七年级数学--三角形与多边形讲义
初中数学七年级下册第七章《73三角形与多边形》
新课标人教版初中数学七年级下册第七章《 7.3 三角形与多边形》精选讲课设计一、讲课内容：三角形与多边形二、讲课要点：（ 1）三角形中的相关线段及三边之间的关系（ 2）三角形、多边形内角和定理的应用三、知识点扫描：（ 1）三角形三边的关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
（｜a－b｜＜c＜ a＋ b a、 b、 c 为△ ABC 的三边＝（ 2）三角形中线、角均分线的性质AD 是△ ABC 的高AD ⊥ BC ，∠ ADC ＝∠ ADB ＝90°AE 是△ ABC 的角均分线∠ CAE ＝∠ BAE ＝ 1/2∠ BACAF 是△ ABC 的中线CF＝ BF＝ 1/2BC（3）三角形内角和定理及推论（4）多边形内角和、外角和定理四、中考考点剖析：本部分在中考中常出现的知识点有三角形的性质与看法，特别三角形的性质与看法、三角形内角和定理、三边关系的应用，此中，三角形的三边不等关系、内角和定理在相关角度计算及不等关系的证明、判断中有较灵巧的应用。
【典型例题】例一、如图，∠ ABC ＝ 50°， AD 垂直均分线段 BC，垂足为 D ，∠ ABC 的均分线 BE 交 AD 于E，连结 EC，则∠ AEC 的度数是＿＿＿＿＿＿点拨：此题观察角的均分线、线段的垂直均分线及外角的相关知识∵BE 均分∠ ABC ∴∠ EBD ＝1/2 ∠ABC ＝25°又∵ AD 垂直均分BC∴ BE ＝ EC∴∠ C＝∠ EBC ＝ 25°∴∠ AEC ＝∠ C＋∠ ADC ＝ 25°＋ 90°＝ 115°例二、如，将矩形ABCD 片沿角BD 折叠，使点E，若∠ DBC ＝° 在不增加任何助的状况下，中A、6 个B、5 个C、4 个C 落在 C′ ， BC ′交45°的角有（）D、3 个AD于点：由察可知△ BC′ D 是△ BCD 沿 BD 折叠而得∴∠ C′ BD＝∠ DBC ＝°∴∠ CBC′＝∠ CBD ＋∠ DBC ′＝°＋°＝ 45°∵∠ CBA ＝ 90°∴∠ ABE ＝ 45°∵∠ A ＝ 90°∴∠ AEB ＝45°∠AEB ＝∠ DEC ′＝ 45°∵∠ C′＝ 90°∴∠ EDC ′＝ 45°中 45°的角有 5 个，故 B．例三、一个多形的数增加 1 倍，它的外角的均匀数就减少12°，求个多形的数。
初一 三角形和多边形精品教案
三角形和多边形（一）重点，难点，热点：一、三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形。
要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．二、三角形三边关系定理12①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC 三边长a 、b 、c 的不等式有：a+b>c ，b+c>a ，c+a>b ．②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC 三边长a 、b 、c 的不等式有：a>b-c ，b>a-c ，c>b-a ．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可 三、三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理． 三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种： 四、三角形的内角结论1：三角形的内角和为180°．表示： 在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180° （1）构造平角①可过A 点作MN ∥BC(如图)②可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图） （2）构造邻补角，可延长任一边得 邻补角（如图）构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图）结论2：在直角三角形中，两个锐角互 余．表示：在直角三角形ABC 中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90°（因为∠A+∠B ∠C=180°） 注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC 中，∠C=180°－（∠A+∠B ）②在三角形中，已知三个内角的比或它们之间的关系，求各内角． 如：△ABC 中，已知∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，求∠A 、∠B 、∠C 的度数．五、三角形的外角1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD为△ABC的一个外角，∠BCE也是△ABC的一个外角，这两个角为对顶角，大小相等．2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.如图中，∠ACD=∠A+∠B , ∠ACD>∠A , ∠ACD>∠B.③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补3．外角个数过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．六、多边形1、概念：由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做n边形。
七年级数学下册 第9章多边形 9.1三角形 3三角形的三边关系教学课件
探究交流
ห้องสมุดไป่ตู้
三角形的稳定性
盖房子时，在窗框未安装好之前，木 工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为 什么(shén me)要这样做呢？
三角形具有( jùyǒu)稳定性，
四边形具有不稳定性.
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生活(shēnghuó)体验
三角形的稳定性
在四边形木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连结(lián jié) 起来,然后再扭动它,这时木架的形状还会改变吗?为什
么？
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三角形的稳定性
斜 梁
斜 梁
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直
梁
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三角形的稳定性
如图，工人师傅砌门时，常用(chánɡ yònɡ)木条EF，EG固定门框 ABCD，使其不变形，这种做法根据的是三角形的稳定性.
AE
D
G
F
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B
C
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b
a
c
A12/11/2021
3.连结AC,BC. △ABC即为所求的三角形.
B
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试一试
以下列长度(chángdù)的各组线段为边，能否画一个三角形？ （1）9cm,5cm,4cm. （2）7cm,4cm,2cm.
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探究
在一个三角形中，任何(rènhé)两边之差与第三边有什么关系？
3.现有长度(chángdù)分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm的五条线段，从 其中选三条线段为边可以构成 个不3 同的三角形.
华东师大版数学七年级 下第9章多边形知识点复习讲解(全)
认识三角形三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．有关三角形的概念：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.④三角形的外角：三角形的角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做三角形的外角．注意：（1）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.三角形外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．注意：（1）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．三角形的分类：按角分⎩⎨⎧直角三角形斜三角形⎩⎨⎧锐角三角形钝角三角形按边分⎩⎨⎧不等边三角形（不规则三角形）等腰三角形⎩⎨⎧只有两条边相等的等腰三角形等边三角形锐角三角形 直角三角形 钝角三角形三个角都是锐角 有一个角为直角 有一个角是钝角不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 三边不相等 有两条边相等 三条边都相等①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形； ③直角三角形：有一个角为90°的三角形。
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形。
三角形的三线：三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．这个角的顶点与交点之间的线段．三角形的角平分线：三角形内角的平分线与对边的交点和这个内角顶点之间的线段叫三角形的角平分线．三角形的高：过三角形顶点作对边的垂线，垂足与顶点间的线段叫做三角形的高．注意：（1）三角形分别有三条高线，三条中线，三条角平分线；（2）任意三角形三条角平分线，三条中线，分别交于一点，且都在三角形的内部；（3）直角三角形的三条高线的交点就是直角顶点，钝角三角形的三条高线的交点在三角形的外部，锐角三角形的三条高线在三角形的内部。
七年级数学下册 第9章 多边形 9.1 三角形 9.1.1 认识三角形课件
注意：表示三角形时，字母没有先后顺序.
