二次函数应用题(讲义及答案)
(完整版)二次函数应用题(含答案)整理版
(完整版)二次函数应用题(含答案)整理版题目1：某公司的销售额可以用二次函数$y=-2x^2+20x$来表示，其中$x$表示月份（从1开始），$y$表示对应月份的销售额。
求解下列问题：问题1：请计算公司第6个月的销售额。
解答：将$x=6$代入二次函数中，可得：$y=-2\times6^2+20\times6=-72+120=48$所以公司第6个月的销售额为48。
问题2：请问公司销售额最高的月份是哪个月？解答：二次函数$y=-2x^2+20x$是一个开口朝下的抛物线，最高点即为销售额最高的月份。
通过求导数，我们可以找到函数的最高点。
首先，求导得到一次函数$y'=-4x+20$，令$y'=0$，解方程可得$x=5$。
因此，公司销售额最高的月份是第5个月。
题目2：一架火箭从地面起飞后，高度$h$（以米为单位）随时间$t$（以秒为单位）变化的规律可以用二次函数$h=-5t^2+100t$表示。
求解下列问题：问题1：请问火箭多少秒后达到最大高度？解答：同样地，通过求导数，我们可以找到火箭高度的最高点。
将二次函数$h=-5t^2+100t$求导得到一次函数$h'=-10t+100$，令$h'=0$，解方程可得$t=10$。
因此，火箭在10秒后达到最大高度。
问题2：请计算火箭达到最大高度时的高度。
解答：将$t=10$代入二次函数中，可得：$h=-5\times10^2+100\times10=-500+1000=500$所以火箭达到最大高度时的高度为500米。
以上是对二次函数应用题的解答，希望能帮助到您。
二次函数的应用(解决实际问题)带答案)
二次函数的应用1．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是（ ） A ．60m 2 B ．63m 2 C ．64m 2 D ．66m 2【答案】C ．考点：1．二次函数的应用；2．应用题；3．二次函数的最值；4．二次函数的最值．2.厂为扬州三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度(m)h 与飞行时间(s)t 的关系式是252012h t t =-++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）A ．3sB ．4sC ．5sD ．6s【答案】B ．考点：二次函数的应用． 3．如图，正三角形ABC 的边长为，在三角形中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得D 、E 、F在边CB 上，点P 、N 分别在边CA 、AB 上，设两个正方形的边长分别为m ，n ，则这两个正方形的面积和的最小值为A．B．C．3 D．【答案】D【解析】【分析】设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，根据等边三角形的性质得∠A＝∠B＝60°，AB＝3＋，利用含30°的直角三角形三边的关系得BD＝DN＝m，CF＝PF＝n，则m＋m＋n＋n＝3＋，所以n＝3－m，S＝m2＋n2＝m2＋（3－m）2＝2（m－）2＋，接着确定m的取值范围，然后根据二次函数的性质求出S的最小值.【详解】设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，∵△ABC为等边三角形，∴∠A ＝∠B＝60°，AB＝3＋，在Rt△ADN中，BD＝DN＝m，在Rt△BPF中，CF＝PF＝n，∵AD＋DE＋EF＋BF＝AB，∴m＋m＋n＋n＝3＋，∴m＋n＝3，∴n＝3－m，∴S＝m2＋n2＝m2＋（3－m）2＝2（m－）2＋，当点M落在AC上，则正方形PHEC的边长最小，正方形DNME的边长最大，如图，在Rt△ADN中，BD＝DN，CM＝DN，∴DN＋DN＝3＋，解得DN＝3－3，在Rt△CPF中，CF＝PF，∴（3－3）＋3－3＋EF＋PF＝3＋，解得PF＝6－9，∴6－9≤m≤3－3，∴当m＝时，S最小，S的最小值为，故答案选D.4．把一个物体以初速度v0(米/秒)竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，物体的运动路线是一条抛物线，且物体的上升高度h(米)与抛出时间t(秒)之间满足：h＝v0t－ gt2(其中g是常数，取10米/秒2)．某时，小明在距地面2米的O点，以10米/秒的初速度向上抛出一个小球，抛出2.1秒时，该小球距地面的高度是( ) A．1.05米B．－1.05米C．0.95米D．－0.95米【答案】C【解析】【分析】把t=2.1代入h＝v0t－gt2，求出h的值，然后加2即可.【详解】把t=2.1代入h＝v0t－gt2得，h＝10×2.1－×10×2.12=-1.05（米），-1.05+2=0.95（米）.故选C.5．点为线段上的一个动点，，分别以和为一边作等边三角形，用表示这两个等边三角形的面积之和，下列判断正确的是（）A．当为的三等分点时，最小B．当是的中点时，最大C．当为的三等分点时，最大D．当是的中点时，最小【答案】D【解析】【分析】根据四个选择项，可知要判断的问题是C在AB的什么位置时，S有最大或最小值．由于点C是线段AB上的一个动点，可设AC=x，然后用含x的代数式表示S，得到S与x的函数关系式，最后根据函数的性质进行判断．【详解】设AC=x，则CB=1-x，S=x2+（1-x）2，即S=x2-x+=（x-）2+，∵a=>0，∴当x=时，S最小，此时，C是AB的中点，故选D．【点睛】本题考查了二次函数的最值，根据题意建立二次函数的关系式，然后根据二次根式的性质进行解答是关键．6.抛物线p ：y=ax 2+bx+c 的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），点C 关于x 轴的对称点为C′，我们称以A 为顶点且过点C′，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y ＝x 2＋2x ＋1和y ＝2x ＋2，则这条抛物线的解析式为_____________________． 【答案】223y x x =--. 【解析】试题分析：由题意可得，抛物线y ＝x 2＋2x ＋1和直线y ＝2x ＋2的交点坐标就是点A 、C′的坐标，把y ＝x 2＋2x ＋1和y ＝2x ＋2联立组成方程组，解得方程组的解即可的得A （—1,0）、C′（1，4）.又因y=ax 2+bx+c 的顶点为C 与C′关于x 轴对称，所以C （1,-4）. y=ax 2+bx+c 的顶点为C （1, —4）且过点A （—1,0）.可设抛物线的解析式为y=a （x —1）2 —4，把点A （—1,0）代入即可求得a=1，所以y=（x —1）2 —4，即223y x x =--.考点：阅读理解题；求函数的交点坐标；求函数的解析式.学科网7. 某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x 棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y （个）与x 之间的关系； （2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？【答案】（1）6005y x =-；（2）果园多种10棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大，最大为60500个． 【分析】（1）根据每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子列式即可；（2）根据题意列出函数解析式，利用配方法把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【解析】（1）平均每棵树结的橙子个数y （个）与x 之间的关系为：y =600﹣5x （0≤x ＜120）；（2）设果园多种x 棵橙子树时，可使橙子的总产量为w ，则w =（600﹣5x ）（100+x ）=25(10)60500x --+ 则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个． 考点：二次函数的应用．8.某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m （30＜m ≤100）人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m 人时，人均收费都按照m 人时的标准．设景点接待有x 名游客的某团队，收取总费用为y 元．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m 的取值范围．【答案】（1）y =120 (030)[120(30)] (30)[120(30)] (100)x x x x x m m x m x <≤⎧⎪--<≤⎨⎪--<≤⎩；（2）30＜m ≤75．【分析】（1）根据收费标准，分0＜x ≤30，30＜x ≤m ，m ＜x ≤100分别求出y 与x 的关系即可．（2）由（1）可知当0＜x ≤30或m ＜x ＜100，函数值y 都是随着x 是增加而增加，30＜x ≤m 时，2150y x x =-+，根据二次函数的性质即可解决问题．【解析】（1）y =120 (030)[120(30)] (30)[120(30)] (100)x x x x x m m x m x <≤⎧⎪--<≤⎨⎪--<≤⎩．（2）由（1）可知当0＜x ≤30或m ＜x ＜100，函数值y 都是随着x 是增加而增加，当30＜x ≤m 时，22150(75)5625y x x x =-+=--+，∵a =﹣1＜0，∴x ≤75时，y 随着x 增加而增加，∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，∴30＜m ≤75．考点：二次函数的应用；分段函数；最值问题；二次函数的最值9. 某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y （间）与其价格x （元）（180≤x ≤300）满足一次函数关系，部分对应值如表：x （元） 180 260 280 300 y （间） 100 60 50 40（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每日空置的客房需支出各种费用60元，当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大值．（宾馆当日利润=当日房费收入﹣当日支出） 【答案】（1）11902y x =-+（180≤x ≤300）；（2）当房价为210元时，宾馆当日利润最大，最大利润为8450元．【分析】（1）设一次函数表达式为y =kx +b （k ≠0），由点的坐标（180，100）、（260，60）利用待定系数法即可求出该一次函数表达式；（2）设房价为x 元（180≤x ≤300）时，宾馆当日利润为w 元，依据“宾馆当日利润=当日房费收入﹣当日支出”即可得出w 关于x 的二次函数关式，根据二次函数的性质即可解决最值问题．【解析】（1）设一次函数表达式为y=kx+b（k≠0），依题意得：18010016060k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：12190kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y与x之间的函数表达式为11902y x=-+（180≤x≤300）．（2）设房价为x元（180≤x≤300）时，宾馆当日利润为w元，依题意得：w=（12-x+190）（x﹣100）﹣60×[100﹣（12-x+190）]=21210136002x x-+-=21(210)84502x--+，∴当x=210时，w取最大值，最大值为8450．答：当房价为210元时，宾馆当日利润最大，最大利润为8450元．考点：二次函数的应用；二次函数的最值；最值问题．10.小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价（元/件）100 110 120 130 …月销量（件）200 180 160 140 …已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是元；②月销量是件；（直接填写结果）（2）设销量该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）①（x-60）；②（-2x + 400）（2）售价为每件130元时，当月的利润最大为9800元试题解析：（1）①（x-60）；②（-2x + 400）（2）依题意可得：y=（x-60）×（-2x + 400= -2x2 + 520x – 24000= -2（x-130）2 + 9800当x=130时，y有最大值9800所以售价为每件130元时，当月的利润最大为9800元考点：二次函数的应用.11.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.（1）设每天盈利w元，求出w关于x的函数关系式，并说明每天盈利是否可以达到8000元？（6分）（2）若该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（6分） 【答案】（1）(10)(50020)y x x =+-，不能；（2）5．试题解析：（1）设每千克涨价x 元，利润为y 元，由题意，得：215(10)(50020)20()61252y x x x =+-=--+ ∴a =﹣20＜0，∴抛物线开口向下，当x =7.5时，y 最大值=6125，∴每天盈利不能达到8000元． （2）当y =6000时，6000(10)(50020)x x =+-，解得：110x =，25x =， ∵要使顾客得到实惠，∴x =5． 答：每千克应涨价为5元． 考点：二次函数的应用．12.技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体（看成一个点）的路线是抛物线，已知起跳点A 距地面的高度为1米，弹跳的最大高度距地面4.75米，距起跳点A 的水平距离为2.5米，建立如图所示的平面直角坐标系， （1）求演员身体运行路线的抛物线的解析式？（2）已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？说明理由．【答案】（1）23315y x x =-++；（2）能，理由见试题解析． 【解析】试题分析：（1）由题意可知二次函数过A （0，1），顶点（31924，），用顶点式即可求出二次函数的解析式； （2）当4x =时代入二次函数可得点B 的坐标在抛物线上．试题解析：（1）由题意可知二次函数过A （0，1），顶点（31924，），设二次函数解析式为：2519()24y a x =-+， 把A （0，1）代入得：2519144a =+，解得：35a =-，∴23519()524y x =--+，即23315y x x =-++；（2）能成功表演．理由是：当4x =时，234341 3.45y =-⨯+⨯+=．即点B （4，3.4）在抛物线23315y x x =-++上，因此，能表演成功．考点：二次函数的应用．13.某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件.（1）写出月销售利润y （单位：元）与售价x （单位：元/件）之间的函数解析式． （2）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润．（3）衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10000元，销售价应定为多少？ （4）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．【答案】（1）2105006000y x x =-++；（2）550件，8250元；（3）50元；（4）65元，12250元． 【解析】试题分析：（1）根据设每个书包涨价x 元，由这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，列出函数关系式；（2）销售价为45元，即上涨了5元，所以5x =，代入即可月销售量和销售利润； （3）令10000y =，解方程即可；（4）用配方法求出二次函数的最大值即可． 试题解析：（1）∵每个书包涨价x 元，∴2(4030)(60010)105006000y x x x x =-+-=-++， 答：y 与x 的函数关系式为：2105006000y x x =-++；（2）销售价为45元，即上涨了5元，所以月销量=600-10×5=550（件），销售利润=2105500560008250y =-⨯+⨯+=（元）；考点：二次函数的应用．14.为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来领前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P （元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？【答案】（1）201600y x =-+；（2）售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元；（3）440． 【解析】试题分析：（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式；（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；（3）先由（2）中所求得的P 与x 的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x 的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式即可求解．考点：二次函数的应用．15.已知某隧道截面积拱形为抛物线形，拱顶离地面10米，底部款20米．（1）建立如图1所示的平面直角坐标系，使y 轴为抛物线的对称轴，x 轴在地面上．求这条抛物线的解析式；（2）维修队对隧道进行维修时，为了安全，需要在隧道口搭建一个如图2所示的矩形支架AB -BC -CD （其中B 、C 两点在抛物线上，A ．D 两点在地面上），现有总长为30米的材料，那么材料是否够用？ （3）在（2）的基础上，若要求矩形支架的高度AB 不低于5米，已知隧道是双向行车道，正中间用护栏隔开，则同一方向行驶的两辆宽度分别为4米，高度不超过5米的车能否并排通过隧道口？（护栏宽度和两车间距忽略不计）【答案】（1）211010y x =-+；（2）够用；（3）不能．试题解析：（1）设2y ax c =+，由题意抛物线经过点（10，0），（0，10），则100010a c c +=⎧⎨=⎩，解得：11010a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 故抛物线的解析式为211010y x =-+； （2）设点C 的坐标为（m ，n ），则所需材料长度=2221112222()210210(5)251055m n m m m m m +=+⨯-+⨯=-++=--+， ∵105-<，∴当m =5时，所需材料最多，为25米，∴总长为30米的材料够用；（3）当5n =时，2110510m -+=，解得52m =， ∵5224<⨯，∴高度不超过5米的车不能并排通过隧道口． 考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的应用．学科网。
二次函数的应用题及解答
二次函数的应用题及解答在数学中，二次函数是一类常见的函数类型，由形如y=ax²+bx+c的方程所定义，其中a、b和c是实数且a不等于零。
二次函数在现实生活中有着广泛的应用，例如在物理学、经济学和工程学等领域。
本文将探讨二次函数的应用题及解答，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 弹射问题假设有一个小球从地面上以初速度v0竖直上抛，忽略空气阻力的影响。
则小球的高度可用二次函数模型y=-gt²+v0t+h来描述，其中g是重力加速度，t为时间，h为抛射的起始高度。
问题：一个小球从地面上以10 m/s的速度竖直上抛，起始高度为1.5m。
求小球的高度和时间的关系，并计算小球落地时的时间。
解答：根据模型y=-gt²+v0t+h，将已知数据代入，得到二次函数模型为y=-5t²+10t+1.5。
我们需要求解该函数的根，即令y=0，解得t=0和t=2。
因此，小球的高度和时间的关系可用二次函数y=-5t²+10t+1.5表示。
落地时的时间为t=2秒。
2. 投射问题假设有一枚炮弹以一定角度a和初速度v0被抛射出去，并忽略空气阻力的影响。
则炮弹的水平位移可用二次函数模型x=v0cos(a)t来表示，垂直位移可用二次函数模型y=-gt²+v0sin(a)t来表示。
问题：一枚炮弹以60°的角度和100 m/s的速度被抛射，求炮弹的轨迹和最远射程。
解答：根据模型x=v0cos(a)t和y=-gt²+v0sin(a)t，将已知数据代入，得到二次函数模型x=50t和y=-5t²+86.6t。
炮弹的轨迹由这两个函数表示。
为了求解最远射程，我们需要找到函数y=-5t²+86.6t的顶点坐标。
通过求导可得到顶点坐标为(8.66, 346.4)。
因此，最远射程为346.4米，对应的水平位移为8.66米。
3. 经济问题假设某个公司的固定成本为C0，每单位产品的生产成本为C，每单位产品的售价为P。
二次函数的实际应用(利润最值问题)附答案
第3课时 二次函数的实际应用——最大(小)值问题[例1]：求下列二次函数的最值：（1）求函数322-+=x x y 的最值． 解：4)1(2-+=x y当1-=x 时，y 有最小值4-，无最大值．（2）求函数322-+=x x y 的最值．)30(≤≤x解：4)1(2-+=x y∵30≤≤x ，对称轴为1-=x∴当12330有最大值时；当有最小值时y x y x =-=．[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元，1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润 则：)10300)(4060(1x x y -+-=)60010(102---=x x 6250)5(102+--=x当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元）)20300)(4060(2x x y +--= )15)(20(20+--=x x6125)5.2(202+--=x当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y （元） 综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 解：设每件价格提高x 元，利润为y 元， 则：)20400)(2030(x x y --+= )20)(10(20-+-=x x 4500)5(202+--=x 当5=x ，4500max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？ 解：设旅行团有x 人)30(≥x ，营业额为y 元， 则：)]30(10800[--=x x y )110(10--=x x 30250)55(102+--=x 当55=x ，30250max =y （元）答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额．[例3]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表： 若日销售量y 是销售价x 的一次函数． ⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：⑴设一次函数表达式为b kx y +=．则1525,220k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得⎩⎨⎧=-=401b k ，•即一次函数表达式为40+-=x y ．⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元， 所获销售利润为w 元y x w )10(-=)40)(10(+--=x x400502-+-=x x225)25(2+--=x当25=x ，225max =y （元）答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点： ⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 3．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ ⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)． 解：⑴设y=kx+b 由图象可知，3040020,:402001000k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解之得， 即一次函数表达式为100020+-=x y )5030(≤≤x ． ⑵ y x P )20(-=)100020)(20(+--=x x 200001400202-+-=x x∵020<-=a ∴P 有最大值．