三角函数图像变换
三角函数图像变换
y=sin(x+π/3) 1
y=sinx
o
36
2
3
2
2
x
-1
-2
y=sin(2x+ π/3)
-3
1
课堂练习:
如 何 由 y s in x 的 图 象 得 到 y = 3 s i n ( 1 x - ) 的 图 象 24
解:
第1步:
y=sinx
的图象
向右平移π/4个单 位长度
y=sin(x -
需将y=sin2x图象（ D ） • A. 向左平移π/3 个单位 • B. 向右平移π/3个单位 • C. 向左平移π/ 6个单位 • D. 向右平移π/6 个单位
1
Ex:为了得到y=3sin(2x+π/5)的图象,只需将函数 y=3sin(x+π/5)的图象上各点的 ( B)而得到.
想一想?
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变. B.横坐标缩短到原来的1/2倍,纵坐标不变.
x
4
x- 4
0
sin(x- ) 4
0
y
y=sin(x+
兀
3
)1
- 3 o 4
3
5
7
9
4
4
4
4
2
3 2
2
1
0
-1
0
y=sinx y=sin(x- 兀)
4
5
9
3
2 4
3
5
7
x
4
4
4
-11
结论:y=sin(x+φ)的图象,可以看作把y=sinx 的图象向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平移|φ| 个单位长度而得到.(简记为:左加右减)
三角函数的图像变换
cosθ = 邻边/斜边，在单位圆中表示为x坐标。
正切函数（tangent）
三角函数的周期性
tanθ = 对边/邻边，表示为正弦与余弦之比。
正弦、余弦函数周期为2π，正切函数周期为 π。
三角函数在各象限表现
第一象限
所有三角函数值均为正。
第三象限
正弦、余弦函数值为负，正切函数值为正。
第二象限
正弦函数值为正，余弦、正切函数值为负。
伸缩变换对正弦函数影响
横向伸缩
改变正弦函数图像的周期长度。缩小周期使得函数图像更加紧密，扩大周期则 使得函数图像更加稀疏。
纵向伸缩
改变正弦函数图像的振幅大小。增大振幅使得函数图像波动范围更大，减小振 幅则使得函数图像波动范围更小。
周期性与相位调整方法
周期性调整
通过改变正弦函数的周期来调整图像的疏密程度。可以通过调整函数中的系数来 实现周期的变化。
相位调整
通过改变正弦函数的相位来调整图像出现的位置。可以通过在函数中添加常数项 来实现相位的调整。同时，利用三角函数的和差化积公式，也可以实现相位的调 整。
03 余弦函数图像变换分析
余弦函数基本图像特征
波形图像
余弦函数图像呈现周期性波动，具有典型的波形 特征。
振幅和周期
余弦函数的振幅和周期是确定其图像形状和尺寸 的关键参数。
拓展：其他类型周期函数图像变换
锯齿波和方波
除了正弦波和余弦波外，还有其 他类型的周期函数如锯齿波和方 波等，它们的图像变换同样具有 实际应用价值。
周期函数的合成与分解
通过三角函数的线性组合可以合 成其他类型的周期函数；反之， 其他类型的周期函数也可以通过 傅里叶级数展开成三角函数的线 性组合。
三角函数图像的变换
三角函数图像的变换一．x y sin =图像的三种变换：①函数x y sin =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． ②数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 二．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．三．练习1.已知简谐运动()2sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T =_________；初相ϕ=__________．2.三角方程2sin(2π－x )=1的解集为_______________________． 3.函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为______________________．{2,}3x x k k Z ππ=±∈ )48sin(4π+π-=x y第3题4.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象向右平移__________个单位．5.为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数2sin y x =，x R ∈的图像上所有的点①向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；②向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；③向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）； ④向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）．