九年级数学相似三角形--母子型

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九年级数学上册第4章奇妙的“母子相似”(北师大版)

奇妙的“母子相似”常言道：“一母生两子，两子皆似母.”此话谈的是人类在发展过程中变化情况,无独有偶,在相似三角形中也有类似的情况,这不得不引起我们的反思.1.母子相似——容易证明!如图1，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D.请问△ABC 、△CBD 和△ACD 是否相似，为什么？回答是肯定的，△ABC ∽△CBD ∽△ACD. ∵∠ABC=∠CBD ，∠ACB=∠CDB=90°， ∴△ABC ∽△CBD.同理: △ABC ∽△ACD.通常把这种△ABC ∽△CBD,△ABC ∽△ACD 称之为 “母子相似”非常形象,由母子相似带来了△CBD ∽△ACD,称之为姊妹相似.同时由△ABC ∽△CBD 得到BC 2=BD·AB,由△ABC ∽△ACD 得到AC 2=AD·AB,由△CAD ∽△BCD 得到CD 2=AD·BD.2.母子相似——结论重要!上述结论在证明和计算中都有着广泛的应用.因此,通常把这三个等积式称之为“射影定理”，由此可见一斑.勾股定理是平面几何中重要定理,学习此定理时,曾用面积割补的方法对定理进行验证.为此,许多同学对如此的证明,心存疑虑.经常思考有没有其它方法证明勾股定理呢?现在用上述的“母子相似三角形”证明之.已知:如图2,∠ACB=90°求证:AC 2+BC 2=AB 2 证明:作CD ⊥AB 于D ∵∠ACB=90° CD ⊥AB 于D ∴△ABC ∽△ACD ∴ACABAD AC∴AC 2=AD·AB 同理BC 2=BD·AB∴AC 2+BC 2=AD·AB+BD·AB=AB(AD+BD)=AB 2. 即:AC 2+BC 2=AB 2. 3.母子相似——反之成立?上述是说满足了“条件”就有“母子相似”，进一步可得等积式的线段；现在反ADBC图1ADBC图2过来看，有了等积式的线段，有没有“母子相似”？曾经有这样一题,已知:图3,AD ⊥BC 垂足为D,且AD 是BD 、DC 的比例中项. 求证:△ABC 是直角三角形简证:∵AD 2=BD·DC ∴ADDC BD AD. ∵∠BDA=∠ADC=90° ∴△ABD ∽△CAD ∴∠1=∠B∵∠2+∠B=90° ∴∠1+∠2=90° 即△ABC 为直角三角形.此时,若问上述的结论的反面是否存在,大部分同学都认为成立,其实不一定成立.请看下面两例.反例1,如图4,当∠ACB ′=90°,CD ⊥AB ′于D,有CD 2=AD·DB ′在AD 上取B ／使BD=B ′D,显然CD 2=AD·BD,但∠ACB≠90°.反例2,如图5,当∠ACB ′=90°,CD ⊥AB ′于D,有AC 2=AD·AB ′,在DA 延长线上取一点B,使BA=AB ′虽然满足 AC 2=AD·AB ′=AD·AB 、但∠ACB≠90°.所以, “母子相似”反之不一定成立.诗人常说的“年年岁岁花相似，岁岁年年人不同”是很有道理的.我们也可以认为“年年岁岁学相似，岁岁年年题不同”.B DCA 图32 1A D BC图4B /BDB ′C图5A。

相似三角形中的“母子”型-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练(沪教版)(解析版)

