11章 两变量间相关与回归分析
第11章回归分析习题解答
B． 是随机变量，且有 y0 N (β0 + β1x0 ,σ 2 ) ．
C． 当 β0 ， β1 确知时等于 β0 + β1x0 ．
D． 等于 βˆ0 + βˆ1x0 ．
6． 在回归分析中，检验线性相关显著性常用的三种检验方法，不包含(
A． 相关系数显著性检验法．
B． t 检验法．
； 若 新 保 单 数 x0 = 1000 ， 给 出 Y 的 估 计 值 为
yˆ0 = 0.118129 + 0.003585×1000 = 3.703129 .
16． 下表是 16 只公益股票某年的每股帐面价值 x 和当年红利 y ，利用 Excel 的数据分
析功能得到的统计分析结果如下：
方差分析
过 10 周时间，收集了每周加班工作时间的数据和签发的新保单数目， x 为每周签发的新保
单数目，Y 为每周加班工作时间（小时）.利用 Excel 的数据分析功能得到统计分析如下表.
Coefficients
标准误差
Intercept X Variable 1
0.118129 0.003585
0.355148 0.000421
15.1
15.1
228.01
228.01
18
15.1
14.5
228.01
210.25
列和
270.1
265
计算可得：
4149.39
3996.14
∑ Syy =
y2 i
−
ny 2
=94.75
∑ Sxx =
x2 i
−
nx 2
=96.39
∑ Sxy = xi yi − nxy = 95.24
管理统计学习题参考答案第十一章
十一章1. 解：回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，运用十分广泛。
回归分析按照涉及的变量的多少，分为一元回归和多元回归分析；在线性回归中，按照因变量的多少，可分为简单回归分析和多重回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且自变量之间存在线性相关，则称为多元线性回归分析。
相关分析，相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度，是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法。
相关分析和回归分析是研究客观现象之间数量联系的重要统计方法。
既可以从描述统计的角度，也可以从推断统计的角度来说明。
所谓相关分析，就是用一个指标来表明现象间相互依存关系的密切程度。
所谓回归分析，就是根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型，来近似地表达变量间的平均变化关系。
它们具有共同的研究对象，在具体应用时，相关分析需要依靠回归分析来表明现象数量相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表明现象数量变化的相关程度。
只有当变量之间存在着高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。
由于相关分析不能指出变量间相互关系的具体形式，所以回归分析要对具有相关关系的变量之间的数量联系进行测定，从而为估算和预测提供了一个重要的方法。
在有关管理问题的定量分析中，推断统计加具有更加广泛的应用价值。
需要指出的是，相关分析和回归分析只是定量分析的手段。
通过相关与回归分析，虽然可以从数量上反映现象之间的联系形式及其密切程度，但是现象内在联系的判断和因果关系的确定，必须以有关学科的理论为指导，结合专业知识和实际经验进行分析研究，才能正确解决。
因此，在应用时要把定性分析和定量分析结合起来，在定性分析的基础上开展定量分析。
两变量间相关与回归分析
两变量间相关与回归分析
对一个变量的每个可能取值，另一个变量 都有完全确定的值与之对应，则称这两个变量 之间的关系呈现函数关系，称确定性关系。若 两变量之间确实存在着某种关系，但这种关系 不是一一对应的函数关系，称非确定性关系。
两变量间相关与回归分析
第一节 直线相关
5.7266
1831.24 3.294834
XY (6) 5.81130 6.25282 6.42960 6.50916 7.33862 8.23918 8.39520 9.09198 9.23400 10.25760 77.55946
计算步骤如下：
1、绘制散点图：Y0.660源自640.620.60
0.58
0.56
0.54
0.52
11
12
13
14
15
16
X
两变量间相关与回归分析
2、相关系数的计算
l X X ( X x ) 2 X 2 (n X ) 2 1 8 3 1 . 2 4 1 3 1 4 0 . 4 2 2 4 . 9 0 4
l Y Y = X － y = Y 2 ( n Y ) 2 3 . 2 9 4 8 5 . 7 1 2 0 6 6 2 0 . 0 1 5 4
合计
表11-1
体重 X （2） 11.0 11.8 12.0 12.3 13.1 13.7 14.4 14.9 15.2 16.0 134.4
某地10名三岁儿童体重与体表面积
体表面积 Y
X2
Y2
(3)
(4)
(5)
0.5283
121.00 0.279101
0.5299
139.24 0.280794
[课件]第11章 回归.PPT
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(1) (2)
直线通过均点 ( X ,Y ) 直线上方各点到直线的纵向距离之和
= 直线下方各点到直线的纵向距离之和 ˆ) ( Y Y 0 即:
(3)
各点到该回归线纵向距离平方和较到
其它任何直线者为小。
2 2 ˆ ˆ Y Y Y a bX
( X X )( Y Y ) l b l ( X X )
2
XY
XXΒιβλιοθήκη aYbX幻灯片 9go
go
ˆ Y Y ˆ Y Y
6.5
的意义
为残差：点到直线的纵向距离。
6.0
5.5
5.0 11 12 13 14 15 16
2 ˆ ( Y Y )
的意义
残差平方和 (residual sum of squares). 综合表示点距直线的距离。 在所有的直线中，回归直线的残差平方和是最小的。 (最小二乘)
第11章 回 归.ppt
11.7 直线回归的区间估计
11.8 两个斜率的比较
11.9 两条回归直线的合并 11.10过定点的直线回归
11.11 直线回归与直线相关的区别及联系
11.12多重线性回归简介 11.13回归分析的正确应用
英寸 英寸 ， y69 例子： x68 英寸 英寸 x 72 ,y 71 1 1 英寸 英寸 x 64 ,y 67 2 2
ˆ) (Y Y
残差
2 ˆ 残差平方和 Y Y
( Y Y ) 0
l ˆ Y Y l YY lXX
2
2 XY
残差平方和最小且惟一，故名为最小二乘法
统计学中的相关性和回归分析
统计学中的相关性和回归分析统计学中，相关性和回归分析是两个重要的概念和方法。
它们旨在揭示变量之间的关系，并可以用来预测和解释观察结果。
本文将介绍相关性和回归分析的基本原理、应用及其在实践中的意义。
一、相关性分析相关性是指一组变量之间的关联程度。
相关性分析可以帮助我们理解变量之间的关系，以及这种关系的强度和方向。
常用的相关性指标有皮尔逊相关系数、斯皮尔曼相关系数和判定系数等。
皮尔逊相关系数是最常见的衡量变量之间线性关系的指标。
它的取值范围在-1到1之间，其中-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无相关。
例如，在研究身高和体重之间的关系时，如果相关系数为0.8，则说明身高和体重呈现较强的正相关。
