第三章 有源滤波器1

带阻响应与带通响应相反，因为它阻断的频率分量位 于阻带ωL<ω<ωH 之内，而通过其余全部分量。当这个阻带 是足够窄的话，这种响应称为陷波响应。陷波滤波器的一种 应用就是在医学仪器中消除拾取到的不需要的60HZ频率分 量干扰（在中国为50HZ——译者注）。 全通响应由|H|＝1（与频率无关）和 H t0 表征，这 里t0为一合适的比例常数以秒计。这类滤波器在通过某个交 变信号时幅度不受影响，但相移与频率ω成正比。虽然，全 通滤波器也称为延时滤波器。延时均衡器和宽带90O相移网 络都是全滤波器的例子。
H ( j ) N ( j ) 1 ( / 0 )2 ( j / 0 ) / Q
Q 1 2

(3.42) (3.43)
随着我们研究的深入，Q的含义将会越来越清晰。
低通响应HLP
所有的二阶低通函数都可以表示成 H ( j) H 0 LP H LP ( j) 的标准形式， 式中H0LP是某个合适的常数，称为直流增益，而
积分器
图3.6（a）的电路给出Vo=(-Zc/R)Vi=-(1/RCs)Vi ，由于电 容器是在反馈路径中，所以也称米勒积分器。由于在频域 被s除对应于在时域的积分，这就确认了积分器的名称。 它的传递函数是 H(s)=-1/ RCs (3.19)
该积分器的幅度图如 图3.6（b）所示 。
图3.6 积分器及其幅值伯德图
标准二阶响应
二阶波波器重要性不仅在于它们本身，还在于它们是构造高阶滤波器的重要 组成部分，因此在学习实际电路以前，需要详细研究它们的响应。
所有的二阶函数都可以表示成如下的标准形式。
H ( s) N ( s) ( s / 0 )2 2 ( s / 0 ) 1
(3.40)
式中N(s)是一个阶次m≤2的s多项式；ω0称作无阻尼自然频率，单位是rad/s;而 是一个无量纲的参数，称为阻尼系数。 令s→jω可以得到频率响应，通过用另一个无量纲参数Q可将频率响应表示为：
H( j ) H0 1 1 j / 0 ?
1 R2C
(3.25a) (3.25b)
H0
R2 R1
0
H0就称为直流增益
ω0称为-3 dB频率
因为该电路仅在某一有限频率范 围内近似一个积分器特性，所以 也称它为有损耗积分器。
图3.9 带增益的低通滤波器
带增益的高通滤波器 按图3.10（a）将一电容与输入电阻串联就将微分器转变 为一个带增益的高通滤波器。 它的传递函数为
这里H0称为高频增益， ω0还是-3dB频率。
图3.10 带增益的高通滤波器
宽带带通滤波器
最后的两个电路能够合并成图3.11(a)的电路，它给出一个带通 响应 。
图3.11 宽带带通滤波器 它的传递函数为
H (s) R2 R1C1s 1 R1 R1C1s 1 R2C2 s 1
源自文库
（3.28）
H LP ( j ) 1 1 ( / 0 )2 ( j / 0 ) / Q
（3.44）
采用渐近近似来构造它的幅度图。 二阶响应，除了使高频渐近线的陡度增加了两倍的斜率，还能对ω/ω0＝1附近 频域的幅度形状调节增加了自由度。在实际应用中，Q的范围可低至0.5高至100， 而接近于1的那些值最为常用。对不同的Q值，幅度图分别示于图3.19（a）中。对 于低Q值而言，从一条渐近线到另一条的过渡是平缓的，而对于高Q值，在ω/ω0＝1 的附近频带内有| H LP|>1,这种现象称作峰化。 可以证明在峰化出现之前，Q的最大值 是 Q 1/ 2 0.707 。它相应的曲线称为最大平 滑曲线或称为巴特沃兹响应（Butterworth response）。这条曲线最接近陡峭模型，所 以得到广泛的应用。巴特沃兹响中ω0的意义 与一阶响应情况相一致，ω0都代表的是-3dB 频率，也称作截止频率。 图3.19 不同Q值的标准二阶响应 （a)低通； （b) 高通
(3.13a) (3.13b) (3.13c)
3.2 一阶有源滤波器 利用一个电容作为运算放大器的外部元件之一就可从 基本运算放大器组成得到最简单的有源滤波器。