当35)20(21400=-⨯=x 时，4500max =P （元）（或通过配方，4500)35(202+--=x P ，也可求得最大值）答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．⑶∵44804500)35(2041802≤+--≤x 16)35(12≤-≤x ∴31≤x •≤34或36≤x≤39．作业布置： 1．二次函数1212-+=x x y ，当x=_-1，_时，y 有最_小_值，这个值是23-． 2．某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为12--=x y (只写一个)，此类函数都有_大_值(填“最大”“最小”)．3．不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是29>m ，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是_有解_(填“有解”或“无解”)解：29)23(22-+-=m x y ∵0)23(22≥-x ，要使0>y ，只有029>-m ∴29>m4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是 4.5米 ．解：当05.3=y 时，21 3.55y x =-+05.3= 45.052⨯=x ，5.1=x 或5.1-=x （不合题意，舍去）5．在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度V 0（m/s ）竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s （m ）与抛出时间t （s ）满足：S=V 0t-12gt 2（其中g 是常数，通常取10m/s 2），若V 0=10m/s ，则该物体在运动过程中最高点距离地面__7_m ．解：t t s 1052+-=5)1(52+--=t当1=t 时，5max =s ，所以，最高点距离地面725=+(米)．6．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天 在某段公路上行驶上，速度为V （km/h ）的汽车的刹车距离S （m ）可由公式S=1100V 2确定；雨天行驶时，这一公式为S=150V 2．如果车行驶的速度是60km/h ，•那么在雨天 行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_36_米．7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价_5_元，最大利润为_625_元．解：设每件价格降价x 元，利润为y 元， 则：)20)(70100(x x y +--=600102++-=x x 625)5((2+--=x 当5=x ，625max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．8．如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．解：设9)8(2+-=x a y ，将点A )1,0(代入，得81-=a12819)8(8122++-=+--=x x x y令0=y ，得09)8(812=+--=x y98)8(2⨯=-x268±=x ，)0,268(+C ，∴5.242688≈++=OC (米)9．（20XX 年青岛市）在20XX 年青岛崂山北宅樱桃节前夕，•某果品批发公司为指导今年（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x ，y ）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y 与x 之间的函数关系，并求出y 与x 之间的函数关系式； （2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式，并求出当x 取何值时，P 的值最大？解：（1）由图象可知，y 是x 的一次函数，设y=kx+b ，• ∵点（•25，2000），（24，2500）在图象上，∴200025500,:25002414500k bk k b b =+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得 ， ∴y=-500x+14500．（2）P=(x-13)·y=(x-13)·(-500x+14500))37744144142(500)37742(500)29)(13(50022+-+--=+--=---=x x x x x x=-500(x-21)2+32000∴P 与x 的函数关系式为P=-500x 2+21000x-188500，当销售价为21元/千克时，能获得最大利润，最大利润为32000元．10．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为p 元，写出p 关于x 的函数关系式； (2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q －收购总额)？ 解：(1)由题意知：p=30+x,(2)由题意知：活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元,死蟹的销售额为200x 元.∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x 2+900x+30000. (3)设总利润为W 元则：W=Q －1000×30－400x=－10x 2+500x=－10(x 2－50x) =－10(x －25)2+6250.当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元． 答：这批蟹放养25天后出售，可获最大利润．11．(2008湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ．(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元? 解：)802)(20()20(+--=-=x x w x y)40)(20(2---=x x)80060(22+--=x x 200)30(22+--=x 160012022-+-=x x当30=x ，200max =y （元）(1)y 与x 之间的的函数关系式为；160012022-+-=x x y(2)当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． (3) 150200)30(22=+--x ，25)30(2=-x28351>=x （不合题意，舍去）252=x答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为25元．12．(2008河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x (吨)时，所需的全部费用y (万元）与x 满足关系式9051012++=x x y ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？解：（1）甲地当年的年销售额为万元；．（2）在乙地区生产并销售时，年利润．由，解得或．经检验，不合题意，舍去，．（3）在乙地区生产并销售时，年利润，将代入上式，得（万元）；将代入，得（万元）．，应选乙地．。
二次函数的应用题及解析
二次函数的应用题及解析二次函数是数学中重要的函数之一，广泛应用于各个领域。
本文将探讨几个常见的二次函数应用题，并进行详细解析。
问题一：某天气预报显示，一天内温度的变化服从二次函数关系。
已知该地点上午8时的温度为15摄氏度，下午2时的温度为25摄氏度，晚上8时的温度为18摄氏度。
问该地点第二天早上6时的温度是多少摄氏度？解析：根据已知条件构建二次函数的关系式。
假设时间为x，温度为y，则可以得出二次函数表达式为：y = ax^2 + bx + c。
根据题目所给的条件，可以列出如下方程组：方程1：64a + 8b + c = 15方程2：256a + 16b + c = 25方程3：576a + 48b + c = 18解上述方程组，得到 a = -0.005, b = 0.16, c = 15.16。
带入x = 22（第二天早上6时的时间），计算二次函数的值，即可得到第二天早上6时的温度为20.62摄氏度。
问题二：某公司销售某款产品，预测未来几个月的销售情况。
已知该产品销售量符合二次函数模型。
已知该产品2月份的销售量为2000件，5月份的销售量为3000件，8月份的销售量为4000件。
预测11月份的销售量是多少件？解析：同样地，假设时间为x，销售量为y，构建二次函数关系式：y = ax^2 + bx + c。
根据已知条件，列出方程组：方程1：4a + 2b + c = 2000方程2：25a + 5b + c = 3000方程3：64a + 8b + c = 4000解方程组得到a = 100, b = -500, c = 2400。
带入x = 14（11月份的时间），计算二次函数的值，可得到预测11月份的销售量为3400件。
通过以上两个实例，我们可以看到二次函数在温度预测和销售预测中的应用。
根据给定的条件，构建二次函数关系式，并解方程组可以得到问题所求的结果。
通过这种方法，我们可以更加准确地评估和预测未来的发展趋势。
二次函数应用题含答案
二次函数应用题1、某体育用品商店购进一批滑板,每件进价为100元,售价为130元,每星期可卖出80件.商家决定降价促销,根据市场调查,每降价5元,每星期可多卖出20件.1求商家降价前每星期的销售利润为多少元2降价后,商家要使每星期的销售利润最大,应将售价定为多少元最大销售利润是多少2、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台．1假设每台冰箱降价x 元,商场每天销售这种冰箱的利润是y 元,请写出y 与x 之间的函数表达式；不要求写自变量的取值范围2商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元3每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高最高利润是多少3、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．1求S 与x 之间的函数关系式不要求写出自变量x 的取值范围．2当x 为何值时,S 有最大值并求出最大值．参考公式：二次函数2y ax bx c =++0a ≠,当2b x a =-时,244ac b y a -=最大(小)值 4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y 元与月份x 之间满足函数关系502600y x =-+,去年的月销售量p 万台与月份x 之间成一次函数关系,其中两个月的销售情况如下表：月份 1月 5月销售量 万台 万台1求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大最大是多少2由于受国际金融危机的影响,今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了%m ,且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策,即对农村家庭购买新的家电产品,国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响,今年3至5月份,该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下,平均每月的销售量比今年2月份增加了万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元,求m 的值保留一位小数． 34 5.83135 5.91637 6.08338 6.1645、某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量y 件与销售单价x 元符合一次函数y kx b =+,且65x =时,55y =；75x =时,45y =．1求一次函数y kx b =+的表达式；2若该商场获得利润为W 元,试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元3若该商场获得利润不低于500元,试确定销售单价x 的范围．6、某商场在销售旺季临近时 ,某品牌的童装销售价格呈上升趋势,假如这种童装开始时的售价为每件20元,并且每周7天涨价2元,从第6周开始,保持每件30元的稳定价格销售,直到11周结束,该童装不再销售;1请建立销售价格y 元与周次x 之间的函数关系；2若该品牌童装于进货当周售完,且这种童装每件进价z 元与周次x 之间的关系为12)8(812+--=x z , 1≤ x ≤11,且x 为整数,那么该品牌童装在第几周售出后,每件获得利润最大并求最大利润为多少71设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x 吨,利润分别为1y 元和2y 元,分别求1y 和2y 与x 的函数关系式注：利润=总收入-总支出；2已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨,若某月要生产甲、乙两种塑料共700吨,求该月生产甲、乙塑料各多少吨,获得的总利润最大最大利润是多少8、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售,对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价1y 元与销售月份x 月满足关系式3368y x =-+,而其每千克成本2y 元与销售月份x 月满足的函数关系如图所示． 1试确定b c 、的值；2求出这种水产品每千克的利润y 元与销售月份x 月之间的函数关系式；3“五·一”之前,几月份出售这种水产品每千克的利润最大最大利润是多少二次函数应用题答案1、解：1 130-100×80=2400元2设应将售价定为x 元,则销售利润 130(100)(8020)5x y x -=-+⨯ 24100060000x x =-+-24(125)2500x =--+.y 2元月当125x =时,y 有最大值2500. ∴应将售价定为125元,最大销售利润是2500元.2、解：1(24002000)8450x y x ⎛⎫=--+⨯⎪⎝⎭,即2224320025y x x =-++． 2由题意,得22243200480025x x -++=．整理,得2300200000x x -+=． 得12100200x x ==，．要使百姓得到实惠,取200x =．所以,每台冰箱应降价200元． 3对于2224320025y x x =-++,当241502225x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时, 150(24002000150)8425020500050y ⎛⎫=--+⨯=⨯= ⎪⎝⎭最大值． 所以,每台冰箱的售价降价150元时,商场的利润最大,最大利润是5000元．3、4、解：1设p 与x 的函数关系为(0)p kx b k =+≠,根据题意,得3.954.3.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得0.13.8.k b =⎧⎨=⎩，所以,0.1 3.8p x =+． 设月销售金额为w 万元,则(0.1 3.8)(502600)w py x x ==+-+．化简,得25709800w x x =-++,所以,25(7)10125w x =--+． 当7x =时,w 取得最大值,最大值为10125．答：该品牌电视机在去年7月份销往农村的销售金额最大,最大是10125万元．2去年12月份每台的售价为501226002000-⨯+=元,去年12月份的销售量为0.112 3.85⨯+=万台,根据题意,得2000(1%)[5(1 1.5%) 1.5]13%3936m m -⨯-+⨯⨯=．令%m t =,原方程可化为27.514 5.30t t -+=．t ∴==．10.528t ∴≈,2 1.339t ≈舍去 答：m 的值约为．5、解：1根据题意得65557545.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1120k b =-=，． 所求一次函数的表达式为120y x =-+．2(60)(120)W x x =--+ 21807200x x =-+- 2(90)900x =--+, 抛物线的开口向下,∴当90x <时,W 随x 的增大而增大,而6087x ≤≤,∴当87x =时,2(8790)900891W =--+=．∴当销售单价定为87元时,商场可获得最大利润,最大利润是891元．3由500W =,得25001807200x x =-+-,整理得,218077000x x -+=,解得,1270110x x ==，． 由图象可知,要使该商场获得利润不低于500元,销售单价应在70元到110元之间,而6087x ≤≤,所以,销售单价x 的范围是7087x ≤≤．6、 解：1202(1)218(16)()......(2)30 (611)()......(4)x x x x y x x +-=+≤<⎧=⎨≤≤⎩为整数分为整数分 2设利润为w综上知：在第11周进货并售出后,所获利润最大且为每件1198元…10分 7．解： 1依题意得：1(2100800200)1100y x x =--=,2(24001100100)20000120020000y x x =---=-,2设该月生产甲种塑料x 吨,则乙种塑料(700)x -吨,总利润为W 元,依题意得：11001200(700)20000100820000W x x x =+--=-+． ∵400700400x x ⎧⎨-⎩≤，≤，解得：300400x ≤≤． ∵1000-<,∴W 随着x 的增大而减小,∴当300x =时,W 最大=790000元此时,700400x -=吨．因此,生产甲、乙塑料分别为300吨和400吨时总利润最大,最大利润为790000元．8、解：1由题意：22125338124448b c b c ⎧=⨯++⎪⎪⎨⎪=⨯++⎪⎩解得7181292b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩212y y y =-23115136298882x x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭21316822x x =-++； 321316822y x x =-++2111(1236)46822x x =--+++21(6)118x =--+ ∵108a =-<,∴抛物线开口向下．在对称轴6x =左侧y 随x 的增大而增大．由题意5x <,所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大． 最大利润211(46)111082=--+=元．。
二次函数的应用题(含答案)
二次函数的应用题(含答案)1．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．2．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3，（1）求抛物线所对应的函数解析式；（2）求△ABD的面积；（3）将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．3．如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．（1）写出A、B两点的坐标；（2）二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0），顶点为P．①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．4．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．（1）求抛物线的解析式．（2）若点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过坐标原点，并与x 轴交于点A （2，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B ，且S △OAB =8，求点B 的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A （0，1），B （2，0），O （0，0），将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到△A ′B ′O ．（1）一抛物线经过点A ′、B ′、B ，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P ，使四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍？若存在，请求出P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB ′A ′B 是哪种形状的四边形？并写出四边形PB ′A ′B 的两条性质．7．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每 辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出） （1）公司每日租出x 辆车时，每辆车的日租金为 _________ 元（用含x 的代数式表示）； （2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ （3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？8．某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这写薄板的形状均为正方向，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价﹣成本价），①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？9．牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？答案得×，解得±；x得，﹣，﹣+解得，y=﹣时，×+1=，故，5．（2012•黑龙江）解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=﹣x2+bx+c，得，解得b=2，c=0，所以解析式为y=﹣x2+2x；（2）∵a=﹣1，b=2，c=0，∴﹣=﹣=1，==1，∴顶点为（1，1），对称轴为直线x=1；（3）设点B的坐标为（a，b），则×2|b|=8，∴b=8或b=﹣8，∵顶点纵坐标为1，8＞1（或﹣x2+2x=8中，x无解），∴b=﹣8，∴﹣x2+2x=﹣8，解得x解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），∵抛物线经过点A′、B′、B，∴，解得：，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x2+x+2．连接PB，PO，PB′，∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2）+1，=﹣x2+2x+3．假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4=﹣x2+2x+3，即x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，此时y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一．①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．或用符号表示：①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．由表格中的数据，得，解得﹣＜==35解：（1）画图如图：由图可猜想y与x是一次函数关系，设这个一次函数为y=kx+b（k≠0），∵这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）这两点，∴，解得：，∴函数关系式是y=﹣10x+700．（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得：W=（x﹣10）（﹣10x+700），=﹣10x2+800x﹣7000，=﹣10（（x﹣40）2+9000，∴当x=40时，W有最大值9000．（3）对于函数W=﹣10（（x﹣40）2+9000，当x≤35时，W的值随着x值的增大而增大，故销售单价定为35元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．。
中考二次函数应用题及答案解析