其中，正确的序号有_____③______． 6.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向右平移__3π__个单位长度．7.若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f =ω=______；ϕ=__________．8.下列函数： ①sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ②sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ③cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ④cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． 其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_____④_____． 9.函数y =sin(2x +3π)的图象关于点_______________对称． 10.求下列函数的单调减区间： （1）⎪⎭⎫⎝⎛+=62cos 2πx y （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=32sin 2πx y 11. 函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是___________________12. 7．如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π．（1）求θ和ω的值；π6第8题（2）已知点π2A⎛⎫⎪⎝⎭，，点P是该函数图象上一点，点00()Q x y，是PA当y=ππ2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求x的值．13.设函数)(),()2sin()(xfyxxf=<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x．（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(xfy=的单调增区间；（Ⅲ）画出函数)(xfy=在区间],0[π上的图像第7题。
三角函数图形的变换
三角函数图形的变换1、正弦与余弦函数图象的变换2、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换):先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换:先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
作y =sin x （长度为2π的某闭区间）的图象 得y =sin(x +φ) 的图象得y =sin ωx 的图象 得y =sin(ωx +φ) 的图象 得y =sin(ωx +φ) 的图象 得y =Asin(ωx +φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R 上沿x 轴平 移|φ|个单位 横坐标 伸长或缩短 横坐标伸 长或缩短沿x 轴平 移|ωϕ|个单位 纵坐标伸 长或缩短纵坐标伸 长或缩短【经典例题】图像变换一：左右平移1、把函数R x x y ∈=,sin 图像上所有的点向左平移4π个单位，所得函数的解析式为 _________2、把函数R x x y ∈=,cos 图像上所有的点向右平移5π个单位，所得函数的解析式为 _________图像变换二：纵向伸缩3、对于函数R x x y ∈=,s i n 3的图像是将R x x y ∈=,sin 的图像上所有点的______(“横”或”纵”)坐标______（伸长或缩短）为原来的______而得到的图像。
三角函数的图象及其变换.
1 变式:先将横坐标缩短为原来的 2 倍,再向右平移 4
个单位呢?
( A
)
3.要得到 y 3sin(2 x ) 的图象，只需将 y 3cos 2 x 的图象( Ｄ )
4
A.左移 个单位 4 C.左移 个单位 8
D.右移
B.右移 个单位 4
8
个单位
典型例题启示
例1. （05全国）设函数 f ( x) sin(2 x ) ,
y f ( x) 图象的一条对称轴是直线 x
8
.
(1)若 0, 求 ; 并求函数 y f ( x) 的零点；
(2)画出函数 y f ( x) 在区间 0, 上的图象．
对函数图像变化的影响.
要点
１.y=sinx、y=cosx、y=tanx的图象
２. y=Asin(ωx+φ)的图象及作法 ① 五点法 ②图象变换法
