轴对称谐振子势下形变核的能态密度_杨显俊
八极形变谐振子势场中的混沌现象
八极形变谐振子势场中的混沌现象
李君清;刘芳
【期刊名称】《青岛大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1997(000)A00
【摘要】粒子在扁椭球加八极形变场中比在长椭球加八极形变场中的运动能在更小的形变数下产生混沌运动，原因是前者的热能面能在更小的形变参数下出现负曲率。
【总页数】5页(P50-54)
【作者】李君清;刘芳
【作者单位】中国科学院年代物理研究所;中国科学院年代物理研究所
【正文语种】中文
【中图分类】O571.22
【相关文献】
1.Rashba自旋-轨道相互作用对一维谐振子势场中电子性质的影响 [J], 公卫江;范爽;魏国柱;杜安;刘国良
2.低频周期驱动八极形变的经典混沌现象 [J], 金华;郑仁蓉;李君清
3.轴对称谐振子势场中粒子的能量和简并度 [J], 赵德先
4.Quesne环状球谐振子势场中的赝自旋对称性 [J], 陈发堂;薛琳娜;张民仓
5.包含非中心电耦极矩的环状非谐振子势场赝自旋对称性的三对角化表示 [J], 高洁;张民仓
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谐振子的能级特性与对称性分析
谐振子的能级特性与对称性分析陈绍敏（湖北大学物理学与电子技术学院 2002级物理学）引 言在经典力学中，谐振子是被约束在一根轴线上运动的粒子，作用在它上的是恢复力，它与粒子的位移成正比，它的解是众所周知的，它的运动是一种正弦运动，它在原点附近振荡，相应的量子力学问题是质量为μ，角频率为ω的一维粒子具有哈密顿量)(212222q P H ωμμ+=的问题，位置变量q 和动量p 由对易关系i p q =],[联系本文将研究质量为μ的k 维粒子上有哈密顿量∑=+=ki i i q p H 12222)(21ωμμ的问题，特别是将用群论观点来研究谐振子的能级简并度特性与对称性分析。
§1 二维各向同性谐振子的态函数及能级特性（1）采用平面极坐标，二维谐振子势能2221)(ρμωρ=V（1）Schrödinger 方程为ψ=ψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂-E 22222221112ρμωϕρρρρρμ （E>0） （2） 令 )(),(ρϕρϕR e im =ψ（3）采用自然单位1===ωμ ，自然单位中各特征量如下 谐振子势中的特征量则径向方程表示为0)()2(122222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+ρρρρρρR E m d d d d （E>0） （4）0→ρ时变为0)(12222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+ρρρρρR m d d d d （可参看径向方程的解在奇点0=r 邻域的行为） 令s R ρ∝，代入上式，得022=-m s所以 ||s m =±可以证明，0→ρ时渐进行为||m R -∝ρ的解是物理上不能接受的，予以抛弃，故||)(m R ρρ∝ )0(→ρ当∞→ρ，得0)(222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ρρρR d d 所以[]2/exp )(2ρρ±∝R ，而满足束缚态边界条件的解只能取2()exp 2R ρρ⎡⎤∝-⎣⎦，所以 ||2()exp 2()m R u ρρρρ⎡⎤=-⎣⎦代入（11）式，得()0]1||22[21||222=+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++u m E d du m d u d ρρρρ （5） 再令 2ρξ=（6） 得 ()0221||1||22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++u E m d du m d u d ξξξξ（7）上式是合流超几何方程，它在0=ξ邻域的解析解表为),,(ξγαF ，相应参数为 221||E m -+=α1||+=m γ（8）束缚态边界条件要求,221||ραn Em -=-+=,2,1,0=ρn所以二维各向同性谐振子的能量本征值为)1||2(++=m n E ρ（自然单位）或 ,2,1,0||2),1(=+=+=m n n n E n ρ （9）未归一化的波函数为),1||,(),(2||ρρϕρψρϕρ+-∝m n F e m im m n（10）不难求出能级n E 的简并度为,3,2,1)1(=+=n f n（11）（2）二维各向同性谐振子还可以分解成二个彼此独立的一维谐振子，采用直角坐标，因各向同性，其振子强度0ωωω==y x ，故()222021y x V +=μω 相应的能量 002121ωω ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x n n n n E yx0)1(ω +=n E n y x n n n +=,2,1,0,,=n n n y x对于给定n ，有n n x ,2,1,0=相应的 0,2,1, --=n n n n y所以有)1(+n 个量子态y x n n ψ，能级n E 的简并度为)1(+=n f n 2,1,0=n与（11）式同关于能级简并度与对称性的关系，前人指出过，系统出现简并，往往意味着与Hamilton 量的对称性相联系。
几种求解线性谐振子基态能方法的比较
系统时，有简单而直观的表达式，便于求解。 而代数方法在很早就有了广泛的应用，比如 量子力学的矩阵形式，就是一种代数方法。 本文求解谐振子能量本征值的代数方法，在 处理如分子，晶格，原子核的振动，相干态 等问题时，可以广泛应用。在原子、分子、 原子核和基本粒子束缚态的研究中，变分法 的应用非常普遍。在一些简单的情况下，只 需要很少几个变分参量就可以得到符合要 求的近似解。特别是单参量的试探波函数， 有很简单的解析表达式，计算一些相关物理 量非常方便。不确定关系作为量子力学的一 个基本理论，用它解决一些物理问题能给出 比较清晰地物理图像。
解：一维谐振子的哈密顿量为（采用自然单
位 h = m = ω = 1）：
H
=
−
1 2
d2 dx2
+
1 2
x2
选取基态试探波函数为
x
ψ = N (1 − a )
x <a
（4）
0
x <a
其中 a 为变分参数，N 为归一化常数。
由归一化条件可得
∫ ∫ ψ 2dx = N 2
a
(1 −
x2 ) dx
−a
a
∫ = 2N 2a 1(1− ξ )2 dξ 0
对易关系和哈密顿算符为出发点，利用薛定 谔因式分解的方法，经过递推而求解。其求 解的方法非常简单巧妙，虽然不普遍，但是 在解决一些问题还是可以用到，如解决两个 角动量合成角动量的本征值和本征态问题。 变分法常用来计算系统的基态和前几个激 发态。然而，用任意波函数计算出来的平均 值能量总是不小于基态能量，如以上用变分
4 推广
简谐振子模型是量子力学中极其简单 而又重要的模型，它作为一个精确可解的量 子力学模型，体现了周期运动的基本特性，
三维谐振子在均匀磁场 能量本征值
三维谐振子在均匀磁场能量本征值三维谐振子在均匀磁场中的能量本征值是一个重要的物理问题，它在量子力学中有着广泛的应用。
本文将围绕这个主题展开讨论，并探讨其相关的物理现象和理论。
我们需要了解什么是三维谐振子。
三维谐振子是指一个粒子在三个相互垂直的方向上受到恢复力的作用而产生的振动系统。
在经典力学中，三维谐振子的运动可以描述为一个简谐振动。
而在量子力学中，三维谐振子的运动则需要用到薛定谔方程来描述。
在经典力学中，三维谐振子的能量是连续的，而在量子力学中，能量是量子化的，只能取离散的数值。
当一个三维谐振子置于一个均匀磁场中时，磁场将对其产生影响。
这是因为磁场可以通过与谐振子的轨道运动相互作用，改变谐振子的能量。
这种相互作用被称为磁偶极子相互作用。
磁偶极子相互作用的起源是由于谐振子带有磁矩。
磁矩是描述物体磁性的物理量，它与物体的旋转和轨道运动有关。
当谐振子带有磁矩时，它会受到磁场的力矩作用，并发生能级的改变。
根据量子力学的理论，三维谐振子在均匀磁场中的能量本征值可以通过解薛定谔方程得到。
薛定谔方程描述了系统的波函数随时间的演化，从而确定了系统的能量本征值。
在求解薛定谔方程时，我们可以采用分离变量法，将三维谐振子的波函数表示为三个坐标的乘积形式。
然后将波函数代入薛定谔方程，通过求解得到能量本征值和对应的波函数。
通过解薛定谔方程，我们可以得到三维谐振子在均匀磁场中的能量本征值的表达式。