中考二次函数应用题及答案解析二次函数应用题1．春节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为30元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于120%．分析往年同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y （件）与销售单价x （元/件）近似的满足一次函数关系，数据如下表： 销售单价x （元/件） … 40 50 60 … 每天的销售量y （件）…300250200…(1)直接写出y 与x 的函数关系式：_______；(2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；(3)为了确保今年每天销售此鲜花礼盒获得的利润不低于5000元，请预测今年销售单价的范围是多少？2．当前”互联网+教育”的发展下，在线教育正在快速发展，小宇选择 “互联网+教育”自主创业，销售某行业技能岗位培训课，这种技能岗位培训课的成本价30元/课，已知技能岗位培训课的销售价不低于成本价，且上级部门规定这种技能岗位培训课的销售价不高于50元/课，市场调查发现，该技能岗位培训课每月的销售量y （课）与销售价x （元/课）之间的函数关系如图所示．(1)求每月的技能岗位培训课的销售利润W （元）与销售价x （元/课）之间的函数关系式； (2)当技能岗位培训课的销售价为多少元时，每月的销售利润最大？并求最大利润是多少元？3．李大爷每年春节期间都会购进一批新年红包销售，根据往年的销售经验，这种红包平均每天可销售50袋，每袋盈利3元，若每袋降价0.5元，平均每天可多售出25袋，设每袋降x 元，平均每天的利润为y 元． (1)请求出y 与x 的函数表达式；(2)若李大爷想让每天的利润最大化，应该降价多少元销售？最大利润为多少元？ 4．北京冬奥会上，由于中国冰雪健儿们的发挥出色，中国金牌总数位列第三，向世界证明了中国是冰雪运动强国！青蛙公主谷爱凌发挥出色一人斩获两金一银．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点()2,1P 称为“爱凌点”，经过点()2,1P 的函数，称为“爱凌函数”．(1)若点()34,r s r s ++是“爱凌点”，关于x 的数2y x x t =-+都是“爱凌函数”，则r =_____，s =_____，t =_____．(2)若关于x 的函数y kx b =+和my x=都是“爱凌函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k 的值．(3)如图，点()11,C x y 、()22,D x y 是抛物线232y x x =-+上两点，其中D 在第四象限，C 在第一象限对称轴右侧，直线AC 、AD 分别交y 轴于F 、E 两点： ①求点E ，F 的坐标；（用含1x ，2x 的代数式表示）；②若1OE OF ⋅=，试判断经过C 、D 两点的一次函数()0y kx b k =+≠是否为“爱凌函数”，并说明理由．5．某社区委员会决定把一块长40m ，宽30m 的矩形空地改建成健身广场；设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花坛的长比宽多5米，其余部分修建健身活动区，设花坛的长为()m 610x x ≤≤，健身活动区域的面积为2m S ．(1)求出S 与x 之间的函数关系式； (2)求健身活动区域的面积S 的最大值．6．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是40元，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． (1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（40x >），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品牌玩具获得利润ω元．(2)在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？7．为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程——开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L ”字形的墙面（粗线ABC 表示墙面，已知AB BC ⊥，3AB =米，1BC =米）和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF （细线表示篱笆，小型农场中间GH 也是用篱笆隔开），点D 可能在线段AB 上（如图1），也可能在线段BA 的延长线上（如图2），点E 在线段BC 的延长线上．(1)当点D 在线段AB 上时，①设DF 的长为x 米，请用含x 的代数式表示EF 的长；②若要求所围成的小型农场DBEF 的面积为12平方米，求DF 的长； (2)DF 的长为多少米时，小型农场DBEF 的面积最大?最大面积为多少平方米?8．两段相互垂直的墙AB 和AC 的长分别为12m 和3m ，用一段长为23m 的篱笆成一个矩形菜园（篱笆全部使用完），如图所示，矩形菜园的一边AD 由墙AC 和一节篱笆CD 构成，一边AF 靠在墙AB 上，一边EF 上有一个2m 的门．假设篱笆CD 的长为xm ，矩形菜园的面积为2m (0)S S >，回答下面的问题：(1)用含x 的式子表示篱笆DE 的长为________m ，x 的取值范围是________； (2)菜园的最大面积是多少2m ?求出此时x 的值是多少?9．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店销售某种儿童玩具，如果每件利润为30元，每天可售出40件．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每天可多销售2件．设销售单价降价x 元，每天售出y 件．(1)请写出y 与x 之间的函数表达式；(2)当销售单价降低多少元时，该网店每天销售这种玩具可获利润1248元？(3)当销售单价降低多少元时，该网店每天销售这种玩具获得的利润最大，最大利润是多少？10．某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至70元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．为了实现每月获得最大的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？最大利润为多少元？【参考答案】二次函数应用题1．(1)5500y x =-+(2)销售单价为65元时，销售利润最大，最大利润为6125元 (3)5066x ≤≤ 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）列出函数解析式()()2550030565015000W x x x x =-+-=-+-﹐二次函数的性质得到最大值；（3）根据抛物线的性质得到取值范围． (1)解：设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+， 把40300x y ==、和50250x y ==、代入，得：4030050250k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得5500k b =-⎧⎨=⎩，∴y 关于x 的函数解析式为5500y x =-+， 故答案是：5500y x =-+； (2)设用W （元）表示每天销售的利润，则()()2550030565015000W x x x x =-+-=-+-﹐∵03030120%x ≤-≤⨯， ∴3066x ≤≤，∵开口方向向下，对称轴是直线65x =， ∴当65x =时，W 有最大值，为6125，答：销售单价为65元时，销售利润最大，最大利润为6125元．(3)当5000W =时，25650150005000x x -+-=，解得，1250,80x x ==， 由二次函数的图像可知，当5000W ≥时，5080x ≤≤， 又∵66x ≤， ∴5066x ≤≤． 【点睛】本题考查利用二次函数解决实际问题，利用利润=单个利润×数量列出函数解析式是解决问题的关键．2．(1)W ＝−10x 2＋1100x −24000(2)这种技能培训课每课的销售价为50元时，每月的销售利润最大，最大利润是6000元 【解析】 【分析】（1）根据题意用待定系数法先求出该技能岗位培训课每月的销售量y 与销售价x 之间的函数关系式，再根据总利润＝每月的销售量×销售价列出函数解析式即可； （2）根据（1）中解析式，由函数的性质求函数的最值即可． (1)解：设y 与x 的函数解析式为y ＝kx ＋b ， 将（30，500）、（50，300）代入，得：3050050300k b k b ⎧⎨⎩＋＝＋＝， 解得：10800k b -⎧⎨⎩＝＝，所以y 与x 的函数解析式为y ＝−10x ＋800（30≤x ≤50）；根据题意知，W ＝（x −30）y ＝（x −30）（−10x ＋800）＝−10x 2＋1100x −24000， ∴每月的技能岗位培训课的销售利润W 与销售价x 之间的函数关系式W ＝−10x 2＋1100x −24000； (2)W ＝−10x 2＋1100x −24000＝−10（x −55）2＋6250， ∵a ＝−10＜0，∴当x ＜55时，W 随x 的增大而增大， ∵30≤x ≤50，∴当x ＝50时，W 取得最大值，最大值为6000元，答：这种技能培训课每课的销售价为50元时，每月的销售利润最大，最大利润是6000元． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式． 3．(1)y ＝−50x 2＋100x ＋150(2)应该降价1元销售，最大利润为200元． 【解析】【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出y 与x 的函数表达式；（2）将（1）中函数关系式化为顶点式，然后利用二次函数的性质即可得到x 为何值时，y 取得最大值． (1)解：由题意可得， y ＝（3−x ）（50＋0.5x×25）＝−50x 2＋100x ＋150， 即y 与x 的函数表达式是y ＝−50x 2＋100x ＋150； (2)由（1）知：y ＝−50x 2＋100x ＋150＝−50（x −1）2＋200， ∴当x ＝1时，y 取得最大值，此时y ＝200，答：若李大爷想让每天的利润最大化，应该降价1元销售，最大利润为200元． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求最值． 4．(1)2；-1；-1；(2)12k =-；(3)①()20,2E x -+；()10,2F x -+；②经过C 、D 两点的一次函数y =kx +b (k ≠0)是“爱凌函数”；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，代入求解即可；（2）首先用待定系数法求出反比例函数解析式，然后应用一元二次方程根的判别式求出k 的值；（3）首先根据前提条件推出x 1与x 2的关系，然后利用C ，D 坐标用x 1和x 2表示出直线斜率kCD ，进一步代入点C 或者点D 的坐标，表示出截距b ，然后将坐标（2，1）代入一次函数，和前面的结论比较是否符合条件． (1)解：∵（3r ＋4s ，r ＋s ）为“爱凌点”，∴3421r s r s ⎧⎨⎩＋＝＋＝， 解得：21r s ⎧⎨-⎩＝＝，将（2，1）代入y ＝x 2−x ＋t 得：2122t =-+， 解得t ＝−1． 故答案为：2；-1；-1． (2)将（2，1）分别代入y ＝kx ＋b 与y ＝mx中， 得1212k bm =+⎧⎪⎨=⎪⎩，即122b k m =-⎧⎨=⎩，∵两个函数图象有且只有一个交点，∴kx ＋1−2k ＝2x只有一个根，即：kx 2＋（1−2k ）x −2＝0， Δ＝（1−2k ）2＋8k ＝0， ∴k ＝−12． (3)①令x 2−3x ＋2＝0，得：11x =，x 2=2， ∴A （1，0），B （2，0）， ∵C 、D 两点在抛物线上，∴C （x 1，x 12−3x 1＋2），D （x 2，22232x x -+），设AD 的函数关系式为：11AD y k x b =+，则11212122032k b k x b x x +=⎧⎨+=-+⎩， 解得：121222k x b x =-⎧⎨=-+⎩，∴()()2222AD y x x x =-+-+， 令x ＝0，则22y x =-+，∴()202E x -+，， 设AC 的函数关系式为：22AC y k x b =+，则22221211032k b k x b x x +=⎧⎨+=-+⎩， 解得：212122k x b x =-⎧⎨=-+⎩，∴()()1122AC y x x x =-+-+， 令x ＝0，则12y x =-+，∴()102F x -+，； ②y ＝kx ＋b 是“爱凌函数”，理由如下： ∵若OE •OF ＝1， ∴21221x x -+-+=， ∴（2−x 2）（x 1−2）−1＝0， ∴2x 1−x 1x 2＋2x 2−5＝0，∵一次函数y =kx +b 经过C 、D 两点，∴211122223232kx b x x kx b x x ⎧+=-+⎨+=-+⎩， 解得：121232k x x b x x =+-⎧⎨=-⎩，∴CD 的关系式为：y ＝（x 1＋x 2−3）x ＋2−x 1x 2， 将（2，1）代入得： 2（x 1＋x 2−3）＋2−x 1x 2=1，即2x 1−x 1x 2＋2x 2−5＝0，与前提条件OE•OF ＝1所得出的结论一致， ∴经过C ，D 的一次函数y ＝kx ＋b 是“爱凌函数”． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数和二次函数相关知识点，将结论与前提条件进行比较，整个题目涉及的未知数比较多，计算过程中需要仔细． 5．(1)24201200S x x =-++；()610x ≤≤ (2)活动区域面积S 的最大值为21176m 【解析】 【分析】（1）利用健身区域的面积等于矩形的面积减掉周围四个长方形花坛的面积即可求解； （2）把（1）中求得的S 与x 之间的函数关系式化成二次函数的顶点式，利用二次函数的增减性即可求解． (1)（1）由题意解得：()2=4030454201200S x x x x ⨯--=-++；()610x ≤≤ (2)（2）2254201200412252S x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，∵40a =-<，抛物线开口向下，对称轴为52x =， ∴当610x ≤≤时，S 随x 的增大而减小， ∴当6x =时，S 有最大值，最大值为1176， 答：活动区域面积S 的最大值为21176m ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用及二次函数的性质，读懂题意，找出题目中的等量关系是解题的关键．6．(1)y=1000−10x ，w =−10x 2＋1300x −30000； (2)商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元． 【解析】 【分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，得y ＝600−（x −40）×10＝1000−10x ，利润w ＝（1000−10x ）（x −30）＝−10x 2＋1300x −30000；（2）首先求出x 的取值范围，然后把w ＝−10x 2＋1300x −30000转化成y ＝−10（x −65）2＋12250，结合x 的取值范围，求出最大利润． (1)解：由题意得：销售量y=600−（x −40）×10=1000−10x ，销售玩具获得利润w =（1000−10x ）（x −30）=−10x 2＋1300x −30000； (2)解：根据题意得10001054045x x -≥⎧⎨≥⎩，解之得：45≤x ≤46，w ＝−10x 2＋1300x −30000＝−10（x −65）2＋12250， ∵a ＝−10＜0，对称轴是直线x ＝65， ∴当45≤x ≤46时，w 随x 增大而增大． ∴当x ＝46时，w 最大值＝8640（元）．答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大． 7．(1)①153EF x =-；②4米(2)饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米 【解析】 【分析】（1）①根据题意结合图形即可求解； ②根据矩形的面积公式列方程求解即可；（2）设饲养场DBEF 的面积为S ，求出关于DF 的长的关于x 的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答． (1)①设DF 的长为x 米， ∵点D 在线段AB 上，∴()()1421153EF x x x =---=-米， ②∵3AB =，∴3EF ≤，即1533x -≤， ∴4x ≥；设DF 的长为x 米，根据题意得：()15312x x -=， 解得：14x =，21x =（此时点D 不在线段AB 上，舍去）， ∴4x =，答：饲养场的长DF 为4米； (2)设饲养场DBEF 的面积为S ，DF 的长为x 米， ①点D 在15段AB 上，由（1）知此时4x ≥， 则()22575153315324S x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∵30a ，抛物线对称轴是直线52x =， ∴在对称轴右侧，S 随x 的增大而减小，∴4x =时，S 有最大值，23415412S =-⨯+⨯=最大值（平方米）；②点D 在线段BA 的延长线上，此时4x <， 则()()2132715333222S x x x =-+=--+， ∵302a =-<，34<，∴3x =时，S 有最大值，272S =最大值， ∴3x =时，272S =最大值（平方米）； ∵27122>， ∴饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米． 答：饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米． 【点睛】此题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键．8．(1)22-2x 5≤x ＜11 (2)菜园的最大面积是296m ，此时x =5 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，由EF = AD = 3+x ，再根据EF 上有一个2m 的门，DE = 23- CD - EF + 2得出DE ，并根据0< 22- 2x ≤12，求出自变量x 的取值范围；（2）根据矩形的面积公式写出函数解析式，再根据函数的性质，在自变量范围内求最值． (1)解：∵AC =3，CD =x ， ∴ EF = AC + CD = 3+x ，∴DE = 23- CD - EF +2= 23- x -(3+x )+2= 23-x -3-x +2= 22-2x ， ∵0< 22- 2x ≤12， ∴5≤x ＜ 11； (2)由题意，得：S = (3+x )(22- 2x )= -2x 2+ 16x +66= - 2(x -4)2 + 98，∵-2 ＜0，∴当x ＞4时，S 随x 的增大而减小，∵5≤x ＜ 11，∴当x = 5时，S 有最大值，最大值= -2×(5-4)2+ 98 = 96．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题关键是根据题意正确表示出矩形的边长．9．(1)402y x =+(2)当销售单价降低4元或6元时，该网店每天销售这种玩具可获利润1248元；(3)当销售单价降低5元时，该网店每天销售这种玩具获得的利润最大，最大利润是1250元．【解析】【分析】（1）根据销售单价每降1元，则每天可多销售2件．即可列出关于x 、y 的等式，即得出y 与x 之间的函数表达式；（2）根据题意可列出关于x 的一元二次方程，解出x 即得出答案；（3）设最大利润为w 元，根据题意可得出w 与x 的关系为二次函数关系，再根据二次函数的性质解题即可．(1)根据题意可列出等式：402y x =+．故y 与x 之间的函数表达式为402y x =+；(2)根据题意可列方程：(30)(402)1248x x -+=，解得：1246x x ==，．故当销售单价降低4元或6元时，该网店每天销售这种玩具可获利润1248元；(3)设最大利润为w 元，根据题意得：2(30)(402)2(5)1250w x x x =-+=--+∵20-<，∴当5x =时，w 有最大值，max 1250w =．故当销售单价降低5元时，该网店每天销售这种玩具获得的利润最大，最大利润是1250元．【点睛】本题考查一次函数、二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解题关键．10．这种台灯的售价应定为65元时，最大利润为12250元．【解析】【分析】设这种台灯应涨价x 元，那么就少卖出10x 个，根据“总利润=每个台灯的利润×销售量”列出函数解析式，最后运用二次函数求最值即可．【详解】解：设售价为x 元，根据题意得：()()()2306001040106512250W x x x =---=--+⎡⎤⎣⎦，∴当x ＝65时，12250y =最大，答：这种台灯的售价应定为65元时，最大利润为12250元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据“总利润=每个台灯的利润×销售量”列出函数解析式是解答本题的关键．。
中考二次函数应用题(附答案解析)
中考二次函数应用题(附答案解析)二次函数应用题1．某商场销售一种小商品，进货价为8元/件，当售价为10元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设销售单价为x （元/件）（10x ≥的整数），每天销售利润为y （元）． (1)求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)若每件该小商品的利润率不超过100%，且每天的进货总成本不超过800元，求该小商品每天销售利润y 的取值范围．2．东东在网上销售一种成本为30元/件的T 恤衫．销售过程中的其他各种费用（不再含T 恤衫成本）总计50（百元）．若销售价格为x （元/件）．销售量为y （百件）．当4060x ≤≤时，y 与x 之间满足一次函数关系．且当40x =时，6y =，有关销售量y （百件）与销售价格x （元/件）的相关信息如下： 销售量y （百件） _____________ 240y x =销售价格x （元/件）4060x ≤≤6080x ≤≤(1)求当4060x ≤≤时．y 与x 的函数关系式：(2)①求销售这种T 恤衫的纯利润w （百元）与销售价格x （元/件）的函数关系式； ②销售价格定为每件多少元时．获得的利润最大?最大利润是多少?3．跳台滑雪是北京冬奥会的项目之一．某跳台滑雪训练场的横截面示意图如图并建立平面直角坐标系．抛物线2117:1126C y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出（即A 点坐标为（0，4）），滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．(1)当运动员运动到距A 处的水平距离为4米时，距图中水平线的高度为8米（即经过点（4，8）），求抛物线C 2的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？4．某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y （件）是售价x （元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w （元）的三组对应值如表：售价x（元/件）607080周销售量y（件）1008060周销售利润w（元）200024002400【注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）】(1)①直接写出：此商品进价元，y关于x的函数解析式是．（不要求写出自变量的取值范围）②当售价是多少元/件时，周销售利润最大，并求出最大利润．(2)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m>0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1600元，求m的值．5．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，青春科技生态有限公司种植和销售一种有机绿色草皮．已知该草皮的成本是15元/2m，规定销售价格不低于成本，又不高于成本的两y与销售价格x（元/2m）的函数关系如图倍．经市场调查发现，某天该草皮的销售量()2m所示．(1)求y与x间的函数解析式；(2)求这一天销售草皮获得的利润w的最大值；(3)若该公司按每销售21m草皮提取1元用于捐资助学，且保证捐款后每天的销售利润不低于7200元，直接写出该草皮销售价格的范围．6．某数学兴趣小组对函数y＝|x2＋2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下所示，其中自变量x取全体实数，x与y的几组对应值如表所示．