从点 B 开始沿 BC 边运动，速度为 4cm/s，如果点 P、Q 两动点同时运动，何时 QBP 与 ABC 相似？
【答案】经过 4 秒或 1.6 秒时，△QBC 与△ABC 相似【分析】由题意可得， AP = 2t，BP = 8 − 2t，BQ = 4t ，根据△QBC 与△ABC 相似，分情况列式计算即可．
∴AF＝FE＝ED＝DA，∴四边形 AFED 菱形．
是（2）证明：由（1）得：△ABF≌△EBF，∴∠BAG＝∠BEF，
∵四边形 AFED 是菱形，∴AD∥FE，∴∠BEF＝∠C，∴∠BAG＝∠C， AB = BG
∵∠ABG＝∠CBA，∴△ABG∽△CBA，∴ BC AB ，即 AB2＝BG•BC．（3）解：如图，
关知识并灵活运用所学知识求解是解题的关键．
【过关检测】
一、填空题 1．如图，在 ABC 中，点 D 在 AB 上，请再添一个适当的条件，使△ADC∽△ACB ，那么可添加的条件是 __________．
【答案】 ACD = ABC （答案不唯一，也可以增加条件： ADC = ACB 或 AC2 = AD AB ）．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得 AB=CD，AB∥CD，再证明四边形 BECD 为平行四边形得到 BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由 CM∥DB 可判断△BND∽△CNM；（2）先利用 AD2=AB•AF 可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以 MC：MD=CN：CD，然后利用 CD=AB 和比例的性质即可得到结论．【详解】证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD，而 BE=AB， ∴BE=CD，而 BE∥CD， ∴四边形 BECD 为平行四边形， ∴BD∥CE， ∵CM∥DB， ∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB•AF， ∴AD：AB=AF：AD，

初中数学：母子相似三角形在不同几何图形中的灵活应用

初中数学：母子相似三角形在不同几何图形中的灵活应用相似三角形是中考数学中的必考知识点之一，而相似三角形中的母子相似又是我们最常见的相似类型。

在三角形（尤其是直角三角形）、四边形、圆等相关题目中，经常可见母子相似型的三角形，因此，其基础性与重要性可见一斑，我们必须学会灵活应用。

一、基本原理1、基本定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

2、判定方法：（1）两角分别相等的两个三角形相似；（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；二、母子相似三角形基本图形初中数学三、母子相似三角形在不同几何图形中的应用3.1、普通三角形中的母子相似例1、已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB =∠ABC。

求证：（1）DB2 =DE·DA ;（2）∠DCE =∠DAC证明：（1）∵∠DEB =∠ABC∠BDE=∠BDE∴△BDE ∽△ADB∴BD/AD = DE/DB∴DB2 =DE·DA（2）∵AD是中线∴CD = BD∴CD2 =DE·DA又∵∠ADC=∠CDE∴△DCE ∽ △DAC∴∠DCE =∠DAC3.2、直角三角形中的母子相似例2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C = 90º，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。

求证：（1）△AME ∽△NMD ；（2）ND2=NC·NB证明：（1）∵AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∴∠1 = ∠2∵∠C = 90º ，EF是AD的垂直平分线∴∠1+∠ADC = ∠4+∠ADC = 90º,∠3= ∠4∴∠1 = ∠4 = ∠2又∵∠AM E= ∠NMD∴△AME ∽△NMD（2）∵EF是AD的垂直平分线∴ND = NA∵∠C = 90º ，EF是AD的垂直平分线∴∠7+∠3+∠4 = ∠B+∠1+∠2又由（1）知∠1 = ∠4 = ∠2 = ∠3∴∠7 = ∠B又∵∠ANC = ∠ANC∴△ANC∽△BNA∴AN/BN = NC/NA∴NA2=NC·NB又ND = NA∴ND2=NC·NB3.3、四边形中的母子相似例3、如图，F、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC的点，且BF = BQ ，BH⊥PC于H，求证：QH⊥DH。

北师大版九年级数学上册_奇妙的“母子相似”

相似三角形模型分析之母子型

相似三角形模型分析之母子型第五讲：相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：ADC 二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。

8字型拓展CBEDA共享性GABE F一线三等角的变形一线三直角的变形母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OEOAOC?=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ?=2；（2）DAC DCE ∠=∠．DEB例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ?=2．相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2．2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。

求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND2=NC·NB3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。

求证：EB·DF=AE·DB⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是4.在?ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BCAH的中点。