斯皮尔曼相关系数则不要求变量呈现线性关系，而是通过对变量的序列进行排序，从而找到它们之间的关联程度。
它的取值也在-1到1之间，含义与皮尔逊相关系数类似。
判定系数是用于衡量回归模型的拟合程度的指标。
它表示被解释变量的方差中可由回归模型解释的部分所占的比例。
判定系数的取值范围在0到1之间，越接近1表示模型对数据的拟合越好。
二、回归分析回归分析是一种用于建立变量之间关系的统计方法。
它通过建立一个数学模型来解释和预测依赖变量和自变量之间的关系。
回归模型可以是线性的，也可以是非线性的。
线性回归是最常见的回归分析方法之一。
它假设自变量和因变量之间存在着线性关系，并通过最小二乘法来估计模型中的参数。
线性回归模型通常表示为y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn，其中y为因变量，x1、x2等为自变量，β0、β1等为模型的参数。
非线性回归则适用于自变量和因变量之间存在非线性关系的情况。
非线性回归模型可以是多项式回归、指数回归、对数回归等。
回归分析在实践中有广泛的应用。
例如，在市场营销中，回归分析可以用来预测销售量与广告投入之间的关系；在医学研究中，回归分析可以用来探究疾病发展与遗传因素之间的联系。
相关分析与回归分析 PPT
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距离相关分析一般不单独使用, 而就是作为聚类分析、因子分析等得 预处理过程。
距离相关分析根据统计量得不同, 分为不相似性测度和相似性测度。对 于不相似性测度,通过计算距离来表 示,距离越大,相似性越弱;对于相似性 测度,通过计算 Pearson 相关系
数据得采集也就是建立回归模型 得重要一环。
大多数建模竞赛题目会提供相关 数据,但这些数据可能包含了一些无 用得信息,个别数据缺失甚至失真。
在建模前,需要对数据进行适当
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处理。比如标准化,剔除个别过大或 过小得“野值”,用插值方法补齐空 缺数据等。 (3) 回归模型形式得确定
收集、处理好数据后,首先要确 定适当得数学模型来描述这些变量间 得统计关系。
显然,样品间得相关系数都接近
于1,很难辨别出其相似程度。
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例4 5名考官给10名应聘者得面
试分数如下,请问各考官评分得一致
性如何？哪位考官得可信度较小？各
应聘者分数得差异就是否明显？
解 若第1问改为:请问不同考官
对应聘者面试分数得影响就是否显著,
则勉强可用方差分析。因为考官给10
相关分析与回归分析
一、引 言
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2
在很多研究领域中,往往需要研
究事物间得关系。如收入与受教育程
度,子女身高与父母身高,商品销售额
与广告费用支出,农作物产量与施肥
量,上述两者间有关系吗？如果有关
系,又就是怎么样得关系呢？如何来
度量这种关系得强弱？
解决上述问题得统计方法就是相
相关分析与回归分析
这是一种不检验F和Tolerance，一次将全部自变量无条件地
纳入回归方程。
二强行剔除Remove一次性剔除
指定某些变量不能进入方程。这种方法通常同别的方法联合
使用，而不能首先或单独使用，因为第一次使用或单独使用
将意味着没有哪个变量进入方程。
三逐步进入Stepwise
▪ 回归分析是研究客观事物变量间的关系，它是建立在对客
观事物进行大量试验和观察的基础上，通过建立数模型寻
找不确定现象中所存在的统计规律的方法。回归分析所研
究的主要问题就是研究因变量y和自变量x之间数量变化规
律，如何利用变量X，Y的观察值样本，对回归函数进行
统计推断，包括对它进行估计及检验与它有关的假设等。
差
▪ “Plots”
该对话框用于设置要绘制的图形的参数。
“X”和“Y”框用于选择X轴和Y轴相应的变量。
左上框中各项的意义分别为：
• “DEPENDNT”因变量。
• “ZPRED”标准化预测值。
• “ZRESID”标准化残差。
• “DRESID”删除残差。
• “ADJPRED”调节预测值。
• “SRESID”声氏化残差。
利用的是非参数检验的方法。
定序变量又称为有序ordinal变量顺序变
量，它取值的大小能够表示观测对象的某种顺
序关系等级方位或大小等，也是基于“质”因
素的变量。例如，“最高历”变量的取值是：
一—小及以下二—初中三—高中中专技校四—
大专科五—大本科六—研究声以上。由小到大
的取值能够代表历由低到高。
Spearman等级相关系数为
– 四. Multinomial Logistic 多元逻辑分析。
两个变量的相关关系与回归分析的基本思想
两个变量的相关关系与回归分析的基本思想北京市日坛中学 胡芳 杨平 北京市朝阳区教研中心 王文英教学目标设置①理解回归直线的意义，探索回归直线方程的推导，会利用图形计算器求回归方程、进行统计预测，能理解预报结果；②认识随机误差和残差，能根据残差图分析观测数据有无异常并简单判断回归方程的预测精度； ③感受统计知识在解决实际问题中的应用价值，体验图形计算器在数学探究中的优越性，提高自主探究能力．学生学情分析授课班级是我校高二年级重点班，学生的数学基础比较扎实，有一定的分析问题和解决问题的能力，同时，该班学生已经使用了近两年的CASIO FX-CG20图形计算器，初步形成根据教学内容自主地运用手持技术进行实验和探究的意识．因为在前面的教学活动中，已经渗透了两个变量相关关系的概念，学生能对实际生活中的两个变量简单进行相关关系判断．在本节课前，我充分利用学生已有的知识体验，指导学生在年级范围内测量和收集记录了学生的左臂长与身高的数据，通过教学使他们参与到自己收集的数据进行数据处理的全过程，注重学生从感性认识到理性认识的探索过程，在学生的学法上采用探究式教学，不断地从新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情．由于该班学生已具备了一定的数学思辨能力，因此在课堂教学中注重培养学生数学思维的严谨性，突出数学学科特点，重视学生数学思辩能力的培养，在教学过程中通过问题和数据的分析验证，不断引导学生进行数学量化分析，培养学生学数学、用数学的意识．根据学生的学习基础和接受能力，设定本节课的教学重点和教学难点为： 教学重点：回归直线方程的意义、推导及应用． 教学难点：随机误差e 和残差e的认识．教学策略分析本节课采用师生互动探究式教学．教师遵循“教师为主导、学生为主体”的原则，结合授课班级学生的求知心理和已有的认知水平开展教学．教师通过引导学生收集数据，进行实际操作，建立函数回归模型，实际验证引导矛盾，再次残差分析，完备知识体系的过程，通过问题式教学环境的创设，由学生归纳出两个变量回归分析的方法，让学生主动地获取知识，教师只起适当引导作用，使教师的主导作用和学生的主体作用都必须得到充分发挥．1．由于学生对两个变量的回归分析概念只有感性认知（大学里还将继续学习），因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的实验探索和数据处理分析过程，不断地从新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识体验，遵循学生的心理认知规律，由于课堂时间的限制，附录中为学生提供了两种不同的证明方法，丰富并完备学生的认知．2．由教师层层递进性的创设问题情景，让学生带着问题走进课堂，师生共同探究完成，在问题的解决中培养学生的反思能力，通过引导学生分析线性回归直线的探究，形成对解决求回归直线方程的策略，利用图形计算器得到回归方程直线，不仅有了理论性的认识，更在实际运算中为学生提供了一种有效工具，从而归纳出对两个线性相关变量进行的方法和一般步骤．