x﹣4﹣3﹣2﹣10123 y8m0n03815(1)根据如表数据填空：m ＝ ，n ＝ ；(2)在如图所示的平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线将函数图象补充完整； (3)观察该函数的图象，解决下列问题． ①该函数图象与直线y ＝12的交点有 个； ②若y 随x 的增大而减小，求此时x 的取值范围；③在同一平面内，若直线y ＝x ＋b 与函数y ＝|x 2＋2x |的图象有a 个交点，且a ≥3，求b 的取值范围．7．某公司分别在A ，B 两城生产同种产品，共100件．A 城生产产品的成本y （万元）与产品数量x （件)之间具有函数关系220100y x x =++，B 城生产产品的每件成本为60万元．(1)当A 城生产多少件产品时，A ，B 两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？ (2)从A 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为1万元/件和3万元/件；从B 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C 地需要90件，D 地需要10件，在（1）的条件下，怎样调运可使A ，B 两城运费的和最小？8．某商店购进一批进价为40元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出600件；第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y (件)与销售单价x (元)的关系如图所示．(1)请直接写出y 与x 之间的函数表达式： ；自变量x 的取值范围为 ； (2)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？9．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店销售某种儿童玩具，如果每件利润为30元，每天可售出40件．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每天可多销售2件．设销售单价降价x 元，每天售出y 件． (1)请写出y 与x 之间的函数表达式；(2)当销售单价降低多少元时，该网店每天销售这种玩具可获利润1248元？(3)当销售单价降低多少元时，该网店每天销售这种玩具获得的利润最大，最大利润是多少？10．某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？【参考答案】二次函数应用题1．(1)2102801600y x x =-+- （10x ≥的整数） (2)200360y ≤≤ 【解析】 【分析】（1）销售单价为x 元/件时，每件的利润为(8)x -元，此时销量为[10010(10)]x --，由此计算每天的利润y 即可；（2）首先求出利润不超过100%时的销售单价的范围，且每天的进货总成本不超过800元，再结合（1）的解析式，利用二次函数的性质求解即可． (1)解：（1）根据题意得： (8)[10010(10)]y x x =--- 整理，得 2102801600y x x =-+-（10x ≥的整数） (2)解：∵每件小商品的利润不超过100%，∴8100%8x -⨯≤， ∴16x ≤，∵每天进货总成本不超过800元， ∴[100(10)10]8800x --⨯⨯≤， ∴10x ≥， ∴1016x ≤≤，∵2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+， 当14x =时，有360y =最大值当10x =时，有210(1014)360200y =-⨯-+=最小值，∴小商品每天销售利润y 的取值范围是：200360y ≤≤ 【点睛】本题考查二次函数的实际应用问题，准确表示出题中的数量关系，熟练运用二次函数的性质求解是解题关键． 2．(1)0.110y x =-+(2)①当4060x ≤≤时，20.113350=-+-w x x ；当6080x <≤时，7200190=-+w x； ②销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是100百元 【解析】 【分析】（1）把把60x =代入240y x=得4y =，设y 与x 的函数关系式为：y =kx +b ，把x =40，y =6；x =60，y =4，代入解方程组即可得到结论；（2）①根据x 的范围分类讨论，由“总利润=单件利润×销售量”可得函数解析式； ②结合①中两个函数解析式，分别依据二次函数的性质和反比例函数的性质求其最值即可． (1)解：把60x =代入240y x=得4y =． 设y 与x 的函数关系式为：y kx b =+， ∵当40x =时，6y =，当60x =时，4y =，∴406604k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：0.110k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 的函数关系式为：0.110y x =-+． (2)①当4060x ≤≤时，()()2300.110500.113350w x x x x =--+-=-+-；当6080x <≤时，()24072003050190w x x x=-⋅-=-+； ②当4060x ≤≤时，()220.1133500.16572.5w x x x =-+-=--+， ∵4060,65,x x ω≤≤≤随x 的增大而增大． ∴当60,70x w ==最大 （百元）． 当6080x ≤≤时，7200190xω=-+ ∵72000-<，∴w 随x 的增大而增大，当80x =时，100w =最大 （百元）．答：销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是100百元． 【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的应用，理解题意依据相等关系列出函数解析式，并熟练掌握二次函数和反比例函数的性质是解题的关键．3．(1)213482y x x =-++(2)运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米． 【解析】 【分析】（1）根据题意将点（0，4）和（4，8）代入C 2：y =-18x 2+bx +c 求出b 、c 的值即可写出C 2的函数解析式；（2）设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：﹣18m 2+32m +4﹣（﹣112m 2+76m +1）＝1，解出m 即可．(1)由题意可知抛物线C 2：y ＝﹣18x 2+bx +c 过点（0，4）和（4，8），将其代入得：2414488c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩， 解得：324b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线C 2的函数解析式为：213482y x x =-++；(2)设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：﹣18m 2+32m +4﹣（﹣112m 2+76m +1）＝1，整理得：（m ﹣12）（m +4）＝0， 解得：m 1＝12，m 2＝﹣4（舍去），故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米． 【点睛】本题考查了二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．4．(1)①40，y ＝﹣2x +220；②当售价是75元/件时，周销售利润最大，最大利润是2450元；(2)销售最大利润是1600元时，m 的值为10． 【解析】 【分析】（1）①该商品进价等于周销售利润除以周销售量，再减去进价；设y 关于x 的函数解析式为y =kx +b ，用待定系数法求解即可；②根据周销售利润=周销售量×（售价-进价），列出w 关于x 的二次函数，根据二次函数的性质可得答案；（2）根据周销售利润=周销售量×（售价-进价），列出w 关于x 的二次函数，根据题意及二次函数的性质得出取得最大利润时的售价，再列出关于m 的方程，求解即可． (1)解：（1）①该商品进价是60﹣2000÷100＝40（元/件）；设y 关于x 的函数解析式为y ＝kx +b ，将（60，100），（70，80）分别代入得：100608070k bk b =+⎧⎨=+⎩， 解得：k ＝﹣2，b ＝220．∴y 关于x 的函数解析式为y ＝﹣2x +220； 故答案为：40，y ＝﹣2x +220；②由题意得：w ＝y （x ﹣40）＝（﹣2x +220）（x ﹣40）＝﹣2x 2+300x ﹣8800＝﹣2（x ﹣75）2+2450，∵二次项系数﹣2<0，抛物线开口向下，∴当售价是75元/件时，周销售利润最大，最大利润是2450元； (2)解∶ 由题意得：w ＝（﹣2x +220）（x ﹣40﹣m ） ＝﹣2x 2+（300+2m ）x ﹣8800﹣220m ，∵二次项系数﹣2<0，抛物线开口向下，对称轴为：300217542m x m +=-=+-， 又∵x ≤70，∴当x <7512m +时，w 随x 的增大而增大，∴当x ＝70时，w 有最大值：（﹣2×70+220）（70﹣40﹣m ）＝1600， 解得：m ＝10．∴周销售最大利润是1600元时，m 的值为10． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键． 5．(1)()()200580015258002530x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩(2)最大值为12000元 (3)2030x ≤≤ 【解析】 【分析】（1）根据图象中的点，待定系数法求解析式即可；（2）根据（1）的解析式，分1525≤≤x ，2530x <≤，两种情况列出w 的解析式，根据二次函数和一次函数的性质分别求得最大值；（3）根据二次函数的性质解不等式求得当1525≤≤x 时的定价范围，解一元一次不等式求得当2530x <≤时的定价范围．(1)解：根据函数图像可知，当2530x <≤时，800y =， 当1525≤≤x 时，设y kx b =+ 将()()15,2800,25,800代入得，28001580025k bk b =+⎧⎨=+⎩ 解得2005800k b =-⎧⎨=⎩2005800y x ∴=-+综上所述，()()200580015258002530x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩(2)当1525≤≤x 时，()()()215152005800200880087000w x y x x x x =-=--+=-+-对称轴为8800222400b a --==- 22x ∴=时，w 最大，2max 20022880022870009800w =-⨯+⨯-=当2530x <≤时，()1580080012000w x x =-⨯=-当30x =时，取得最大值，最大值为12000元 综上所述，最大值为12000元 (3)①当1525≤≤x 时，()()()2151162005800200900092800w x y x x x x =--=--+=-+-当22009007209002800x x -+-= 解得：1220,25x x == ∴定价为2025x ≤≤②当2530x <≤时，()()151158007200w x y x =--=-⨯≥解得25x ≥∴定价范围为2030x ≤≤【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 6．(1)3；1 (2)见解析(3)①4；②x ≤－2或－1≤x ≤0；③2≤b ≤94【解析】【分析】（1）分别把x=-3和x=-1代入函数解析式求出结果；（2）根据表格，利用描点、连线画出函数图象；的图象，观察交点个数得出结果；（3）①画出y=12②观察函数图象得出结果；③利用一元二次方程根的判别式计算即可．(1)解：当x=-3时，m＝|x2＋2x|=|9-6|=3，当x=-1时，m＝|1-2|=|-1|=1，故答案为3，1；(2)如图；(3)①由图象知图象与直线y=1有4个交点，2故答案为4；②由图象知，当x≤－2或－1≤x≤0时，图象从左到右逐渐下降，故若y随x的增大而减小，此时x的取值范围x≤－2或－1≤x≤0；③由题意可得，3≤a≤4．当直线y＝x＋b过点（－2，0）和点（－1，1）时，该直线与函数y＝|x2＋2x|的图象有三个交点，此时b＝2；由图象可得在－2≤x≤－1段的函数解析式为y＝－x2－2x，令x＋b＝－x2－2x，整理得x2＋3x＋b＝0. 当该段函数图象与直线y＝x＋b有交点时，判别式为9－4b≥0，∴b≤94．综上，b的取值范围是2≤b≤94．【点睛】本题考查画函数图象以及利用函数图象解决问题，数形结合思想的应用是解决问题的关键．7．(1)A城生产20件，最小值是5700万元；(2)从A城把该产品运往C地的产品数量为20件，则从A城把该产品运往D地的产品数量为0件；从B城把该产品运往C地的产品数量为70件，则从B城把该产品运往D地的产品数量为10件时，可使A，B两城运费的和最小．【解析】【分析】（1）设A，B两城生产这批产品的总成本的和为W（万元），则W等于A城生产产品的总成本加上B城生产产品的总成本，由此可列出W关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；（2）设从A城把该产品运往C地的产品数量为n件，分别用含n的式子表示出从A城把该产品运往D地的产品数量、从B城把该产品运往C地的产品数量及从B城把该产品运往D地的产品数量，再列不等式组求得n的取值范围，然后用含n的式子表示出A，B两城总运费之和P ，根据一次函数的性质可得答案．(1)解：设A ，B 两城生产这批产品的总成本的和为W （万元），则22010060(100)W x x x =+++-2406100x x =-+2(20)5700x =-+，∴当20x时，W 取得最小值，最小值为5700万元， ∴城生产20件，A ，B 两城生产这批产品成本的和最小，最小值是5700万元；(2) 设从A 城把该产品运往C 地的产品数量为n 件，则从A 城把该产品运往D 地的产品数量为(20)n -件，从B 城把该产品运往C 地的产品数量为(90)n -件，则从B 城把该产品运往D 地的产品数量为(1020)n -+件，运费的和为P （万元），由题意得：20010200n n -⎧⎨-+⎩， 解得1020n ，3(20)(90)2(1020)P n n n n =+-+-+-+60390220n n n n =+-+-+-2130n n =-+130n =-+，根据一次函数的性质可得：P 随n 增大而减小，∴当20n =时，P 取得最小值，最小值为110，∴从A 城把该产品运往C 地的产品数量为20件，则从A 城把该产品运往D 地的产品数量为0件；从B 城把该产品运往C 地的产品数量为70件，则从B 城把该产品运往D 地的产品数量为10件时，可使A 、B 两城运费的和最小．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数在实际问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系并熟练掌握一次函数和二次函数的性质．8．(1)y ＝－20x ＋1800，60≤x ≤90(2)第二个月的销售单价定为65元/件时，可获得最大利润，最大利润是12500元【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据总利润=单件利润乘以销售量，列出函数解析式，根据二次函数的性质求解即可．(1)第一个月该商品的售价为40×(1＋50%)＝60(元)，设y 与x 之间的函数解析式为y ＝kx ＋b ，将点(60，600)，(70，400)代入y ＝kx ＋b 中，得6006040070k b k b=+⎧⎨=+⎩， 解得201800k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数解析式为y ＝－20x ＋1800；当y ＝0时，x ＝90，∴自变量x 的取值范围为60≤x ≤90；故答案为：y ＝－20x ＋1800；60≤x ≤90；(2)设第二个月的利润为w 元，由题意得，24040201()()()8002(0651250)0w x y x x x =-=-=+--+-．∵200-<，∴当x ＝65时，w 的最大值为12500．∴第二个月的销售单价定为65元/件时，可获得最大利润，最大利润是12500元．【点睛】本题主要考查了二次函数及一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，并根据题意确定等量关系，列出函数解析式．9．(1)402y x =+(2)当销售单价降低4元或6元时，该网店每天销售这种玩具可获利润1248元；(3)当销售单价降低5元时，该网店每天销售这种玩具获得的利润最大，最大利润是1250元．【解析】【分析】（1）根据销售单价每降1元，则每天可多销售2件．即可列出关于x 、y 的等式，即得出y 与x 之间的函数表达式；（2）根据题意可列出关于x 的一元二次方程，解出x 即得出答案；（3）设最大利润为w 元，根据题意可得出w 与x 的关系为二次函数关系，再根据二次函数的性质解题即可．(1)根据题意可列出等式：402y x =+．故y 与x 之间的函数表达式为402y x =+；(2)根据题意可列方程：(30)(402)1248x x -+=，解得：1246x x ==，．故当销售单价降低4元或6元时，该网店每天销售这种玩具可获利润1248元；(3)设最大利润为w 元，根据题意得：2(30)(402)2(5)1250w x x x =-+=--+∵20-<，∴当5x =时，w 有最大值，max 1250w =．故当销售单价降低5元时，该网店每天销售这种玩具获得的利润最大，最大利润是1250元．【点睛】本题考查一次函数、二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解题关键．10．售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润【解析】【分析】设销售单价为x 元，月销售利润为y 元，根据月销售利润＝单件利润×月销量，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：设销售单价为x 元，销售利润为y 元，依题意得，单件利润为(20)x -元，月销量为[]40020(30)x --件，月销售利润[](20)40020(30)y x x =---，整理得220140020000y x x =-+-，配方得220(35)4500y x =--+，所以35x =时，y 取得最大值4500．故售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润为4500元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是能够根据题意构建二次函数解决最值问题．。
二次函数应用——实际生活问题讲义(含答案)
二次函数应用——实际生活问题一、知识点睛二次函数的应用：最大面积；最大利润；和一元二次方程的关系．二、精讲精练1. 已知：在△ABC 中，BC =20，高AD =16，内接矩形EFGH 的顶点E 、F 在BC 上，G 、H 分别在AC 、AB 上，求内接矩形EFGH 的最大面积．FD E GH CBA2. 星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米．（1）若平行于墙的一边的长为y 米，直接写出y 与x 之间的函数关系式及其自变量x 的取值范围；（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x 的取值范围．苗圃园18米3. 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x之间的函数关系式；（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？4.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？5.有一座抛物线型拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距水面4m．（1）如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式．（2）在正常水位的基础上，当水位上升h m时，桥下水面的宽度为d m，求出将d 表示为h的函数关系式．（3）设正常水位时，桥下的水深为2m，为保证过往船只的顺利通过，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？x6.如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？（0,3.5）yxO4m2.5m3.05m7. 如图，在水平地面点A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B ．有人在直线AB 上点C （靠点B 一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB =4米，AC =3米，网球飞行最大高度OM =5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？ （2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？xx讲义答案：一、知识点睛 二、精讲精练1. 802.（1）=302y x -，6<15x ≤；（2）152m ，112.5m 2 ；（3）611x ≤≤，图略 3.（1）22=+24+320025y x x -（0400x ≤≤）；（2）每台冰箱应降价200元； （3）每台冰箱降价150元，商场每天销售这种冰箱的利润最高，最高利润是5000元. 4.（1）210110+2100y =x +x -，x 的范围是015x ≤≤且x 为整数；（2）每件商品的售价定为55或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元；（3）每件商品的售价定为51或60元时，每个月的利润恰为2200元；售价在51~60范围时，每个月的利润不低于2200元. 5.（1）2125y =x -；（2）4)d h ≤≤； （3）水深超过2.76m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行.6.（1）21+3.55y =x -；（2）球出手时，他跳离地面的高度是0.2m.7.（1）不能落入桶内；（2）当竖直摆放圆柱形桶为8，9，10，11，或12个时，网球可以落入桶内。
中考二次函数应用题(及答案解析)