GBM90求证：∠=?5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD ⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．。

初中中考数学母子形相似模型经典题型与典型例题及答案解析

5 1
，
CC1 BC AC AC AC 2
∴ C1C2
5 12 2
3 2
5
，
同理： C2C3
5 13 2
5 2 ，……，
C5C6
5 16 2
2
52 94 5．
故选 B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质与方程思想，相似三角形的对应边的比相等，同时考查了二次根式的乘方运
算；解题时要注意方程思想的应用．
AB
AD 时，求
的
2
BC
值．
【答案】（1）15°；（2）3
5
；（3）
3 5
【分析】
（1）由折叠的性质得出 BC=BF，∠FBE=∠EBC，根据直角三角形的性质得出∠AFB=30°，可求出答案；
（2）证明△FAB∽△EDF，由相似三角形的性质得出 AF AB ，可求出 DE=2，求出 EF=3，由勾股定理求 DE DF
正方形性质．
4．在矩形 ABCD 的 CD 边上取一点 E，将△BCE 沿 BE 翻折，使点 C 恰好落在 AD 边上点 F 处．
（1）如图 1，若 BC=2BA，求∠CBE 的度数；
（2）如图 2，当 AB=5，且 AF FD=10 时，求 BC 的长；
（3）如图 3，延长 EF，与∠ABF 的角平分线交于点 M，BM 交 AD 于点 N，当 NF= 1
∽△ADC，根据相似三角形的对应边成比例求解．
【详解】解：∵NE∥BC， ∴∠NEF=∠DBF，∠ENF=∠BDF，又∵BF=EF， ∴△NEF≌△DBF， ∴NE=BD=2． ∵NE∥BC， ∴△ANE∽△ADC，
∴ NE AE ， CD AC
∵CE=2AE，

数学人教版九年级下册探索母子型相似

探索母子型相似三角形莆田哲理中学唐珑一、教学目标知识目标：能识别基本图形母子三角形并能熟练应用能力目标：在复杂的图形中，能够在二次相似或多次相似识别基本图形及其应用情感目标：通过对基本图形的应用与拓展，培养学生独立思考的习惯，发展学生的探究意识，提高学生的总结、归纳能力、阅读理解能力和创新能力二、教学重难点重点：让学生能识别基本图形母子三角形并能熟练应用难点：在二次相似或多次相似能够识别基本图形及其应用三、教学过程复习引入教师活动：我们平常解几何题中经常用到相似，同学们一般碰到什么图形会想到相似？预期学生活动：如”A ”字型，一线三等角，八字型、母子型等等媒体展示设计意图：巩固几种相似基本图形，直观感受相似的存在预备知识教师活动：常见的母子型相似三角形是怎样？媒体展示直角三角形的母子相似直角三角形斜边上的高将原直角三角形分为两个小直角三角形，这两个小直角三角形都和原直角三角形相似DA普通三角形的母子相似条件：如图，已知∠ACD=∠ABC结论：△ACD ∽△ABC设计意图：明确判断母子型相似的条件探究示例媒体展示1已知：如图，在△ABC 的边AB 、AC 上有点D 、E ．若∠BDE+∠C=180°，求证：设计意图：学会找出相似条件（角相等），利用母子型相似求解。

2（2016武汉）在△ABC 中，P 为边AB 上一点(1) 如图，若∠ACP ＝∠B ，求证：AC 2＝AP ·AB(2) 若M 为CP 的中点，AC ＝2① 如图2，若∠PBM ＝∠ACP ，AB ＝3，求BP 的长设计意图：在复杂图形中分解出简单的相似图形，发现相似，并会利用条件构造母子型相似求解。