又引导学生通过图形计算器验证数据，导出矛盾，指导学生反思得到残差分析，从而进一步强化两个变量回归分析的认知，并利用CASIO 图形计算器从数和形两个方面进行探究，不断开拓学生的思维空间．3．重视激发学生求知欲．注意引导学生积极体验，自己产生问题意识，并展开探究、尝试，总结，从而主动获取知识．本节课的重难点都是围绕着两个变量的回归分析进行研究，由于授课班级学生思维比较活跃，有一定的思辨基础和反思能力，因此我注意拓展了教材内容，当两个变量呈现非线性关系，如何进行回归分析？学生利用CASIO 图形计算器是可以自己简单的进行判断，从而引导学生不断深入思考，从多个角度丰富思维图形计算器支持本节课技术支持采用了 CASIO FX-CG20图形计算器．CASIO FX-CG20图形计算器提供了强大的数据分析功能，对学生学习和把握两个变量的相关关系分析有重要的帮助：一方面，在进行数据输入和分析后，对两个变量的相关系数和函数模型的选择提供了有力的技术支持，本节课如果没有图形计算器的介入，是不可能在一节课上完成教学任务的；另一方面，在研究出理想的函数模型后，利用图形计算器进行实际验证，导出矛盾，引入残差的概念，从学生的实际操作中完成知识的升华．CASIO FX-CG20图形计算器对本节课探究性学习的价值主要体现于以下几点：1．数据分析性功能：本机课涉及到大量的数据处理分析，计算量非常大，如果按照课本提供的方式进行处理，那么本节课的教学内容要用6个课时，而利用CASIO 图形计算器，可以很容易地进行数据处理和数据验证，这种媒体功能可以不用在计算机教室就可以让学生自己动手操作实现，由学生在教师的指导下完成对自己身边的实际数据的处理，圆满的完成学生对本节课的探究任务．2．直观性功能：学生在输入数据后，要合理分析数据散点图，并对自己的函数模型进行相关性分析，但学生对于相关系数的认识是不足的，不可能要求学生的课堂上对每一种模型的相关系数进行验证，而学生通过图形计算器计算，作出的相关系数与函数图像和散点图的吻合程度，在直观上帮助学生理解了相关分析的概念，学生从数和形可以很容易地得到结论．3．解惑性功能：通过手持技术操作下的验证试验，学生可以发现“错误产生在哪里”，从而在知识的认知上完成了螺旋式上升．问题5中对学生选择的最合理的函数模型进行验证，可以发现结论与实测数据的差距很大，这一点是学生容易产生困惑的地方，在新定义残差后，学生使用图形计算机作出数据残差图，研究分析残差i e，从而发现数据中的错误并判断模型的拟合效果，进一步巩固理解对两个变量回归分析的完整性．4．由过去的教师演示试验变成学生的亲身动手操作，使学生经历了知识的发生、发展的过程，激发学生的学习兴趣．教学过程：1．问题引入：我们以前学习了对一个变量进行统计分析的方法，今天我们研究具有相关关系的两个变量的数据处理和分析的方法．有人发现日常生活中有一个规律：当一个人左臂长的值比较大时其身高值也大，当一个人左臂长的值比较小时其身高值也比较小，为了研究这个规律是否具有一般性，我们上节课后在高二年级收集了40组数据，并绘制了散点图，发现这两个变量之间具有正相关关系． 2．新课教学：（1）描述回归直线的概念问题1：观察散点图，这些样本点的分布有什么特征？指导学生描述：从整体上看样本点集中分布在一条直线附近． 注意两点：①周围——附近；②是所有点吗？如果样本点的分布从整体上看在一条直线的附近，那么这两个变量之间存在线性相关关系．由于这条直线位于样本点的中间位置，所以这条直线可作为两个变量具有线性相关关系的数据代表．如果可以求出这条直线方程就可以比较清楚地了解两个变量间的相关性，并利用它来统计分析两个变量线性相关．（2）学生活动：探究回归直线方程问题2：一个变量中心位置的平均数只有一个，那么在散点图中心位置的直线有几条呢？（一条）如何在散点图中确定这条直线，满足样本点从整体上分布在这条直线的附近呢？请在下面的散点图中画出这条直线，并说明原因． 预案：①取一条直线尽可能多的通过散点；②取一条直线让两侧的散点分布数量相同；③以左端点为一端，分别连接最高点和最低点，取这两条直线所确定的角的角平分线；④在居中的位置找出两点连线；⑤多取出几组点连线，测量出他们的斜率和纵截距，计算平均值． 设一组具有线性相关关系的样本数据为(),i i i P x y ()1i n =⋅⋅⋅，直线方程为y bx a =+．根据你的想法用数量关系来刻画各样本点与直线的关系，便于我们计算出这条直线方程． 通过学生活动，发现操作困难，因此提出：问题3：如何在数学上刻画“样本点在分布直线的附近”呢？ 让学生观察得出“点到直线的距离和最小”．师生合作探究：由于i i PN 的计算公式比较复杂，因此求1ni ii PN=∑的最小值困难比较大．问题4：在距离公式中，什么条件下的距离公式比较简捷呢？（平行于两轴）那么如何转化i i PN继续探究：①向两轴作平行线，产生i i PM 与'ii PM ，是否可以求1ni ii PM=∑和1'ni ii PM =∑的最小值?②以1ni ii PM=∑ 1ni i i y y ==-∑的最小值为例，如何求含绝对值性质的最值？有什么可以借鉴的呢？③借助方差，可以转化为求()21ni i i y bx a =--∑的最小值．设()21ni i i Q y bx a ==--∑，这样问题就归结为：当,a b 取何值时，Q 最小．④18世纪由德国数学家高斯解决，得到：()()()1122211n ni i i i i i n n i ii i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑（详细推导过程参见学案后阅读材料）知识背景介绍：根据公式可以确定这条直线方程从散点图上看，不管可控变量如何变化，样本点整体上始终在这条直线附近．在生活中对于这种现象比较常见，比如我们都知道父母身高对子女身高存在遗传影响．实际上这个问题早在1889年就由英国著名的统计学家Francils Galton 进行了研究，他发现身材较高的父母，他们的孩子也较高，但这些孩子的平均身高并没有他们父母的平均身高高；身材较矮的父母，他们的孩子也较矮，但这些孩子的平均身高却比他们的父母的平均身高高．Galton 把这种后代的身高向中间值靠近的趋势称为“回归现象”．后来人们把由一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称为回归方法，把代表两个变量线性相关的直线叫做回归直线（学生阅读教材P87）． 实例分析：2010年5月，我国篮球巨人姚明的女儿出生，由于姚明身高2米26，叶莉身高1米90，他们的宝宝因此被看做是中国体坛第一宝宝，关于其未来身高的预测一直被球迷津津乐道，许多人都想预测姚明的女儿身高会不会超过她的父母．根据Francils Galton 的回归分析，我们可以知道姚明的孩子作为个体现象，其身高在她成人前我们不能准确知道，但根据统计中总体分布中的规律性，我们可以判断姚明的孩子不一定比她的父母高．（3）学生活动：回归直线方程的应用这个公式形式上非常复杂，我们可以利用图形计算器简化运算．请你运用图形计算器对收集的数据进行回归分析，进行实际检验．问题5:为什么我们的预测结果与实际值之间存在误差呢？从散点图看到，样本点呈条状分布，散布在回归直线的附近，而不是在回归直线上，所以可以用一次函数a bx y +=近似刻画它们关系．但由于所有的样本点()i i y x ,不共线，说明y 与a bx +之间存在误差，记为)(a bx y e +-=，通常e 为随机变量，称为随机误差．问题6：产生随机误差e 的原因是什么？①忽略了其它因素的影响，如影响身高y 的因素不只是左臂长x ，可能有其他因素；②用线性回归模型近似真实模型所引起的误差，即线性回归直线方程中,a b ∧∧的与真实的b a ,之间存在误差； ③左臂长x 的度量误差．