３.三角函数的图象变换 ①振幅变换：y=sinx→y =Asinx 将 y=sinx 的图象上各点的纵坐标变为原来的 A 倍 f ( x) Af ( x) (横坐标不变)； (纵向伸缩 ) ②相位变换：y=Asinx→y=Asin(x+φ) 将 y=Asinx 的图象上所有点向左 ( φ＞0) 或向右 ( φ ＜0)平移|φ|个单位； (左右平移f)( x) f ( x a) ③周期变换：y=Asin(x+φ)→y=Asin(ωx+φ) 将 y=Asin(x+φ) 图象上各点的横坐标变为原来的 1/ω 倍 (ω＞0) (纵坐标不变).(横向伸缩) f ( x) f (ax)
试求ｈ关于ｔ的函数关系式并画出简图．
三角函数的图像变换
三角函数b x A y ++=)sin(ϕω的图像变换三角函数的图像变换是历年来高考的重点内容，因此我们有必要对这一问题作一下研究。
下面就三角函数的图像变换的基本题型，做以详细讲析：一、 振幅变换由函数)(x f y =的图像变换为)(x Af y =的图像，其主要的方法是将)(x f y =图像上的各点的纵坐标变为原来的A 倍，即)()(A x Af y x f y =−−−−−−→−=倍纵坐标变为原来的。
例1、要得到)32sin(4π-=x y 的图像，只需将)32sin(π-=x y 的图像( )。
A 、 向上平移4个单位；B 、 将)32sin(π-=x y 图像上的各点的纵坐标变为原来的4倍； C 、 将)32sin(π-=x y 图像上的各点的纵坐标变为原来的4-倍； D 、 向下平移4个位单位。
分析：由题意可知，将)32sin(π-=x y 图像上的各点的纵坐标变为原来的4倍，就可以得到)32sin(4π-=x y 的图像。
故选B 。
二、 周期变换由函数)(x f y =的图像变换为)(x f y ω=的图像，其主要的方法是将)(x f y =图像上的各点的横坐标变为原来的ω1倍，即)()(1x f y x f y ωω=−−−−−−→−=倍横坐标变为原来的。
例2、如何由x y sin =的图像得到x y 2sin 2=的图像。
解：由x y sin =的图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到x y sin 2=的图像，再将x y sin 2=的图像各点的横坐标压缩为原来的21倍，得到x y 2sin 2=的图像。
三、 相位变换(左右平移变换)由函数)(x f y =的图像变换为)(ϕ+=x f y 的图像，其主要的方法是将)(x f y =图像上所有点向左或向右平移ϕ个单位。
即)()(0)(ϕϕϕ+=−−−−−−→−=>x f y x f y 个单位向左平移 )()(0)(ϕϕϕ-=−−−−−−→−=>x f y x f y 个单位向右平移 例3、如何由)32sin(31π+=x y 的图像得到x y sin =的图像。
1.3.3三角函数图像变换
方法1： (按 , , A顺序变换 )
y
y sin x
3
2
y=3sin(2x+ ) 3
y 3 sin(2 x ) 3
1
y=sinx
3
5 6
6
o
-１
3
5 3
2
x
-2
y=sin2x y=sin(2x+ ) 3
-3
方法2：(按 , , A顺序变换 )
已知函数f ( x) A sin(x )( 0, | |
2
)的图象与y轴
3 交于点(0, ), 它与y轴右侧的第一个最大值点和最小值点 2 分别是( x0 ,3), ( x0 2 ,3)
(1)求函数y f ( x)的解析式； (2)用“五点法”作此函数在一个周期内的图象； (3)说明它是由函数y sin x的图象经过哪些变换得到的？
y 3 sin(x ) 6
小结：
1、作函数y=Asin(x+) 的图象：
（1）用“五点法”作图。
（2）利用变换关系作图。 2、函数 y = sinx 的图象与函数
y=Asin(x+)的图象间的变换关系。
解 : 因为它与y轴右侧的第一个最大值点和最小值点 分别是( x0 ,3), ( x0 2 ,3)，
T 2 x0 2 x0 2 , 所以 1 2 T
y 3 sin(x )
3 又 过点(0, ), 2 3 3 sin , 且 | | 2 2 6
四、课堂练习
1、要得到函数 y sin(2 x ) 的图象， 3 只需要将 y sin 2 x
三角函数图像变换研究
图像变换的基本原理和方法
▪ 图像剪切变换
1.定义与实现：图像剪切变换是通过改变图像某些区域的宽度 和高度，使得图像产生倾斜效果。它可以使用仿射变换矩阵来 描述。 2.特性：剪切变换改变了图像的几何结构，但保持了图像的比 例关系。过度的剪切可能使图像变得难以辨认。 3.实际应用：图像剪切变换常用
三角函数图像变换研究
▪ 机器学习与三角函数图像变换的结合研究
1.利用机器学习方法改进三角函数图像变换算法 2.构建基于深度学习的三角函数图像变换模型 3.分析机器学习对三角函数图像变换精度和速度的影响
未来三角函数图像变换的研究方向
▪ 三角函数图像变换在虚拟现实中的应用研究
