专题1——立体图形的展开、还原与投影
立体几何体的投影与展开
立体几何体的投影与展开在我们的日常生活和学习中，立体几何体无处不在。
从建筑的设计到日常用品的形状，从机械零件的构造到艺术作品的创作，立体几何体都扮演着重要的角色。
而理解立体几何体的投影与展开，对于我们更好地认识和把握这些物体的特性具有极其重要的意义。
首先，让我们来谈谈什么是立体几何体的投影。
简单来说，投影就是光线照射在物体上，在某个平面上形成的影子。
就好像我们在阳光下看到一个建筑物的影子，或者灯光下一个杯子在桌面上的影子，这就是投影的直观体现。
在数学中，我们通常研究的是正投影，也就是光线垂直于投影面的情况。
比如一个长方体，当光线垂直于它的一个面照射时，在这个面上就会形成一个矩形的投影。
投影的形状和大小取决于几何体的形状、位置以及光线的方向。
不同形状的立体几何体，其投影也各有特点。
比如，球体无论从哪个方向进行正投影，得到的都是一个圆形；而圆柱体，如果光线垂直于它的底面照射，投影就是一个矩形，如果光线垂直于它的侧面照射，投影就是一个圆形。
投影在实际生活中的应用非常广泛。
在工程制图中，工程师们通过绘制立体物体的投影图来准确地表达物体的形状和尺寸，以便进行制造和施工。
在建筑设计中，建筑师们根据建筑物在不同角度的投影来评估其外观效果和采光情况。
在地理测量中，通过对山峰、山谷等地形的投影测量，可以绘制出精确的地图。
接下来，我们再聊聊立体几何体的展开。
展开，顾名思义，就是将一个立体几何体的表面平铺在一个平面上。
这就像是把一个纸盒子拆开，然后把各个面平铺在桌面上。
以一个正方体为例，它有六个面，我们可以通过一定的方式将这六个面展开成一个平面图形。
常见的展开方式有十一种，展开后的图形是由六个相连的正方形组成的。
通过研究正方体的展开图，我们可以更清楚地了解正方体的结构特点，也有助于我们计算它的表面积。
再比如圆柱体，它的侧面展开图是一个矩形，矩形的长等于圆柱体底面圆的周长，宽等于圆柱体的高。
圆锥体的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥体底面圆的周长。
立体形的投影与展开应用
立体形的投影与展开应用立体形的投影与展开是一个重要的概念，在工程设计、建筑设计、艺术绘画等领域中有广泛的应用。
本文将重点讨论立体形的投影与展开的定义、原理以及在实际应用中的价值和意义。
一、立体形的投影与展开的定义立体形的投影与展开是指将一个三维的立体形体通过投影的方式展现在一个二维的平面上，并通过展开的方式呈现出来。
这样可以使得原本复杂的三维形体更加直观地展示出来，并且便于进行分析和设计。
二、立体形的投影与展开的原理立体形的投影与展开的原理基于投影的概念。
投影可以分为正投影和斜投影两种形式。
正投影是指投影线垂直于投影面，斜投影则是投影线与投影面不垂直。
在立体形的投影与展开中，常常采用斜投影的方式。
具体地说，对于一个立体形体，我们可以选择一个适当的位置来投影它，然后根据观察者的角度和方向，将各个点的投影点标注在平面上。
这样，我们就可以得到该立体形体在平面上的投影图。
然后，根据投影图，我们可以进行展开。
展开是指将平面上的投影图按照一定的规则进行分割和展开，形成一个或多个平面上的图形。
展开后的图形能够直观地呈现立体形体的各个面以及它们之间的关系。
三、立体形的投影与展开的应用1. 工程设计与制造立体形的投影与展开在工程设计和制造过程中有广泛的应用。
通过投影和展开，可以清晰地了解到立体形体的各种尺寸、形状和结构，便于进行设计和制造过程的规划和操作。
2. 建筑设计与装饰在建筑设计和装饰中，立体形的投影与展开可以用来展示建筑物的结构框架、内部空间以及装饰元素的设计。
通过投影和展开，设计师可以更好地理解建筑物的整体形态和内部布局，并进行进一步的设计和优化。
3. 艺术绘画与设计立体形的投影与展开在艺术绘画和设计中也得到了广泛的应用。
通过投影和展开，艺术家可以更准确地捕捉到立体形体的形态、纹理和光影效果，并在平面上进行绘制和设计。
这为艺术创作提供了更多的可能性和表现手法。
四、立体形的投影与展开的意义和价值立体形的投影与展开不仅可以准确地展示出立体形体的形状和结构，还可以解决设计和制造过程中的问题，提高工作效率和质量。
初中数学中考知识点考点学习课件PPT之视图与投影、立体图形的展开与折叠知识点学习PPT
1.三视图的定义及画法
定义
从正面观察物体得到的视图叫做②________；从左面观察物体得到的视图叫做③________；从上面观察物体得到的视图叫做④________.
主视图
左视图
俯视图
画法
主视图与俯视图要⑤________；主视图与左视图要⑥________；左视图与俯视图要⑦________；看得见的轮廓线画成⑧______；看不见的轮廓线画成⑨______.
提分技法
根据主视图和俯视图求小正方体个数的最小值的方法最小值=主视图中小正方形个数+俯视图中小正方形个数-主视图中从下往上数第一层小正方形的个数.
考点3 立体图形的展开与折叠
1.常见几何体的展开图
常见几何体
展开图
图示（选其中一种）
正方体
六个大小相等的正方形
.
D
3.[2019河南,5] 如图（1）是由大小相同的小正方体搭成的几何体,将上层的小正方体平移后得到图（2）.关于平移前后几何体的三视图,下列说法正确的是( )
图（1）
图（2）
A.主视图相同 B.左视图相同C.俯视图相同 D.三种视图都不相同
初中数学中考知识点考点学习课件PPT第七章 图形的变化
第二节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
考点1 投影
平行投影
由一束_________光线形成的投影是平行投影.如：物体在太阳光的照射下所形成的影子.
中心投影
由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影.