因此左臂长x 和身高y 的关系可以用线性回归模型e a bx y ++=来表示（这里b a ,是模型的未知参数），也就是说在函数模型里因变量y 完全由自变量x 确定，而在回归模型里y 的值由x 和随机误差e 共同确定，即x 只能解释部分y 的变化，因此我们称y 为预报变量，x 为解释变量．显然在现实生活中线性回归模型适用范围比一次函数模型适用范围大得多．当以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好．当随机变量恒等于0时，线性回归模型变成为一次函数模型，因此一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，而线性回归模型是一次函数模型的一般形式．问题7：在线性回归模型中，e 是用a bx +预报真实值y 的随机误差，它是一个不可观测的量，那么应该怎样研究随机误差呢？实际上我们用回归方程 y bx a =+ 中的估计a bx +，因为)(a bx y e +-=，所以对于样本点()11,,x y ()()22,,n n x y x y ⋅⋅⋅，它们的随机误差为,i i y bx a =--i e 1,2,...,i n =，其估计值为i e ∧=i i i i y y y b x ∧∧-=-,1,2,...a i n ∧-=，称i e ∧为相应于点(),i i x y 的残差．我们可以通过残差i e ∧来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析．问题8：如何研究分析残差i e ∧，从而发现数据中的错误并判断模型的拟合效果？操作图形计算器，分析学生左臂长和身高的原始数据以及相应的残差数据． ①利用残差图来分析残差特性．可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。
管理统计学习题参考答案第十一章
一章1. 解：回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，运用十分广泛。
回归分析按照涉及的变量的多少，分为一元回归和多元回归分析；在线性回归中，按照因变量的多少，可分为简单回归分析和多重回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且自变量之间存在线性相关，则称为多元线性回归分析。
相关分析，相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度，是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法。
相关分析和回归分析是研究客观现象之间数量联系的重要统计方法。
既可以从描述统计的角度，也可以从推断统计的角度来说明。
所谓相关分析，就是用一个指标来表明现象间相互依存关系的密切程度。
所谓回归分析，就是根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型，来近似地表达变量间的平均变化关系。
它们具有共同的研究对象，在具体应用时，相关分析需要依靠回归分析来表明现象数量相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表明现象数量变化的相关程度。
只有当变量之间存在着高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。
由于相关分析不能指出变量间相互关系的具体形式，所以回归分析要对具有相关关系的变量之间的数量联系进行测定，从而为估算和预测提供了一个重要的方法。
在有关管理问题的定量分析中，推断统计加具有更加广泛的应用价值。
需要指出的是，相关分析和回归分析只是定量分析的手段。
通过相关与回归分析，虽然可以从数量上反映现象之间的联系形式及其密切程度，但是现象内在联系的判断和因果关系的确定，必须以有关学科的理论为指导，结合专业知识和实际经验进行分析研究，才能正确解决。
因此，在应用时要把定性分析和定量分析结合起来，在定性分析的基础上开展定量分析。
11-3相关关系、回归分析与独立性检验
1.(2010·湖南文)某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是()A.y^＝－10x＋200B.y^＝10x＋200C.y^＝－10x－200D.y^＝10x－200[答案] A[解析]由于销售量y与销售价格x成负相关，故x的系数应为负，排除B、D；又当x＝10时，A中y＝100，C中y＝－300显然C 不合实际，故排除C，选A.2．(2011·济南模拟)对于回归分析，下列说法错误的是()A．在回归分析中，变量间的关系是非确定性关系，因此因变量不能由自变量唯一确定B．线性相关系数可以是正的或负的C．回归分析中，如果r＝±1，说明x与y之间完全线性相关D．样本相关系数r∈(－1,1)[答案] D[解析]∵相关系数|r|≤1，∴D错．3．(2011·西安模拟)在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是()①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误A．①B．①③C．③D．②[答案] C[解析]①推断在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，说法错误，排除A，B，③正确．排除D，选C.4．(文)(2011·陕西文，9)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是()A．直线l过点(x，y)B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同[答案] A[解析]∵回归直线方程y^＝a^＋b^x中a^＝y－－b^x－，∴y^＝y－－b^x－＋b^x，当x＝x－时，y^＝y－，∴直线l过定点(x－，y－)．(理)(2011·山东文，8)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程y＝b x＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元[答案] B[解析]此题必须明确回归直线方程过定点(x，y)．易求得x＝3.5，y＝42，则将(3.5,42)代入y^＝b^x＋a^中得：42＝9.4×3.5＋a^，即a^＝9.1，则y＝9.4x＋9.1，所以当广告费用为6万元时销售额为9.4×6＋9.1＝65.5万元．5．(2011·湖南文，5)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)算得，K2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”[答案] A[解析]根据独立性检验的定义，由K2≈7.8>6.635可知，有99%以上把握认为“爱好该项运动与性别有关”．6．(2011·山东烟台一模、江西吉安质检)下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y^＝0.7x ＋0.35，那么表中t的值为()A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5[答案] A[解析] 样本中心点是(x －，y －)，即(4.5，11＋t4)．因为回归直线过该点，所以11＋t4＝0.7×4.5＋0.35，解得t ＝3.7．