1.虚拟现实中对三角函数图像变换的需求分析 2.开发适用于虚拟现实的三角函数图像变换技术 3.实际应用场景中三角函数图像变换的效果评估
1.定义与实现：图像旋转变换是将图像绕某个点（通常是原点）以一定的角度旋转 。旋转矩阵可用于描述这种变换。 2.特性：旋转变换会改变图像的方向，但保持图像的比例关系不变。非整数倍的旋 转可能会导致图像边缘出现锯齿状。 3.实际应用：图像旋转变换在各种应用场景中都非常常见，如图像内容分类、自动 驾驶车辆导航等。
▪ 变换技巧在图像处理中的应用
1.使用三角函数图像变换进行图像缩放、旋转和平移 2.应用变换方法进行图像增强和降噪处理 3.利用变换技巧实现图像特征提取和识别
变换技巧在实际问题中的应用
▪ 变换技巧在控制理论中的应用
1.利用三角函数图像变换进行系统建模和分析 2.借助变换方法设计控制器以稳定和优化系统性能 3.通过变换实现控制系统的实时监测和故障诊断
▪ 三角函数图像的平移变换
1.平移变换公式 2.图像移动方向的判断 3.平移变换对周期性的影响
三角函数图像变换规律
三角函数图像变换规律三角函数图像变换是数学和物理学中重要的一部分，它将函数变换为图像表示。
这里，我们将探讨三角函数图像变换的各种变换规律。
首先，让我们来讨论一下sin (x)的变换规律。
三角函数的变换可以分为一次变换、二次变换和三次变换，其中一次变换是指对于给定的sin (x)来说，将x作为一次变换的函数。
图像中的sin (x)图像变换规律是在坐标原点(0，0)的情况下，假设原函数的值是一定的，则在做一次函数变换时，原点会绕着y轴旋转，由此形成一个新的弧线，该弧线形状与原函数形状是一致的，只是位置发生了变化。
图像变换后，原点在原来函数上恒定距离处又会产生新的一点，经过多次变换后，这样的模式称为周期性振荡模式，它定义了以一定周期性振荡的模式运行，在未来将得到更多的研究。
其次，我们讨论一下cos (x)的变换规律。
cos (x)的变换规律与sin (x)的变换规律大致相同，也分为一次变换、二次变换和三次变换。
但是，cos (x)的图像变换与sin (x)的变换还是有一些不同之处。
首先，cos (x)的图像变换规律是在坐标原点（0，0）的情况下，当处于一次变换过程中时，原点会绕着x轴旋转，形成一个新的抛物线，与原抛物线的形状相同，只是位置发生了变化。
其次，当cos (x)进行二次变换时，其图像变换规律会发生变化，该函数会绕着原点旋转，而不是绕着x轴旋转，即原点会在函数上恒定距离处产生新的点，不断重复，形成一个新的抛物线，与原函数形状大体相同;最后，在三次变换时，cos (x)变换规律将会有所不同，在此条件下，函数会绕着x轴旋转，而不是绕着原点旋转，形成一个新的抛物线，该抛物线上点的位置会比原函数上更加密集。
最后，我们来讨论一下tan (x)的变换规律。
类似于sin (x)和cos (x)，tan (x)也可以进行一次、二次和三次变换，其图像变换的规律也大致相同。
在一次变换时，原点绕着y轴旋转，形成一个新的弧线，该弧线形状与原函数形状大体相同;二次变换时，原点绕着原点旋转，而不是绕着y轴旋转，形成一个新的弧线，与原函数形状大体相同;三次变换时，原点绕着x轴旋转，而不是绕着原点旋转，形成一个新的弧线，与原函数形状大体相同。
高中数学：131《三角函数图像的变换》课件必修
变换的目的是为了更好地理解三角函数的性质，解决实际问题，以及进行图像处理 等。
变换的种类和特点
01
02
03
04
平移变换
将图像沿x轴或y轴方向移动 ，保持图像形状不变。
伸缩变换
通过改变x轴和y轴的比例来 改变图像的大小，可以横向或
纵向伸缩。
翻折变换
利用伸缩变换的性质求解函数的极值
例如，利用正弦函数的伸缩性质，可以求解y=sin(3x)在x=π/9处的极小值为1。
利用对称变换的性质求解函数的对称轴或对称中心
例如，利用正弦函数的对称性质，可以求解y=sin(x)的对称轴为x=kπ+π/2，k∈Z。
变换在实际问题中的应用
物理学中的应用
三角函数图像的综合变换在物理学中有广泛的应用，如振 动和波动现象、交流电等。通过变换可以更好地理解物理 现象和解决实际问题。
x轴缩短为原来的1/2，则图像的 周期变为原来的2倍。
01
03
02 04
总结词：影响相位
详细描述：沿x轴伸缩不仅改变 了图像的周期，还会影响函数的 相位。例如，将x轴缩短为原来 的1/2，相当于将相位滞后了π。
沿y轴伸缩
总结词：改变振幅
详细描述：沿y轴伸缩是 指保持x轴不变，通过改 变y轴的长度来改变整个 图像的振幅。例如，将y 轴放大为原来的2倍，则 图像的振幅变为原来的2 倍。
翻折变换
旋转变换
$y = -f(-x)$ 或 $y = f(x)$，前者表示沿x 轴翻折，后者表示沿y轴翻折。
$x = xcostheta - ysintheta$ 和 $y = xsintheta + ycostheta$，其中$theta$为 旋转角度。
三角函数图像的变换