这个表达式与磁场的强度、谐振子的质量和频率等参数有关。
不同的参数取值会导致能量本征值的变化，从而影响谐振子的行为。
三维谐振子在均匀磁场中的能量本征值的研究对于理解量子力学中的基本原理和应用具有重要意义。
它不仅为实验提供了理论依据，也为相关技术的发展提供了指导。
在实际应用中，三维谐振子在均匀磁场中的能量本征值可以用于研究原子、分子和凝聚态物质的性质。
例如，在核磁共振成像中，磁场对原子核的能级结构产生影响，从而使得原子核能够吸收和发射特定频率的电磁波，实现成像。
动力学相变及其量子纠缠熵表示
对称双势阱玻色!爱因斯坦凝聚系统在周期驱动下的动力学相变及其量子纠缠熵表示!房永翠!）"杨志安!）杨丽云#）!）（济南大学理学院，济南#$%%##）#）（北京应用物理与计算数学研究所，北京!%%%&&）（#%%’年’月!(日收到；#%%’年&月!’日收到修改稿）研究了在对称双势阱玻色)爱因斯坦凝聚体系粒子间相互作用项上外加周期调制而引起的系统动力学相变，特别地研究了该系统通向混沌的相变过程*发现在一定驱动参数下，当外加调制频率与系统固有频率达到共振时，相平面会出现不稳定性现象，即混沌*在混沌区域，粒子在各量子态随机分布，平均布居数差在零附近波动*特别地，研究表明，混沌现象的出现可以用量子纠缠熵来表征，混沌现象出现时，两种平均纠缠熵都趋于它们的最大值*关键词：玻色)爱因斯坦凝聚，双势阱，混沌，纠缠熵"#$$：%+,$，%!$$，’++$!国家自然科学基金（批注号：!%-’-%%&，!%,%-%%(）和中国工程物理研究院预研基金资助的课题*".)/012：30456745891:!#,;87/!;引言!(($年，在爱因斯坦理论预言’%年之后，经过几代物理学家的不懈努力，首次在实验上实现了碱金属原子稀化气体的玻色)爱因斯坦凝聚（<.=）［!—+］*<.=的实现有着十分重要的科学意义和潜在的应用价值，它既联系着物理学的基本理论，又和先进的物理技术紧密相关*<.=不仅对基础研究有重要意义，而且在芯片技术、精密测量和纳米技术等领域都有着广阔的应用前景，使其成为理论和实验研究的热门课题［-—!!］*从实验物理学角度，利用日益精密的激光技术等实验手段人们可以精确控制凝聚体，利用>?@AB08A 共振技术可以调节原子间的相互作用，从而可以通过给系统加上一个周期调制的外场，来研究系统在周期驱动下的动力学行为*>0@AB08A 共振最早是物理学家>0@AB08A ［!#］在原子核物理中发现的*在#%世纪(%年代初，C1?@1450等［!+］预言了在碱金属原子气体系统中存在有>0@AB08A 共振，他们提出在这些系统里，原子碰撞的散射长度可以通过改变磁场来调节*在!(((年，DEC 的F?GG?H2?实验组首先在钠系统中观测到了>0@AB08A 共振［!-］*利用>0@AB08A 共振，可以使散射长度达到任何一个值，从而可以任意地改变原子间的相互作用，所以>0@AB08A 共振在<.=领域应用非常广泛*在理论研究方面，平均场近似下的IH7@@)J1G0?K@L11方程［!!］（IH7@@)J1G0?K@L11?M90G174，IJ.）被成功地应用于研究<.=的动力学性质，如整体频率［!$，!,］等，并在一定条件下可以把IJ.简化成两模薛定谔方程［!’—!(］，从而可以用双势阱模型来描述<.=系统*双势阱模型虽然简单，却蕴藏着丰富的物理内涵，被广泛地用于研究<.=的各种动力学性质，并得到了许多非常有意义的现象，如隧穿性质［!’—!(］、自囚禁［#%—+#］等现象*这一模型所预言的一些现象已被实验所证实［++］*在纯量子情况下，这种多体量子系统呈现出量子纠缠特性［#(］，并且量子涨落本身对系统动力学性质也有影响［#-，#(］*在周期驱动下，对<.=双势阱模型相平面的研究，发现了诸如不稳定性（混沌）等许多有意义的现象［##—#-］*而不稳定性（混沌）的出现能够破坏原子间的相干性，导致<.=的瓦解*因此对不稳定性（混沌）的控制及其应用的研究，引起了人们的关注，这些也正是本文所关心的问题*第$’卷第#期#%%&年#月!%%%)+#(%N#%%&N$’（%#）N%,,!)%,物理学报O=CO JPQRE=O RESE=OT72*$’，S7*#，>?BH90H6，#%%&!"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""#%%&=A14*JA6@*R78*本文的主要研究内容是，在!"