(2011·合肥模拟)已知x 、y 之间的一组数据如下表：对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为l 1：y ＝13x＋1与l 2：y ＝12x ＋12，利用最小二乘法判断拟合程度更好的直线是________(填l 1或l 2)．[答案] l 2[解析] 用y ＝13x ＋1作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为s 1＝73；用y ＝12x ＋12作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为s 2＝12.∵s 2<s 1，故用直线y ＝12x ＋12拟合程度更好．8．(2011·郑州市质检)某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀． (1)试分析估计两个班级的优秀率；(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有95%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.参考公式及数据：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，[解析] (1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30人，优秀率为3050＝60%，乙班优秀人数为25人，优秀率为2550＝50%，所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%. (2)因为K 2＝100×(30×25－20×25)250×50×55×45＝10099≈1.010，所以由参考数据知，没有95%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.1.下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程为y ^＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性相关系数r 和相关指数R 2都是描述线性相关强度的量，r 和R 2越大，相关强度越强．④在一个2×2列联表中，计算得K 2＝13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中错误．．的个数是()A．0B．1C．2D．3本题可以参考独立性检验临界值表：[解析]方差反映的是波动大小的量，故①正确；②中由于－5<0，故应是负相关，当x每增加1个单位时，y平均减少5个单位，∴②错误；相关系数r是描述线性相关强度的量，|r|越接近于1，相关性越强，在线性相关的两个变量的回归直线方程中，R2是描述回归效果的量，R2越大，模型的拟合效果越好，故③错误；④显然正确．2．(2011·辽宁文，14)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y^＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．[答案]0.254[解析]由回归直线方程为y^＝0.254x＋0.321知收入每增加1万元，饮食支出平均增加0.254万元．3．(2011·辽宁文，19)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．(1)假设n＝2，求第一大块地都种植品种甲的概率；(2)试验时每大块地分成8小块，即n＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：分别求出品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据x1，x2，…，x n的样本方差s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2]，其中x为样本平均数．[解析](1)设第一大块地中的两小块地编号为1,2，第二大块地中的两小块地编号为3,4.令事件A＝“第一大块地都种品种甲”．从4块小地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．而事件A包含1个基本事件：(1,2)．所以P(A)＝16.(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：x甲＝18(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400s2甲＝18(32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62)＝57.25. 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：x乙＝18(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412.s2乙＝18(72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋12)＝56.由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．4．(2011·福建普通高中质检)某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”.(1)在乙班样本中的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；(2)由以上统计数据填写下面列联表，并判断是否有90%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关．(此公式也可写成χ2＝附：K2＝(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)n(n11n22－n12n21)2n1＋n2＋n＋1n＋2)[解析](1)设“抽出的两个均‘成绩优秀’”为事件A.从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件为(86,93)，(86,96)，(86,97)，(86,99)，(86,99)，(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共15个．而事件A 包含基本事件：(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共10个．所以所求概率为P (A )＝1015＝23.(2)由已知数据得根据列联表中数据，K 2＝40×(1×15－5×19)26×34×20×20≈3.137，由于3.137>2.706，所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．5．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y关于x的线性回归方程y^＝bx＋a，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工10个零件需要多少时间？(注：b＝∑i＝1nx i y i－n x－y－∑i＝1nx2i－n x－2，a＝y－－b x－)[解析](1)散点图如上图．