微分器
在图3.5（a）的反相结构中有VO=(-R/Zc)Vi=-RCSVi 。 根据拉普拉斯变换性质，在频域乘以S等效于在时域微分。 这就确认了这个电路的微分器名称。对比值VO/Vi求解给出 H(s)=- RCs 它在原点有一个零点。 (3.16)
|H １ΧH ２| dB＝| H １|dB +| H ２| dB | H １/H ２| dB＝| H １|dB -| H ２| dB |1/H 1| dB＝-| H １|dB
dB值快速计算方法 +3db = *2 +6db = *4 (2*2) +7db = *5 (+10db-3db = 10/2) +4db = *2.5 (+10db-6db = 10/4) +1db = *1.25 (+4db-3db
这就是在电路分析里面学的的正弦稳态分析的理论基础
简单回顾信号与系统的知识
系统的响应
全响应=零输入响应+零状态响应 =自然响应 + 受迫响应 =暂态响应 + 稳态响应 暂态响应：随时间增长而衰减消失的部分。
稳态响应：随时间增长仍继续存在并趋于
稳定的部分。
完全响应
齐次解+特解或输入信号与 系统冲激响应h(t)的卷积
零输入响应
零状态响应
自然响应 暂态响应
受迫响应
稳态响应
对一个滤波器的电路图而言，可以用解析方法求得H(s)， H ( j ) 然后对ω（或f）画出| H(jω) |和 ，为频率响应给出一 种可视化的展示。这些图称为伯德图，能用手画出来，或经 由PSpice产生。 相反，已知| H(jω) |，可令jω→s得到H(s)，求得它的根 并构成零极点图。
H(s)和稳定性
H(s)和频率响应
这部分同学们自己看。
在滤波器的研究中，关心的是对如下交流输入 xi(t)=Ximcos(ωt+θi) 的响应，这是Xim是振幅，ω是角频率，而θi是相角。一般来 说，（3.2）式的完全响应xo(t)由两个分量组成,即一个在函数 形式上类似于自然响应的暂态分量，而另一个是与输入有同一 频率但有不同振幅和相角的稳态分量。如果全部极点都位于 LHP，那么暂态分量将最终消逝，而仅有稳态分量
带增益的低通滤波器
将一只电阻与反馈电容器并联如图3.9（a）所示，就把 这个积分器变成一个带有增益的低通滤波器。令1/Z2＝ 1/R2+１/（1/sC）=(R2Cs+1)/R2，给出H(s)=- Z2 /R1,或者
H ( s)＝ R2 1 R1 R 2 Cs 1
（3.24）
指出一个实数极点在s＝-1/ R2C，令s→jω，可将H(s)表示 成归一化形式
传递函数 一个电路的特性行为唯一地由它的传递函数H(s)来表征。
传递函数在《信号与系统》课程里已讲，这里将用到它。 输入信号
Xi
输出信号 X 电路
o
输出信号与输入信号的拉普拉斯变换的比值，称为传递函数H(s)。
H (s) X o (s) X i (s)
i
o
（3.1）
一旦H(s)知道，对某给定输入x (t ) 的响应 x (t )就能求得为
图3.1 理想滤波器 （a）低通；（b）高通；（c）带通；（d）带阻；（e）,(f)全通
低通响应用一个称之为截止频率ωc的频率来表征，而有 |H|＝1，ω<ωc和|H|＝0，ω>ωc,这表明低于ωc的输入信号通 过滤波器后幅度没有变化,而ω>ωc的信号则全部被衰减掉。低 通滤波器通常用于消除一个信号中的高频噪声。 高通响应与低通响应正好相反，高于截止频率ωc的信号 不被衰减，而ω<ωc的信号完全被隔离。 带通响应用一个称为通带的频率带宽ωL<ω<ωH表征，而 位于这个频带内的输入信号不受衰减，而在ω<ωL或ω>ωH的 信号则被截止住。一种熟知的带通滤波器就是收音机中的调 谐电路，它让用户可以选定某一特定的电台而阻断其他的电 台。
可以证明，在存在峰值的响应中，即Q>1时，| H LP|取最大值时的频率以及相 应的最大值是：
H ( s) R2 R1Cs R1 R1Cs 1