中考二次函数应用题(及答案解析)二次函数应用题1．如图1，足球场上守门员李伟在O 处抛出一高球，球从离地面1m 处的点A 飞出，其飞行的最大高度是4m ，最高处距离飞出点的水平距离是6m ，且飞行的路线是抛物线的一部分．以点O 为坐标原点，竖直向上的方向为y 轴的正方向，球飞行的水平方向为x 轴的正方向建立坐标系，并把球看成一个点（参考数据：取437≈，265≈）(1)求足球的飞行高度(m)y 与飞行水平距离(m)x 之间的函数关系式； (2)在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离是多少？(3)若对方一名1.7m 的队员在距落点3m C 的点H 处，跃起0.3m 进行拦截，则这名队员能拦到球吗？(4)如图2，在（2）的情况下，若球落地后又一次弹起，据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半，那么足球弹起后，会弹出多远？2．东东在网上销售一种成本为30元/件的T 恤衫．销售过程中的其他各种费用（不再含T 恤衫成本）总计50（百元）．若销售价格为x （元/件）．销售量为y （百件）．当4060x ≤≤时，y 与x 之间满足一次函数关系．且当40x =时，6y =，有关销售量y （百件）与销售价格x （元/件）的相关信息如下： 销售量y （百件） _____________ 240y x =销售价格x （元/件）4060x ≤≤6080x ≤≤(1)求当4060x ≤≤时．y 与x 的函数关系式：(2)①求销售这种T 恤衫的纯利润w （百元）与销售价格x （元/件）的函数关系式； ②销售价格定为每件多少元时．获得的利润最大?最大利润是多少?3．因为疫情，体育中考中考生进入考点需检测体温．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y （人）与时间x （分钟）的变化情况，数据如下： 时间x （分钟） 0 123456789915x <≤人数y （人）0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810(1)研究表中数据发现9分钟内考生进入考点的累计人数是时间的二次函数，请求出9分钟内y 与x 之间的函数关系式．(2)如果考生一进考点就开始排队测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？(3)在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？4．某社区委员会决定把一块长40m ，宽30m 的矩形空地改建成健身广场；设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花坛的长比宽多5米，其余部分修建健身活动区，设花坛的长为()m 610x x ≤≤，健身活动区域的面积为2m S ．(1)求出S 与x 之间的函数关系式； (2)求健身活动区域的面积S 的最大值．5．某地草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售后，发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间的函数关系如图所示．(1)求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围．(2)若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？6．为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程——开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L ”字形的墙面（粗线ABC 表示墙面，已知AB BC ⊥，3AB =米，1BC =米）和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF （细线表示篱笆，小型农场中间GH 也是用篱笆隔开），点D 可能在线段AB 上（如图1），也可能在线段BA 的延长线上（如图2），点E 在线段BC 的延长线上．(1)当点D在线段AB上时，①设DF的长为x米，请用含x的代数式表示EF的长；②若要求所围成的小型农场DBEF的面积为12平方米，求DF的长；(2)DF的长为多少米时，小型农场DBEF的面积最大?最大面积为多少平方米?7．在“乡村振兴”行动中，某村办企业开发了一种有机产品，该产品的成本为每盒30元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每涨价1元，每天少销售10盒．(1)设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式；(2)当每盒售价订为多少元时，可使当天获得最大销售利润，销售利润是多少？a>给村级经济合作社，物价部门要(3)现在该企业打算回报社会，每销售1盒捐赠a元()5求该产品销售定价不得超过每盒75元，该企业在严格执行物价部门的定价前提下欲使每天捐赠后的日销售利润随产品售价的增大而增大，求a的取值范围．8．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x 元（x为正整数且x≤80），每月的销售量为y条．(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)设该店每月所获利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月所获利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从出售的每条裤子中捐出5元资助贫困学生．总捐款额不低于750元，求捐款后每月最大利润．9．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，设每件商品的售价下降x元，每天的销售利润为w元．(1)求w与x的函数关系式；(2)每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？(3)每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？10．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA ，A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系式是2724y x x =-++（x ＞0）．(1)柱子OA 的高度是______米；(2)若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？【参考答案】二次函数应用题1．(1)21(6)412y x =--+ (2)13m(3)这名队员不能拦到球 (4)足球弹起后，会弹出10m 【解析】 【分析】（1）根据其飞行的最大高度是4m ，最高处距离飞出点的水平距离是6m ，设顶点式()264y a x =-+，将()0,1A 代入，待定系数法求解析式即可；（2）令0y =，求得与x 轴的交点坐标即可求解； （3）将10x =代入求得y 的值，进而比较即可求解（4）根据题意求得新抛物线的解析式，根据题意即求元抛物线与2y =的所截线段长即可，解一元二次方程求解即可 (1)①当最大高度4y =时，6x =，∴设y 与x 之间的函数关系式为()264y a x =-+， 又()0,1A ， ∴()21064a =-+， ∴112a =-，∴21(6)412y x =--+； (2)令0y =，则210(6)412x =--+， 解得143613x =+≈，2436x =-+（负值舍去）， ∴球飞行的最远水平距离是13m ； (3)当13310x =-=时，81.70.323y =>+=， ∴这名队员不能拦到球； (4)）如图，足球第二次弹出后的距离为CD ，根据题意知CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位长度），∴21(6)4212x --+=， 解得1626x =-，2626x =+， ∴214610m CD x x =-=≈. 答：足球弹起后，会弹出10m .【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的平移，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图像与性质，掌握二次函数图像与性质是解题的关键． 2．(1)0.110y x =-+(2)①当4060x ≤≤时，20.113350=-+-w x x ；当6080x <≤时，7200190=-+w x； ②销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是100百元 【解析】 【分析】（1）把把60x =代入240y x=得4y =，设y 与x 的函数关系式为：y =kx +b ，把x =40，y =6；x =60，y =4，代入解方程组即可得到结论；（2）①根据x 的范围分类讨论，由“总利润=单件利润×销售量”可得函数解析式； ②结合①中两个函数解析式，分别依据二次函数的性质和反比例函数的性质求其最值即可． (1)解：把60x =代入240y x=得4y =． 设y 与x 的函数关系式为：y kx b =+， ∵当40x =时，6y =，当60x =时，4y =，∴406604k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：0.110k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 的函数关系式为：0.110y x =-+． (2)①当4060x ≤≤时，()()2300.110500.113350w x x x x =--+-=-+-；当6080x <≤时，()24072003050190w x x x=-⋅-=-+； ②当4060x ≤≤时，()220.1133500.16572.5w x x x =-+-=--+， ∵4060,65,x x ω≤≤≤随x 的增大而增大． ∴当60,70x w ==最大 （百元）． 当6080x ≤≤时，7200190xω=-+ ∵72000-<，∴w 随x 的增大而增大，当80x =时，100w =最大 （百元）．答：销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是100百元． 【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的应用，理解题意依据相等关系列出函数解析式，并熟练掌握二次函数和反比例函数的性质是解题的关键． 3．(1)210180y x x =-＋(2)排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟； (3)2 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）设第x 分钟时的排队人数为w 人，由二次函数的性质和一次函数的性质可求当x ＝7时，w 的最大值＝490，当9＜x ≤15时，210≤w ＜450，可得排队人数最多时是490人，由全部考生都完成体温检测时间×每分钟检测的人数＝总人数，可求解；（3）设从一开始就应该增加m 个检测点，由“在12分钟内让全部考生完成体温检测”，列出不等式，可求解． (1)根据表格中数据可知，当x ＝0时，y ＝0， ∴二次函数的关系式可设为：y ＝ax 2＋bx ，将()()1,1703450，，代入，得17093450a b a b =⎧⎨=⎩＋＋ 解得：10180a b =-⎧⎨=⎩，∴9分钟内y 与x 之间的函数关系式()21018009y x x x =-≤≤＋； (2)设第x 分钟时的排队人数为w 人，()810915y x =<≤由题意可得：w ＝y −40x ＝210140(09)81040(915)x x x x x ⎧-≤≤⎨-≤⎩＋＜，①当0≤x ≤9时，w ＝−10x 2＋140x ＝−10（x −7）2＋490， ∴当x ＝7时，w 的最大值＝490，②当9＜x ≤15时，w ＝810−40x ，w 随x 的增大而减小， ∴210≤w ＜450，∴排队人数最多时是490人，要全部考生都完成体温检测，根据题意得：810−40x ＝0， 解得：x ＝20.25，答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟； (3)设从一开始就应该增加m 个检测点，由题意得：12×20（m ＋2）≥810， 解得m ≥118， ∵m 是整数， ∴m ≥118的最小整数是2， ∴一开始就应该至少增加2个检测点． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题意，求出y 与x 之间的函数关系式是本题的关键． 4．(1)24201200S x x =-++；()610x ≤≤ (2)活动区域面积S 的最大值为21176m 【解析】 【分析】（1）利用健身区域的面积等于矩形的面积减掉周围四个长方形花坛的面积即可求解； （2）把（1）中求得的S 与x 之间的函数关系式化成二次函数的顶点式，利用二次函数的增减性即可求解． (1)（1）由题意解得：()2=4030454201200S x x x x ⨯--=-++；()610x ≤≤(2)（2）2254201200412252S x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，∵40a =-<，抛物线开口向下，对称轴为52x =， ∴当610x ≤≤时，S 随x 的增大而减小， ∴当6x =时，S 有最大值，最大值为1176， 答：活动区域面积S 的最大值为21176m ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用及二次函数的性质，读懂题意，找出题目中的等量关系是解题的关键．5．(1)10300y x =-+，1030x ≤≤；(2)当该品种的草莓定价为20元时，每天销售获得的利润最大，为1000元． 【解析】 【分析】（1）由图象可知每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间是一次函数的关系，设y kx b =+，将(10,200)，(15,150)代入解析式求解即可；（2）设利润为w 元，求得w 与x 的关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． (1)解：由图象可知每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间是一次函数的关系， 设y kx b =+，将(10,200)，(15,150)代入解析式，可得1020015150k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得10300k b =-⎧⎨=⎩ 即10300y x =-+，由题意可得，10x ≥，103000x -+≥，解得1030x ≤≤ 即10300y x =-+，1030x ≤≤， (2)解：设利润为w 元，则2(10)(10300)104003000w x x x x =--+=-+-， ∵100-<，开口向下，对称轴为20x ，1030x ≤≤∴当20x 时，w 有最大值，为1000元，【点睛】此题考查了一次函数与二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质，理解题意，找到题中的等量关系，正确列出函数关系式． 6．(1)①153EF x =-；②4米(2)饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米 【解析】 【分析】（1）①根据题意结合图形即可求解； ②根据矩形的面积公式列方程求解即可；（2）设饲养场DBEF 的面积为S ，求出关于DF 的长的关于x 的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答． (1)①设DF 的长为x 米， ∵点D 在线段AB 上，∴()()1421153EF x x x =---=-米， ②∵3AB =，∴3EF ≤，即1533x -≤， ∴4x ≥；设DF 的长为x 米，根据题意得：()15312x x -=， 解得：14x =，21x =（此时点D 不在线段AB 上，舍去）， ∴4x =，答：饲养场的长DF 为4米； (2)设饲养场DBEF 的面积为S ，DF 的长为x 米， ①点D 在15段AB 上，由（1）知此时4x ≥， 则()22575153315324S x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∵30a ，抛物线对称轴是直线52x =， ∴在对称轴右侧，S 随x 的增大而减小，∴4x =时，S 有最大值，23415412S =-⨯+⨯=最大值（平方米）；②点D 在线段BA 的延长线上，此时4x <， 则()()2132715333222S x x x =-+=--+， ∵302a =-<，34<，∴3x =时，S 有最大值，272S =最大值， ∴3x =时，272S =最大值（平方米）； ∵27122>， ∴饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米． 答：饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米． 【点睛】此题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键．7．(1)w＝-10x2＋1400x-33000；(2)每盒售价订为70元时，可使当天获得最大销售利润，销售利润是16000元；(3)10≤a＜30．【解析】【分析】（1）根据利润＝（售价-进价）×销量，即可得到w关于x的函数解析式；（2）把（1）中的函数解析式化成顶点式，根据二次函数的性质，即可得出答案；（3）根据题意，仿照（1）列出函数关系式，求出对称轴，再根据二次函数的性质分析，即可得到a的取值范围．(1)解：当售价为x元时，上涨（x-60）元，销量为500-10（x-60）＝-10x+1100，∴w＝（x-30）（-10x+1100）＝-10x2＋1400x-33000，故w关于x的函数解析式是w＝-10x2＋1400x-33000；(2)解：w＝-10x2＋1400x-33000＝-10（x-70）2+16000∵-10＜0∴抛物线开口向下，函数有最大值即当x＝70时，w有最大值，最大值是16000，故每盒售价订为70元时，可使当天获得最大销售利润，销售利润是16000元．(3)解：由题意得w＝（x-30-a）（-10x+1100）＝-10x2＋（1400+10a）x-（33000+1100a）其中60≤x≤75，∵-10＜0∴抛物线开口向下，函数有最大值，抛物线的对称轴是x＝140010170202aa+-=+-，∵每天捐赠后的日销售利润随产品售价的增大而增大，∴当60≤x≤75时，w随着x的增大而增大，∴1702a+≥75即a≥10，又∵x-30-a＞0，∴a＜x-30，其中60≤x≤75，∴ a ＜60-30，即a ＜30时，a ＜x -30恒成立，∴ 10≤a ＜30∴a 的取值范围是10≤a ＜30．【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，熟练应用二次函数求最值是解决问题的关键． 8．(1)5500y x =-+（x 为正整数且x ≤80）(2)10元，4500元(3)3750元【解析】【分析】(1)直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售5条列出y 与x 的函数关系式并整理即可；(2)利用“销售量×每件利润＝总利润”列出函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可；(3) 利用“销售量×（每件利润-5）＝总利润”列出函数关系式，再根据总捐款额不低于750元以及题意列不等式组求出x 的取值范围，最后利用二次函数的性质求最值即可．(1)解：由题意可得：y ＝100+5（80﹣x ），整理得 y ＝﹣5x +500（x 为正整数且x ≤80）．(2)（2）由题意，得：w ＝（x ﹣40）（﹣5x +500）＝﹣5x 2+700x ﹣20000＝﹣5（x ﹣70）2+4500，∵a ＝﹣5＜0，∴w 有最大值，即当x ＝70时，w 最大值＝4500，∴应降价80﹣70＝10（元）．答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元．(3)（3）由题意，得：w ＝（x ﹣40﹣5）（﹣5x +500）＝﹣5（x ﹣72.5）2+3781.25，由题意得5(5500)75080x x -+≥⎧⎨≤⎩， 解得x ≤70，∵﹣5＜0，∴x ＜72.5时，w 随x 的增大而增大，∴x ＝70时，w 最大值＝﹣5（x ﹣72.5）2+3781.25＝3750．答：捐款后每月最大利润是3750元．【点睛】本题主要考查了二次函数和不等式组在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、正确列出函数关系式是解答本题的关键．9．(1)w ＝−8x 2＋32x ＋480；(2)每件商品应降价2.5元；(3)每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元．【解析】【分析】（1）设每件商品应降价x 元，由每件利润×销售数量＝每天获得的利润可列出关于x 的关系式；（2）根据题意列出一元二次方程，解方程可得答案；（3）把w 关于x 的函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质可得答案．(1)解：由题意得w ＝（40−30−x ）（4×0.5x ＋48）＝−8x 2＋32x ＋480， 答：w 与x 的函数关系式是w ＝−8x 2＋32x ＋480；(2)解：由题意得，510＝−8x 2＋32x ＋480，解得：x 1＝1.5，x 2＝2.5，所以为尽快减少库存每件商品应降价2.5元；答：每天要想获得510元的利润，每件应降价2.5元.(3)解：∵w ＝−8x 2＋32x ＋480＝−8（x −2）2＋512，∴当x ＝2时，w 有最大值512，此时售价为40−2＝38（元），答：每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．10．(1)74(2) 【解析】【分析】（1）OA 在y 轴上，2724y x x =-++中，令x =0，可得y 即为OA ； （2）水流落得最远时，落点在x 轴上，在2724y x x =-++中，当y ＝0时，27204x x -++=，求得1x ． (1)在2724y x x =-++中，令x =0，则y = 74， ∴柱子OA 的高度为74米； 故答案为74； (2)（2）在2724y x x =-++中， 当y ＝0时27204x x -++=， 272-04-x x =， ()27=-2-41-=114⎛⎫∆⨯⨯ ⎪⎝⎭，∴1x ==∴1x =，2x =·， 又∵x ＞0，∴解得x =【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决问题的关键是平面直角坐标系中x 轴上的纵坐标为0，y 轴上的横坐标为0，解方程．。
初中数学 函数模块3-4 二次函数讲义(含答案解析)
二次函数题型练题型一：二次函数的定义1.二次函数的概念：一般地，形如²y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数．这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b ，c 可以为零，二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数²y ax bx c =++的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2（2）a ，b ，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．①二次函数的识别例1.1下列函数中，是二次函数的是（）A .261y x =+B .61y x =+C .8y x =D .281y x=-+【详解】解：A ．是二次函数，故本选项符合题意；B ．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；C ．是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；D ．等式的右边是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：A ．变式1.11.下列各式中，y 是x 的二次函数的是（）A.31y x =-B.21y x =C.231y x x =+- D.212y x x=+【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的定义：形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数求解可得．【详解】解：A 、y =3x -1是一次函数，不符合题意；B 、21y x =中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；C 、y =3x 2+x -1是二次函数，符合题意；D 、212y x x=+中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．②根据二次函数的定义求参数例1.2如果函数22(2)27my m x x -=-+-是二次函数，则m 的取值范围是（）A .2m =±B .2m =C .2m =-D .m 为全体实数【详解】解：由题意得：20m -≠，222m -=，解得：2m =-，故选：C ．变式1.22.已知函数y ＝（2﹣k ）x 2+kx +1是二次函数，则k 满足__．【答案】k ≠2【解析】【分析】利用二次函数定义可得2﹣k ≠0，再解不等式即可．【详解】解：由题意得：2﹣k ≠0，解得：k ≠2，故答案为：k ≠2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键．题型二：二次函数表达式的图像和性质①2y ax =方的图像和性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()0,0y 轴0x >时，y 随着x 的增大而增大；0x <时，y 随着x的增大而减小；0x =时，y 有最小值00a <向下()0,0y 轴0x >时，y 随着x 的增大而减小；0x <时，y 随着x的增大而增大；0x =时，y 有最大值0例2.1抛物线22y x =-的对称轴是（）A .直线12x =B .直线12x =-C .直线0x =D .直线0y =【详解】解：对称轴为y 轴，即直线0x =．故选C ．变式2.13.抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝12x 2的共同性质是（）A.开口向上B.对称轴是y 轴C.都有最高点D.y 随x 的增大而增大【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质解题．【详解】抛物线y ＝2x 2，y ＝12x 2开口向上，对称轴是对称轴是y 轴，有最低点，在y 轴的右侧，y 随x 的增大而增大，y ＝－2x 2，开口向下，对称轴是对称轴是y 轴，有最高点，在y 轴的左侧，y 随x 的增大而增大，故抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝12x 2的共同性质是对称轴是y 轴，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．