二次函数应用题(讲义及答案)

二次函数应用题（讲义）

课前预习

回忆并背诵应用题的处理思路，回答下列问题：

1.理解题意，梳理信息．

梳理信息的主要手段有．

2.建立数学模型．

建立数学模型要结合不同特征判断对应模型，如：

①共需、同时、刚好、恰好、相同……，考虑；

②不超过、不多于、少于、至少……，考虑；

③最大利润、最省钱、运费最少、最小值……，考虑．

3.求解验证，回归实际．

主要是看结果是否．

知识点睛

1.理解题意，梳理信息

二次函数应用题常见类型有：实际应用问题，最值问题．梳

理信息时需要借助表格、图形．

实际应用问题要将题目中的数据转化为图中对应的线段长，

确定关键点坐标，求出抛物线解析式．

最值问题要确定函数表达式及自变量取值范围．

2.建立数学模型

常见数学模型有方程、不等式、函数．函数模型要确定自变量和因变量；根据题意确定题目中各个量之间的等量关系，用自变量表达对应的量从而确定函数表达式．

例如：问“当售价为多少元时，年利润最大？”确定售价为自变量x，年利润为因变量y，年利润=（售价-进价）×年销量，用x 表达年销量，从而确定y 与x 之间的函数关系．

3.求解验证，回归实际

求解通常借助二次函数的图象和性质；

结果验证要考虑是否符合实际背景及自变量取值范围要求．

精讲精练

1.如图，在水平地面点A 处有一网球发射器向空中发射网球，网

球飞行路线是一条抛物线，在地面上的落点为B．有人在直线AB 上的点C 处（靠点B 一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB=4 米，AC=3 米，网球飞行的最大高度OM=5 米，圆柱形桶的直径为 0.5 米，高为0.3 米．以点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系．（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）

（1）当竖直摆放 5 个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？

（2）当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入桶内？

M

P

Q

A

O C

0.5

B

D

y

M

P

Q

A

O C

0.5

B

D x

2.某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在

空中的运动路线是如图所示的平面直角坐标系中经过原点

O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10

2

3 米，入水处距池边的水平距离为

4 米．运动员在距水面的高度为

5 米之前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．

（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求这条抛物线的解

析式；

（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线为（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 3.6 米，则此次跳水会不会失误？

y

3m A

O x

10m 跳台支柱

1m

B 水面

3.某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形

状均为正方形，边长在 5~50（单位：cm）之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例；每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据：

（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式．

（2）已知出厂一张边长为 40 cm 的薄板，获得的利润为 26

元．（利润=出厂价-成本价）

①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．

②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大

利润是多少？

【分析】

4.某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出

210 件．如果该商品的销售单价每上涨 1 元，则每月销量减少

10 件（每件售价不能高于 65 元）．设每件商品的售价上涨x元

（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元．

（1）求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范

围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？

最大的月利润是多少元？

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2 200 元根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2 200 元．

【分析】

5.我市高新技术开发区的某公司，用 480 万元购得某种产品的生

产技术，并进一步投入资金 1 520 万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品每件成本费为40 元．经过市场调查发现：该产品的销售单价定在 150 元到 300 元之间较为合理，销售单价x（元）与年销售量y（万件）之间的变化可近似地看作是下表所反映的一次函数：

的取值范围．

（2）请说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损额是多少？

（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利 1 790 万元？

若能，求出第二年的产品售价；若不能，请说明理由．

【分析】