1 s 0s
(2)单位冲激函数的象函数
f (t) (t)
F(s) L[ (t)]
(t)estdt
0
0 ( t )estdt
0
es0 1
(3)指数函数的象函数
f ( t ) eat
第14章 电路的复频域分析
重点 1. 拉普拉斯变换的基本原理和性质
2. 掌握用拉普拉斯变换分析线性电路 的方法和步骤
3. 电路的时域分析变换到频域分析 的原理
4. 复频域中的网络函数的概念与分析
14.1 拉普拉斯变换
一.拉普拉斯变换的导出
1.傅里叶变换
一个周期函数f(t)可以表示为傅里叶级数（指数形式）
F(s) f (t)estdt 0
此式称为拉普拉斯正变换，简称拉普拉斯变换。
在拉普拉斯变换中
F(s) f (t)estdt 0
f(t)称为原函数，F（S）称为象函数。
记为
L[ f (t)] F (s) f (t)estdt 0
s为复频率 s j
注意：在拉普拉斯变换中，函数f(t)应满足：
1、函数f(t)满足狄里赫利条件（a.在任一周期内，函数f(t) 连续或只有有限个第一类间断点；b.在任一周期内，函 数f(t) 只有有限个极值。——第一类间断点：若x’是f(x) 的间断点，但左极限f(x’-0)和右极限f(x’+0)都存在）。
2、函数f(t)绝对可积，即
f (t) dt 为有限值。
1、函数f(t)满足狄里赫利条件。
2、
f (t) etdt （函数f(t)绝对可积）
0
4. 拉普拉斯反变换
根据傅里叶反变换，有
f (t)et 1 F( j)e jtd
2
f (t)
1
F( j)e( j)td ( j)
j2
即
f (t)
1
j
F (s)estds
2 j j