即：可以记作△ABC，也可记作△ACB. 12/6/2021
3.三角形的顶点：
A
c
b
B
aC
如图，△ABC的三个顶点分别是：A、B、C.
4.三角形的边、内角：
如图，△ABC的三条边分别是：AB、BC、CA. 它的三个角分别是： A、 B、 C.
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锐角三角形的三条高是
B
在三角形的内部还是外部?
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
A
E O
C D
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直角三角形的三条高
在纸上画出一个直角三角形.
(1)画出直角三角形的三条高.
A
(2)它们有怎样的位置关系？
将你的结果与同伴进行交流.
D
直角三角形的三条高交于直角顶点.
三角形的角平分线与角的平 B
D
C
分线有什么区别？
三角形的角平分线是一条线段,角的平分线是一条射线.
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练习
1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( D )
C AD
D
BC B
B C
CA
BA
B
AD
C
D
A
D
2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，
那么这个三角形是（ B ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.任意三角形
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A
3.如图，在ΔABC中，AE是中线，
AD是角平分线，AF是高.填空： C （1）BE= CE = 1 BC；
华东师大版初中数学七年级下册课件：第9章 多边形
求：（1）∠B 的度数；
（2）∠C 的度数.
A
B
DC
解 （1）∵∠ADC 是△ABD 的外角（已知）， ∴∠B +∠BAD = ∠ADC = 80°（三角形的 一 个外角等于与它不相邻的两个内角的和）. 又∵∠B =∠BAD（已知），
A ∠B = 80°× 1 = 40°（等量代换）.
三角形的任意两边之和大于第三边.
探究新知
做一做 画一个三角形，使它的三条边长分别为
4 cm、3 cm、2.5 cm.
1. 先画线段 AB = 4cm；
2. 然后以点 A 为圆心、 3 cm 长为半径画圆弧；
3. 再以点 B 为圆心、2.5 cm 长为半径画圆弧，
两弧相交于点 C；
C
4. 连结 AC、BC.
课堂练习
1. 在下图中，正确画出△ABC 中边 BC 上
高的是（ C ）.
AD
A
A.
C
B.
B
B CD
A
A
C.
D.
DC
B
DC
B
2. 如图所示，AM 是△ABC 的中线，△ABM 的面积是 20 平方厘米，求△ABC 的面积.
S△ABC = 2S△ABM = 40 平方厘米
3. 如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平
分线，则：
∠1 = ∠2 ；
A
∠3
=
1 2
∠ABC
或∠ABE；
F
12
E
∠ACB = 2∠4 或2∠ACF. B 3 D
4C
4. 以下说法错误的是（ A ）
A. 三角形的三条高一定在三角形内部交于 一点
七年级数学下册 第9章 多边形 9.1 三角形 3 三角形的三边关系课件1
(单位:厘米)
4 3 2
(√ )
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下面(xiàmian)的三条线段可以围成一个三角形吗？ (单位:厘米)
3 1
2
( ×)
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第二十六页，共四十一页。
下面的三条线段(xiànduàn)可以围成一个三角形吗？ (单位:厘米)
2×4+x=18 解得 x=10 ∵4+4<10
∴ 以4cm为腰不能构成(gòuchéng)三角形.
∴ 12/1三1/202角1 形另外两边长为7cm，7cm。
第三十七页，共四十一页。
三角形的稳定性
如果三角形的三边固定，那么三角形的 形状和大小就完全(wánquán)确定了.
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第三十八页，共四十一页。
课堂小结
1、三角形的三边(sān biān)关系定理；
三角形的任何(rènhé)两边的和大于第三边。
2、(1)判断三条已知线段能否组成三角形 时，采用一种较为简便的判法：
若最短边与较长边的和大于最长边，
则可构成三角形，否则不能.