②2y ax c =+方的图像和性质a 的符开口顶点坐对称性质号方向标轴a >向上()0,c y 轴0x >时，y 随着x 的增大而增大；0x <时，y 随着x的增大而减小；0x =时，y 有最小值c0a <向下()0,c y 轴0x >时，y 随着x 的增大而减小；0x <时，y 随着x的增大而增大；0x =时，y 有最大值c例2.24.将抛物线y ＝x 2＋3向右平移2个单位后，所得抛物线顶点是_______________．【答案】(2，3)【解析】【分析】根据题目给出的二次函数顶点式，以及“左加右减”的平移原则写出平移后的顶点式，再写出对应的顶点坐标．【详解】解：根据“左加右减”的平移原则，向右平移两个单位，平移后解析式应该是2(2)3y x =-+，∴顶点坐标是()2,3．故答案是：()2,3．【点睛】本题考查二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数平移的方法．【详解】解：根据“左加右减”的平移原则，向右平移两个单位，平移后解析式应该是2(2)3y x =-+，∴顶点坐标是()2,3．故答案是：()2,3．变式2.25.在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：222111,2,2222y x y x y x ==+=-．【答案】见解析【解析】【分析】利用描点法可画出这三个函数的图象．【详解】解：列表：描点：见表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的线连接，如图所示：【点睛】本题主要考查二次函数图象的画法，掌握基本的描点法作函数图象是解题的关键．③顶点式()2y a x h k =-+的性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上(),h k 直线x h=x h >时，y 随着x 的增大而增大；x h <时，y 随着x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k0a <向下(),h k 直线x h >时，y 随着x 的增大而减小；x h <时，y 随x h =着x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k例2.3若二次函数2()1y x m =--．当3x ≤时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（）A .3m =B .3m >C .3m ≥D .3m ≤【详解】解：由题知二次函数对称轴为x m =，开口向上，根据二次函数图像的性质：只需满足3x m ≤≤即可满足题意，故选C ．变式2.36.已知点P （m ，n ）在抛物线y ＝a （x ﹣5）2+9（a ≠0）上，当3＜m ＜4时，总有n ＞1，当7＜m ＜8时，总有n ＜1，则a 的值为（）A.1B.﹣1C.2D.﹣2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的解析式可以确定抛物线的顶点和增减性，再根据已知条件确定a 的符号和关于a 的不等式，从而得到a 的值．【详解】解：∵抛物线y ＝a （x ﹣5）2+9（a ≠0），∴抛物线的顶点为（5，9），∵当7＜m ＜8时，总有n ＜1，∴a 不可能大于0，则a ＜0，∴x ＜5时，y 随x 的增大而增大，x ＞5时，y 随x 的增大而减小，∵当3＜m ＜4时，总有n ＞1，当7＜m ＜8时，总有n ＜1，且x ＝3与x ＝7对称，∴m ＝3时，n≥1，m ＝7时，n≤1，∴491491a a +≥⎧⎨+≤⎩,∴4a+9＝1，∴a ＝﹣2，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标、增减性及其与图象的关系是解题关键．④一般式2y ax bx c=++a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭直线2bx a=-2bx a >-时，y 随着x 的增大而增大；2b x a <-时，y 随着x 的增大而减小；2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -0a <向下24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭直线2bx a=-2bx a>-时，y 随着x 的增大而增大；0x <时，y 随着x 的增大而增大；2b x a=-时，y 有最小值244ac b a -例2.4若()1–3.5,A y 、()2–1,B y 、()31,C y 为二次函数2––45y x x =+的图象上三点，则123,,y y y 的大小关系是__________．（用＞连接）【详解】对称轴为直线4222(1)b x a -==-=⨯-，∵–10a =<，∴当–2x <时，y 随x 的增大而增大，当–2x >时，y 随x 的增大而减小，∵2( 3.5)2 3.5 1.5,1(2)121,1(2)123---=-+=---=-+=--=+=，∴213y y y >>．故答案为：213y y y >>．变式2.47.某同学利用描点法画二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）的图象时，列出的部分数据如下表：序号①②③④⑤x 01234y3﹣23经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你找出错误的那组数据_____．（只填序号）【答案】③．【解析】【分析】由图表的信息知：第一、二、四、五个点的坐标都关于x=2对称，所以错误的一组数据应该是（2，-2）；可选取其他四组数据中的任意三组，用待定系数法求出抛物线的解析式．【详解】解：选取（0，3）、（1，0）、（3，0）；设抛物线的解析式为y=a （x-1）（x-3），则有：a （0-1）（0-3）=3，a=1；∴y=（x-1）（x-3）=x 2-4x+3．当x ＝2时，y ＝22﹣4×2+3＝﹣1≠﹣2，所以③数据计算错误．故答案为：③．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，能够正确的判断出错误的一组数据是解答此题的关键．⑤一般式与顶点式的转换将一般式进行配方变形得到224y 24b ac b a x a a -⎛⎫=±+⎪⎝⎭可以根据上述公式，实现二次函数的一般式与顶点式之间的转换．例2.5对于抛物线243y x x =-+．（1）将抛物线的一般式化为顶点式．（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．x……y ……（3）结合图象，当03x <<时，求出y 的取值范围．【详解】（1）()222434443(2)1y x x x x x =-+=-+-+=--．∴抛物线的顶点式为2(2)1y x =--．（2）x (012)34…y…31-03…函数图象如图所示：（3）根据函数图象可知，当03x <<时，y 的取值范围是13y -≤<．变式2.58.将抛物线223y x x =--变成顶点式为________．【答案】()214y x =--【解析】【分析】由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【详解】解：223y x x =--2214x x =-+-()214x =--．故答案为：()214y x =--．【点睛】本题主要考查的是二次函数的顶点式，正确配方是解题的关键．⑥二次函数图象的平移例2.6将抛物线2y x =向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，它的解析式为（）A .2(1)3y x =++B .2(1)3y x =-+C .2(1)3y x =+-D .2(1)3y x =--【详解】解：将抛物线2y x =图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象解析式为2(1)3y x =-+故选择：B ．变式2.69.把抛物线y=-2x 2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A.()2y 211x =-++ B.()2y 211x =--+C.()2y 211x =--- D.()2y 211x =-+-【答案】B【解析】【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．【详解】抛物线22y x =-向上平移1个单位，可得221y x =-+，再向右平移1个单位得到的抛物线是()2211y x =--+．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．题型三：各项系数与函数图像的关系a 决定二次函数图象的开口方向，a ，b 决定对称轴的位置，（左同右异，即a 与b 同号，则对称轴在y 轴左侧，反之在y 轴右侧）c 决定抛物线与y 轴交点的位置．例3已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：①0,0b c <>；②0a b c ++<；③方程的两根之和大于0；④0a b c -+<，其中正确的个数是（）A .4个B .3个C .2个D .1个【详解】试题分析：∵抛物线开口向下，∴0a <，∵抛物线对称轴0x >，且抛物线与y 轴交于正半轴，∴0,0b c >>，故①错误；由图象知，当1x =时，0y <，即0a b c ++<，故②正确，令方程20ax bx c ++=的两根为1x 、2x ，由对称轴0x >，可知1202x x +>，即120x x +>，故③正确；由可知抛物线与x 轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：10x -<<，∴当1x =-时，0y a b c =-+<，故④正确．故选B ．变式310.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac<b 2，③2a+b=0，④a －b+c>2，其中正确的结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【详解】①∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线x ==﹣1，∴b =2a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＞0，所以①正确；②∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，∴4ac <b 2，所以②正确；③∵b =2a ，∴2a ﹣b =0，所以③错误；④∵x =﹣1时，y ＞0，∴a ﹣b +c ＞2，所以④正确．故选C ．视频题型四：待定系数法求二次函数解析式一般用待定系数法求解二次函数的解析式，再求解过程中需要注意其使用的形式，1.已知抛物线上的三点坐标，一般用一般式求解析式2.已知抛物线顶点或对称轴或最值，一般用顶点式进行求解，3.已知抛物线与x 轴的交点横坐标，一般用交点式进行求解，4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，一般用顶点式进行求解．例4已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过(1,0),(0,5)-两点，则这个二次函数的解析式为_______．【详解】解：把()1,0、()0,5代入2y x bx c =-++，得105b c c --+=⎧⎨=⎩，解得45b c =⎧⎨=⎩，所以二次函数的解析式为245y x x =-++．故答案为：245y x x =-++．变式411.若二次函数的图象过（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点，则这个二次函数的解析式为________________．【答案】223y x x =+-．【解析】【分析】设出二次函数的解析式为2y ax bx c =++，将三点坐标代入二次函数解析式求出a ，b ，c 的值，即可确定出解析式．【详解】设二次函数的解析式为2y ax bx c =++，将（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点代入解析式得：93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得：123a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩．则二次函数解析式为223y x x =+-．故答案为：223y x x =+-．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．题型五：二次函数与一元二次方程1.一元二次方程20ax bx c ++=，是二次函数2y ax bx c =++当0y =，即与x 轴相交的特殊情况2.二次函数与x 轴的交点个数当0∆>是，抛物线与x 轴有两个交点；当0∆=是，抛物线与x 轴有一个交点；当∆<0是，抛物线与x 轴没有交点；①抛物线与X 轴Y 轴的交点问题例5.1抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为（）A .()3,0B .()0,3C .D .【详解】当0x =时，3y =，则抛物线23y x =+与y 轴交点的坐标为()0,3，故选B ．变式5.112.抛物线y ＝2x 2﹣2x 与x 轴的交点坐标为___．【答案】（0，0），（1，0）．【解析】【分析】解方程2x 2﹣2x ＝0，即可求出抛物线与x 轴的交点坐标.【详解】当y ＝0时，2x 2﹣2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝1，所以抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0），（1，0）．故答案为（0，0），（1，0）．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标与一元二次方程解的关系，二次函数与x 轴的交点横坐标是ax 2+bx +c =0时方程的解，纵坐标是y =0.②根据二次函数图象确定相应方程根的情况例5.2已知函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则关于x 的方程240ax bx c ++-=的根的情况是（）A .有两个相等的实数根B .有两个异号的实数根C .有两个不相等的实数根D .没有实数根【详解】∵函数的顶点的纵坐标为4，∴直线4y =与抛物线只有一个交点，∴方程240ax bx c ++-=有两个相等的实数根，故选A ．变式5.213.如图，抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则关于x 的方程20ax bx c --=的解为______．【答案】12x =-，21x =【解析】【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组2y ax y bx c ⎧=⎨=+⎩的解为1124x y =-⎧⎨=⎩，2211x y =⎧⎨=⎩，于是易得关于x 的方程ax 2-bx-c=0的解．【详解】解：∵抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，∴方程组2y ax y bx c ⎧=⎨=+⎩的解为1124x y =-⎧⎨=⎩，2211x y =⎧⎨=⎩，即关于x 的方程20ax bx c --=的解为12x =-，21x =．故答案为x 1=-2，x 2=1．【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点坐标是24(,)24b ac b a a--，对称轴直线x=-2b a ．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．③用图象求一元二次方程的近似根例5.3如表是一组二次函数23y x x =--的自变量和函数值的关系，那么方程230x x --=的一个近似根是（）x1234y 3-1-39A ．1.2B .2.3C .3.4D .4.5【解析】【分析】根据二次函数的图象特征解答．【详解】解：观察表格得：方程230x x --=的一个近似根在2和3之间，故选：B ．变式5.3.114.如图，以直线1x =为对称轴的二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴负半轴交于A 点，则一元二次方程20ax bx c ++=的正数解的范围是（）．A.23x << B.34x << C.45x << D.56x <<【答案】C【解析】【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴1x =，可以算出右侧交点横坐标的取值范围．【详解】∵二次函数2y ax bx c =++的对称轴为1x =，而对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围是32x -<<-，∴右侧交点横坐标的取值范围是45x <<．故选：C ．【点睛】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围．变式5.3.215.若m 、n （n ＜m ）是关于x 的一元二次方程1﹣（x ﹣a ）（x ﹣b ）=0的两个根，且b ＜a ，则m ，n ，b ，a 的大小关系是（）A.m＜a＜b＜nB.a＜m＜n＜bC.b＜n＜m＜aD.n＜b＜a＜m【答案】D【解析】【详解】试题分析：如图抛物线y=（x ﹣a ）（x ﹣b ）与x 轴交于点（a ，0），（b ，0），抛物线与直线y=1的交点为（n ，1），（m ，1），由图象可知，n ＜b ＜a ＜m ．故选D ．考点：抛物线与x 轴的交点．③利用图象求不等式的取值范围例5.3如图是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分．当0y <时，自变量x 的范围是___【详解】解：∵由函数图象可知，函数图象与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-，对称轴为直线2x =，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()5,0，∴当0y <时，15x -<<．故答案为：15x -<<．变式5.316.二次函数2y x bx c =-++的部分图象如图所示，由图象可知，方程20x bx c -++=的解为___________________；不等式20x bx c -++<的解集为___________________．【答案】①.11x =-，25x =②.1x <-或5x >【解析】【分析】根据抛物线的对称轴和抛物线与x 轴一个交点求出另一个交点，再通过二次函数与方程的两根，二次函数与不等式解集的关系求得答案．【详解】∵抛物线的对称轴为2x =，抛物线与x 轴一个交点为（5，0）∴抛物线与x 轴另一个交点为（-1，0）∴方程20x bx c -++=的解为：11x =-，25x =由图像可知，不等式20x bx c -++<的解集为：1x <-或5x >．故答案为：11x =-，25x =；1x <-或5x >．【点睛】本题考查了二次函数的图像性质，掌握二次函数与方程的两根，二次函数与不等式的解集关系，是解决问题的关键．④求x 轴与抛物线的截线长例5.4已知二次函数24y x x m =-+的图象与x 轴交于A 、B 两点，且点A 的坐标为()1,0，则线段AB 的长为（）A .1B .2C .3D .4【详解】将点()1,0A 代入24y x x m =-+，得到3m =，所以243y x x =-+，与x 轴交于两点，设()()1122,,,A x y b x y ∴2430x x -+=有两个不等的实数根，∴12124,3x x x x +=⋅=，∴122AB x x =-==；故选B ．变式5.417.已知方程2x 2﹣3x ﹣5=0两根为52，﹣1，则抛物线y =2x 2﹣3x ﹣5与x 轴两个交点间距离为_________．【答案】72【解析】【详解】试题分析：根据一元二次方程与二次函数的关系可知抛物线与x 轴两交点的横坐标，再根据距离公式即可得出答案.解：∵方程2x 2﹣3x ﹣5=0两根为52，﹣1，∴抛物线y =2x 2﹣3x ﹣5与x 轴两个交点的横坐标分别为52，﹣1，∴两个交点间距离为57(1)22--=.故答案为72.题型六：实际问题与二次函数①图形问题例6.1如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃（由两个小矩形花圃组成）．设花圃的一边AB 为m x ，面积为2m S ．（1）求S 与x 之间的函数表达式（写出自变量的取值范围）．（2）如果要围成面积为245m 的花圃，那么AB 的长是多少米？（3）能围成面积比245m 更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．【详解】解：（1）∵024310x <-≤，∴1483x ≤<∴()21424332483S x x x x x ⎛⎫=-=-+≤< ⎪⎝⎭．（2）当45S =时，有232445x x -+=．解得123,5x x ==．∵1483x ≤<，∴5x =，即AB 的长为5m ．（3）能围成面积比245m 更大的花圃．∵()223243448S x x x =-+=--+，其函数图象开口向下，对称轴为直线4x =，当4x >时，y 随x 的增大而减小，∴在1483x ≤<的范围内，当143x =时，S 取得最大值，1403S =最大值．即最大面积为2140m 3，此时14m,10m 3AB BC ==．变式6.1设等边三角形的边长为()0x x >，面积为y ，则y 与x 的函数关系式是（）A .212y x =B .214y x =C .22y x =D .24y x =【详解】解：作出BC 边上的高AD ．∵ABC 是等边三角形，边长为x ，∴12CD x =，∴高为2=h x ，∴2124y x h x =⨯=．故选：D ．②图形运动问题例6.2如图，矩形ABCD 中，6cm,3cm AB BC ==，动点P 从A 点出发以1cm /秒向终点B 运动，动点Q 同时从A 点出发以2cm /秒按A D C B →→→的方向在边,,AD DC CB 上运动，设运动时间为x （秒），那么APQ 的面积()2cmy 随着时间x （秒）变化的函数图象大致为（）A .B .C .D .【详解】根据题意可知：,2AP x AQ x ==，①当点Q 在AD 上运动时，211222y AP AQ x x x =⋅⋅=⋅=，为开口向上的二次函数；②当点Q 在DC 上运动时，1133222y AP DA x x =⋅=⨯=，为一次函数；③当点Q 在BC 上运动时，211(122)622y AP BQ x x x x =⋅⋅=⋅⋅-=-+，为开口向下的二次函数．结合图象可知A 选项函数关系图正确．故选：A ．变式6.218.如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，12BC cm =，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，分别到达B ，C 两点就停止运动，则△PQB 的面积最大时，所用时间为（）A.2sB.3sC.4sD.5s【答案】B【解析】【分析】表示出PB ，BQ 的长，根据三角形面积公式列出函数关系式，然后配方求解即可.【详解】解：由题意得：AP=tcm ，则PB=(6-t)cm ，BQ=2tcm ，故S △PQB =221(6)26(3)92t t t t t ??-+=--+，∴当t=3s 时，△PQB 的面积最大，故选B.【点睛】本题考查的是二次函数的应用，根据题意表示出三角形的两直角边长是根本，得出面积并配方找最大值是关键．③拱桥问题例6.3如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．【详解】抛物线依坐标系所建不同而各异，如下图．（仅举两例）①如图1建立坐标系，∵顶点在原点，∴设函数解析式为2y ax =，∵图像过()20,6，∴2620a =⨯，解得：3200a =-，∴抛物线的表达式为23200y x =-．②如图2建立坐标系，∵图像相当于图1的图像向上平移6，∴抛物线的表达式为236200y x =-+．故正确，抛物线表达式为23200y x =-或236200y x =-+．变式6.319.如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m 时，拱高为2m ，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超过______m.【答案】1.2【解析】【详解】以水面所在水平线为x轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为y轴，建立坐标系，设水平面与拱桥的交点为A（-2，0），B（2，0），C（0，2），利用待定系数法设函数的解析式为y=a（x+2）（x-2）代入点C坐标，求得a=-12，即抛物线的解析式为y=-12（x+2）（x-2），令x=1，解得y=1.5，船顶与桥拱之间的间隔应不少于0.3，则木船的最高高度为1.5-0.3=1.2米.故答案为：1.2.