① 平行
注意：同一时刻,同一地点太阳光下物高和其影长成正比,但灯光下物高和其影长不具备这样的性质.
一图串考法
考法1 三视图（8年6考）
立体图形的基本投影与展开方法
立体图形的基本投影与展开方法立体图形是在三维空间中存在的物体，其具有长度、宽度和高度三个维度。
在实际生活和工程设计中，我们经常需要对立体图形进行投影和展开，以便更好地理解和分析它们的特性。
本文将介绍一些基本的立体图形投影和展开的方法。
一、投影的基本原理在进行立体图形投影时，我们需要将三维空间中的物体投影到二维平面上。
这种投影是一种近似，因为三维物体的所有细节无法完全呈现在二维平面上。
投影的基本原理有三种类型：平行投影、透视投影和斜投影。
1. 平行投影：平行投影是指投影线与被投影物体平行的投影方式。
在平行投影中，投影线与物体之间的距离保持不变，因此得到的投影图形与实际物体的形状相似。
平行投影常用于工程设计和制图中。
2. 透视投影：透视投影是指投影线与被投影物体不平行的投影方式。
在透视投影中，投影线与物体之间的距离逐渐变远，因此得到的投影图形会产生远近和大小的变化，更接近人眼所见的效果。
透视投影常用于艺术绘画和建筑设计中。
3. 斜投影：斜投影是指投影线与被投影物体倾斜的投影方式。
在斜投影中，投影线与物体之间的角度不是90度，因此得到的投影图形会产生形变。
斜投影常用于工程制图中，以展示物体的各个面。
二、立体图形的展开方法立体图形的展开是指将三维物体展开成为一个平面图形。
通过展开，我们可以更好地了解物体的各个面和结构。
下面介绍几种常见的立体图形展开方法。
1. 正交展开：正交展开是指将立体图形的各个面沿着它们的法线方向展开成为平面图形。
这种展开方法可以保持各个面的形状和尺寸不变，适用于简单的立方体、长方体等几何体。
2. 黏合展开：黏合展开是指将立体图形的各个面按照一定的规则黏合在一起展开成为平面图形。
这种展开方法可以展示出物体的整体结构和关系，适用于复杂的多面体如四面体、六面体等。
3. 切割展开：切割展开是指通过在立体图形上进行切割，将其展开成为平面图形。
这种展开方法可以展示出物体的内部结构和各个面的连接方式，适用于复杂的多面体如球体、圆柱体等。
掌握立体形的投影与展开
掌握立体形的投影与展开立体形是我们日常生活中随处可见的一种物体形式。
无论是建筑物、产品设计还是日常用品，都存在着立体形。
然而，对于立体形的投影与展开，很多人可能并不了解。
本文将介绍如何掌握立体形的投影与展开，并且提供一些案例帮助读者更好地理解。
一、立体形的投影立体形的投影是指将三维的物体以二维的方式进行表达。
投影可以分为平行投影和透视投影两种方式。
平行投影是指以垂直于投影面的直线进行投影，从而得到物体在投影面上的影子。
在平行投影中，投影面和物体平行，保持了物体原有的形状和比例。
常见的平行投影方式有正投影和斜投影。
正投影是指投影线与投影面相互垂直的一种投影方式。
在正投影中，物体的投影与物体之间的相对位置关系得以保持，但没有了深度感。
这种投影方式常用于制图和工程设计领域。
斜投影是指投影线与投影面不相互垂直的一种投影方式。
斜投影相比于正投影更能表现出物体的深度感和空间位置关系。
常见的斜投影方式有等轴测投影和斜轴测投影。
透视投影是指通过透视原理，以观察者的视角进行投影，从而得到物体在投影面上的影子。
透视投影能够表现出物体的远近、近大远小的特点，使投影更加逼真。
这种投影方式常用于绘画和艺术创作中。
二、立体形的展开立体形的展开是指将三维的物体展开成为二维的平面图形。
展开可以帮助我们更好地理解立体形的结构和制作过程。
在进行立体形的展开时，需要注意以下几个步骤：1. 选择一个合适的展开面：根据立体形的结构和特点，选择一个可以展开的平面。
2. 划分展开面：将展开面划分为多个小区域，每个区域对应立体形的一个面。
3. 切割展开面：根据立体形的边缘线，在展开面上进行切割，以便展开。
4. 展开：将切割后的面按照同样的比例和几何关系展开到平面上。
5. 连接：将展开后的面按照原来的位置和方向进行连接，得到完整的展开图形。
通过展开图形，我们可以清晰地看到立体形的各个面以及它们之间的关系。
这对于制作立体模型和进行工程设计非常重要。
数学复习立体几何的投影与展开
数学复习立体几何的投影与展开数学复习立体几何的投影与展开【概述】立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的图形和体形。
其中，立体的投影与展开是立体几何的基本概念之一。
本文将深入讨论立体几何的投影与展开，包括定义、性质、应用等方面的内容，并提供详细的解析和答案。
【一、投影的概念】在立体几何中，投影是指将立体图形或体形影射到平面上的过程。
通过投影，我们可以将三维的实体转化为二维的图像，方便我们进行研究和分析。
投影有两种类型：平行投影和中心投影。
【平行投影】平行投影是指在投影过程中，投影光线与视平面平行。
在平行投影中，原图形与其投影图形的相对位置和形状保持不变。
例如，当我们将一个正方体在垂直于底面的平面上进行平行投影时，我们可以得到一个与原图形形状相同的平行四边形。
【中心投影】中心投影是指在投影过程中，投影光线由立体图形的一个中心点发出。
与平行投影不同的是，中心投影会改变原图形的形状和相对位置。
通过中心投影，我们可以得到更多不同形状的投影图形。
【二、投影的性质】投影具有一些重要的性质，这些性质是我们在解决立体几何问题时的基础。
【性质一：面积关系】在投影过程中，原图形与其投影图形的面积之比保持不变。
这意味着我们可以通过比较两者的面积来推断出一些关于立体图形的性质。
【性质二：相似关系】当投影光线与视平面平行时，原图形与其投影图形相似。
这种相似关系可以帮助我们确定两个立体图形之间的比例关系。
【性质三：距离关系】在平行投影中，平行线上的点在投影后的图像中也保持平行。
这意味着我们可以通过测量两个点在投影图像中的距离来推断它们在原图形中的距离。
【三、展开的概念】在立体几何中，展开是指将一个立体图形通过切割和展开的方式转化成一个平面上的图形。