(2)确定三角形第三(dì sān)边的取值范围：
两边之差<第三边＜两边之和．
18cm，如果一边长等于(děngyú)4cm， 求另两边的长？
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解：（1）若底边长为4cm，设腰长为xcm， 根据题意，得
2x+4=18
解得 x=7
4+7>7
∴等腰三角形的三边长为：4cm，7cm，7cm 题意（，2）得若一条腰长为4cm，设底边长为xcm，根据
三角形及多边形上课讲义
三角形及多边形聚智堂名师教育辅导教案教学内容【例6】：已知: BE, CE分别为△ABC的外角∠MBC, ∠NCB的角平分线,求: ∠E与∠A的关系【例7】：已知: BF为∠ABC的角平分线, CF为外角∠ACG的角平分线, 求: ∠F与∠A的关系【例8】：如图，⊿ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠CDF的度数。
1、10、如图AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于F．试判断AEDF是何图形，并说明课堂练习本节课讲到了三角形及多边形，通过典型例题的分析让学生掌握综合性的试题分析能力，结合题意找到突破口。
你认为本次课最难的知识点是哪一个？回家作业一、选择题（20分）1、如图7，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，分别交BC，AB，BC于C，D，E：下列说法中不正确的是（）A、AC是∆ABC的高B、DE是∆BCD的高C、DE是∆ABE的高D、AD是∆ACD的高2、三角形三条高的交点一定在（ ）A 、三角形的内部B 、三角形的外部C 、三角形的内部或外部．D 、三角形的内部、外部或顶点3、适合条件C B A ∠=∠=∠21的∆ABC 是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、不能确定 4、直角三角形两锐角的角平分线相交所成的角的度数是（ ） A 、045 B 、0135 C 、045或0135 D 、不能确定 5、有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A 、cm cm cm 843、、 B 、cm cm cm 844、、 C 、cm cm cm 1065、、 D 、cm cm cm 1052、、6、若∆ABC 的三边长分别为整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形的最大边 长为（ ） ABCD7、若多边形的边数由3增加到n （n 为正整数），则其外角和的度数（ ） A 、增加 B 、减少 C 、不变 D 、不能确定8、一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少0180，这个多边形的边数是（ ） A 、5条 B 、6条 C 、 7条 D 、8条9、如图8，BE ，CF 是∆ABC 的角平分线，065=∠A 那么BOC 等于（ ） A 、05.122 B 、05.187 C 、05.178 D 、011510、在∆ABC 中，B A ∠=∠，055比C ∠大025，则B ∠等于（ ） A 、050 B 、075 C 、0100 D 、0125四、解答题（60分）1、如图，AD 是∆ABC 的高，AE 是BAC ∠的角平分线，AF 是BC 边上的中线，写出图中所有相等的角和相等的线段2、如图，090⋅=∠+∠+∠+∠+∠+∠n F E D C B A ，求n ；3、已知∆ABC 中，A ∠比2B ∠大040，B ∠比2C ∠少010，求各角的度数．4、如图，在六边形ABCDEF 中，AF//CD ，AB//DE ，且0080120=∠=∠B A ，，求C ∠ 和D ∠的度数5、如图，四边形ABCD 中，∠BAF ，∠DAE 是与∠BAD 相邻的外角，且∠BAD ：∠BAF=4：5，求∠BAD ，∠DAE 的度数6、已知∆ABC 的三边长分别为c b a ，，，且05|2|2=-++-+）（c b a c b 求的取值范围.。
七年级数学下册 第9章 多边形知识归纳 华东师大版
七年级数学下册第9章多边形知识归纳华东师大版年级：姓名：第九章 多边形一、基本概念（一）三角形有关概念1．三角形定义：三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边。
三角形专用符号：“△” A （顶点）2．三角形的顶点、边B C组成三角形的线段如图中的AB 、BC 、AC 是这个三角形的三边，两边的公共点叫三角形的顶点。
(如点A 等)三角形顶点只能用大写字母表示，整个三角形表示为△ABC 。
3．三角形的内角，外角的概念：（1）内角：每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠BAC 等。
每个三角形有三个内角，（2）外角：三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如下图中∠ACD 是∠ABC 的一个外角， A它与内角∠ACB 相邻。
外角例如右图中∠ACD 是∠ABC 的一个外角，它与内角∠ACB 相邻。
B C D与△ABC 的内角∠ACB 相邻的外角有几个?它们之间有什么关系?一个三角形共有几个外角？4．三角形的分类（1）三角形按角分类可分为：⎪⎩⎪⎨⎧是钝角）钝角三角形（有一个角是直角）直角三角形（有一个角是锐角）锐角三角形（三个角都各类三角形的定义锐角三角形：所有内角都是锐角的三角形叫锐角三角形；直角三角形：有一个内角是直角的三角形叫直角三角形；钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形叫钝角三角形。
（2）三角形按边分类可分为：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧形（等边三角形）腰和底相等的等腰三角角形（只两边等）腰和底不相等的等腰三等腰三角形角形）都不相等）（又称斜三不等边三角形（三条边 各类三角形的定义不等边三角形：三边互不相等的三角形叫做不等边三角形；等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形。
相等的两边叫做等腰三角形的腰。
等边三角形；三条边都相等的三角形叫等边三角形(或正三角形)。
5．三角形的中线、角平分线、高（记住这重要的三线）三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线。
七年级数学下册多边形三角形的内角和与外角和课件华东师大版
3．[2018·淄博改编 ]如图，已知△ ABC 是任意一个三角形，求证：∠ A＋
∠ B＋∠ C ＝180°.
证明：过点 A 作 DE∥__B__C__， ∴∠B＝__∠__D_A__B__ ，∠C＝_∠__E_A__C__(___两__直__线___平__行__，__内__错___角__相__等___) ． ∵∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝__1_8_0__°_(平角的定义 )， ∴∠BAC＋∠B＋∠C＝__1_8_0__°_( 等量代换 )． 于是可以得到三角形三个内角和等于 __1_8_0_°__ ．
3 ．三角形的外角和 内 容：三角形的外角和等于__3_6_0_°__． 注 意：三角形的外角和是指每一个顶点处取一个外角时三个外角 的和，而不是六个外角的和．
归 类 探 究 [学生用书P71]
类型之一 利用三角形的内角和定理求角度 如图，已知 D、E 在△ABC的边上，DE∥BC，∠B＝60°，∠AED＝
解：(3) ∵∠ BAC＋∠ B＋∠C＝180°，∴∠ BAC＝ 180°－ (∠ B＋ ∠C)． ∵AE 是角平分线， ∴∠CAE＝12∠BAC＝12[180°－(∠B＋∠C)]＝90°－12∠B－12∠C. ∵AD 是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝90°－∠C， ∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝90°－12∠B－12∠C－(90°－∠C)
40°，则∠A 的度数为( C )
A．100° B．90° C．80° D．70°
类型之二 利用三角形的外角的性质求角度 如图，在△ ABC 中，∠ A＝50°，∠ABC＝70°， BD 平分∠ ABC，
则∠BDC 的度数是 ( A )
A. 85° B. 80° C. 75° D. 70°
多边形证明(复习讲义)(三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形)(解析)-中考数学重难点题型专题汇总