④销售问题例6.4我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．某市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种空气净化器，其进价时200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低5元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）求出月销售量y （单位：台）与售价x （单位：元/台）之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（2）当售价x 定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w （单位：元）最大？最大利润是多少？【详解】解：（1）根据题中条件销售价每降低5元，月销售量就可多售出50台，当售价为x 时，降了()400x -，所以月销售多了()10400x -台，则月销售量y （台）与售价x （元/台）之间的函数关系式；()10400200104200y x x =-+=-+∵空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台∴300104200450x x ≥⎧⎨-+≥⎩解得300375x ≤≤（2）由题意有：(200)w x y=-(200)(104200)x x =--+2106200840000x x =-+-210(310)121000x =--+∴当售价x 定为310元时，w 有最大值，为121000变式6.420.某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．【答案】（1）20元；（2）每件衬衫应降价15元，商场盈利最多，共1250元．【解析】【分析】（1）总利润=每件利润×销售量，根据题意可得利润表达式，再求当1200w =时x 的值；（2）根据函数关系式，运用二次函数的性质求最值．【详解】解：设每天利润为w 元，每件衬衫降价x 元，根据题意得()()()22402022608002151250w x x x x x =-+=-++=--+（1）当1200w =时，22608001200x x -++=，解之得121020x x ==，．根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元．答：每件衬衫应降价20元．（2）解：商场每天盈利w=()()40202x x -+()22151250x =--+．∵-2＜0∴抛物线开口向下∴当x=15时，w 有最大值，w 的最大值为1250，所以当每件衬衫应降价15元时，商场盈利最多，共1250元．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．【点睛】本题考查二次函数应用的销售问题的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．⑤投球问题例6.5如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度()m y 与运行的水平距离()m x 满足关系式()2y a x k h =-+．已知球与D 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，球网与D 点的水平距离为9m ．高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ，则下列判断正确的是（）A .球不会过网B .球会过球网但不会出界C .球会过球网并会出界D .无法确定【详解】分析：（1）将点()0,2A 代入2(6) 2.6y a x =-+求出a 的值；分别求出9x =和18x =时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．详解：根据题意，将点()0,2A 代入2(6) 2.6y a x =-+，得：362.62a +=，解得：160a =-，∴y 与x 的关系式为21(6) 2.660y x =--+；当9x =时，21(96) 2.6 2.45 2.4360y =--+=>，∴球能过球网，当18x =时，21(186) 2.60.2060y =--+=>，∴球会出界．故选C ．变式6.521.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（）A. 4.6mB. 4.5mC.4mD.3.5m【答案】B【解析】【分析】根据题意将篮圈高度y =3.05代入函数21 3.55y x =-+解得x ，再加上3即可求得L .【详解】如图，把y =3.05代入函数21 3.55y x =-+，解得：x ＝1.5或x ＝﹣1.5（舍），则L ＝3+1.5＝4.5m.故选B.⑥喷水问题例6.6如图，花坛水池中央有一喷泉，水管3m OP =，水从喷头P 喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m ，P 距抛物线对称轴1m ，则为使水不落到池外，水池半径最小为（）A .1B .1.5C .2D .3【详解】如图建立坐标系：抛物线的顶点坐标是()1,4，设抛物线的解析式是()214y a x =-+，把()0,3代入解析式得：43a +=，解得：1a =-，则抛物线的解析式是：()214y x =--+，当0y =时，()2140x --+=，解得：123,1x x ==-（舍去），则水池的最小半径是3米．故选：D ．变式6.622.如图，斜坡AB 长10米，按图中的直角坐标系可用53y x =-+表示，点A 、B 分别在x 轴和y 轴上，在坡上的A 处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B 处，抛物线可用213y x bx c =-++表示．（1）求抛物线的函数关系式；（2）求水柱离坡岗AB的最大高度．【答案】（1）21533y x x =-++；（2）254【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质求出点A 、B 的坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）水柱离坡面的距离d=21553x x ⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭，整理成一般式，再配方成顶点式即可得.【详解】解：（1）∵AB=10、∠OAB=30°，∴OB=12AB=5、OA=ABcos ∠OAB=10×2=，则A（，0）、B （0，5），将A 、B 坐标代入213y x bx c =-++，得175035c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得：35b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为21533y x x =-++；（2）水柱离坡面的距离d=21553x x ⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭，=2125324x ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴当254.【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质等知识点，难度不大.⑦增长率问题例6.7共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a 辆单车，计划第三个月投放单车y 辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，那么y 与x 的函数关系是（）A .2y x a=+B .()21y a x =+C .()21y x a=-+D .()21y a x =-【详解】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，依题意得第三个月第三个月投放单车()21a x +辆，则()21y a x =+．故选：B ．变式6.723.某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x ，预计今年比去年的年增长率仍为x ，今年的总产值为y 万元．（1）求y 关于x 的函数关系式．（2）当x=20%时，今年的总产值为多少？（3）在（2）的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？【答案】（1）210(1)y x =+；（2）14.4万元；（3）36.4万元．【解析】【分析】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)=10(1＋x)²；(2)把x 的值代入(1)求解即可；(3)代入求解即可.【详解】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)=10(1＋x)²；(2)当x=20%时，今年的总产值=10(1＋20%)²=14.4万元；(3)依题意，得前年，去年和今年三年的总产值为：10+10(1+20%)+10(1＋x)²=36.4(万元).【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数求解．⑧其他问题例6.8小明和小丽先后从A 地出发同一直道去B 地，设小丽出发第min x 时，小丽、小明离B 地的距离分别为1y m 、2y m ，1y 与x 之间的数表达式11802250y x =-+，2y 与x 之间的函数表达式是22101002000y x x =--+．（1）小丽出发时，小明离A 地的距离为m ．（2）小丽发至小明到达B 地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？【详解】解（1）当0x =时，122250,2000y y ==∴1222502000250(m)y y -=-=故答案为：250（2）设小丽出发第min x 时，两人相距m S ，则()21802250101002000S x x x =-+---+即21080250S x x =-+其中010x ≤≤因此，当8042210b x a -=-=-=⨯时S 有最小值，224410250(80)904410ac b a -⨯⨯--==⨯也就是说，当小丽出发第4min 时，两人相距最近，最近距离是90m变式6.824.如图，有一个横截面边缘为抛物线的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为8m ，两侧距底面4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m ，则这个隧道入口的最大高度为_________m ．。
中考二次函数应用题附答案解析
中考二次函数应用题附答案解析二次函数应用题1．如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台AB（水平）与x轴的距离为6，与y轴交于B点，与滑道AM：y=kx交于A，且AB=2，MN⊥x轴，测得MN=1，P到x轴的距离为3，设ON=b．(1)k的值为_______，点P的坐标是________，b=_________；(2)当一号球落到P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为（8，5）①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道AM是否还能相交；②在x轴上有线段NC=1，若一号球恰好能倍NC接住，则NC向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？2．李大爷每年春节期间都会购进一批新年红包销售，根据往年的销售经验，这种红包平均每天可销售50袋，每袋盈利3元，若每袋降价0.5元，平均每天可多售出25袋，设每袋降x元，平均每天的利润为y元．(1)请求出y与x的函数表达式；(2)若李大爷想让每天的利润最大化，应该降价多少元销售？最大利润为多少元？3．为响应江阴市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝x cm，面积为y m2如图所示）．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．甲乙丙单价（元/棵） 14 16 28 合理用地（m 2/棵）0.410.44．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A ，B 两种型号的低排量汽车，其中A 型汽车的进货单价比B 型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A 型汽车的数量与花40万元购进B 型汽车的数量相同． (1)求A ，B 两种型号汽车的进货单价；(2)销售过程中发现：A 型汽车的每周销售量yA （台）与售价xA （万元台）满足函数关系yA ＝﹣xA +18；B 型汽车的每周销售量yB （台）与售价xB （万元/台）满足函数关系yB ＝﹣xB +14．若A 型汽车的售价比B 型汽车的售价高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w 万元．①当A 型汽车的利润不低于B 型汽车的利润，求B 型汽车的最低售价？②求当B 型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？5．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是40元，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． (1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（40x >），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品牌玩具获得利润ω元．(2)在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？6．为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程——开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L ”字形的墙面（粗线ABC 表示墙面，已知AB BC ⊥，3AB =米，1BC =米）和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF （细线表示篱笆，小型农场中间GH 也是用篱笆隔开），点D 可能在线段AB 上（如图1），也可能在线段BA 的延长线上（如图2），点E 在线段BC 的延长线上．(1)当点D 在线段AB 上时，①设DF的长为x米，请用含x的代数式表示EF的长；②若要求所围成的小型农场DBEF的面积为12平方米，求DF的长；(2)DF的长为多少米时，小型农场DBEF的面积最大?最大面积为多少平方米?7．某数学兴趣小组对函数y＝|x2＋2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下所示，其中自变量x取全体实数，x与y的几组对应值如表所示．x﹣4﹣3﹣2﹣10123 y8m0n03815(1)根据如表数据填空：m＝，n＝；(2)在如图所示的平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线将函数图象补充完整；(3)观察该函数的图象，解决下列问题．①该函数图象与直线y＝1的交点有个；2②若y随x的增大而减小，求此时x的取值范围；③在同一平面内，若直线y＝x＋b与函数y＝|x2＋2x|的图象有a个交点，且a≥3，求b的取值范围．8．用总长为24m的篱笆围成如图的花圃（四边形ABEF和四边形CDFE均为矩形），现一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），设花圃的宽AB为x m，面积为S m2．(1)求S与x的函数关系式及x的取值范围；(2)要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？(3)AB的长为多少米时，围成的花圃面积最大，请直接写出AB的长度．9．如图，用长30米的竹篱笆围成一个矩形菜园，其中一面靠墙，墙长10米，墙的对面有一个2米宽的门，设垂直于墙的一边长为x 米，菜园的面积为S 平方米．(1)直接写出S 与x 的函数关系式； (2)若菜园的面积为96平方米，求x 的值；(3)若在墙的对面再开一个宽为a （0＜a ＜3）米的门，且面积S 的最大值为124平方米，直接写出a 的值．10．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间有如下表的一次函数关系： 销售单价x （元） 30 35 40 … 70 … 每天的销售量y （件）1009080…20…(1)求该商品每天的销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；(2)该商店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为保证捐款后销售该商品每天获得的利润不低于650元，则每天的销售量最少应为多少件？【参考答案】二次函数应用题1．(1)12，(4,3)，12(2)21(8)58y x =--+，不能相交，理由见解析；d 的最大值是3，最小值是158【解析】 【分析】（1）由题意写出点A 的坐标，代入k y x =即可求出k 值，得到12y x=，将点P 、点M 的纵坐标分别代入12y x=求出点P 和点M 的横坐标，即可求解； （2）①由抛物线G 的最高点Q 的坐标写出抛物线的顶点式2(8)5y a x =-+，将点A 坐标代入求出a 值，即可得到抛物线的解析式；求出抛物线上12x =时对应的y 值，判断此点在点M 的上方还是下方，即可得出抛物线与AM 是否相交．②当线段NC 平移后的线段11N C 的1N 点在抛物线上，即1N 点与D 重合时，平移距离最大，当线段NC 平移后的线段22N C 的2C 点在抛物线上时，平移距离最小，求出相应坐标即可求解．(1)解：平台AB （水平）与x 轴的距离为6，AB =2， ∴点A 、点B 的坐标为(2,6)A ，(0,6)B ．将(2,6)A 代入k y x =得，62k =， 解得12k =，∴滑道AM 所在图象的函数解析式为：12y x=点P 到x 轴的距离为3，∴点P 的纵坐标为3P y =，将3P y =代入到12y x =得，1243P x ==， ∴点P 的坐标为(4,3)，MN ⊥x 轴，测得MN =1， ∴点M 的纵坐标为1=M y ，将1=M y 代入到12y x =得，12121M x ==， ∴点M 的坐标为(12,1)， 12ON ∴=，故答案依次为：12，(4,3)，12； (2)解：①由题意抛物线G 的最高点Q 的坐标为（8，5）， ∴设抛物线G 的函数解析式为：2(8)5y a x =-+，将点P 坐标代入2(8)5y a x =-+得23(48)5a =-+， 解得18a =-，∴设抛物线G 的函数解析式为：21(8)58y x =--+，点M 的纵坐标(12,1)，设12x =时抛物线G 上对应点为点D ，则点D 的坐标(12,)D y ，将12x =代入到21(8)58y x =--+，解得3D y =，D M y y >，∴一号球可以飞行到点M 的正上方， ∴抛物线G 与滑道AM 不能相交；②将线段NC 向上平移，平移后线段与抛物线有交点时，说明可以接到一号球，如图所示，当线段NC 平移后的线段11N C 的1N 点与D 重合时，平移距离最大， ∴最大平移距离为303D N y y -=-=；当线段NC 平移后的线段22N C 的2C 点在抛物线上时，平移距离最小， 1NC =，12ON =，∴点C 的坐标为(13,0)， ∴点2C 的横坐标为13，将213C x =代入到21(8)58y x =--+，解得2158C y =∴最小平移距离为21515088C C y y -=-=； ∴平移距离d 的最大值是3，最小值是158． 【点睛】本题考查反比例函数、二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式、二次函数顶点式，通过点的坐标判断函数图像是否相交等是解题的关键． 2．(1)y ＝−50x 2＋100x ＋150(2)应该降价1元销售，最大利润为200元． 【解析】 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出y 与x 的函数表达式；（2）将（1）中函数关系式化为顶点式，然后利用二次函数的性质即可得到x 为何值时，y 取得最大值． (1)解：由题意可得， y ＝（3−x ）（50＋0.5x×25）＝−50x 2＋100x ＋150， 即y 与x 的函数表达式是y ＝−50x 2＋100x ＋150； (2)由（1）知：y ＝−50x 2＋100x ＋150＝−50（x −1）2＋200，∴当x ＝1时，y 取得最大值，此时y ＝200，答：若李大爷想让每天的利润最大化，应该降价1元销售，最大利润为200元． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求最值． 3．(1)y ＝﹣2x 2+36x （9≤x ＜18）(2)丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上．理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的面积公式计算即可；（2）利用二次函数的性质求出y 的最大值，设购买了乙种绿色植物a 棵，购买了丙种绿色植物b 棵，由题意得1440016288600a b a b --++=（），可得71500a b +=，推出b 的最大值为214，此时2a =，再求出实际植物面积即可判断． (1)解：∵AB ＝x ， ∴BC ＝36﹣2x ，∴y ＝x （36﹣2x ）＝﹣2x 2+36x ， ∵0＜36﹣2x ≤18， ∴9≤x ＜18．∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣2x 2+36x （9≤x ＜18）； (2)解：∵y ＝﹣2x 2+36x ＝﹣2（x ﹣9）2+162， ∴x ＝9时，y 有最大值162（m 2），设购买了乙种绿色植物a 棵，购买了丙种绿色植物b 棵， 由题意：14（400﹣a ﹣b ）+16a +28b ＝8600， ∴a +7b ＝1500， ∴b 的最大值为214， 此时a ＝2．需要种植的面积＝0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214＝161.2（m 2）＜162m 2， ∴丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．(1)A 种型号汽车的进货单价为10万元、B 两种型号汽车的进货单价为8万元 (2)①B 型汽车的最低售价为414万元/台，②A 、B 两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元 【解析】 【分析】（1）设未知数，用未知数分别表示A 型汽车、B 型汽车的进价，然后根据花50万元购进A 型汽车的数量与花40万元购进B 型汽车的数量相同列分式方程求解即可．（2）①用利润公式：利润=（售价-进价）×数量，分别表示出A、B型汽车利润，然后列不等式求解即可；②B型号的汽车售价为t万元/台，然后将两车的总利润相加得出一个二次函数，求二次函数的最值即可．(1)解：设B型汽车的进货单价为x万元，根据题意，得：502 x ＝40x，解得x＝8，经检验x＝8是原分式方程的根，8+2＝10（万元），答：A种型号汽车的进货单价为10万元、B两种型号汽车的进货单价为8万元；(2)设B型号的汽车售价为t万元/台，则A型汽车的售价为（t+1）万元/台，①根据题意，得：（t+1﹣10）[﹣（t+1）+18]≥（t﹣8）（﹣t+14），解得：t≥414，∴t的最小值为414，即B型汽车的最低售价为414万元/台，答：B型汽车的最低售价为414万元/台；②根据题意，得：w＝（t+1﹣10）[﹣（t+1）+18]+（t﹣8）（﹣t+14）＝﹣2t2+48t﹣265＝﹣2（t﹣12）2+23，∵﹣2＜0，当t＝12时，w有最大值为23．答：A、B两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，二次函数的应用，理清数量关系，明确等量关系是解题关键．5．(1)y=1000−10x，w=−10x2＋1300x−30000；(2)商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．【解析】【分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，得y＝600−（x−40）×10＝1000−10x，利润w＝（1000−10x）（x−30）＝−10x2＋1300x−30000；（2）首先求出x的取值范围，然后把w＝−10x2＋1300x−30000转化成y＝−10（x−65）2＋12250，结合x的取值范围，求出最大利润．