BAD AE AC AB实战演练知识运用学生活动：自主完成，小组讨论媒体展示如图，点D在线段BC上，DA为射线(其中∠ADC＞90°)，点E为线段DA延长线上一点，连接BE，EC，且∠BED=∠ACD，设AC=a，AD=b，CD=c．当a=4，b=2，且CD=2BD，求线段AE 的长讲练相结合，多种方法求解复习小结母子型相似基本图形的运用：1、找出母子型相似图形直接求2、构造母子型相似图形间接求教学反思莆田哲理中学唐珑相似三角形是初中数学学习的重点内容，对学生的能力培养与训练，有着重要的地位，而相似三角形判定定理又是相似三角形这章内容的重点与难点所在，“难”的较强，因此对定理的运用也带来的障碍。

中考浙江金华相似三角形K子型、母子型相似三角形模型-典型

母子型相似三角形【知识要点】一、直角三角形相似1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

基本图形（母子三角形）举例：1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA（2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD =△BDC ∽△BCA 中，2BC BD AB =△CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB = 2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC结论：△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB =【例题解析】类型一：三角形中的母子型【例1】1.如图，ΔABC 中，∠A=∠DBC ，BC=，SΔBCD ∶SΔABC=2∶3，则CD=______.【练】如图，D 是 △ABC 的边AB 上一点，连结CD.若AD= 2，BD = 4， ∠ACD =∠B 求AC 的长.【例2】如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：FC FB FD ⋅=2【练】已知CD 是ABC ∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∆∆∽类型二：直角三角形中的母子型【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB于F ，交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2DF FG FH =•【练】如图5，RtΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AC=8，BC=6，则AD=____，CD=_______. 【例2】如图1，∠ADC=∠ACB=90°，∠1=∠B ，AC=5，AB=6，则AD=______. 【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4，求CD 的长. 类型三：四边形中的母子型【例1】1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G ，求证：2BC CG CD =•。

人教版九年级下册母子型相似模型汇总

∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴ AC = AD ，∴AC2=AD×AB=2×5=10，∴AC= 10 ．故 AB AC
答案为： 10 ． 3.如图，菱形 ABCD 中，AF⊥BC 于 F，AF 交 BD 于 E，求证： AD2 = 1 DE • DB 。
2
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若 CD＝3，BC＝2，求⊙O 的半径．
2.如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是圆周上一点，连接 AC、BC，以点 C 为端点作射线 CD、CP 分别交线段 AB 所在直线于点 D、P，使∠1＝∠2＝∠A．（1）求证：直线 PC 是⊙O 的切线；（2）若 CD＝4，BD＝2，求线段 BP 的长．
① 如图 2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求 BP 的长； ② 如图 3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出 BP 的长．
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
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6.已知等边三角形△ABC 中，点 D,E 在 AC,AB 上，且 CD=AE,CE,BD 相交于 P 点. (1)求证：△CDP∽△CEA (2)求证： BP = AD
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
5.如图，P、Q 分别是正方形 ABCD 的边 AB、BC 上的点，且 BP=BQ，BH⊥PC 于 H，求证： QH⊥DH．
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类型三：圆中的母子型

九年级数学相似三角形--母子型

相似三角形之母子三角形【知识要点】一、直角三角形相似1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

基本图形（母子三角形）举例：1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．（射影定理）结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA（2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD =△BDC ∽△BCA 中，2BC BD AB =△CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB =2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC （母子）结论：△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB =【例题解析】类型一：三角形中的母子型【例1】1.如图,ΔABC 中,∠A=∠DBC,BC=,S ΔBCD ∶S ΔABC=2∶3,则CD=______.【练】如图，D 是 △ABC 的边AB 上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC 的长.【例2】如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：FC FB FD ⋅=2D CBA【练】已知CD 是ABC ∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∆∆∽类型二：直角三角形中的母子型【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于F ，交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2DF FG FH =∙【练】如图5,RtΔABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.HG FED C BA【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD 的长.类型三：四边形中的母子型【例1】1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G ，求证：2BC CG CD =∙。

专题02 相似三角形重要模型-母子型(共边共角模型)(解析版)

专题02 相似三角形重要模型-母子型（共边共角模型）相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。