通过展开，我们可以将一个复杂的立体图形的各个面展示在平面上，方便我们进行计算和分析。
【四、展开的方法】展开一个立体图形有不同的方法，下面我们介绍两种常见且实用的展开方法。
《立体图形的展开》课件
多种展开方案的比较
未来的发展方向是比较不同展 开方案的优劣，并根据具体需 求选择最优方案。
3D打印技术的应用
立体图形展开与3D打印技术的 结合，可以实现更精确和复杂 的立体模型制作。
对于复杂的立体图形，寻找合适的展开方案 是一个挑战，需要考虑形状、结构和展开后 的空间关系。
2 优化展开方案
优化展开方案可以通过减少展开后的图形面 积和最小化形变来实现，以提高展开的质量 和效率。
立体图形展开的发展趋势
利用深度学习提高自动化 程度
通过深度学习算法，可以实现 自动化的立体图形展开，提高 展开过程的效率和准确性。
立体图形的展开方法
1
破面展开法
2
将立体图形切割成平面片段，再将其展
开。这种方法常用于具有复杂结构或内
部空洞的立体图形。
3பைடு நூலகம்
线性展开法
通过将立体图形的各个面按照某种顺序 展开，并将展开图沿直线排列，以得到 整个图形的展开。
对称展开法
利用图形的对称性，只需展开其中一部 分并使用镜像，从而减少展开的复杂度。
立体图形的展开实例
立方体展开
圆锥展开
立方体是最典型的立体图形之一， 可以通过展开将其六个面呈现在 平面上，形成一个十字形的展开 图。
圆锥可以通过展开形成一个扇形 的图形，展开图可以展示圆锥的 底面和侧面的形状和结构。
圆柱展开
展开的圆柱可以呈现为一个矩形， 将圆柱的底面和侧面展开到同一 个平面上。
立体图形展开的应用
《立体图形的展开》PPT 课件
立体图形的展开能够在二维平面上呈现令人惊叹的几何形状，本课件将介绍 关于立体图形展开的概念、方法、实例、应用以及未来发展趋势。
什么是立体图形的展开
理解简单的立体形的投影与展开
理解简单的立体形的投影与展开立体形的投影与展开是在几何学中的重要概念。
通过理解和掌握这一概念，我们可以更好地理解和应用立体形的相关知识。
本文将对立体形的投影与展开进行解释和说明。
首先，我们来介绍一下什么是立体形的投影。
立体形的投影是指将一个立体形状在一个平面上的影子。
在进行投影时，我们需要选择一个适当的平面作为投影平面，然后将立体形在该平面上的每个点投影出来，形成相应的投影点。
在进行立体形的投影时，我们需要考虑几个重要因素。
首先是投影平面的选择，不同的投影平面会导致不同的投影效果。
其次是选择合适的视点，视点的选择会影响到投影的形状和位置。
最后是考虑光线的入射方向和强度，这也会对投影结果产生影响。
通过进行立体形的投影，我们可以更好地理解和描述立体形的特征和形状。
例如，在建筑设计中，我们常常需要对建筑物进行投影分析，以评估其外观和结构。
在机械制图中，我们也需要进行立体形的投影，以便对零件进行加工和装配。
除了投影，我们还可以通过展开来理解立体形。
展开是将一个立体形状展开成一个平面图形的过程。
在进行展开时，我们需要选择合适的展开方式，并将立体形的各个面展开到同一个平面上。
通过展开立体形，我们可以更清晰地观察和分析其各个面的形状和位置关系。
例如，在纸上折纸时，我们可以将一个复杂的立体形状展开成一个简单的平面图形，以便更容易进行折叠。
在制作模型或装配设备时，我们也可以通过展开来确定各个零件的形状和尺寸。
在进行立体形的投影和展开时，我们需要注意几点。
首先是确保投影和展开的准确性，要尽量保持原始立体形的形状和比例。
其次是要理解和运用投影和展开的相关原理和规则，以便正确地进行操作。
最后是要进行反思和验证，确保投影和展开的结果与实际情况相符。
总结起来，理解简单的立体形的投影与展开是学习几何学中的重要内容。
通过投影，我们可以将立体形状在平面上进行观察和分析；通过展开，我们可以将立体形状展开成平面图形进行进一步研究和应用。
专题01_常见立体图形分类及展开与折叠(解析版)
专题01常见立体图形分类及展开与折叠考点1：立体图形就是各部分不都在同一平面内的几何图形，常见的立体图形有柱体(圆柱、棱柱)、锥体(圆锥、棱锥)、台体(圆台、棱台)(以后将学)和球体(球)四类．类型一：按柱、锥、球分类1．下列各组图形中，都为柱体的是( )A BC D【答案】C2．在如图所示的图形中，是圆柱的有________，是棱柱的有________．(填序号)(第2题)【答案】④；①③⑥3．(1)把图中的立体图形按特征分类，并说明分类标准；(2)图中③与⑥各有什么特征？有哪些相同点和不同点？(第3题)【答案】解：(1)按柱体、锥体、球体分：①③⑤⑥⑦为柱体；④⑧为锥体；②为球体．(2)③是圆柱，圆柱的上、下底面都是圆，侧面是一个曲面；⑥是五棱柱，上、下底面是形状、大小相同的五边形，侧面是5个长方形，侧面的个数与底面边数相等．相同点：两者都有两个底面．不同点：圆柱的底面是圆，五棱柱的底面是五边形；圆柱的侧面是一个曲面，五棱柱的侧面由5个长方形组成．注：(1)中分类标准不唯一．类型二：按有无曲面分类4．下列几何体中，表面都是平面的是( )A．圆锥B．圆柱C．棱柱D．球体【答案】C5．把一个三角尺绕任意一条边所在直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体________曲面．(填“有”或“无”)【答案】有6．如图，按组成的面来分类，至少有一个面是平面的图形有________，至少有一个面是曲面的图形有__________．(填序号)(第6题)【答案】①③④⑤⑥；②③④⑥7．将如图所示的图形按有无曲面分类．(第7题)【答案】解：有曲面的是③④⑤；无曲面的是①②⑥⑦.8．观察如图所示的圆柱和棱柱，回答下列问题：(1)棱柱和圆柱各由几个面组成？它们都是平面吗？(2)圆柱的侧面与底面相交成几条线？它们都是直线吗？(3)这个棱柱有多少条棱？多少个顶点？经过每个顶点有几条棱？(第8题)【答案】解：(1)圆柱由三个面组成，上、下两个底面是平面，侧面是曲面；棱柱由8个面组成，都是平面．