(2)由表中数据得∑i ＝14x i y i ＝52.5，x －＝3.5，y －＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝54，∴b ＝0.7.∴a ＝1.05.∴y ^＝0.7x ＋1.05.回归直线如图所示．(3)将x ＝10代入回归直线方程得，y ＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，∴预测加工10个零件需要8.05小时．6．(2011·湖南六校联考)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？(参考公式：b ＝i ＝1n (x i －x －)(y i －y －)i ＝1n (x i －x －)2，a ＝y －－b x －.)[解析] 将6组数据按月份顺序编号为1,2,3,4,5,6，从中任取两组数据，基本事件构成的集合为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}中共15个基本事件，设抽到相邻两个月的事件为A ，则A ＝{(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)}中共5个基本事件，∴P (A )＝515＝13.(2)由表中数据求得x －＝11，y －＝24， 由参考公式可得b ＝187，再由a ＝y －－b x －求得a ＝－307， 所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝187x －307. (3)当x ＝10时，y ^＝1507，|1507－22|＝47<2；同样，当x＝6时，y^＝787，|787－12|＝67<2.所以，该小组所得线性回归方程是理想的．1．(2010·广东文)某市居民2005～2009年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：根据统计资料，居民家庭平均收入的中位数是________，家庭年平均收入与年平均支出有________线性相关关系．[答案]13正[解析]找中位数时，将样本数据按大小顺序排列后奇数个时中间一个是中位数，而偶数个时须取中间两数的平均数，由统计资料可以看出，年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者正相关．2．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：得到k＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844.因为k≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．[答案]5%[解析]根据独立性检验临界值表可知“x与y有关系”的可信度，P(k2≥3.841)＝0.05，∴有95%的可能认为x与y有关系，即判断出错的可能性为5%.3．考察黄烟经过药物处理跟发生青花病的关系，得到如下数据，在试验的470珠黄烟中，经过药物处理的黄烟有25珠发生青花病，60株没有发生青花病．未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病，试推断药物处理跟发生青花病是否有关系．[解析]由已知得到下表根据公式k2＝470×(25×200－185×60)2210×260×85×385≈9.788.由于9.788>7.879，所以我们有99.5%的把握认为经过药物处理跟发生青花病是有关系的．4．(2010·广东佛山)为了对2007年佛山市中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数(已折算为百分制)从小到大排列是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排列是72、77、80、84、88、90、93、95.(1)若规定85分(包括85分)以上为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；(2)若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：的相关程度；(3)求y 与x 、z 与x 的线性回归方程(系数精确到0.01)，并用相关指数比较所求回归模型的效果．参考数据：x －＝77.5，y －＝85，z －＝81，i ＝18(x i －x －)≈1050，i ＝18(y i－y －)2≈456，i ＝18(z i －z －)≈550，i ＝18(x i －x －)(y i －y －)≈688，i ＝18(x i －x －)(z i －z －)≈755，i ＝18(y i －y ^i )≈7，i ＝18(z i －z ^i )2≈94，1050≈32.4，456≈21.4，550≈23.5.[解析] (1)这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选出3个与数学优秀分数对应，种数是C 34A 33(或A 34)，然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是A 55.根据乘法原理，满足条件的种数是C 34A 33A 55.这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有A 88. 故所求的概率P ＝C 34A 33A 55A 88＝114.(2)变量y 与x 、z 与x 的相关系数分别是 r ＝68832.4×21.4≈0.99，r ′＝75532.4×23.5≈0.99 可以看出，物理与数学、化学与数学的成绩都是高度正相关． (3)设y 与x 、z 与x 的线性回归方程分别是y ^＝bx ＋a ，z ^＝b ′x ＋a ′根据所给的数据可以计算出，b ＝6881050＝0.65，a ＝85－0.65×77.5＝34.63，b ′＝7551050＝0.72，a ′＝81－0.72×77.5＝25.20所以y 与x 和z 与x 的回归方程分别是 y ^＝0.65x ＋34.63，z ^＝0.72x ＋25.20，又y与x、z与x的相关指数是R2＝1－7456≈0.98，R′2＝1－94550≈0.83故回归模型y^＝0.65x＋34.63比回归模型z^＝0.72x＋25.20的拟合的效果好．。
第11章 统计分析—双变量
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2、方差齐性检验和t检验结果 、方差齐性检验和t
F值>F 0.025 (n 1-1,n 2-1), 说明方差不齐。
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P值小于给定的显著性水平α, 说明方差不齐。
P值小于给定的显著性水平α, 拒绝原假设。
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【例2】“年龄段”与“忙碌程度”
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斯皮尔曼等级相关系数（spearman）在这: 斯皮尔曼等级相关系数（spearman）在这: Analyze Correlate Bivariate
2、 比较重要 3、 一般 5、 很不重要 6 、说不清楚
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1、将被访者学历与“读书的地位”都看成 定类变量，作列联相关的检验。 2、被访者学历与“读书的地位”均为定序 量，作等级相关检验。