（3.26）
它在原点有一个零点而在S=-1/R1C有一个极点．令s→jω，能将 H(s)表示成归一化形式为
H ( j ) H 0
R2 R1
j / 0 1 j / 0
（3.27a） （3.27b）
H0
0
1 R1C
在频谱仪上显示的频谱图形
有源滤波器 有源滤波器-----吸收进放大器的滤波器称为有源滤波器。 一个有源滤波器只能在运算放大器正常工作的范围内起 作用。随频率而滚降的开环增益限制运算放大器的工作 范围。这个限制一般就将有源滤波器应用局限到兆赫以 下的范围。这包括了音频和仪器仪表的应用范围，在那 里运算放大器滤波器获得了最为广泛的应用，而电感由 于太笨重而无法与可利用的IC(指运算放大器芯片）小 型化相匹敌。超出运算放大器能达到的频率之上，电感 还是占优势，所以高频滤波器仍然还是用无源RLC元件 实现的。在这些滤波器中，由于电感和电容值随工作频 率范围上升而下降，所以电感的尺寸和重量更便于处置。
作为一个例子，图3.2说明了在利用如下输入电压下：
I (t ) 0.8sin ot 0.5sin 4ot 0.2sin16ot
前四种理想滤波器的滤波效果。在左图示出的是由频谱分析 仪所观察到的信号频谱,右图则是用示波器所看到的时域波形。
图3.2 在频域（左图）和在时域（右图）的滤波效果
伯德图 一个滤波器的幅值和频率范围可能是很宽的。例如，在 音频滤波器中典型的频率范围是从20Hz~20kHz,这代表着 1000：1的范围。为了用同一清晰度观察小的以及大的细节， | H |和≮H分别在对数和半对数标尺上画出。这就是说，频 率间隔用每10倍频程（…,0.01,0.1,1,10,100,…）,或者每倍 频程（…,1/8,1/4,1/2,1,2,4,8,…）表示，而| H |以分贝（dB） 表示为 | H | dB＝20log10| H | (3.12) 伯德图就是分贝和度对10倍频（或倍频程）的图。这类图 的另一个优点就是下面这些有用的性质成立：
滤波器是在依赖于频率基础之上处理信号的一种电路。 随频率变化的这种特性称为频率响应，并以传递函数 H(jω) 2 f 是角频率以弧度/秒（rad/s）计，而j是虚数 表示，这里 单位(j2=-1)。这个响应进一步具体分为幅度响应|H(jω)|和相 位响应 H ( j );它们分别给出了当信号通过该滤波器后所经受 的增益和相移。 频率响应概述 根据幅度响应，滤波器可分为低通、高通、带通、和带 阻（或隔阻）滤波器。第5类滤波器是称为全通滤波器，它只 处理相位而保持幅度为常数。参照图3.1，将这些理想响应地 定义如下。
尽管这是一个二阶滤波器，但在这里选它是为了用以说明用低 阶基本构造单元综合出高阶滤波器的例子。 令s→jω得出
式中H0称为中频增益。这种滤波器用在 ωL<<ωH的情况，这时ωL和ωH 称为低（下） 和高（上）-3 dB频率。这个电路特别用在音频应用场合，在那里希望将音频范围内 的信号获得放大，而阻止亚音频分量，如直流以及音频范围以上的噪声。
图3.5 微分器及幅值伯德图
-90=180+90-360 令s→jω并引入归一化频率 ω0=1/RC 将H(jω)表示成归一化形式 H(jω)＝- jω/ω0＝（ω/ω0）∠-90o
整体看待
(3.17)
(3.18)
考虑到| H | dB＝20log10（ω/ω0），| H | dB对log10（ω/ω0） 的图就是y=20x形式的一条直线。正如在图3.5（b）中所指 出的，它的斜率是20 dB/dec(dB每10个频程)，这表明在频 率上每增加（或降低）10倍，幅度增大（或减小）20dB。 （3.18）式指出，这个电路引入了90O相位滞后，而放大则 与频率成正比。从物理意义上看，在低频 |Zc|>R,电路提供 衰减（负的分贝）；在高频|Zc|<R,电路提供放大（正分贝）； 在ω＝ω0有|Zc|＝R,电路提供单位增益（0dB）。这样，ω0 称为单位增益频率。