第五章_线性系统的频域分析法剖析

微分方程
G(s) s＝jw
G(jw)
A2 A()A1, 2 () 1 A(),()
物理意义: 表示系统或环节
对不同频率正弦信号的跟踪能力或复现能力； G(jw)只与系统或环节本身的结构参数有关,是 系统或环节本身的属性； 与输入信号和初始条件无关。
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『例1』某系统结构图如图，求 rt作 用下的稳态输出 c;t
➢容易研究系统的结构和参数变化对系统性能的 影响，并可指出改善系统性能的途径,便于对系 统进行校正。
➢提供了一种通过实验建立元件或系统数学模型 的方法。
2
系统模型间的关系
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5-1 频率特性
一. 频率特性的基本概念
r(t)
系统
C(t)
A1 sin(t 1) 数学模型 A2 sin(t 2 )
一个稳定的线性定常系统或环节,当系统输入为正弦信号
eT
Ar sin(t arctanT ) 1 2T 2
式中第一项为动态分量，第二项为稳态分量。
lim
t
uc
(t
)
Ar sin(t arctanT ) 1 2T 2
8
w0
A(w) 1
(w) 0
1/ 2T 1/ T 2 / T 3/ T 4 / T 5 /T
0.89 0.707 0.45 0.32 0.24 0.20 0
(1) rt 3cos 2t 30
(2) rt 3sin 8t 20
r(t)
6
c(t)
－ s4
『解』设
输出
ct A2 cost 2
闭环传递函数
(s) C(s) G(s) 6 R(s) 1 G(s) s 10
频率特性
j 6
12
j 10
1. rt 3cos2t 30
幅相频率特性: 幅频特性: 相频特性:
Gs 1
RCs 1
G j 1
jRC 1
A G j 1
T 2 2 1
arctan RC
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『注』幅频特性是w的偶函数，相频特性是w的奇函数，
当w→∞时,网络输出电压趋 向于0,相角落后90度。所以 RC网络只允许低频信号通过, 具有低通滤波器的性质。9
r(t)的幅值为1保持不变，而频率w由小到大变化，其输出c(t) 为以下波形：
ω=0.5
ω=1
ω=2.5
ω=4
【附】：不稳定系统频率响应
不稳定系统
1 (s 1)
暂态 稳态
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【小结】线性定常系统频率特性的求法
频率特性表示了稳定系统在正弦信号输入下，其稳态输 出与输入之间的关系。利用频率特性可以很容易求得
稳定系统在正弦信号输入下的稳态输出，即
A2 A() 2 () 1
6
频率特性的物理意义及求解方法
R
ur
C
uc
RC网络微分方程：RC
duC dt
uc
ur
RC网络传递函数:
Gs
uC s ur s
幅频特性 A() A2 ()
A1
相频特性 () 2 () 1
频率特性 G( j) A()e j() G j A()()
A() | G( j) |
() G( j)
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如何求系统的频率特性？
在系统的传递函数G(s)中，用jw代替s即得系统频率特性 G( jw)，其模值为幅频特性A(，) 其幅角为相频特 。()
第五章 线性系统的频域分析法
5-1 频率特性 5-2 典型环节与开环系统频率特性 5-3 频率稳定判据 5-4 频率稳定裕度 5-5 闭环系统的频率性能指标
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概述
频率法是在频域里对系统进行分析和设计的一种方 法，主要采用图解法。
➢可以根据系统的开环频率特性判断闭环系统的 稳定性，而不必求解特征方程。
当输入正弦信号频率从0变到+∞,矢量 A 的e j终
端便在复平面上描绘出一条轨迹,这条轨迹就是G(jw)
的极坐标图,通常又称为幅相频率特性曲线，也称
Nyquist曲线。
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正负的定义
用箭头表示w增加的方向,角度以实轴正方向作为相 角的零度线,反时针旋转的角度定义为正。
『例』如RC网络的传递函数:
26.6 45 63.5 71.5 76 78.7 90
A(w) 1
-0.707
A G j 1 T 2 1
G j arctanRC
w
0
1/T 2/T 3/T 4/T
（w）
450
w
900
当频率较低时,输出电压和输 入电压的幅值几乎相等,相角 差不大,随着频率增高,输出 电压的幅值减小,相角滞后增 大,当w=1/T时,输出幅值为 输入幅值的0.707倍,相角落 后45度。
css 1.41 cos 8t 18.7。
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二. 频率特性的几何表示方法
常用的频率特性图有极坐标图与伯德图。 1. 幅相频率特性曲线(极坐标图)
G(jw)为复数, 在坐标图中，它是一个矢量, 既可用模值和 幅角表示,也可在直角坐标中用实部和虚部表示。即:
G j A e j Re G j jI mG j
( j2) 6 6 (tg1 2 ) 0.59 11.3
j2 10 22 102
10
A 0.59 11.3
A2 A1
A2 3
0.59
2 1 2 30 11.3
ct 1.77 cos 2t 18.7。
A2 1.77
2 18.7
css 1.77 cos 2t 18.7。
1 RCs
1
频率特性：
G j 1 1
jRC 1 jT 1
幅频特性：
A G j 1 T 2 1
相频特性：
G j arctanRC 7
系统的输出为
Uc
(s)
(s)Ur
(s)
1 Ts
1
Ar s2
2
查拉氏变换表，得Uc(s)的原函数uc(t)
uc (t)
ArT 1 2T 2
t
rt A1 sin(t 时1)
系统稳态输出为同频率的正弦信号 ct A2 sin(t 2 ) 。
振幅与相角不一定相同，即 A2 A1, 2 1 ，并且 A2,2 均
为频率w的函数，即 A2,2。
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两个信号的振幅之比定义为系统的幅频特性，两个信号的 相位之差定义为系统的相频特性。两者合称为系统的频率 特性。
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2. rt 3sin8t 20。
j8 6 6 tan1 8 0.47 38.7
j8 10 82 102 10
A 0.47 38.7
A2
A1
A2 3
0.47
2 1 2 20 38.7
A22
1.41 18.7
ct 1.41sin 8t 18.7。