(1)解：由题意得：销售量y=600−（x−40）×10=1000−10x，销售玩具获得利润w=（1000−10x）（x−30）=−10x2＋1300x−30000；(2)解：根据题意得10001054045x x -≥⎧⎨≥⎩，解之得：45≤x ≤46，w ＝−10x 2＋1300x −30000＝−10（x −65）2＋12250， ∵a ＝−10＜0，对称轴是直线x ＝65， ∴当45≤x ≤46时，w 随x 增大而增大． ∴当x ＝46时，w 最大值＝8640（元）．答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大． 6．(1)①153EF x =-；②4米(2)饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米 【解析】 【分析】（1）①根据题意结合图形即可求解； ②根据矩形的面积公式列方程求解即可；（2）设饲养场DBEF 的面积为S ，求出关于DF 的长的关于x 的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答． (1)①设DF 的长为x 米， ∵点D 在线段AB 上，∴()()1421153EF x x x =---=-米， ②∵3AB =，∴3EF ≤，即1533x -≤， ∴4x ≥；设DF 的长为x 米，根据题意得：()15312x x -=， 解得：14x =，21x =（此时点D 不在线段AB 上，舍去）， ∴4x =，答：饲养场的长DF 为4米； (2)设饲养场DBEF 的面积为S ，DF 的长为x 米， ①点D 在15段AB 上，由（1）知此时4x ≥， 则()22575153315324S x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∵30a ，抛物线对称轴是直线52x =，∴在对称轴右侧，S 随x 的增大而减小，∴4x =时，S 有最大值，23415412S =-⨯+⨯=最大值（平方米）；②点D 在线段BA 的延长线上，此时4x <， 则()()2132715333222S x x x =-+=--+， ∵302a =-<，34<，∴3x =时，S 有最大值，272S =最大值， ∴3x =时，272S =最大值（平方米）； ∵27122>， ∴饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米． 答：饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米． 【点睛】此题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键． 7．(1)3；1 (2)见解析(3)①4；②x ≤－2或－1≤x ≤0；③2≤b ≤94【解析】 【分析】（1）分别把x =-3和x =-1代入函数解析式求出结果； （2）根据表格，利用描点、连线画出函数图象； （3）①画出y =12的图象，观察交点个数得出结果； ②观察函数图象得出结果；③利用一元二次方程根的判别式计算即可． (1)解：当x =-3时，m ＝|x 2＋2x |=|9-6|=3， 当x =-1时，m ＝|1-2|=|-1|=1， 故答案为3，1； (2) 如图；(3)①由图象知图象与直线y=12有4个交点，故答案为4；②由图象知，当x≤－2或－1≤x≤0时，图象从左到右逐渐下降，故若y随x的增大而减小，此时x的取值范围x≤－2或－1≤x≤0；③由题意可得，3≤a≤4．当直线y＝x＋b过点（－2，0）和点（－1，1）时，该直线与函数y＝|x2＋2x|的图象有三个交点，此时b＝2；由图象可得在－2≤x≤－1段的函数解析式为y＝－x2－2x，令x＋b＝－x2－2x，整理得x2＋3x＋b＝0. 当该段函数图象与直线y＝x＋b有交点时，判别式为9－4b≥0，∴b≤94．综上，b的取值范围是2≤b≤94．【点睛】本题考查画函数图象以及利用函数图象解决问题，数形结合思想的应用是解决问题的关键．8．(1)S与x的函数关系式为S＝﹣3x2+24x，x值的取值范围是143≤x＜8；(2)AB的长为5m；(3)当AB的长是143m时，围成的花圃的面积最大，最大面积是2140m3【解析】【分析】（1）根据矩形的面积即可写出函数关系式；（2）根据（1）中所得函数关系式当S为45时，列出一元二次方程即可求出AB的长；（3）根据（1）中所得函数关系式化为顶点式，再根据自变量的取值范围即可求出最大面积．(1)解：根据题意，得：S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，∵0＜24﹣3x≤10，∴143≤x＜8．答：S与x的函数关系式为S＝﹣3x2+24x，x值的取值范围是143≤x＜8；(2)解：根据题意，得：当S＝45时，﹣3x2+24x＝45，整理，得x2﹣8x+15＝0，解得x1＝3，x2＝5，当x＝3时，BC＝24﹣9＝15＞10不成立，当x＝5时，BC＝24﹣15＝9＜10成立．答：AB的长为5m；(3)解：S＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵143≤x＜8，且抛物线的对称轴x＝4，开口向下，∴当x＝143时，S最大，最大值＝﹣3（143﹣4）2+481403．答：当AB的长是143m时，围成的花圃的面积最大，最大面积是2140m3【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是综合掌握二次函数的性质和一元二次方程的解法．9．(1)S ＝﹣2x 2+32x(2)12(3)2.8【解析】【分析】（1）根据矩形面积公式即可写出函数关系式；（2）根据（1）所得关系式，将S =96代入即可求解；（3）再开一个宽为a 的门，即矩形的另一边长为（32-2x +a ）m ，根据矩形的面积公式即可求解．(1)根据题意得，S ＝（30﹣2x +2）x ＝﹣2x 2+32x ；(2)当S ＝96时，即96＝﹣2x 2+32x ，解得：x 1＝12，x 2＝4，∵墙长10米，∴30﹣8+2＝25＞10，∴x 的值为12；(3)∵S ＝（30﹣2x +a +2）x ＝﹣2x 2+（32+a ）x ，∵32﹣2x +a ≤10，则x ≥12a +11，∵面积取得最大值为S ＝124，∴﹣2x 2+（32+a ）x ＝124，把x ＝12a +11代入，得﹣2（12a +11）2+（32+a ）（12a +11）＝124，解得a ＝2.8．答：a 的值为2.8．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据矩形面积公式得出函数解析式是根本，根据养鸡场的长不超过墙长取舍是关键．10．(1)2160y x =-+(2)20件【解析】【分析】（1）将任意两对值代入一次函数表达式，即可求解；（2）设每天获得的利润w （元)，根据题意得出w 与x 的函数关系式，由题意得(30)(2160)150650x x --+-，解不等式即可得到结论． (1)解：由列表数据知y 是x 的一次函数，设y kx b =+，将点(30,100)、(40,80)代入一次函数表达式得：301004080k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2160k b =-⎧⎨=⎩， 故函数的表达式为：2160y x =-+；(2)解：设每天获得的利润w （元)，根据题意得(30)(2160)150650w x x =--+-，令(30)(2160)150650x x --+-=，解得：140x =，270x =，∴销售单价最多为70元，结合图象可知(30)(2160)150650x x --+-时，4070x ，216020y x ∴=-+，∴每天的销售量最少应为20件．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，一次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量⨯每件的利润w =得出函数关系式是解题关键．。
二次函数的表达式、图象、性质及计算(讲义及答案)
二次函数的表达式、图象、性质及计算（讲义）➢知识点睛1.一般地，形如（）的函数叫做二次函数．2.表达式、图象及性质：①一般式通过可推导出顶点式．②二次函数的图象是，是图形，对称轴是，顶点坐标是．③当a 时，函数有最值，是；当a 时，函数有最值，是．④当a 时，图象以对称轴为界，当x 时，y 随x的增大而，当x 时，y 随x 的增大而；当a 时，图象以对称轴为界，当x 时，y 随x 的增大而，当x 时，y 随x 的增大而．⑤a，b，c 符号与图象的关系a 的符号决定了抛物线的开口方向，当时，开口向；当时，开口向．c 是抛物线与交点的．b 的符号：与a ，根据可推导．3.二次函数图象平移：①二次函数图象平移的本质是，关键在．②图象平移口诀：、．平移口诀主要针对二次函数．➢精讲精练1.下列函数（x，t 是自变量）是二次函数的有．（填写序号）①y =x2 -1x - 3 ；②y =21- 2x + 3 ；③y =-1+ 3x 2 ；x2 2④x2 - 2 +y = 0 ；⑤y =-x2 ；⑥s = 1+t + 5t 2 ；⑦y =1x2 -x3 + 25 ；⑧y = 22 + 2x ．22.若函数y = (a - 3)x a2 -7 为二次函数，则a=（）A．-3 B．3 C．±3 D．513.二次函数y =kx2 + 2x +1（k < 0 ）的图象可能是（）A． B．C．D．4.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m 和函数y=-mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可．能．是（）A． B．C． D．5.将抛物线y=x2-2x 向上平移3 个单位，再向右平移4 个单位得到的抛物线是．6.抛物线y=(x+2)2-3 可以由抛物线y =x2 平移得到，则下列平移方法正确的是（）A.先向左平移2 个单位，再向上平移3 个单位B.先向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位C.先向右平移2 个单位，再向下平移3 个单位D.先向右平移2 个单位，再向上平移3 个单位7.抛物线y =x2 +bx +c 的图象向右平移2 个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y =x2 - 2x + 3 ，则b，c 的值为（）A．b=2，c=3 B．b=2，c=6C．b=-2，c=-1 D．b=-3，c=228.如图，将抛物线y = (x +1)2 - 7 沿x 轴平移，若平移后的抛物线经过点P(-2，2)，则平移后的抛物线解析式为（）A．y = (x + 5)2 - 7B．y = (x + 5)2 - 7 或y = (x +1)2 +1C．y = (x +1)2 +1D．y = (x + 5)2 - 7 或y = (x -1)2 - 79.抛物线y=2(x+m)2+n（m，n 是常数）的顶点坐标是；y =ax2 +bx +c 的顶点坐标是（用含a，b，c 的代数式表示）；y=-2x2+4x+1的顶点坐标是，有最值，是．10.已知抛物线y =-1x2 - 3x -15，将它配成顶点式为，2 2对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，y 有最值，是．11.抛物线y =1-1x2 开口向2，对称轴是直线，顶点坐标是，当x= 时，y有最值，是．312. （1）已知二次函数的图象经过A(-3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，求此二次函数的解析式．解：设二次函数的解析式为，由题意得：解得：∴二次函数的解析式为．（2）已知二次函数的图象经过A(-4，0)，B(2，0)，C(1，-5) 三点，求此二次函数的解析式．13. （1）二次函数图象的顶点坐标是(1，-3)，且过点(3，-15)，求此二次函数的解析式．解：依题意可设这个函数的解析式为，∵抛物线经过点，∴，解得：，∴二次函数的解析式为．（2）二次函数图象的顶点坐标是(-1，-4)，且过点(1，0)．求此二次函数的解析式．4) 【参考答案】 ➢ 知识点睛1.y = ax 2 + bx + c ；a ，b ，c 为常数，a ≠0 2. ① y = ax 2+ bx + c ；配方法； y = a (x + b 2 +4ac - b 2 2a 4a b b 4ac - b 2②抛物线；轴对称；直线 x = - ； (- ， ) ；③＞0；小；4ac - b 24a 2a ；＜0；大； 2a 4a 4ac - b 2； 4a ④＞0； x < - b 2a ；减小； > - b2a ；增大；＜0； < - b 2a ；增大； > - b2a；减小；⑤a ＞0；上；a ＜0；下 y 轴；纵坐标；左同右异；对称轴位置3. ①点的平移；坐标；②左加右减；上加下减；顶点式➢ 精讲精练1. ①③④⑤⑥2. A3. C4.D5. y = x 2 -10x + 276. B7. B8. Db 4ac - b 29. (-m ，n )； (- ， ) ；(1，3)；大；32a 4a10.y = - 1 (x + 3)2 - 3 ；x =-3；(-3，-3)；x ＞-3；-3；大；-3 211. 下；x =0（y 轴）；(0，1)；0；大；1 12. （1） y = -x 2 - 2x + 3 ；（2） y = x 2 + 2x - 8 ． 13. （1） y = -3(x -1)2 - 3 ；（2） y = (x +1)2 - 4 ．5；。
二次函数的应用讲义
x
3、某地计划开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道，•其截面是抛物线拱形 ACB，而且能通过最宽 3m， 最高 3.5m 的厢式货车．按规定，•机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是 0.5m．• 为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，•建立如图所示的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度 AB 和拱高 OC．
2、某塑料大棚的截面如图所示，曲线部分近似看作抛物线．现测得 AB 6 米，最高点 D 到地面 AB 的距 离 DO 2.5 米，点 O 到墙 BC 的距离 OB 1米．借助图中的直角坐标系，回答下列问题： （1）写出点 A ， B 的坐标； （2）求墙高 BC ． 光线
y D C A
O B
弘大数学培 A 资料
1、二次函数的图像经过点 A(0， 3) ， B(2， 3) ， C (1， 0) ． （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图像的顶点坐标； （3）填空：把二次函数的图像沿坐标轴方向最少 平移 ．．
2009 年 5 月 16 日
个单位，使得该图像的顶点在原点．
弘大数学培 A 资料
2009 年 5 月 16 日
4、如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度 ，小孔顶点 N 距水面 4.5 米（即 NC 4.5 米） ．当水 AB 20 米，顶点 M 距水面 6 米（即 MO 6 米） 位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度 EF ．
3
C
O
A
BM x
6、跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地 面 的距离AO和BD均为0. 9米，身高为 1.4米的小丽站在距点O的水平距离为 1米的点 F处，绳子甩到最高处时刚 好通过她的头顶点E。以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y=ax 2+bx+0.9. (1)求该抛物线的解析式； (2)如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的 身高； (3)如果身高为1.4米的小丽站在OD 之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图 像，写出t的取值范围 。
第四讲二次函数(讲义).doc
第四讲二次函数一、知识要点和基本方法 1、 二次函数解析式的三种形态(顶点式、零点式与一般式)2、 二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a^O)的图象与性质3、 一元二次方程o? +* + c•=0在某一开区间内外的实根分布问题(从△，对称轴与区间端点的函数值的符号这三个角度来考虑)(1) 两根均大于t()<=> (2) 两根均小于t()(3) 一根大于t(),另一根小于切 <=>(4) 其中一个根小于t|,另一个根大于t2 (ti<t 2)(5) 两根均在开区间(t ］, t 2)内，即两根X1,X2满足/, < %! < x 2 < t 2 = (6) 有旦仅有一个根在区间(t|, (2)内 o(7) 对于t^<t 2< t 3 ,两根尤］,尤2分别在区间(t ］, t 2)和(t 2, t 3)内说明：若avo,这时二次函数图像开口向下，不等式组要做相应变更，若a 的符号不能确定，则要加以 对论；若将开区间换为闭区间，不等组也要相应变形。
［典型例题］一、二次函数解析式的确定及相关问题例1、设二次函数y=ax?+bx+c 满足条件:f(0)=2, f(l)=-l,且图象在x 轴上所截得的线段长为2很， 求这个二次函数的表达式。
例2、已知二次函数y = (x)的图象以原点为顶点且过点(1, 1),反函数= f 2 (x)的图象与直线y=x 的两个交点的距离8, y(x) = /1(x) + /2(x)0 (1)求函数f(x)的表达式；(2)证明：当a>3时，关于x 的方程/(x)= f M 有三个实数解。
二、 二次函数的最值问题例3、己知定义在闭区间［0, a ］上的函数y=x 2—2x4-3,问：当a 在什么范围内取值时，y 的最大值是3, 且最小值是2o例4、如果抛物线y=x 2-(k-l)x-k-l 与x 轴的交点为A 、B,顶点为C,求AABC 的面积的最小值。
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二次函数应用题（讲义）
课前预习
回忆并背诵应用题的处理思路，回答下列问题：
1.理解题意，梳理信息．
梳理信息的主要手段有．
2.建立数学模型．
建立数学模型要结合不同特征判断对应模型，如：
①共需、同时、刚好、恰好、相同……，考虑；
②不超过、不多于、少于、至少……，考虑；
③最大利润、最省钱、运费最少、最小值……，考虑．
3.求解验证，回归实际．
主要是看结果是否．
知识点睛
1.理解题意，梳理信息
二次函数应用题常见类型有：实际应用问题，最值问题．梳
理信息时需要借助表格、图形．
实际应用问题要将题目中的数据转化为图中对应的线段长，
确定关键点坐标，求出抛物线解析式．
最值问题要确定函数表达式及自变量取值范围．
2.建立数学模型
常见数学模型有方程、不等式、函数．函数模型要确定自变量和因变量；根据题意确定题目中各个量之间的等量关系，用自变量表达对应的量从而确定函数表达式．
例如：问“当售价为多少元时，年利润最大？”确定售价为自变量x，年利润为因变量y，年利润=（售价-进价）×年销量，用x 表达年销量，从而确定y 与x 之间的函数关系．
3.求解验证，回归实际
求解通常借助二次函数的图象和性质；
结果验证要考虑是否符合实际背景及自变量取值范围要求．
精讲精练
1.如图，在水平地面点A 处有一网球发射器向空中发射网球，网
球飞行路线是一条抛物线，在地面上的落点为B．有人在直线AB 上的点C 处（靠点B 一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB=4 米，AC=3 米，网球飞行的最大高度OM=5 米，圆柱形桶的直径为 0.5 米，高为0.3 米．以点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系．（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）
（1）当竖直摆放 5 个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？
（2）当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入桶内？
M
P
Q
A
O C
0.5
B
D
y
M
P
Q
A
O C
0.5
B
D x
2.某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在
空中的运动路线是如图所示的平面直角坐标系中经过原点
O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10
2
3 米，入水处距池边的水平距离为
4 米．运动员在距水面的高度为
5 米之前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求这条抛物线的解
析式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线为（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 3.6 米，则此次跳水会不会失误？
y
3m A
O x
10m 跳台支柱
1m
B 水面
3.某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形
状均为正方形，边长在 5~50（单位：cm）之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例；每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据：
（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式．
（2）已知出厂一张边长为 40 cm 的薄板，获得的利润为 26
元．（利润=出厂价-成本价）
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．
②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大
利润是多少？
【分析】
4.某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出
210 件．如果该商品的销售单价每上涨 1 元，则每月销量减少
10 件（每件售价不能高于 65 元）．设每件商品的售价上涨x元
（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元．
（1）求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范
围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？
最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2 200 元根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2 200 元．
【分析】
5.我市高新技术开发区的某公司，用 480 万元购得某种产品的生
产技术，并进一步投入资金 1 520 万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品每件成本费为40 元．经过市场调查发现：该产品的销售单价定在 150 元到 300 元之间较为合理，销售单价x（元）与年销售量y（万件）之间的变化可近似地看作是下表所反映的一次函数：
的取值范围．
（2）请说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损额是多少？
（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利 1 790 万元？
若能，求出第二年的产品售价；若不能，请说明理由．
【分析】
【参考答案】
课前预习
1.列表、画图
2.方程；不等式（组）；函数
3.符合实际背景
精讲精练
1. （1）网球不能落入桶内；
（2）当竖直摆放8 个、9 个、10 个、11 个或12 个圆柱形桶时，网球可以落入桶内．
2. （1）y=-25
x2+
10
x ；（2）会失误，理由略．6 3
3. 设一张薄板的边长为x cm，出厂价为y 元，利润为w 元．
（1）y=2x+10（5≤x≤50）；
（2）①w=-
1
25
x2 + 2x +10 （5≤x≤50）；
②当边长为25 cm 时，出厂一张薄板所获得的利润最大，最
大利润是35 元．
4. （1）y=-10x2+110x+2 100（1≤x≤15，且x 为整数）；
（2）每件商品的售价定为55 元或56 元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2 400 元；
（3）每件商品的售价定为51 元或60 元时，每个月的利润恰为
2 200 元，每件商品的售价m 满足51≤m≤60 且m 为整数时，
每个月的利润不低于2 200 元．
5. （1）y =-
1
10
x + 30 （150≤x≤300）；
（2）投资的第一年该公司亏损，最少亏损310 万元；
（3）不能，理由略．。