在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。

母子相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。

模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图31）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；例1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在ABC V 中，D 是AB 边上的点，B ACD Ð=Ð，:1:2AC AB =，则ADC V 与ACB △的周长比是（）A．B ．1:2C ．1:3D ．1:4【答案】B 【分析】先证明△ACD ∽△ABC ，即有12AC AD CD AB AC BC ===，则可得12AC AD CD AB AC BC ++=++，问题得解．【详解】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AD CD AB AC BC ==，∵12AC AB =，∴12AC AD CD AB AC BC ===，∴12AC AD CD AC AD CD AB AC BC AB AC BC ++====++，∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键．例2．（2023·广东·九年级课时练习）如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，已知AD ＝94,55BD =，那么BC ＝_______．【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键．例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．证明：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP，∴△ACP∽△PDB；（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD．例4．（2022·浙江·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且ADAC＝ACAB．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．例5．（2022.浙江中考模拟）如图，在V ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．（1）图1中共有对相似三角形，写出来分别为　（不需证明）：（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3，V ABC∽V ACD，V ABC∽V CBD，V ACD∽V CBD；（2）125；（3）存在，(2740，32)，(98，910)【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到1 2AB•CD＝12AC•BC，即可求出CD的长．（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB同理可证：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．故答案为：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）如图2中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC3．∵△ABC的面积＝12AB•CD＝12AC•BC，∴CD＝AC BCAB×＝125．（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝3，OC＝125，∴OB＝95．分两种情况：①当∠BQP ＝90°时，如图2①，此时△PQB ∽△ACB ，∴BP AB ＝BQ BC ，∴353t t -=，解得t ＝98，即98BQ CP ==，∴915388BP BC CP =-=-=．在△BPQ 中，由勾股定理，得32PQ ===，∴点P 的坐标为273(,)402；②当∠BPQ ＝90°时，如图2②，此时△QPB ∽△ACB ，∴BP BQ BC AB =，∴335t t -=，解得t ＝158，即15159,3888BQ cP BP BC CP ===-=-=，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ．∵△QPB ∽△ACB，∴PE BQ COAB ×=，即1581255PE =，∴PE ＝910．在△BPE 中，2740BE ===，∴92795408OE OB BE =-=-=，∴点P 的坐标为99(,)810，综上可得，点P 的坐标为(2740，32)；(98，910)．