(2)两条，不是直线．(3)这个棱柱有18条棱，12个顶点，经过每个顶点有3条棱．考点2：一个立体图形的表面展开图的形状由展开的方式决定，不同的展开方式得到的表面展开图是不一样的，但无论怎样展开，表面展开图都应体现出原立体图形面的个数与形状．类型一：正方体的展开图1．有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同．现把它们摆放成不同的位置(如图)，请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是( )(第1题)A．白B．红C．黄D．黑【答案】C2．把如图所示的图形折成一个正方体的盒子，折好后与“中”相对的字是( )(第2题)A．祝B．你C．顺D．利【答案】C类型二：长方体的展开图3．小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图，拼完后(如图)，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题．(1)请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余图形，请将多余部分涂黑；若图形不全，则直接在原图中补全；(2)若图中的正方形边长为5 cm，每个长方形的长为8 cm，请计算修正后折成的长方体的表面积．(第3题)【答案】解：(1)多一个正方形，如图所示：(第3题)(2)表面积为52×2＋8×5×4＝50＋160＝210(cm2)．类型三：其他立体图形的展开图4．如图是一些几何体的表面展开图，请写出这些几何体的名称．(第4题) 【答案】解：①三棱锥；②四棱锥；③五棱锥；④三棱柱；⑤圆柱；⑥圆锥．类型四：立体图形展开图的相关计算问题(第5题)5．如图是一个正方体的表面展开图，还原成正方体后，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注式子的值相等，则x＝________．【答案】1【解析】解：由题意可知x＝3x－2，解得x＝1.6．如图形状的铁皮能围成一个长方体铁箱吗？如果能，它的体积有多大？(第6题)【答案】解：能围成，它的体积为70×65×40＝182 000(cm3)．。
5_9 投影与视图(一)(立体图形的展开与折叠)(分层精练)(原卷版)
第9讲投影与视图（一）（立体图形的展开与折叠）（精练）A基础训练B能力提升A基础训练一、单选题1．（2022秋·河南平顶山·七年级校考期中）下列图形都是由6个边长为1的小正方形组成的，其中不能折叠成正方体的是（）A．B．C．D．2．（2022秋·河南郑州·七年级校考期中）下列正方体展开图上每个面上都有一个汉字．其中，“勤”的对面是“戴”的是（）A．B．C．D．3．（2022秋·山东德州·七年级校考期末）如图是一个正方体的展开图，折成正方体后，x，y与其相对面上的数字相等，则y x的值为（）-C．9 D．9-A．8 B．84．（2022秋·山东枣庄·七年级统考期中）下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是（）A．B．C．D．5．（2022秋·北京西城·七年级统考期末）如图是某个几何体的展开图，则该几何体是（）A．五棱柱B．长方体C．五棱锥D．六棱柱33A．圆锥B．圆柱C．四棱柱D．四棱锥A．B．C．D．9．（2022秋·山西运城·七年级统考期中）如图所示，图中每个小正方形的大小都相同，有4个涂了阴影，A．4个B．5个C．6个D．7个10．（2022秋·广东佛山·七年级樵北中学校考阶段练习）已知一不透明的正方体的六个面上分别写着1至6六个数字，如图是我们能看到三种情况，那么1和2的对面数字分别是（）A．3，4 B．4，5 C．3，6 D．3，511．（2022秋·辽宁阜新·七年级校考期中）如图是某立方体图形的展开图，则这个立体图形的名称是______．12．（2022秋·重庆江北·七年级校考期末）如图，若平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之 __________．积为20，则x y13．（2022秋·浙江温州·七年级校考期中）仓库里有如图四种规格数量足够多的长方形、正方形的铁片（尺寸单位：分米）；从中选5块铁片，焊接成一个无盖的长方体（或立方体）铁盒（不浪费材料）．甲型盒是由3种规格铁片焊接而成的表面积最大的铁盒，乙型盒是由2种规格铁片焊接而成的容积最小的铁盒．现在要分别做上述两种铁盒各100个，则至少需要②号铁片___________块．三、解答题(1)求x的值．a__________，b=__________，c=___________；(1)填空；=17．（2022秋·七年级单元测试）如图，是一个长方体的墨水瓶纸盒的平面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数．(1)=a __________，b =___________，c =___________．(2)求()()()a b c b c a a b +-+-+ 的值．18．（2022秋·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图是一个几何体的表面展开图，每个面上都标注了字母，请根据要求回答下列问题（字母均标注在几何体的表面）：(1)如果字母A 所在的面是几何体的下底面，那么字母 所在的面是几何体的上底面；(2)若22B mn m =-，26D m mn =+-，先化简，再求值：34B D +，其中1m =-，2n =．B 能力提升 19．（2022秋·山东枣庄·七年级统考期中）小明在学习正方体展开图时，须在方格形纸片上画出正方体的展开图，探究研讨：(1)在方格纸上中绘制出如1－4－1型和2－3－1型的展开图（每个各画出一个）（并用斜线填充展开图）(2)在你画的2－3－1型中的展开图上，将“庆－祝，20－大，召－开”这三组字填在方格内，使得每一组字处于相对的面上．