题型四--多边形证明（三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形）（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01三角形全等及性质一、三角形的基础知识1．三角形的概念由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．2．三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3．三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4．三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．二、全等三角形5．三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．6．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．7．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．8．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．四、等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．（3）判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．五、直角三角形与勾股定理9．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．10．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形1.如图，AC 和BD 相交于点O ，OA =OC ，OB =OD ．(1)求证：∠A =∠C ；(2)求证：AB//CD ．【答案】证明：(1)在△AOB 和△COD 中，OA =OC ∠AOB =∠COD OB =OD ,∴△AOB≌△COD(SAS)，∴∠A =∠C ；(2)由(1)得∠A =∠C ，∴AB//CD ．2.如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，BF =EC ，AB =DE ，∠B =∠E.求证：∠A =∠D ．【答案】证明：∵BF =EC ，∴BF +CF =EC +CF ，即BC =EF ，在△ABC 和△DEF 中，AB =DE ∠B =∠E BC =EF ，∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴∠A =∠D ．3.(2022·四川省宜宾市)已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB//DE，∠B=∠E，BC=EF.求证：AD=CF．【答案】证明：∵AB//DE，∴∠A=∠EDF．在△ABC和△DEF中，∠A=∠EDF∠B=∠EBC=EF，∴△ABC≌△DEF(AAS)．∴AC=DF，∴AC−DC=DF−DC，即：AD=CF．4.(2022·陕西省)如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE//AB，∠DCE=∠A.求证：DE=BC．【答案】证明：∵DE//AB，∴∠EDC=∠B，在△CDE和△ABC中，∠EDC=∠BCD=AB∠DCE=∠A，∴△CDE≌△ABC(ASA)，∴DE =BC ．5.(2022·浙江省杭州市)如图，在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，点M 为边AB 的中点，点E 在线段AM 上，EF ⊥AC 于点F ，连接CM ，CE.已知∠A =50°，∠ACE =30°．(1)求证：CE =CM ．(2)若AB =4，求线段FC 的长．【答案】(1)证明：∵∠ACB =90°，点M 为边AB 的中点，∴MC =MA =MB ，∴∠MCA =∠A ，∠MCB =∠B ，∵∠A =50°，∴∠MCA =50°，∠MCB =∠B =40°，∴∠EMC =∠MCB +∠B =80°，∵∠ACE =30°，∴∠MEC =∠A +∠ACE =50°，∴∠MEC =∠EMC ，∴CE =CM ；(2)解：∵AB =4，∴CE =CM =12AB =2，∵EF ⊥AC ，∠ACE =30°，∴FC =CE ⋅cos30°=3．6.（2021·云南中考真题）如图，在四边形ABCD 中，,,AD BC AC BD AC ==与BD 相交于点E ．求证：DAC CBD ∠=∠．【答案】见解析【分析】直接利用SSS 证明△ACD ≌△BDC ，即可证明．【详解】解：在△ACD 和△BDC 中，AD BC AC BD CD DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BDC （SSS ），∴∠DAC=∠CBD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意灵活运用SSS 的方法．7.（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在ABC 中，40A ∠=︒，点D ，E 分別在边AB ，AC 上，BD BC CE ==，连结CD ，BE．（1）若80ABC ∠=︒，求BDC ∠，ABE ∠的度数．（2）写出BEC ∠与BDC ∠之间的关系，并说明理由．【答案】（1）50BDC ∠=︒；20ABE ∠=︒；（2）110BEC BDC ∠+∠=︒，见解析【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出ACB ∠的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出BDC ∠，ABE ∠．（2）利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含ABE ∠分别表示BEC ∠，BDC ∠，即可得到两角的关系．【详解】（1）80ABC ∠=︒ ，BD BC =，50BDC BCD ∴∠=∠=︒．在ABC 中，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，40A ∠=︒ ，60ACB ∠=︒∴，CE BC = ，60EBC ∴∠=︒．20ABE ABC EBC ∴∠=∠-∠=︒．（2）BEC ∠，BDC ∠的关系：110BEC BDC ∠+∠=︒．理由如下：设BEC α∠=，BDC β∠=．在ABE △中，40A ABE ABE α=∠+∠=︒+∠，CE BC = ，CBE BEC α∴∠=∠=．2402ABC ABE CBE A ABE ABE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒+∠，在BDC 中，BD BC =，2402180BDC BCD DBC ABE β∴∠+∠+∠=+︒+∠=︒．70ABE β︒∴=-∠．4070110ABE ABE αβ∴+=︒+∠+︒-∠=︒．110BEC BDC ∴∠+∠=︒．【点睛】本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质．三角形的内角和等于180︒．三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．等腰三角形等边对等角．8.（2021·浙江温州市·中考真题）如图，BE 是ABC 的角平分线，在AB 上取点D ，使DB DE =．（1）求证：//DE BC ．（2）若65A ∠=︒，45AED ∠=︒，求EBC ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）35°【分析】（1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出BED EBC ∠=∠，即可完成求证；（2）先求出∠ADE ，再利用平行线的性质求出∠ABC ，最后利用角平分线的定义即可完成求解．【详解】解：（1） BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠．DB DE =，∴ABE BED ∠=∠，∴BED EBC ∠=∠，∴//DE BC ．（2） 65A ∠=︒，45AED ∠=︒，∴18070ADE A AED ∠=︒-∠-∠=︒．//DE BC ．∴70ABC ADE ∠=∠=︒．BE 平分ABC ∠，∴1352EBC ABC ∠=∠=︒，即35EBC ∠=︒．【点睛】本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记概念与性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考查了学生对基本概念的理解与掌握．9.（2021·福建中考真题）如图，在ABC 中，D 是边BC 上的点，,⊥⊥DE AC DF AB ，垂足分别为E ，F ，且,DE DF CE BF ==．求证：B C ∠=∠．【答案】见解析【分析】由,⊥⊥DE AC DF AB 得出90DEC DFB ∠=∠=︒，由SAS 证明DEC DFB ≌，得出对应角相等即可．【详解】证明：∵,⊥⊥DE AC DF AB ，∴90DEC DFB ∠=∠=︒．在DEC 和DFB △中，,,,DE DF DEC DFB CE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DEC DFB ≌，∴B C ∠=∠．【点睛】本小题考查垂线的性质、全等三角形的判定与性质、等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观．10.