三角函数图像的变换三角函数是一类重要的基础函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在数学中，我们经常遇到需要对三角函数进行图像变换的情况，比如平移、伸缩、翻转等。
本文将介绍三角函数图像的常见变换以及它们对函数图像的影响。
一、平移变换平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动一段距离。
以正弦函数为例，设原函数为y=sin(x)，将它沿横轴向右平移a个单位，新函数为y=sin(x-a)。
当a取正值时，函数图像向右平移；当a取负值时，函数图像向左平移。
平移变换后的图像与原图像形状相同，只是位置不同。
二、伸缩变换伸缩是指将函数图像进行横向或纵向的比例拉伸或压缩。
以正弦函数为例，设原函数为y=sin(x)，将它沿横轴方向进行压缩b倍，新函数为y=sin(bx)。
当b大于1时，函数图像横向压缩；当0<b<1时，函数图像横向拉伸。
同样，沿纵轴方向进行伸缩也可得到相应的函数图像变换。
三、翻转变换翻转是指将函数图像沿着横轴或纵轴进行翻转，也称为镜像变换。
以正弦函数为例，设原函数为y=sin(x)，将它沿横轴进行翻转，新函数为y=-sin(x)。
同样地，纵向翻转可得到相应的函数图像变换。
四、混合变换除了单一的平移、伸缩和翻转变换，我们还可以通过组合这些变换来得到更复杂的函数图像变换。
比如，可以将平移、伸缩和翻转变换相结合，得到更丰富多样的变换效果。
以上是对三角函数图像常见变换的简要介绍，下面我们将进一步讨论这些变换对函数图像的具体影响。
1.平移变换的影响：平移变换只改变了函数图像的位置，不改变其形状。
假设原函数图像位于坐标系上方，若平移后函数图像向右移动，则新函数图像将出现在原来的右侧；若平移后函数图像向左移动，则新函数图像将出现在原来的左侧。
平移变换对函数图像的垂直位置没有影响。
2.伸缩变换的影响：横向伸缩会拉伸或压缩函数图像。
当b大于1时，函数图像在x轴方向上被压缩，变得更加陡峭；当0<b<1时，函数图像在x轴方向上被拉伸，变得更加平缓。
三角函数的图像变换
见几何画板
思考： 思考：
1、利用“五点法”作出函数 、利用“五点法” y=3sin(2x+π/3)的简图。 π/3)的简图。 2、函数y=3sin(2x+π/3)的图象 、函数 π/3)的图象 如何变换而得到？ 是由 y=sinx如何变换而得到？有几 如何变换而得到 变换方式？ 种变换方式？
例：用两种方法将函数y=sinx的图像变换为
解：由于周期T=2π x sinx 2sinx
1 sin x 2
∴不妨先在[0,2π]上作图，列表：
π
2
0 0 0 0
π 0 0 0
3π 2
2π 0 0 0
1 2
1 2
-1 -2
− 1 2
y
2
y=2sinx
1
1 2
1 − 2
π
o
2
π
3π 1 y = sin x 2 2
2π
x
y=sinx
-1 -2
y
−
π
2
−
π
3
π
2
3π 5π 2 3
2π
x
-1
实际 上， 我们在 前面 已经 学过知 道有 y = sin x y = sin(x +ϕ) →
小结 : 注意：A,ω,ϕ 对函数y = A sin(ω x + ϕ ), ( A > 0, ω > 0, ) 的图像的影响。
ϕ>0,向左平移ω 个单位长度 ϕ<0,向右平移ω 个单位长度
4.将函数y = sin x的图象上的每一点的纵坐标 保持不变，横坐标扩大为原来的2倍，然后所得的图象
π
沿x轴向左平移 个单位，这样得到的曲线 ) 2 图象的函数y = f ( x)的解析为(
三角函数图象变换
p /2
1 2 0.5
π
0 0 0
3π / 2
2π
-1 1 0 y= sinx可以 -2 2 看作是把0
-0.5 y=sinx的图象 0 上所有的点 y=2sinx 纵坐标缩短 y=sinx y=0.5sinx 1到的原来的 2倍（横坐标 x 不变）而得 到的
图象
启
发
函数y=Asinx(A>0且A≠1)的图象与 函数y=Asinx(A>0且A≠1)的图象与 y=sinx的图象之间的关系 y=sinx的图象之间的关系
解： 列表：
x sinx 0 0 0
π
π
4
2 2
1 y=sin 2 x,
2
3π 4
π
0 2π 0
1
−
描点画图：
函数y=sin2x 函数 的图象可以 看作上把 y=sinx的图 的图 象上所有点 坐标缩 的横坐标缩 短到原来的 0.5倍（纵坐 倍 标不变） 标不变）而 得到的。 得到的。
2x
sin2x
第三章
三角函数
y =Asin(ωx+φ)图象的变化 sin(ωx+
第三章 三角函数
y=sinx x∈R ∈
y
o
x
y=cosx x∈R ∈
y
x o
复习回顾： Ⅰ.复习回顾： 复习回顾
A>0且A≠1）： y=Asin(ωx+ φ)（A>0且A≠1）：
1.定义域： R 值 域： [-A,A] ](k∈ ) 2.最值的取得：当ωx+ φ =2kπ+ ]( ∈Z) ωx+ 2 π ](k∈ ) 或ωx+ φ =2kπ- 2 ]( ∈Z)时 2π 3.周 期 性： T = ω 4. 奇 偶 性： 不确定，由φ决定 φ 5. 单 调 性：
