线线角与线面角

线线角与线面角

线线,线面,面面的平行与垂直,异面直线所成角,直线与平面所成角 异面直线所成角,直线与平面所成角 知识整合:

1.转化思想:将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形;⇔⇔⊥⇔⊥⇔⊥线线平行线面平行面面平行,线线线面面面

2.求角的三个步骤:一猜,二证,三算.猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证

热点题型1

例1、如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，

13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的

中点

(Ⅰ)求证1AC BC ⊥; (Ⅱ) 求证11AC CDB 平面;

(Ⅲ)求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值

解析;异面直线所成角的平面角顶点O 的选取一般

选在两异面直线的端点处,初学者或观察能力有限者可采用穷举法,实行逐个端点考察,也有取在某线段的中点处.

解：（I ）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，

∴ AC ⊥BC ，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴ AC ⊥BC 1；

（II ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴ DE//AC 1， ∵ DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴ AC 1//平面CDB 1； （III ）∵ DE//AC 1，∴ ∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角，

在△CED 中，ED=21AC 1=25，CD=21

AB=2

5，

CE=2

1

CB 1=22，

∴

8cos 5

5

22

CED ∠=

=

⋅，

1

A

1

A

∴ 异面直线 AC 1与 B 1C

所成角的余弦值

5

. 解法二： ∵直三棱锥111ABC A B C -底面三边长3,4,5AC BC AB ===，

1,,AC BC CC 两两垂直

如图建立坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C 1(0,0,4),B(0,4,0),B 1(0,4,4),D(3

2

,2,0) (Ⅰ)

11(3,0,0),(0,4,4)AC BC =-=,11110,AC BC AC BC ∴⋅=∴⊥

(Ⅱ)设1CB 与1C B 的交点为E ，则E(0,2,2)

13

(,0,2),(3,0,4),2DE AC =-=-

111

,//2

DE AC DE AC ∴=∴

111,,DE CDB AC CDB ⊂⊄平面平面 1//AC CDB ∴平面

(Ⅲ)

11(3,0,4),(0,4,4),AC CB =-

=

1111112cos ,5||||

AC CB AC

CB AC CB ∴<>=

=

∴异面直线1AC 与1B C 5

热点题型2

例2、如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，a B A A A AC AB AC A AB A ===∠=∠1111,,，侧面11BCC B 与底面ABC 所成的二面角为

120，E 、F 分别是棱A A C B 111、的中点

（Ⅰ）求A A 1与底面ABC 所成的角

（Ⅱ）证明E A 1∥平面FC B 1

（Ⅲ）求经过C B A A 、、、1四点的球的体积

1

解：（Ⅰ）过1A 作⊥H A 1平面ABC ，垂足为H ． 连结AH ，并延长交BC 于G ，

于是AH A 1∠为A A 1与底面ABC 所成的角． ∵AC A AB A 11∠=∠，∴AG 为BAC ∠的平分线． 又∵AC AB =，∴BC AG ⊥，且G 为BC 的中点． 因此，由三垂线定理BC A A ⊥1．

∵B B A A 11//，且B B EG 1//，∴BC EG ⊥．

于是AGE ∠为二面角E BC A --的平面角，即

120=∠AGE ． 由于四边形AGE A 1为平行四边形，得

601=∠AG A ．

（Ⅱ）证明：设EG 与C B 1的交点为P ，则点P 为EG 的中点．连结PF ． 在平行四边形1AGEA 中，因F 为A A 1的中点，故FP E A //1． 而⊂FP 平面FC B 1，⊄E A 1平面FC B 1，所以//1E A 平面FC B 1．

（Ⅲ）连结C A 1．在AC A 1∆和AB A 1∆中，由于AB AC =，AC A AB A 11∠=∠，

A A A A 11=，则

AC A 1∆≌AB A 1∆，故B A C A 11=．由已知得a C A B A A A ===111．

又∵⊥H A 1平面ABC ，∴H 为ABC ∆的外心．

设所求球的球心为O ，则H A O 1∈，且球心O 与A A 1中点的连线A A OF 1⊥．

在FO A Rt 1∆中，3

330cos 21

cos 111a

a

H AA F A O A === ．故所求球的半径a R 33=，球的体积3

327

3434a R V ππ==

． 热点题型3

例3、如图，在四棱锥P —ABC 右，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3，