(3)通过正方体的展开图的研究，你发现至少剪开___条棱，就能将它能展成平面图形．20．（2022秋·江苏无锡·七年级校联考阶段练习）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，纸盒中相对两个面上的数互为倒数．(1)填空：=a ，b = ；(2)先化简，再求值：()()2223252ab a b ab a ab ⎡⎤-----+⎣⎦．21．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图所示，图1为一个棱长为6的正方体，图2为图1的表面展开图（数字和字母写在外表面上，字母也可以表示数），请根据要求回答问题：(1)如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则x =___________，y =___________；(2)如果面“2”是左面，面“4”在后面，则上面是___________（填6或10或x 或y ）；(3)图1中，点M 为所在棱的中点，在图2中找到点M 的位置，直接写出图2中ABM 的面积___________．22．（2022秋·江苏·七年级专题练习）已知图1为一个正方体，其棱长为12，图2为图1的表面展开图（数字和字母写在外面），请根据要求回答问题：(1)若正方体相对面上的数互为相反数，则xy =_________；(2)用一个平面去截这个正方体，下列关于截面（截出的面）的形状的结论：①可能是锐角三角形；②可能是直角三角形；③可能是钝角三角形；④可能是平行四边形．其中所有正确结论的序号是( )； A ．① B ．①④ C ．①②④ D ．①②③④(3)图1中，,M N 为所在棱的中点，请在图2标出点M 的位置，并求出ABM ∆的面积．23．（2022秋·山西运城·八年级统考期中）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽AD，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过．．．的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接AC．(2)线段AC的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_____．(3)问题解决：如图②，展开图中AB=_____，BC=_____．(4)这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是_____．。
立体形的投影与展开知识点总结
立体形的投影与展开知识点总结在几何学中，立体形的投影与展开是一种重要的方法，可以帮助我们更好地理解和分析三维物体。
本文将对立体形的投影与展开进行全面总结和介绍。
一、投影的概念和基本原理1.1 投影的定义投影是指一个物体在平面上的映射，通过将物体的每个点垂直投影在平面上，得到该物体在平面上的图形。
1.2 投影的基本原理投影的基本原理是根据视点的不同，物体在平面上的投影形状也会发生变化。
有三种常见的投影形状，即平行投影、正交投影和斜投影。
二、平行投影2.1 平行投影的定义平行投影是指物体在平行于某一指定方向的平面上的投影。
物体在不同位置投影平面的结果是一样的。
2.2 平行投影的应用平行投影广泛应用于工程图纸、建筑设计等领域，帮助人们更好地展示和分析物体的结构和特征。
三、正交投影3.1 正交投影的定义正交投影是指物体在与投影平面相互垂直的方向上的投影。
与平行投影不同，物体在不同位置投影平面的结果并不一样。
3.2 正交投影的特点正交投影具有保持物体形状和大小的特点，可以准确地表示物体的各个面。
四、斜投影4.1 斜投影的定义斜投影是指物体在与投影平面不相互垂直的方向上的投影。
与正交投影相比，物体在不同位置投影平面的结果也会发生变化。
4.2 斜投影的应用斜投影常用于艺术绘画、透视画等领域，能够更好地呈现物体的透视效果。
五、展开图5.1 展开图的定义展开图是将一个三维物体的各个面展开并平展在一个平面上的图形。
展开图可以更直观地展示物体的各个面和构造。
5.2 展开图的绘制方法绘制展开图的方法主要包括平折法和展开法。
其中，平折法是将物体按照折叠的方式逐步展开，展开法则是在透视图的基础上进行展开。
六、应用案例6.1 箱子的展开图以一个简单的长方体箱子为例，通过绘制展开图可以清晰地展示它的每个面的形状和位置，便于制作、装配和加工。
6.2 制作立体模型投影和展开的知识也可以应用于制作立体模型，通过绘制展开图并按照图纸进行剪切、折叠和粘贴，可以将一个平面图形转化为一个真实的立体模型。
初中数学知识点立体形的投影与展开
初中数学知识点立体形的投影与展开在初中数学学习中，我们经常会遇到关于立体形的问题。
了解和掌握立体形的投影与展开对于解题和解决实际问题非常重要。
本文将详细介绍立体形的投影和展开的概念、方法以及实际应用。
一、立体形的投影1. 投影的概念在几何学中，投影是指通过平行光线（或平行投影面）使立体形在投影面上的影子。
它可以将三维物体的信息转化为二维平面上的影像。
2. 正交投影与斜投影正交投影是指投影平行于投影面的投影方式，投影的结果是真实的、比例不变的。
而斜投影是指投影平面与投影物体不平行，投影结果会发生形变。
3. 投影的方法（1）垂直平面投影：当投影面垂直于视线时，投影结果是相似的。
可以通过用等距线段在投影面上代替实际物体来得到投影图形。
（2）水平平面投影：当投影面平行于水平面时，投影结果会垂直于水平面。
可以通过将斜线段与水平线段等量代替实际物体来得到投影图形。
二、立体形的展开1. 展开的概念立体形的展开是指将一个立体形按照一定的方法剪开并展平，得到平面上的图形。
展开后的图形可以更方便地计算和分析。