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二、独立样本T 检验 独立样本T
Analyze Compare Means
IndependentIndependent-Samples检验变量栏 T Test,
打开Independent-Samples T Test对 IndependentTest对
分组变量栏, 话框 只能有一个分 组变量
相关分析和回归分析要注意的要点,自己整理的,很全面
回归分析与相关分析的联系：研究在专业上有一定联系的两个变量之间是否存在直线关系以及如何求得直线回归方程等问题，需进行直线相关和回归分析。
从研究的目的来说，若仅仅为了了解两变量之间呈直线关系的密切程度和方向，宜选用线性相关分析；若仅仅为了建立由自变量推算因变量的直线回归方程，宜选用直线回归分析。
从资料所具备的条件来说，作相关分析时要求两变量都是随机变量（如：人的身长与体重、血硒与发硒）；作回归分析时要求因变量是随机变量，自变量可以是随机的，也可以是一般变量(即可以事先指定变量的取值，如：用药的剂量)。
在统计学教科书中习惯把相关与回归分开论述，其实在应用时，当两变量都是随机变量时，常需同时给出这两种方法分析的结果；另外，若用计算器实现统计分析，可用对相关系数的检验取代对回归系数的检验,这样到了化繁为简的目的。
回归分析和相关分析都是研究变量间关系的统计学课题，它们的差别主要是：1、在回归分析中，y被称为因变量，处在被解释的特殊地位，而在相关分析中，x与y处于平等的地位，即研究x与y的密切程度和研究y与x的密切程度是一致的；2、相关分析中，x与y都是随机变量，而在回归分析中，y是随机变量，x可以是随机变量，也可以是非随机的，通常在回归模型中，总是假定x是非随机的；3、相关分析的研究主要是两个变量之间的密切程度，而回归分析不仅可以揭示x对y的影响大小，还可以由回归方程进行数量上的预测和控制。
1．为什么要对相关系数进行显著性检验？在对实际现象进行分析时，往往是利用样本数据计算相关系数（）作为总体相关系数（）的估计值，但由于样本相关系数具有一定的随机性，它能否说明总体的相关程度往往同样本容量有一定关系。
当样本容量很小时，计算出的不一定能反映总体的真实相关关系，而且，当总体不相关时，利用样本数据计算出的也不一定等于零，有时还可能较大，这就会产生虚假相关现象。
为判断样本相关系数对总体相关程度的代表性，需要对相关系数进行显著性检验。
回归分析与相关性的模型与估计
回归分析与相关性的模型与估计回归分析与相关性是统计学中常用的方法，用于探究变量之间的关系及其中一个变量对另一个变量的预测能力。
回归分析可以通过建立模型并进行估计，揭示变量之间的线性或非线性关系，并可用于预测和解释。
本文将介绍回归分析的基本原理、常见的回归模型以及相关性的度量方法。
一、回归分析的基本原理回归分析是一种通过建立变量之间的数学模型来研究它们之间关系的统计方法。
回归分析假设变量之间存在一种数量上的关系，其中一个变量被称为因变量，其余变量是自变量。
回归分析的目标是根据自变量的取值来预测因变量的取值。
在回归分析中，最常用的模型是线性回归模型。
线性回归模型假设因变量与自变量之间存在线性关系，通过拟合一条直线或平面来描述这种关系。
模型的表示形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中Y是因变量，X1至Xn是自变量，β0至βn是回归系数，ε是误差项。
二、常见的回归模型除了线性回归模型外，还有其他常见的回归模型用于描述不同类型的关系。
其中一些模型包括：1. 多项式回归模型：用于描述因变量与自变量之间的非线性关系。
多项式回归模型拟合数据时，可根据需要选择二次、三次或更高次的多项式。
2. 对数回归模型：用于描述自变量与因变量之间的指数增长关系。
对数回归模型可以将数据的指数关系转化为线性关系，并使用线性回归方法进行拟合。
3. 幂函数回归模型：用于描述因变量与自变量之间的幂函数关系。
幂函数回归模型可以拟合数据中的非线性关系，并能适应各种曲线形状。
这些回归模型的选择应基于问题的特点和数据的性质，以及对变量之间关系的理论认识。
三、相关性的度量方法相关性是衡量两个变量之间线性关系强度的一种指标。
常见的相关性度量方法包括相关系数和残差分析。
1. 相关系数：常见的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数用于测量两个连续变量之间的线性关系，取值范围为-1到1，值越接近于1或-1表示关系越强；而斯皮尔曼相关系数适用于测量非线性关系或序列数据。
11线性回归与相关
SS 剩余= SS 总－SS 回归
这三个平方和的自由度依次为：
总=n－1,
回归=1,
剩余=n－2
MS回归
SS回归 回归
MS剩余
SS剩余 剩余
MS回归 F MS剩余
对例题回归方程用方差分析进行假设检验
（1）建立假设检验 H0:β =0 H1:β ≠0 α =0.05 （2）计算统计量
则
归关系进行检验。
回归系数的假设检验可用下面简化公式计算
SS总 (Y Y ) 2 Y 2 ( Y ) 2 n
ˆ Y )2 (Y b( X X ) Y ) 2 b2 ( X X )2 SS回归 (Y
LXY L2 XY b LXX bLXY LXX LXX
linear correlation
相关系数r没有度量衡单位，其数值为 1 r 1。
r 0 表示正相关； r 0 表示负相关；r 0 表示
无相关，即无直线关系。当 | r | 1 时称为完全相 关。
相关系数的绝对值愈接近1，表示相关愈密切；相
关系数愈接近0，表示相关愈不密切。
1 9
1020.23 9.81
103.97
< 0.01
对例题的回归方程用t 检验进行假设检验 （1）建立假设检验 β =0 β ≠0 α =0.05 （2）计算统计量
细心的读者可以发现统计量 F 与 t 之间存在着关系 F t 。 本例 103.97 10.22 。
88.31 sY X 3.13 9 1.523 0 t 10.22 0.149
r r0.005/2,9 ， 界值表 r0.005 / 2 ,9 0.776 ， P 0.005
医学统计学：双变量回归与相关
样本
Y
Y
总体
YX
(Y的条件均数)
根据 t 分布原理：
1 (XX)2
Yt/2,n2sYt/2,n2sY.X Y
n
(XX)2
X=12时，求Y X 的95%可信区间
s X =9.5，lXX=42， Y . X =0.1970
当X=12
时，
Y
=1.6617+0.1392 12＝3.3321
SYˆ
相关分析的任务：
两变量间有无相关关系？
两变量间如有相关关系，相关的方向？ 相关的程度？
相关分析时，两数值变量之间出现如下情况：当一个 变量增大，另一个也随之增大(或减少)，我 们称这种现象为共变，也就是有相关关系。
若两个变量同时增加或减少，变化趋势是同 向的，则两变量之间的关系为正相关 (positive correlation)；若一个变量增加时， 另一个变量减少，变化趋势是反向的，则称 为负相关(negative correlation)。 ——相关的方向
相关系数的计算
r XXYY lXY XX2YY2 lXXlYY
相关系数
相关的方向：
r>0：正相关 r<0：负相关 r=0：零相关 相关的密切程度：
样本含量n足够大时，r绝对值越接近1。相关越 密切。
0
1
0.4
0.7
低度相关 中度相关 高度相关
三、相关系数的统计推断
（一）相关系数的假设检验
（二）总体回归系数 的可信区间
总体 YX X
样本
Yˆ abX
总体
β
根据 t 分布原理估计可信区间：
bt/2,n2sb 样本
b
总体回归系数 的可信区间
变量间的相关关系与回归分析
基本思想、方法及初步应用.