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．例6．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果DEF V 与ABC V 互为母子三角形，则DE AB的值可能为（）A ．2 B ．12 C ．2或12（2）已知：如图1，ABC V 中，AD 是BAC Ð的角平分线，2,AB AD ADE B =Ð=Ð．求证：ABD △与ADE V 互为母子三角形．（3）如图2，ABC V 中，AD 是中线，过射线CA 上点E 作//EG BC ，交射线DA 于点G ，连结BE ，射线BE 与射线DA 交于点F ，若AGE V 与ADC V 互为母子三角形．求AG GF 的值．AG DG \=，DBF △．A ．ABP CÐ=ÐB ．APB Ð【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可．2.（2023成都市九年级期中）如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB =12，△CEF 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则S 1S 2的值等于（）A ．116B ．15C ．14D ．125【解答】解：∵AD AB =12，∴设AD ＝BC ＝a ，则AB ＝CD ＝2a ，∴AC =，∵BF ⊥AC ，∴△CBE ∽△CAB ，△AEB ∽△ABC ，∴BC 2＝CE •CA ，AB 2＝AE •AC∴a 2＝CE ，4a 2＝AE ，∴CE AE =，∴CE AE =14，∵△CEF ∽△AEB ，∴S 1S 2=（CE AE）2=116，故选：A ．3.（2023浙江九年级期中）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高．如果BD ＝4，CD ＝6，那么BC ：AC 是（）A ．3：2B ．2：3C ．3D ．2【答案】B 【解答】解：∵∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，∴∠ADC ＝∠CDB ＝∠ACB ＝90°，∵∠A +∠B ＝90°，∠A +∠ACD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ，∴△ACD ∽△CBD ，∴AC=CD =6=3∴BC =2，故选：B ．【答案】12【分析】过点B 作BM AC ∥交CG 的延长线于点96ACG BCG S AG AC S GB BC ===V V 32=，即可求解．【详解】解：如图所示，过点B 作BM AC ∥5．（2023•宜宾）如图，已知直角△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AC ＝4，BC ＝3，则AD ＝．【分析】根据勾股定理求出AB ，根据射影定理列式计算即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，AB ＝＝5，由射影定理得，AC 2＝AD •AB ，∴AD ＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是射影定理、勾股定理，在直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．6．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在ABC V 与A B C ¢¢¢V 中，点D 、D ¢分别在边BC 、B C¢¢上，且ACD A C D ¢¢¢∽△△，若___________，则ABDA BD¢¢¢△∽△．请从①BD B D CD C D ¢¢=¢¢；②AB A B CD C D ¢¢=¢¢；③BAD B A D ¢¢¢Ð=Ð这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．【答案】4【分析】根据条件证明ACD ~V 【详解】解：ADC ACB Ð=ÐQ AC AD AB AC\=，即2AC AB AD =×，8.（2022•惠山区九年级专项）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90o ，AD ⊥BC 于D ．（1）图中有多少对相似三角形？（2）求证：AB 2=BD g BC ，AC 2=CD g CB ，AD 2=BD g CD ；（3）求证：AB g AC =BC g AD【解析】（1）三对．分别是：△ABD ∽△CBA ；△ACD ∽△BCA ；△ABD ∽△CADD CB A（2）∵△ABD ∽△CBA ，∴AB BD BC AB=．∴AB 2=BD g BC ，∵△ACD ∽△BCA ∴AC CD CB AC =．