2. 投影与展开的关系投影与展开是紧密相关的。
通过投影，可以得到立体形在某个平面上的影子；而展开则是在该平面上将立体形展平得到的图形。
3. 展开的方法（1）正投影法：将待展开的立体形按照一定的方式剪开，并展平在同一个平面上。
然后将各个部分的相应边、角、面适当地标记，得到展开图形。
（2）伸展法：通过将各个面上的几何图形保持比例的进行伸展，将其展开成平面上的图形。
三、立体形投影与展开的实际应用1. 建筑设计在建筑设计中，需要对建筑物的三维图形进行投影和展开，以便进行布局、分析和计算。
2. 工程制图在工程制图中，需要对各种零部件进行投影和展开，以确保制作过程的准确性和一致性。
3. 产品包装与制造在产品包装与制造中，需要对产品的立体形进行投影和展开，以确定材料的尺寸和加工方式。
4. 数学几何问题在解决数学几何问题中，立体形的投影和展开是常见的考题，通过掌握相关知识和技巧，可以更好地解答和理解几何问题。
帮助学生理解立体图形的投影和展开
帮助学生理解立体图形的投影和展开立体图形的投影和展开立体图形是我们生活中常见的一种物体形态，它具有三个维度：长度、宽度和高度。
为了更好地理解立体图形的形状和特征，我们通常使用投影和展开这两种方法。
本文将介绍立体图形的投影和展开的概念及应用。
一、投影1. 什么是投影投影是指将一个物体的形状和特征呈现在一个平面上的方法。
通过对立体图形进行投影，我们可以获得其在不同角度下的二维图像，从而更直观地观察和分析其结构。
2. 正交投影正交投影是最常用的投影方式之一，它使用垂直于投影面的平行光线与立体图形相交，从而得到图形在投影面上的影像。
3. 斜投影斜投影是另一种常用的投影方式，它使用不垂直于投影面的光线与立体图形相交，从而得到图形在投影面上的影像。
与正交投影相比，斜投影可以更好地表示立体图形的真实形态和倾斜关系。
二、展开1. 什么是展开展开是指将一个立体图形的所有面分离并展开成一个平面图的过程。
通过展开，我们可以更清晰地观察和研究立体图形的结构，并进行测量和计算。
2. 裁剪和折叠展开过程中，通常需要对立体图形进行裁剪，将其各个面按照一定的规则划分开来，然后逐个展开。
展开后的各个面可以根据需要进行折叠，重新组合成立体图形，将其还原为原始形态。
三、应用1. 工程设计在工程设计中，投影和展开是非常重要的工具。
通过对建筑物、机械零件等立体图形进行投影和展开，工程师可以更好地理解和分析其结构，进行合理的设计和优化。
2. 几何学研究投影和展开也是几何学研究中的重要内容。
通过对各种立体图形进行投影和展开，几何学家可以深入研究其特征和性质，推导出一系列关于立体图形的定理和公式。
3. 生活实践在日常生活中，投影和展开也有广泛的应用。
例如，制作纸模型时，我们需要将立体图形的展开图纸打印出来，然后按照图纸上的线条和标记进行剪裁和折叠，最终将其组装成立体物体。
总结：立体图形的投影和展开是我们理解和研究立体空间的重要工具。
通过投影，我们可以获得图形在平面上的影像，更直观地观察其形态和结构；通过展开，我们可以将立体图形分解成平面上的各个面，更清晰地研究其特征和性质。
立体形的展开与还原
立体形的展开与还原立体形的展开与还原是一种常见的设计技巧，被广泛应用于各个领域，包括纸艺、建筑、服装设计等等。
通过合理的展开与还原，可以将原本复杂的立体形状呈现在平面上，以便进行设计和制作。
本文将从展开与还原的原理、应用领域以及实践案例进行探讨。
一、展开与还原的原理立体形的展开与还原是基于几何学原理的。
在几何学中，我们知道一个物体是由多个面组成的，而每个面都可以被展开成一个平面。
利用这个原理，我们可以将一个立体形状的每个面展开成平面图形，再通过还原将其还原成立体形状。
展开的原理是将原本的立体形状进行拉伸、切割和展平，使其各个面完全呈现在平面上，并保留各个面之间的几何关系。
还原则是将展开后的平面图形再通过折叠和组合，恢复成原本的立体形状。
通过展开与还原，我们可以更好地理解立体形状的结构和构造，为后续的设计与制作提供便利。
二、应用领域1. 纸艺设计立体形的展开与还原在纸艺设计中得到广泛应用。
以折纸为例，通过将折纸图案进行展开，可以清楚地看到每个面的形状和位置关系，方便进行设计和折叠。
展开后的折纸图案也可以作为制作模板，以便批量生产。
2. 建筑设计在建筑设计中，展开与还原可以用于设计复杂的屋顶结构、曲面墙面等。
通过将这些立体形状展开成平面，可以更好地进行设计和计算。
在实际建造过程中，还原展开后的平面图形可以作为施工模板，确保建筑结构的精准制作。
3. 服装设计服装设计中也常常使用展开与还原的技巧。
通过将服装的各个部分进行展开，可以得到每个部分的准确尺寸和形状，以便进行裁剪和缝制。
在服装生产中，还原的展开图可以作为制作样板，提高生产效率。
三、案例分析1. 纸艺设计案例在纸艺设计中，常见的案例是制作立体动物模型。
设计师通过将动物的各个部分进行展开，然后将展开的图形进行切割、折叠和粘贴，最终将平面图还原成立体的动物形状。
这种立体动物模型可以作为装饰品或者教具，给人们带来美观与乐趣。
2. 建筑设计案例在建筑设计中，一个常见的案例是设计独特的屋顶形态。
理解立体形的投影与展开
理解立体形的投影与展开在现实生活中，我们经常会遇到各种立体形状的物体，如建筑物、雕塑、机械零件等。
想要准确地描述和理解这些立体形状，投影与展开是必不可少的工具。
本文将介绍立体形的投影与展开的概念、意义和应用。
一、立体形的投影1. 投影的概念立体形的投影是指将三维物体在二维平面上的影子或者投射。
因为平面上的各点只有两个坐标（x和y），所以无法完全表达出立体物体的所有信息。
然而，投影可以通过某种方式将立体物体的主要特征用二维图形表示出来。
2. 投影的类型根据投影方式的不同，立体物体的投影可以分为正射投影和透视投影两种方式。
正射投影是指在垂直于投影平面的方向上，将立体物体的形状及其内部细节投影到平行于投影平面的投影面上。
正射投影保持了形状的准确性和尺寸的比例关系。