（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知AB DC =，A D ∠=∠，AC 与DB 相交于点O ，求证：OBC OCB ∠=∠．【答案】证明见解析【分析】根据全等三角形的性质，通过证明ABO DCO △≌△，得OB OC =，结合等腰三角形的性质，即可得到答案．【详解】∵A D AOB DOC AB DC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴ABO DCO △≌△（AAS ），∴OB OC =，∴OBC OCB ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．考点02相似六、相似三角形的判定及性质11．定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．12．性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．13．判定（1）有两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．七、相似多边形14．定义对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．15．性质（1）相似多边形的对应边成比例；（2）相似多边形的对应角相等；（3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．八、位似图形16．定义如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．27．性质（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或–k ；（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．18．找位似中心的方法将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．19．画位似图形的步骤（1）确定位似中心；（2）确定原图形的关键点；（3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；（4）作出原图形中各关键点的对应点；（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．11.（2021·云南中考真题）如图，在ABC 中，点D ，E 分别是,BC AC 的中点，AD 与BE 相交于点F ，若6BF ，则BE 的长是______．【答案】9【分析】根据中位线定理得到DE=12AB，DE∥AB，从而证明△DEF∽△ABF，得到12DE EFAB BF==，求出EF，可得BE．【详解】解：∵点D，E分别为BC和AC中点，∴DE=12AB，DE∥AB，∴△DEF∽△ABF，∴12 DE EFAB BF==，∵BF=6，∴EF=3，∴BE=6+3=9，故答案为：9．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据中位线的性质证明△DEF∽△ABF．12.（2020•盐城）如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则AE AC的值．【分析】由平行线得三角形相似，得出AB•DE，进而求得AB，DE，再由相似三角形求得结果．【解析】∵BC∥DE，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB =DE BC =AE AC ，即4AB =DE 4=AE AC ，∴AB •DE ＝16，∵AB+DE ＝10，∴AB ＝2，DE ＝8，∴AE AC =DE BC =84=2，故答案为：2．13.（2021·广东中考真题）如图，边长为1的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点．连接BE ，将ABE △沿BE 折叠得到,FBE BF 交AC 于点G ，求CG 的长．【答案】CG =【分析】根据题意，延长BF 交CD 于H 连EH ，通过证明()Rt EDH Rt EFH HL ≌、DHE AEB ∽得到34CH =，再由HGC BGA ∽得到()34CG AC CG =-，进而即可求得CG 的长．【详解】解：延长BF 交CD 于H 连EH ，∵FBE 由ABE △沿BE 折叠得到，∴EA EF =，90EFB EAB ∠=∠=︒，∵E 为AD 中点，正方形ABCD 边长为1，∴12EA ED ==，∴12ED EF ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴90D EFB EFH ∠=∠=∠=︒，在Rt EDH △和Rt EFH 中，ED EF EH EH =⎧⎨=⎩，∴()Rt EDH Rt EFH HL ≌，∴DEH FEH ∠=∠，又∵AEB FEB ∠=∠，∴90DEH AEB ∠+∠=︒，∵90ABE AEB ∠+∠=︒，∴ABE DEH ∠=∠，∴DHE AEB ∽，∴12DH AE DE AB ==，∴14DH =，∴13144CH CD DH =-=-=，∵CH AB ∥，∴HGC BGA ∽，∴34CG CH AG AB ==，∴()3344CG AG AC CG ==-，∵1AB =，1CB =，90CBA ∠=︒，∴AC =，∴)34CG CG =，∴CG =．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质以及正方形的性质，熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键．14.（2020•长沙）在矩形ABCD 中，E 为DC 边上一点，把△ADE 沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F ．（1）求证：△ABF ∽△FCE ；（2）若AB ＝23，AD ＝4，求EC 的长；（3）若AE ﹣DE ＝2EC ，记∠BAF ＝α，∠FAE ＝β，求tan α+tan β的值．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）设EC ＝x ，证明△ABF ∽△FCE ，可得AB CF =BF EC ，由此即可解决问题．（3）首先证明tan α+tan β=BF AB +EF AF =BF AB +CF AB =BF+CF AB =BC AB ，设AB ＝CD ＝a ，BC ＝AD ＝b ，DE ＝x ，解直角三角形求出a ，b 之间的关系即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，由翻折可知，∠D ＝∠AFE ＝90°，∴∠AFB+∠EFC ＝90°，∠EFC+∠CEF ＝90°，∴∠AFB ＝∠FEC ，∴△ABF ∽△FCE ．（2）设EC＝x，由翻折可知，AD＝AF＝4，∴BF=AF2−AB2=16−12=2，∴CF＝BC﹣BF＝2，∵△ABF∽△FCE，∴AB CF=BF EC，∴2322，∴x=∴EC=（3）∵△ABF∽△FCE，∴AF EF=AB CF，∴tanα+tanβ=BF AB+EF AF=BF AB+CF AB=BF+CF AB=BC AB，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，∴AE＝DE+2CE＝x+2（a﹣x）＝2a﹣x，∵AD＝AF＝b，DE＝EF＝x，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴BF=b2−a2，CF==2ax−a2，∵AD2+DE2＝AE2，∴b2+x2＝（2a﹣x）2，∴a2﹣ax=14b2，∵△ABF∽△FCE，∴AB CF=BF EC，−(a−x)2=a−x∴a2﹣ax=b2−a2•2ax−a2，∴14b2=b2−a2•整理得，16a4﹣24a2b2+9b4＝0，∴（4a2﹣3b2）2＝0，∴b a=233，∴tanα+tanβ=BC AB=考点03多边形十、多边形20．多边形的相关概念（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为()32n n-．21．多边形的内角和、外角和（1）内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；（2360°. 22．正多边形（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.（2）正n边形的每个内角为()2180nn-⋅，每一个外角为360n︒．（3）正n边形有n条对称轴.（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．15.（2021·湖南岳阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（）A．五边形的内角和是720︒B．三角形的任意两边之和大于第三边C．内错角相等D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分【答案】B【分析】根据相关概念逐项分析即可．