三角函数图像平移变换
三角函数图像平移变换由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一样有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也常常显现不管哪一种变形，请切记每一个变换老是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大转变，而不是“角转变”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变成原先的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变成原先的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
1.为取得函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位 D ．向右平移5π6个长度单位 2.要取得函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ D ） A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位 3.为了取得函数)62sin(π-=x y 的图象，能够将函数x y 2cos =的图象（ B ） (A)向右平移6π个单位长度 (B)向右平移3π个单位长度 (C)向左平移6π个单位长度 (D)向左平移3π个单位长度 4.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原先的12倍（纵坐标不变），取得的图象所表示的函数是C A sin(2)3y x π=-，x R ∈ B sin()26x y π=+，x R ∈ C sin(2)3y x π=+，x R ∈ D sin(2)32y x π=+，x R ∈5.为了取得函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像B （A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位 6.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了取得函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象AA 向左平移8π个单位长度B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度 7.函数cos(2)26y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时，向量a 能够等于B.(,2)6A π-- .(,2)6B π- .(,2)6C π- .(,2)6D π8.将函数y=sinx 的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后，取得函数y=sin ()6x π-的图象，则ϕ等于（D ） A ．6π B ．56π C. 76π D.116π 9.若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为DA ．16 B. 14 C. 13 D.12 10.设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于C（A ）13 （B ）3 （C ）6 （D ）9 11.将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中 心对称，则向量α的坐标可能为（ C ）A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π 12.将函数3sin()y x θ=-的图象F 按向量(,3)3π平移取得图象F ',若F '的一条对称轴是直线4x π=,则θ的一个可能取值是AA. π125B. π125-C. π1211D. 1112π- 13.把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，取得的曲线方程是（ C ）A ．（1－y ）sin x +2y －3=0B ．（y －1）sin x +2y －3=0C ．（y +1）sin x +2y +1=0D ．－(y +1)sin x +2y +1=0 解析：将原方程整理为：y =x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下别离移动2π个单位和1个单位，因此可得y =)2cos(21π-+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0.点评：本题考查了曲线平移的大体方式及三角函数中的诱导公式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