透视投影是指将立体物体的形状及其内部细节投影到一个虚拟的投影平面上，根据离观察者的距离和角度的不同，形成不同的投影效果。
透视投影追求的是真实感和逼真度，更符合人眼观察的实际效果。
3. 投影的应用立体形的投影在许多领域中都有广泛的应用。
在工程和建筑设计中，工程师可以通过立体形的投影来预测和分析建筑物的外观、结构和材料使用情况。
在制图和制造领域，工人可以利用立体形的投影来准确地制作工件和产品。
在艺术领域，艺术家可以通过立体形的投影来创作出立体效果鲜明的绘画作品。
二、立体形的展开1. 展开的概念立体形的展开是指将三维物体按照一定的规则展开为二维平面上的平面图形。
展开后的平面图形包含了立体物体的所有面，可以清晰地显示出各部分之间的关系。
2. 展开的方法展开立体物体的方法通常是根据物体的结构和几何特征来确定。
有些简单的几何体，如正方体、长方体等，可以直接通过切割和折叠的方式展开。
而对于复杂的立体物体，需要根据其结构和关节的拓扑关系进行逐步展开。
3. 展开的应用展开立体形的应用非常广泛。
在纸艺制作中，人们可以通过展开来制作出各种精美的折纸作品。
在纺织和服装设计中，设计师可以通过展开来设计和裁剪服装的各个零部件。
初中数学复习立体形的投影与展开
初中数学复习立体形的投影与展开在数学学科中，立体形是一个重要的概念，它涉及到三维几何空间的形状和特性。
本文将讨论立体形的投影与展开，探索其在几何学中的应用。
一、立体形的投影投影是指将一个立体形在某个平面上的投影。
在立体几何中，我们通常使用俯视图和侧视图来表示一个立体形的投影。
1. 俯视图：俯视图是指站在垂直于平面的正上方，从上往下看立体形的投影。
通过俯视图，我们可以清晰地观察到立体形在水平方向上的变化和形状。
2. 侧视图：侧视图是指从立体形的侧面观察，得到的投影。
通过侧视图，我们可以看到立体形在垂直方向上的高度和形状。
通过俯视图和侧视图的组合，我们可以全面地了解一个立体形的形状和特征，而不仅限于立体形的一个视角。
二、立体形的展开立体形的展开是指将立体形展开成二维平面上的图形。
通过展开，我们可以更加清晰地观察和分析立体形的各个面和边。
1. 切割：要进行立体形的展开，我们需要对立体形进行切割。
切割可以在立体形的边或不相邻的面之间进行。
通过适当的切割，我们可以将立体形展开成一个平面图形。
2. 折叠：在切割完成后，我们需要按照切割的线条将立体形折叠，使其展开成平面图形。
折叠过程需要注意保持立体形各个面之间的相对位置和角度。
通过立体形的展开，我们可以更加直观地观察到立体形的各个面和边，以及它们之间的关系。
这对于分析和解决相关几何问题非常有帮助。
三、立体形的投影和展开的应用立体形的投影和展开在几何学中有着广泛的应用。
1. 工程制图：在建筑和工程领域，对于建筑物和机械零件的设计和展示，需要使用立体形的投影和展开。
通过投影和展开，可以在二维平面上准确地绘制建筑和机械的图纸，以便于制造和施工。
2. 布料裁剪：在服装设计和制造中，需要将布料裁剪成特定的形状，然后缝制成服装。
通过将服装的立体形进行展开，可以得到裁剪的图案和尺寸，以指导裁剪和缝制过程。
3. 地图绘制：地理学中的地图绘制也涉及到立体形的投影。
由于地球是一个三维的立体形，为了将其展示在二维平面上，需要进行投影处理。
立体形的展开与还原
立体形的展开与还原立体形的展开与还原是指将一个立体物体展开成为平面图形，并将平面图形还原为原始的立体形状。
这一过程在许多领域中都有广泛的应用，例如纸艺、包装设计、工程制图等。
本文将探讨立体形的展开与还原的原理和方法，并介绍一些相关领域的实际应用。
一、展开的原理与方法在进行立体形的展开之前，我们需要了解一些基本原理和方法。
首先是立体形的几何原理，即了解各个面的形状、相对位置和连接方式。
另外还需要掌握一些几何转换的方法，如旋转、平移和投影等。
这些基本概念和技巧都是展开立体形所必需的。
展开立体形的方法主要有以下几种：1. 剖开法：将立体形按照一定的规则切割，然后展开各个部分并连接起来。
这种方法常用于纸艺制作中，可以将一个立体物体展现出立体感和层次感。
2. 折叠法：通过折叠立体形的各个面，使其能够成为一个平面图形。
这种方法常用于包装设计中，可以将一个复杂的立体包装盒简化为一个平面图案。
3. 网格法：将立体形分解成网格状的小块，然后按照一定的次序展开并连接起来。
这种方法常用于工程制图中，可以将一个复杂的工程结构简化为一个平面图纸。
二、展开与还原的实际应用1. 纸艺制作：在纸艺制作中，展开与还原是非常重要的过程。
通过将一个平面图形展开并按照一定的方式连接起来，可以制作出各种立体造型，如动物、建筑物等。
展开与还原不仅能够增加作品的立体感和层次感，还可以提高制作效率。
2. 包装设计：在包装设计中，展开与还原可以帮助设计师将复杂的包装盒简化成一个平面图案。
通过展开立体形并设计平面图案，可以提升产品的包装效果和营销力度。
同时，展开与还原还可以帮助生产制造商计算出合适的包装材料，并提高包装的节约性。
3. 工程制图：在工程制图中，展开与还原被广泛应用于各种结构的设计与计算。
比如，通过展开立体形可以更清楚地观察和计算结构的零件布局、连接方式和尺寸。
这对于工程结构的设计、施工和维护都具有重要意义。
三、总结立体形的展开与还原是一项重要的技术和方法，广泛应用于纸艺、包装设计和工程制图等领域。
立体形的投影与展开
立体形的投影与展开投影是将三维物体的形状投射到二维平面上的过程。
而立体形的投影与展开则是将一个三维物体的各个面展开成一个平面，以便更好地观察和理解物体的结构和形状。
在工程设计、建筑设计、艺术绘画等领域中，立体形的投影与展开都起着重要的作用。
一、投影的基本原理1. 正射投影正射投影是将三维物体投影到与投射面垂直的平面上，保持原物体的形状和大小不变。
常见的正射投影方式有平行投影和中心投影，它们分别适用于不同的情境。
在绘画和漫画制作中，常用平行投影来表现立体物体的形状。
2. 透视投影透视投影是指将三维物体投影到一个透视平面上，通过透视关系，使观察者能够感受到物体的远近和深度感。