∴AC 2=CD g CB ，∵△ABD ∽△CAD ，∴AD BD CD AD =，∴AD 2=BC g CD （3）1122ABC S AB AC BC AD ==V g g ，∴AB g AC =BC g AD【答案】(1)是，证明见解析(2)125【分析】（1）由已知可得AC AB AD AC=，从而ACD ABC △∽△，（2）由D 是ABC V 的“理想点”，当D 在AB 上时，证明CD 【详解】（1）解：点D 是ABC V 的“理想点”，理由如下：D Q 是ABC V 的“理想点”，当ACD B Ð=Ð时，ACD ÐQ 90CDB \Ð=°，即CD 是【答案】(1)证明见解析(2)15【分析】（1）根据相似三角形的判断方法，两角分别相等的两个三角形相似，证明即可；（2）根据相似三角形的性质，得BC AB2BAC B BAD ÐÐÐ=\=Q ，ACD BCA ACD ÐÐ=\~Q V ，AC DC AD BC AC AB\==设DC x =，则AD BD a ==-任务：(1)上述材料中的证法似”）．(2)请补全证法2剩余的部分．ABD D \Ð=Ð，CAB Ð\2CAB ABC ÐÐ=Q ，ACB BCD Ð=ÐQ ，AC BC BC CD \=，b a \=【点睛】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．12．（2022·湖北武汉·一模）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 为AB 上一点．（1）如图1，若CD ⊥AB ，求证：AC 2=AD ·AB ；（2）如图2，若AC =BC ，EF ⊥CD 交CD 于H ，交AC 于F ，且49FH HE =，求AD BD的值；（3）如图3，若AC =BC ，点H 在CD 上，∠AHD =45°，CH =3DH ，则tan ∠ACH 的值为________．13．（2023·安徽合肥·九年级期中）ABC V 中，90ABC Ð=°，BD AC ^，点E 为BD 的中点，连接AE 并延长交BC 于点F ，且有AF CF =，过F 点作FH AC ^于点H ．（1）求证：ADE CDB V V ∽；（2）求证：=2AE EF ；（3）若FH BC 的长．14．如图1，在ABC V 中，在BC 边上取一点P ，在AC 边上取一点D ，连AP 、PD ，如果APD △是等腰三角形且ABP △与CDP V 相似，我们称APD △是AC 边上的“等腰邻相似三角形”．（1）如图2，在ABC V 中AB AC =，50B Ð=°，APD △是AB 边上的“等腰邻相似三角形”，且AD DP =，PAC BPD Ð=Ð，请直接写出PAC Ð的度数；（2）如图3，在ABC V 中，2A C Ð=Ð，在AC 边上至少存在一个“等腰邻相似APD △”，请画出一个AC 边上的“等腰邻相似APD △”，并说明理由；（3）如图4，在Rt ABC △中4AB AC ==，APD △是AB 边上的“等腰邻相似三角形”，求出AD 长度的所有可能值．【答案】（1）30°；（2）见解析；（3）28-【分析】（1）只要证明∠A =∠PAB 即可解决问题．（2）如图3中，作∠BAC 的平分线AP 交BC 于P ，作PD ∥AB 交AC 于D ，只要证明DP =DA ，即可解决问题．（3）分三种情形讨论①如图3′中，当DA =DP 时．②如图4中，当PA =PD 时．③如图5中，当AP =AD 时．分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图2中，∵AB =AC ，DA =DP ，∴∠B =∠C ，∠DAP =∠DPA ，∵∠PAC =∠BPD ，∴∠APC =∠BDP =∠DAP +∠DPA ，∵∠APC =∠B +∠BAP ，∴∠B =∠PAB =50°，∵∠BAC =180°-50°-50°=80°，∴∠PAC =30°故答案为30°．（2）如图3中，作∠BAC 的平分线AP 交BC 于P ，作PD ∥AB 交AC 于D ，∴∠BAP =∠PAD =∠DPA ，∠CPD =∠B ，∵∠CAB =2∠C ，∴∠PAD =∠C ，∴DP =DA ，∴△APD 是等腰三角形且与△APB 与△CDP 相似．（3）如图3′中，当DA =DP 时，设∠APD =∠DAP =x ，①若∠BPD =∠CAP =90°-x ，∠BDP =∠CPA =2x ，∴90°-x +2x +x =180°，∴x =45°，∴三角形都是等腰直角三角形，∴AD =2，②若∠PDB =∠CAP 时，设∠APD =∠DAP =x ，得到∠PDB =∠CAP =2x ，易知x =30°，设AD =a ，则AP ，∵△BPD ∽△CPA ，∴BD PD AC PA =，即44a -=a 如图4中，当PA =PD 时，易知∠PDB 是钝角，∠CAP 是锐角，∴∠PDB=∠CPA，则△BPD≌△CPA，设AD=a，则BD=4-a，BP=BC-CP=BC-BD（2-a）=-4+a，AC=4，∴a=4，解得：a=8-如图5中，当AP=AD时，设∠APD=∠ADP=x，则∠DAP=180°-2x，易知∠PDB为钝角，∠CAP为锐角，∴∠PDB=∠CPA=180°-x，∠CAP=90°-∠DAP=90°-（180°-2x）=2x-90°，在△APC中，2x-90°+180°-x+45°=180°，解得x=45°，不可能成立．综上所述．AD的长为28-．