【详解】A 、五边形的内角和是540︒，故原命题为假命题，不符合题意；B 、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；C 、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；D 、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查命题判断，涉及多边形的内角和，三角形的三边关系，平行线的性质，以及三角形的重心等，熟记基本性质和定理是解题关键．16.（2021·四川自贡市·中考真题）如图，AC 是正五边形ABCDE 的对角线，ACD ∠的度数是（）A ．72°B ．36°C ．74°D ．88°【答案】A【分析】根据正五边形的性质可得108B BCD ∠=∠=︒，AB BC =，根据等腰三角形的性质可得36BCA BAC ∠=∠=︒，利用角的和差即可求解．【详解】解：∵ABCDE 是正五边形，∴108B BCD ∠=∠=︒，AB BC =，∴36BCA BAC ∠=∠=︒,∴1083672ACD ∠=︒-︒=︒，故选：A ．本题考查正五边形的性质，求出正五边形内角的度数是解题的关键．17.（2021·四川资阳市·中考真题）下列命题正确的是（）A．每个内角都相等的多边形是正多边形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线D．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分【答案】B【分析】分别根据正多边形的判定、平行四边形的判定、线段垂直平分线的判定以及三角形中线的性质逐项进行判断即可得到结论．【详解】解：A.每个内角都相等，各边都相等的多边形是正多边形，故选项A的说法错误，不符合题意；B.对角线互相平分的四边形是平行四边形,说法正确，故选项B符合题意；C.过线段中点且垂直这条线段的直线是线段的垂直平分线，故选项C的说法错误，不符合题意；D.三角形的中位线将三角形的面积分成1∶3两部分，故选项D的说法错误，不符合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了对正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断以及三角形中线性质的认识，熟练掌握正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断是解答此题的关键．18．（2021·浙江丽水市·中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720 ，则原多边形的边数是__________．【答案】6或7【分析】求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．【详解】解：由多边形内角和，可得（n-2）×180°=720°，∴n=6，∴新的多边形为6边形，∵过顶点剪去一个角，∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，故答案为6或7．【点睛】本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键．19．（2021·湖北黄冈市·中考真题）正五边形的一个内角是_____度．【答案】108【分析】根据正多边形的定义、多边形的内角和公式即可得．【详解】解：正五边形的一个内角度数为180(52)1085︒⨯-=︒，故答案为：108．【点睛】本题考查了正多边形的内角，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．20．（2021·陕西中考真题）正九边形一个内角的度数为______．【答案】140°【分析】正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，而每个内角等于180︒减去一个外角，求出外角即可求解．【详解】正多边形的每个外角360=n︒（n为边数），所以正九边形的一个外角360==409︒︒∴正九边形一个内角的度数为18040140︒-︒=︒故答案为：140°．【点睛】本题考查的是多边形的内角和，多边形的外角和为360︒，正多边形的每个内角相等，通过计算1个外角的度数来求得1个内角度数是解题关键．21．（2021·湖南中考真题）一个多边形的每个外角的度数都是60°，则这个多边形的内角和为______．【答案】720°【分析】多边形的外角和计算公式为：边数×外角的度数=360°，根据公式即可得出多边形的边数，然后再根据多边形的内角和公式求出它的内角和，n边形内角和等于(n-2)×180°．【详解】解：∵任何多边形的外角和是360°，此正多边形每一个外角都为60°，边数×外角的度数=360°，∴n=360°÷60°=6，∴此正多边形的边数为6，则这个多边形的内角和为(n-2)×180°，(6-2)×180°=720°，故答案为720°．【点睛】本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，熟知“任何多边形的外角和是360°，n边形内角和等于(n-2)×180°”考点04平行四边形十一、平行四边形的性质23．平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“ ”表示.24．平行四边形的性质（1）边：两组对边分别平行且相等．（2）角：对角相等，邻角互补．（3）对角线：互相平分．（4）对称性：中心对称但不是轴对称．25．注意：利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．26．平行四边形中的几个解题模型（1）如图①，AE 平分∠BAD ，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE 为等腰三角形，即AB=BE ．（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD ≌△CDB ；两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD ≌△COB,△AOB ≌△COD ；根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O 的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE ≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半．（3）如图③，已知点E 为AD 上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S △BEC =S △ABE +S △CDE .（4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE ·BC=AF ·CD ．十二、平行四边形的判定（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．十三、矩形的性质与判定27．矩形的性质：（1）四个角都是直角；（2）对角线相等且互相平分；（3）面积=长×宽=2S △ABD =4S △AOB ．（如图）28．矩形的判定：（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；（2）有三个角是直角；（3）对角线相等的平行四边形．十四、菱形的性质与判定29．菱形的性质：（1）四边相等；（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；（3）面积=底×高=对角线乘积的一半．30．菱形的判定：（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；（2）对角线互相垂直的平行四边形；（3）四条边都相等的四边形．十五、正方形的性质与判定31．正方形的性质：（1）四条边都相等，四个角都是直角；（2）对角线相等且互相垂直平分；=4S△AOB．（3）面积=边长×边长=2S△ABD32．正方形的判定：（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；（2）一组邻边相等的矩形；（3）一个角是直角的菱形；（4）对角线相等且互相垂直、平分．十六、联系（1）两组对边分别平行；（2）相邻两边相等；（3）有一个角是直角；（4）有一个角是直角；（5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等（8）有三个角都是直角．十七、中点四边形（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.（4.22.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在ABC 中，BAC ∠的角平分线交BC 于点D ，//,//DE AB DF AC ．（1）试判断四边形AFDE 的形状，并说明理由；（2）若90BAC ∠=︒，且AD =，求四边形AFDE 的面积．【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4【分析】（1）根据DE∥AB，DF∥AC判定四边形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可证明；（2）根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可．