透视投影是艺术绘画中常用的手法，通过调整透视点和透视距离，可以使画面更加生动和立体。
二、立体形的展开立体形的展开是指将一个三维物体的各个面展开为一个平面。
这样做的目的是为了更好地观察物体的结构和形状，方便对物体进行分析和加工。
在工程设计和制造过程中，立体形的展开常用于制作图纸和模板，以便进行进一步的加工和生产。
立体形的展开需要一定的几何知识和技巧。
首先，需要了解物体的各个面之间的关系，并确定一个合适的展开起点。
然后，根据物体的形状和结构，利用剪裁、折叠和粘贴等方法将各个面展开到平面上。
最后，根据展开的结果进行必要的标注和测量。
三、应用领域立体形的投影与展开在许多领域都有广泛的应用。
1. 工程设计在机械工程、航空航天等领域，立体形的展开常用于制作零件的图纸和模板，以方便加工和装配。
通过对零件进行展开，可以更好地观察和测量其尺寸和形状，确保制造的准确性和质量。
2. 建筑设计在建筑设计中，立体形的投影和展开是必不可少的工具。
建筑师需要根据设计方案，将建筑物的立体形状转化为平面图纸，以便进行建筑施工和装修。
通过展开，可以清晰地看到建筑物的各个部分和结构，方便施工人员进行操作。
3. 艺术绘画在绘画和插画制作中，立体形的投影和展开是表现立体感的重要手段。
立体形的投影与展开
立体形的投影与展开在几何学中，我们经常会遇到立体形体的投影与展开问题。
立体形的投影是指将三维立体图形在二维平面上的映射，而展开是指将一个三维立体图形展开成一个平面图形。
这两个概念在工程设计、建筑规划和艺术创作等领域都有广泛的应用。
本文将介绍立体形的投影与展开的基本概念和应用。
一、立体形的投影立体形的投影是指将三维立体图形在二维平面上的映射。
当我们在二维平面上画出这些投影时，能够更加清晰地理解立体形的形状和空间关系。
在进行投影时，我们需要选择一个适当的视点和投影方向，以便得到准确的结果。
以立方体为例，假设我们在一个平行于一个面的平面上进行投影。
当投影平面与立方体的面平行时，投影将得到面的真实形状。
当投影平面与立方体的面垂直相交时，投影将得到这个面的轮廓。
通过这样的投影，我们可以更加清楚地理解立方体的各个面以及它们之间的关系。
在实际生活中，立体形的投影有着广泛的应用。
比如在建筑设计中，建筑师常常会用到投影来呈现建筑物的立体结构和空间布局。
在景观设计中，利用立体形的投影可以更加直观地展示出花坛、雕塑等景观元素的布置。
此外，在机械设计和动画制作中，也常常需要利用投影来描绘物体的形状和运动轨迹。
二、立体形的展开立体形的展开是指将一个三维立体图形展开成一个平面图形。
通过展开，我们可以清晰地看到立体形的各个面以及它们之间的连接方式。
在进行展开时，我们需要按照一定规则将立体形的各个面拆解开来，并通过相应的展开线将它们连接起来。
以圆柱体为例，我们可以将其展开成一个长方形。
首先，将圆柱体的侧面沿着其母线方向剪开，使其展开为一条长条。
然后，将圆柱体的两个底面展开为两个矩形。
最后，通过相应的展开线将这三个面连接起来，形成一个长方形。
通过这样的展开，我们可以直观地看到圆柱体的侧面、底面和顶面的形状以及它们之间的关系。
立体形的展开在工程设计和制作中有着广泛的应用。
在纸艺和包装设计中，设计师常常需要将一个复杂的立体形体转化为平面图案，以便进行切割和折叠。
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③
解：答案例举如下：
(第 19 题)
(评分注：画对一个得 3 分，画对两个得 6 分；折痕画成实线不扣分）
(第 19 题)
四、投影问题 例 4：已知如图所示，AB 和 DE 是直立在地面上的两根立柱。AB=5m ,某一时刻 AB 在阳 光下的投影 DE =3 m (1) 请你在图中画出此时 DE 在阳光下的投影。 (2) 在测量 AB 的投影时，同时测出 DE 在阳光下的投影长为 6m，请你计算 DE 的长。
重叠的四个部分(称为一个操作)，如图 19 甲（虚线表示折痕）.
(甲)
除图甲外，请你再给出三个不．同．的．操作，分别将折痕画在图①至图③
中 (规定:一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，
如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作．如
图乙和图甲是相同的操作) ．
(乙)
①
②
A、正视图的面积最大 B、左视图的面积最大
C、俯视图的面积最大 D、三个视图的面积一样大
二、已知展开图，判断原几何体。
例 2：将如右图所示的圆心角为 90°的扇形纸片 AOB 围成圆锥形纸
帽，使扇形的
两条半径 OA 与 OB 重合(接缝粘贴部分忽略不计)，则围成的圆锥形纸帽是
A
O (第 08 题图) B
专题一：立体图形的展开图、还原与投影
一、已知立体图形，求作三视图 例 1：如图所示，右面水杯的俯视图是（ C ）
总结：该类题型主要是需要学生掌握基本图形（包括柱体、椎体、台体和球体）的三视图。
能够用整体与部分的思想将组合图形拆开绘图。
练习： 由 6 个大小相同的正方体搭成的几何体如图，则关于它的视图说法正确的是（ ）
D
A
BC
E
练习：小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不．可．能．是（ ）
A．
B．
C．
D．
l
D 35m
E
A
练习：与“爱”字所在面相对的面上的汉字
我爱 伟 大祖 国
图 3- 2
三、折叠问题 例 3：将一张菱形纸片，按下图的方式沿虚线依次对折后，在沿图中的虚线裁剪，最后将图 中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
AБайду номын сангаас
B
C
D
练习：现有一张长和宽之比为 2∶1 的长方形纸片，将它折两次（第一次
折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不