【点睛】本题考查相似三角形综合题、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．15．（2022•静安区期末）如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，且DC∥AE．（1）求证：DE2＝AE•DC；（2）如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设BE＝x，EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．【分析】（1）先证明△ABE∽△AED，可得∠AEB＝∠ADE，再由平行线性质可推出∠ADE＝∠DCE，进而证得△ADE∽△ECD，根据相似三角形性质可证得结论；（2）如图2，过点B作BG⊥AE，运用等腰三角形性质可得G为AE的中点，进而可证得△ADE≌△ECD（SAS），再求得S△ABE＝×AE×BG＝18，根据△ABE∽△AED 且相似比为3：2，可求得S△AED＝S△CDE＝8，由S＝S△ABE+S△AED+S△CDE可求得答案；（3）四边形ABCD由△ABE∽△AED，可求得：DE＝x，进而得出DC＝x2，再利用△ADE∽△ECD，可得：CE＝x，再利用DC∥AE，可得△AEF∽△DCF，进而求得：CF＝EF，再结合题意得出答案．【解答】（1）证明：如图1，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵AE2＝AB•AD，∴＝，∴△ABE∽△AED，∴∠AEB＝∠ADE，∵DC∥AE，∴∠AEB＝∠DCE，∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠DCE，∴△ADE∽△ECD，∴＝，∴DE2＝AE•DC；（2）解：如图2，过点B作BG⊥AE，∵BE＝9＝AB，∴△ABE是等腰三角形，∴G为AE的中点，由（1）可得△ADE、△ECD也是等腰三角形，∵AE2＝AB•AD，AB＝BE＝9，AE＝6，∴AD＝4，DE＝6，CE＝4，AG＝3，∴△ADE≌△ECD（SAS），在Rt△ABG中，BG＝＝＝6，∴S△ABE＝×AE×BG＝×6×6＝18，∵△ABE∽△AED且相似比为3：2，∴S△ABE：S△AED＝9：4，∴S△AED＝S△CDE＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE＝18+8+8＝34；（3）解：如图3，由（1）知：△ABE∽△AED，∴＝，∵BE＝x，AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，AD＝4，∴＝，∴DE＝x，由（1）知：DE2＝AE•DC，∴DC＝x2，∵△ADE∽△ECD，∴＝＝，∴CE＝x，∵DC∥AE，∴△AEF∽△DCF，∴＝＝，∴CF＝EF，∴＝＝＝，∴y＝EF＝CE＝×x＝，∵即，∴3＜x＜9，∴y关于x的函数解析式为y＝，定义域为3＜x＜9．【点评】本题是相似三角形综合题，考查了角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．16．（2022·安徽·校联考三模）在ABC V 中，2ABC ACB Ð=Ð，BD 平分ABC Ð．（1）如图1，若3AB =，5AC =，求AD 的长．（2）如图2，过A 分别作AE AC ^交BC 于E ，AF BD ^于F ．①求证：ABC EAF Ð=Ð；②求BFAC的值．(1)求证：ABE CAD △△≌；(2)求证：AC FB ∥；(3)若点D ，E ，F 在同一条直线上，如图2，求A BB C【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2是中位线，则EG CB ∥，加上第二小题结论就能得到四边形BCEF 是平行四边形，那么BC AD =，然后通过三角形外角的性质，可以证得ADE ACD Ð=Ð，就能证ACD V 和ADE V 是一组子母型相似，然后根据相似比可得最终答案．【详解】（1）解：Q 将ACD V 绕点C 逆时针旋转得到FCE △，FCE ACD \△≌△，CE CD \=，2AC CD =Q ，2AC CE \=，2AE AC CE CE CE CE CD \=-=-==，DC ABQ ∥DCA EAB \Ð=Ð，在ABE V 和CAD V 中，AE CD EAB DCA AB CA =ìïÐ=Ðíï=îQ ，()SAS ABE CAD \△≌△．（2）解：由（1）得BE AD =，ABE CAD Ð=Ð，CEF CDA Q △≌△，FE AD =∴，EFC DAC Ð=Ð，BE FE \=，EFC EBA Ð=Ð，EFB EBF \Ð=Ð，OFB EFB EFC Ð=Ð-ÐQ ，OBF EBF EBA Ð=Ð-Ð，OFB OBF \Ð=Ð，ECF DCA Ð=ÐQ ，OAC OCA \Ð=Ð，180OCA OAC AOC Ð+Ð+Ð=°Q ，180OBF OFB BOF Ð+Ð+Ð=°，又AOC BOF Ð=Ð，OCA OAC OBF OFB \Ð+Ð=Ð+Ð，即22CAO FOB Ð=Ð，（1）求证：2=×；AE FE BEÐ的大小；（2）求AFC。