【详解】解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠EAD，∵DE∥AB，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EDA=∠EAD，∴AE=DE，∴平行四边形AFDE是菱形；（2）∵∠BAC=90°，∴四边形AFDE是正方形，∵AD=，=2，∴∴四边形AFDE的面积为2×2=4．【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．23.（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；，求证：四边形ACED是矩形．（2）如果AB AE【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形；（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC．∵点C是BE的中点，∴BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，∵AB=AE，∴DC=AE，∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．24.（2021·四川广安市·中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD=．连接CE、CF．的延长线上，且BE DF求证：CE CF=．【答案】见解析【分析】根据菱形的性质得到BC=CD ，∠ADC=∠ABC ，根据SAS 证明△BEC ≌△DFC ，可得CE=CF ．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC=CD ，∠ADC=∠ABC ，∴∠CDF=∠CBE ，在△BEC 和△DFC 中，BE DF CBE CDF BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△DFC （SAS ），∴CE=CF ．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件．25.（2021·四川自贡市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点．求证：DE=BF．【答案】证明见试题解析．【分析】由矩形的性质和已知得到DF=BE ，AB ∥CD ，故四边形DEBF 是平行四边形，即可得到答案．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，又E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，∴DF=BE ，又AB ∥CD ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∴DE=BF ．考点：1．矩形的性质；2．全等三角形的判定．26.（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 的直线EF 与BA 、DC 的延长线分别交于点E 、F ．（1）求证：AE ＝CF ；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE 是菱形，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）EF ⊥BD 或EB ＝ED ，见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明AOE COF V V ≌，则可得到AE ＝CF ；（2）连接BF ，DE ，由AOE COF V V ≌，得到OE=OF ，又AO=CO ，所以四边形AECF 是平行四边形，则根据EF ⊥BD 可得四边形BFDE 是菱形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA ＝OC ，BE ∥DF∴∠E ＝∠F在△AOE 和△COF 中E F AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOE COF V V ≌()AAS ∴AE ＝CF（2）当EF ⊥BD 时，四边形BFDE 是菱形，理由如下：如图：连结BF ，DE∵四边形ABCD 是平行四边形∴OB ＝OD∵AOE COFV V ≌∴OE OF=∴四边形BFDE 是平行四边形∵EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 是菱形【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，菱形的判定等知识点，熟悉相关性质，能全等三角形的性质解决问题是解题的关键．。
数学七年级下华东师大版多边形复习讲义
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数学七年级下华东师大版多边形复习讲义
三角形外角的性质： 1、三角形的一个外角等于和它不相 邻的两个内角的和 2、三角形的一个外角大于任何一个和 它不相邻的内角
数学七年级下华东师大版多边形复习讲义
1、如图所示： 则∠1＝_____;
∠2=_____; ∠3=______ .
2 3 37° 1 155°
三角形外角和定理： 三角形三个外角的和等于360°
数学七年级下华东师大版多边形复习讲义
三、练习
1、按图中所给的条件，可得：
∠1=
，
∠2=
，
∠3=
。
2、如图，∠ABD与∠ACE是△ABC的两个外角， 若∠A=70°， 求∠ABD+∠ACE。
数学七年级下华东师大版多边形复习讲义
2、三角形的三个外角之比为2:3:4，则与它们 相邻的内角分别为（ ）
拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰 好是一个周角时，就拼成一个平面图形。
数学七年级下华东师大版多边形复 习讲义
A
一、三角形的相关概念：
1、什么叫三角形：
B
C
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接
所组成的平面图形叫做三角形．
2、顶点： 用一个大写字母表示如A、B、C
3、边：边AB，边BC，边AC
4、角（内角）：∠A，∠B，∠C
A. 80˚ 120˚ 160 ˚
B. 160 ˚ 120 ˚ 80 ˚
C. 100 ˚ 60 ˚ 20 ˚ D. 140 ˚ 120 ˚ 100 ˚
数学七年级下华东师大版多边形复习讲义
1、如图所示：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数？
A
七年级多边形知识点归纳
七年级多边形知识点归纳多边形是几何学中非常基础的一种图形，包括有几何中常见的三角形、四边形、五边形、六边形等。
在七年级数学课上，我们需要了解许多多边形的知识点，在这里我将为大家概括归纳一些关键的概念和公式，帮助大家更好地理解多边形的性质和应用。
一、三角形三角形是多边形中最简单的形状，由三条线段组成。
下面是三角形的几个重要的性质和公式。
三角形的内角和定理：三角形的三个内角和等于180度。
我们可以用这个定理来计算一个不知道内角度数的三角形内缺角的度数。
例如，在一个三角形中，两个内角分别为60度和80度，那么这个三角形中的缺角就是40度。
余弦定理：余弦定理可以帮助我们确定一个三角形的边长，当我们知道三角形内的角度大小和边长的一些信息时。
余弦定理的公式是：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC，其中，a和b是三角形两个较小的边，c为三角形的长边，C为长边对应的角度。
正弦定理：正弦定理也可以帮助我们求解三角形边长和角度大小，当我们已知三条边长时。
正弦定理的公式是：a / sinA = b / sinB = c / sinC，其中，A、B、C分别为三角形三个角度（角度最小的那个被定义为A，第二小的是B，以此类推）。
二、四边形四边形是由四条线段组成的图形，下面分为平行四边形和梯形讨论四边形的相关性质。
1. 平行四边形平行四边形是由两对平行线段和四个顶点组成的四边形。
下面是一些常见的平行四边形的公式和性质。
平行四边形的对角线：当我们在平行四边形中从一个顶点出发画出两条对角线时，这两条对角线会相交在一起并分成两条相等的部分。
平行四边形面积公式：平行四边形的面积可以通过它的底和高得到。
面积等于底边乘以对应的高。
如果我们用b表示底边长度，h表示高度，则平行四边形的面积公式为：面积= b*h。
2. 梯形梯形是由一对平行线段和四个顶点组成的四边形。
下面是一些常见的梯形的公式和性质。
梯形的高：梯形的高是从一条平行线到另一条平行线的距离。
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次数：班级：日期：年级：七科目：数学
多边形：了解三角形的基本三边关系，角的关系1.教学目标： 2.理解三角
形内角和外角的关系
理解多边形、正多边形的概念3. 掌握多边形内、外角和的相关知识 4. 点：1.三角形三线的作图及其理解应用；三边关系；重难 2.内外角的关系；多边形内、外角和的创新题型一．基础点拨 1.做出下列三角形三条边上的高
所对，∠ABC如图⑴，图中所有三角形的个数为，在△ABE中，AE所对的角是2.