一、相关关系
• (1)相关关系：当自变量的一取定值 时 ，
相因个关关变变系量量．随的之机性取间值的带关有系叫做
，那么这两
• 如果一个变量的值由小变大时，另一个 变量的值也由小到大，这种相关称为
正相关．
• 反之，如果一个变量的值由小变大，另 一个变量的值由大到负小相，关这．种关系为
• 画出散点图，并判断它们是否有相关关 系．
二、回归分析
（1）回归分析
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回 归分析。通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定 关系的某种确定性。
（2）回归直线：观察散点图的特征，如果各点 大致分布在一条直线的附近，就称两个变量之间具 有线性相关的关系，这条直线叫做回归直线。
xi
yi
-n
x
y
n
i =1
xi2
-n
x
2
,其中x
=
1 n
n
i =1
xi
,
y
=
1 n
n
i =1
yi
.
a= y-bx.
• (4)最小二乘法：使残差平方和Q＝(y1－bx1－
a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2为最小
的方法，叫做最小二乘法．
（5）求线性回归方程的步骤：
第一步，计算平均数 x , y.
考试要求: （1 ①会作两个有关联变量数据的散点图，会利用散点 图直观认识变量间的相关关系. ②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归 方程系数公式建立线性回归方程.
(2)统计案例
①通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”
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儿童号 (1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
合计
表11-1
体重 X （2） 11.0 11.8 12.0 12.3 13.1 13.7 14.4 14.9 15.2 16.0 134.4
四、相关分析中应注意的问题 （1） 进行相关分析的资料应有实际意义。 （2）相关系数的计算适用双变量正态分布资料 （3） 进行相关分析前应先绘制散点图。
图11-3 异常点对相关分析的影响
（4）相关关系不完全等同于因果关系。 （5）实际工作中计算出的相关系数仅是样本
相关系数 （6）不要把相关系数的假设检验结果误认为
计算公式
r XxYy lX Y Xx2 Yy2 lX X lY Y
lX X = X － x2= X 2 － X 2n
lY Y = Y － y2= Y 2 － Y 2n
lX Y = X － x Y － y = X Y － ( X ) n ( Y )
三、相关分析的步骤
l X Y ( X x ) ( Y y ) X Y ( X n ) ( Y ) 7 7 . 5 5 9 5 ( 1 3 4 . 4 ) 1 ( 0 5 . 7 2 6 6 ) 0 . 5 9 4 0
r lX Y 0.5940 0.9592 lX XlY Y 24.9040.0154
4、相关系数的假设检验
H0：ρ= 0，两变量间无直线相关关系 H1：ρ≠0，两变量间有直线相关关系
α= 0.05
t r 0.9592 9.5959 1r2 10.95922
n2
102
=n-2=10-2=8，查附表 2,得 P<0.01，按α= 0.05 水准拒绝 H0，
接受 H1，可认为三岁儿童体表面积与体重间存在直线相关关系。
某地10名三岁儿童体重与体表面积
体表面积 Y
X2
Y2
(3)
(4)
(5)
0.5283
121.00 0.279101
0.5299
139.24 0.280794
0.5358
144.00 0.287082
0.5292
151.29 0.280053
0.5602
171.61 0.313824
0.6014
187.69 0.361682
14.4
0.5830
14.9
0.6102
15.2
0.6075
16.0
0.6411
;
proc corr;
var x y; run;
proc plot;plot y*x='*';run;
第二节 直线回归
相关分析是描述两变量之间相互关系 回归分析是分析两变量间是否有依存关系 一、直线回归方程
计算步骤如下：
1、绘制散点图：
Y
0.66
0.64
0.62
0.60
0.58
0.56
0.54
0.52
11
12
13
14
15
16
X
2、相关系数的计算
l X X ( X x ) 2 X 2 (n X ) 2 1 8 3 1 . 2 4 1 3 1 4 0 . 4 2 2 4 . 9 0 4
l Y Y = X － y = Y 2 ( n Y ) 2 3 . 2 9 4 8 5 . 7 1 2 0 6 6 2 0 . 0 1 5 4
二、实例求解回归方程
1、绘制散点图。 2、计算
77.55946 - 134.4×5.7266/10 b＝───────────────＝ 0.02385
1831.24 - (134.4)2/10
a＝0.57266 - 0.02385×13.44＝0.25212
Y ˆ0.2520 1.0223 X85
＝77.55946 - 134.4×5.7266/10＝0.593956 SS 回=0.02385×0.593956=0.014166
SS剩=0.015439-0.014166=0.001273
F=89.024， P<0.01
拒绝H0, 接受H1,回归方程有统计学意义， 故可认为小儿体表面积与体重之间有直线回归 关系存在。
Yˆ abX
a称为截距， b称之为斜率或回归系数，表示 当自变量X每改变一个单位,因变量Y平均变动 的单位数。
最小二乘法：
b X x (Y y ) X YX Yn lXY
(X x )2
X 2 ( X )2n lXX
aybx
二、实例求解回归方程
例11-2 某地测得10名3岁儿童的体表面积(m2)与 体重(kg)资料见表11-1第2、3栏,试求3岁儿童由 体重推算体表面积的回归方程。
0.5830
207.36 0.339889
0.6102
222.01 0.372344
0.6075
231.04 0.369056
0.6411
256.00 0.411009
5.7266
1831.24 3.294834
XY (6) 5.81130 6.25282 6.42960 6.50916 7.33862 8.23918 8.39520 9.09198 9.23400 10.25760 77.55946
l X X X x 2 X 2 X 2n
＝1831.24 - (134.4)2/10 ＝24.9040
l Y Y Y y 2 Y 2 Y 2n
＝3.294834 - (5.7266)2/10＝0.015439
l X Y X x ( Y y ) X X Y Y n
两事物或现象间相关的密切程度。
（7）要注意资料的同质性。
图11-4 样本来自不同总体时对相关性的影响
data li11_1;
input x y@@;
cards;
11.0
0.5283
11.8
0.5299
12.0
0.5358
12.3
0.5292
13.1
0.5602
13.7
0.6014
3.绘制回归线
0.66
0.64
0.62
0.60
Y
0.58
0.56
0.54
0.52
11
12
13
14
15
16
X
图11-5 三岁儿童的体表面积与体重的回归线
三、直线回归方程的假设检验
1、回归系数的假设检验——方差分析
SS总=SS回+SS剩
总回剩 回1， 剩n2
SS回
F
回 MS回
SS剩
MS剩
剩
S回 SbX lYlX 2 YlXXb2lXX