试求ｈ关于ｔ的函数关系式并画出简图．
h 40.5 40 cos
M P
5
t
(0 t 10)
A
D.右移
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ个单位
8
典型例题启示
例1. （05全国）设函数 f ( x ) sin(2 x ) ,
y f ( x ) 图象的一条对称轴是直线 x
8 (1)若 0, 求 ; 并求函数 y f ( x ) 的零点；
(2)画出函数 y f ( x ) 在区间 0, 上的图象．
1 150
秒的时间内，电流
1 900
I A sin(t )
6
o
1 180
t
都能取得最大值和最小值， -300 那么ω 的最小正整数值是多少？
I 300 sin(150 t ) min 943
【解题回顾】本题解答的关键是将图形语言转化
为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数 结合的有效途径。
3
3
C . T 6 ,
2.把函数
1 2
y sin(5 x
2 的图象向右平移
)
4
个
单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来 的 倍，所得的函数解析式为（
5
Ｄ ）
7
A. y sin(10 x 3 )
C . y sin(10 x 3 2
B. y sin( x ) 2 2
要点
１.y=sinx、y=cosx、y=tanx的图象
２. y=Asin(ωx+φ)的图象及作法 ① 五点法 ②图象变换法
３.三角函数的图象变换 ①振幅变换：y=sinx→y =Asinx 将y=sinx的图象上各点的纵坐标变为原来的A倍 f ( x ) Af ( x ) (横坐标不变)； (纵向伸缩) ②相位变换：y=Asinx→y=Asin(x+φ) 将y=Asinx的图象上所有点向左(φ f0)或向右(φ f ( x) ＞ ( x a) ＜0)平移|φ|个单位； (左右平移) ③周期变换：y=Asin(x+φ)→y=Asin(ωx+φ) 将y=Asin(x+φ)图象上各点的横坐标变为原来的 1/ω 倍 (ω＞0) (纵坐标不变).(横向伸缩) f ( x ) f (ax )
比如：由y=sinx作y=sin(2x+π/3)图象，如果先把横坐 标缩短为原来的1/2倍，得y=sin2x后再平移，应向左 平移π/6，切勿左移π/3.所以在没有特别要求的情况下， 建议先平移，再伸缩．
探究练习
游乐场中的摩天轮匀速旋转，其中心M距离地面 40.5m，半径为40m，若从最低点A处登上摩天轮， 从你登上摩天轮开始计时，那么你与地面的距离ｈ 将随时间ｔ变化．已知5min后到达最高点．
这类问题的求解方法是:
1.由最高最低点确定A 2.由周期确定ω
3. 代关键点求φ.
误解分析
１函数y=Asin(ωx+φ)中角φ的确定是难点，如果 已知最值点，用最值点代入最好；如果只已知平衡点 并且φ没有给出范围，则极易求出不合题意的φ值， 解题时要结合“五点法”中关键点的位置观察分析. 1, 2.进行图象的平移变换时，如果在平移前， 则平 移单位应为
三角函数的图象及其变换
4 2
5
-2
-4
1.能画出 y sin x, y cos x, y tan x 的图像， 了解三角函数的周期性.
2. 了解函数 y A sin(x )的物理意义；能画出 y A sin(x ) 的图像，了解参数 A, , 对函数图像变化的影响.
3 4 k 2 3 8
.
x
,k Z
点评：解此类问题，一要紧扣 y sin x 的图象特征 二要突出角 x 的整体性.
2x
3 4
3 4
2
0
3 8
2 5
8
7 8
5 4
x y
0
2 2
8
2 2
-1
0
1
0
例2．已知电流I与时间t的关系式为 I A sin(t ) （１）右图是 I A sin( t ) （ω ＞0， | | 2 ) 在一个周期内的图象，根据图中数据求 I A sin(t ) 的解析式； I 300 （２）如果t在任意一段
D. y sin(10 x
1
)
7 4
)
变式:先将横坐标缩短为原来的 倍,再向右平移 2 4
个单位呢?
( A
)
3.要得到 y 3sin (2 x ) 的图象，只需将 y 3cos 2 x 的图象( Ｄ )
A.左移 个单位 4 C.左移 个单位 8
4
B.右移 个单位 4
基础训练
π π １.(07广东）已知简谐运动 f ( x ) 2 sin 3 x 2
的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期
Ｔ和初相 分别为( A )
A. T 6,
6
6
B. T 6,
D. T 6 ,