中，是的对边；AD在△ADE中，是的对边，在△ADC的边是，
1的平线，∠ABC3∠，则∠BAC的平分线为如图⑵，已知∠1=∠BAC，∠2 =2
为；边中BD是三角形图中有如图⑶，D、E是边AC的三等分点，个三角形，
边上的中线；中上的中线，BE是三角形
AAC
D
DE E
321CBBCEABD⑵⑴⑶
．多边形的边、顶点、内角和外角．3n n边形的单个内角为边形的内角和为_________________；正任意多边形的外角和都为________；正n边形的单个外角为
4．多边形的对角线连接多边形的________________的两个顶点的线段，叫做多边形的对角校区：任课教师：电话：
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线。
n边形从一个顶点可引出_____________条对角线，共有____________条对角线。
二．习题小测
△ABCa?6b?8P的取值范围是中，______．，则周长， 1.0，求这个多边形的边数。
25202.一个多边形的内角和与外角和的和为
3.已知过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，五边形有p条对角线，求n??p?m 的值。
，则这个多边形是4.已知一个多边形的内角和是
0 540
）个锐角。
5.n边形的内角中，最多有（个 D： 4 2 个 C：3个A：1个 B：C∠△ABCOBEAD和是高中，6.已知，如图所示，在的交点，观察图形，试猜想和∠DOE之间具有怎样的数量关系，并论证你的猜
想．
三．例题精讲. 1例题，则第三边的和9中，AB=AC，如果已知此三角形两边的长分别为4在△ABC。
7和11，则此三角形的周长为长为 ;若此三角形两边的长分别为
随堂练习：10，其中一边为3，则其他两边长分别为1.一个三角形中有两边相等，其周长
为。
2.在△ABC中，AB=AC，Ac上的中线BD把△ABC的周长分为24cm和30cm两部分。
求三角形的三边长。
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2.例题边上的中线，则有AD是BC2 .如图（），在△ABC中，若A1BD = =，利，若过A点作BC边上的高AE21，S= =S用三角形的面积公式可求得BC请你任意画一个三角形，将这个三角形的面积四等分。
ED 2）
ABC△ABD△2
（
随堂练习：古代有一位商人有一块三角形土地，土地的一边靠水渠，如图所示，现在他想把这块土地平均分给他的三个儿子（三角形形的地），为使土地灌溉方便，想使每个儿子分得的土地
都有一边和 .试问应如何分割这块土地？请你说明理由。
水渠相邻
. 3例题ACE∠△ABCABC∠D点，若中，的平分线交于的平分线与已知，如图(3)，80∠A D∠，求的度数．
(3)
1125例题4. 0，当发现错了之后，重小明在井陉多边形内角和的计算时，求得的内角和为
新检查，发现少加了一个内角。
问这个内角是多少度？小明求的是几边形的内角和？
，则这四个内角的大小为。
3例题5. 若四边形的四个内角大小之比为1：2：：4
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如果六边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是
随堂练习：0再向前跑，当他回到出发点时，他一20小明在操场上跑步，他每次跑6米后，身体就左转共跑了多少米？
四．随堂巩固4_____ 1．三角形两个外角的和等于第三个内角的倍，则第三个内角等于?E?∠D?∠∠A?∠B?∠C2. 如图(4)，．_____
?4?∠∠1?∠2?∠33. 如图(5)，．_____
c，，baC∠△ABCB∠∠A若的对边，中4. ，是，???14?4cb?3?a______
的取值范围是，则，，
5.若一个正多边形的一个外角是40，则这个多边形的边数是（
0）
A. 10
B. 9
C. 8
D. 7
???? 4是五边形ABCDE6.如右图所示，1、的外角，2、3、??70??4?1??2??3AED?）且，则的度数是（
0 0 00 D.110C.105 A.110 B.108
的度数。
，求∠DBC7.△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，如图(6)
360∠C?∠D??∠B CDABCDEAB∥8.如图7，已知折线，且．说
明：．
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9.一个边长为2的多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的周长是
540，那么这个多边形的对角线的边数是（ 10.一个凸多边形的内角和是A. 5 0）
B. 4
C. 3
D. 2
1，则这个多边形的每个内角11.在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的3度。
为，H是BDAC所示，在△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别是，AB 上的高，
12．如图(8)
. BHC的度数CE的交点，求∠
第8题图BC△ABCACED边延长线上一点，说明：是是中已知，如图13.(9)，点边上的一
点，点CDE∠∠ADB ．
9:2，求n。
14.已知n边形的内角和与外角和之比为
2750，15.某市市中心需设计一个凸多边形的花坛，除了一个内角外，其余各内角的和为这0求
个多边形的边数以及未知的那个内角的度数。
倍，求这个多边形的边每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的917. 数。
考古学家厄莎·迪格斯发掘出一块瓷盘的碎片。
原来的瓷盘的形状是一个正多边形。
如18.如果原来的瓷盘那么它大概是三世纪和平王朝礼仪用的盘子；果原来的瓷盘是正十六边形，厄莎度量这块碎片的每一条那么它大概是十二世纪哇丁王朝宴会用的盘子，是正十八边形，
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边的长度，发现它们的大小都相同。
她猜想原来的完好的盘子所有的边的大小都相同的。
她再度量每块碎片上的角，发现它们的大小也相同。
她猜想，原来的完好的盘子所有角的大小也相同。
如果每一个角的度数是160°，那么这个盘子出自哪一个朝代呢？
四．课后练习
?A??B??C??D??E的你能计算出这是一个五角形ABCDE，）.如图（1）所示，（ 1大小吗？若能，求其大小，若不能，说明理由。
?A??B??C??D??E那么还能求出上，）所示，如果点B向右移动到AC2 （）.如图（2的大小吗？若能，结果是多少？
（3）.如图（3）所示，当B向右移动到AC的另一侧时，上面的结论还成立吗？
?CAD的内部时，结论又如何？根据图（3、E移动到）或4 （4）．如图（）所示，当点B（4）说明计算理由。
(1) （2）（3）（4）
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