#对称双势阱模型中的粒子间相互作用项上，加上周期驱动!$ !%（&’()*!"），讨论这种周期外场对系统动力学性质的影响，特别是系统混沌现象的产生+研究了周期驱动下，对称双势阱中!"#通向混沌的相变行为，及其量子纠缠熵表示+研究结果表明，当相互作用较小，即%,!%,-时，相空间为周期轨道；随着相互作用强度的增加，在-,!%,&%./出现了自囚禁现象；当相互作用继续增大到处于&%./,!%,&-.0时，系统会发生相互共振，从而在相空间可以观察到混沌现象的发生+混沌现象发生时，粒子在各态随机分布，布居数差的平均值〈#〉在%附近波动，与此对应的纯量子情况中，平均熵趋于最大值；随着相互作用强度继续增大到!%1&-.0，系统又会出现自囚禁现象+-.!"#通向混沌的相变行为对双势阱!"#体系，其两模近似薛定谔方程为［&/—&2］)33"()$%$&()$%，（&）其中$，%分别是粒子出现在两个势阱中的概率幅，总概率$-’%-$&+体系的哈密顿为&$"-4!-（%-4$-）4’-4’-4"-’!-（%-4$-），（-）其中参数!表示粒子间的相互作用强度［-0，56］，"是两势阱的能量差，’是两势阱的耦合系数+本文的讨论是基于粒子间的相互作用为排斥作用（!1%），对称双势阱"$%的情况，同时，为了方便比较和计算，取’$&+如果粒子数足够大，这个系统能够用平均场近似很好地描述+在平均场近似下，令$$$7)#$，% $%7)#%，并引入布居数差#$%-4$-，和相对相位#$#%4#$，得到这个系统的经典哈密顿为&$4!-#-’’&4#!-89(#，（5）其中#，#是一对经典哈密顿系统的正则变量，满足3# 3"$4!&!#，3#3"$!&!#，于是有#·$’&4#!-()*#，（6:）#·$4!#4’#&4#!-89(#+（6;）在平均场近似下，在系统的相互作用项上外加的周期调制形式为!$!%（&’()*!"），则经典哈密顿（5）变为&$4&-#-!%（&’()*!"）’’&4#!-89(#，（<）相应的#，#的动力学方程（6:）和（6;）变为#·$’&4#!-()*#，（=:）#·$4#!%（&’()*!"）4’#&4#!-89(#，（=;）此时相空间哈密顿系统的演化行为由方程（=）支配，随着相互作用系数!%的不同出现的变化情况+对于这个系统，我们感兴趣的是粒子间相互作用的大小对系统动力学行为的影响，可令周期驱动频率!取固定值，本文中取!$&%+同时，为了方便与量子情况作比较，在数值计算中取初值为#$&，#$%，也就是说在初始时刻，所有的粒子都分布在一个阱中，且两阱的相对相位为%+图&绘出了初值为#$&，#$%的轨道在相互作用参数!%取值不同时的相图+图-（:）示出了布居数差对时间的平均值〈#〉随!%的变化情况+如图&（:）所示，当!%比较小，处于%,!%,-时，布居数差#在［4&，&］之间变化，相对相位#在［%，-"］内变化，粒子分布是平衡分布，即约瑟夫森振荡；对应的布居数差对时间的平均值〈#〉$%，见图-（:）中%,!%,-的区域+随着!%的增强，当-,!% ,&%./时，布居数差#在［%，&］间变化，相对相位#单调增加，见图&（;）；与此相应，布居数差对时间的平均值〈#〉"%，接近于#的初值&，出现自囚禁现象，如图-（:）所示+布居数差对时间的平均值〈#〉反映出粒子在两个阱中分布的平衡程度，〈#〉"%表明粒子在两个阱中分布不平衡，〈#〉越趋近于&，粒子数分布越不平衡，表明大多数粒子集中在一个阱中+也就是说〈#〉越大，自囚禁现象越明显+当!%改变范围到&%./,!%,&-.0时，相空间出现了不稳定性（混沌）现象，见图&（8），粒子在整个相空间的分布是随机的，使得布居数差的平均值发生突变，并在零附近波动，见图-（:）中&%./,!%, &-.0的区域+我们认为混沌现象的出现，是由于外加驱动频率与系统固有频率达到共振引起的，当!%很小和很大时，系统都不会出现混沌现象+当!%1-==物理学报</卷图!相平面中系统哈密顿的演化（"），（#），（$），（%）分别表示!&’!(&，)(&，!!(&，!)(&时势阱中粒子布居数差和相对相位的关系图*（"）经典情况平均布居数差的平均值随!&的变化曲线；（#）粒子数"’+&时量子情况平均布居数差随!&的变化曲线!*(,后，相空间混沌现象消失，又出现了自囚禁现象，见图!（%），#在［&，!］之间变化，!单调增加；相应的〈#〉!&，接近于#的初值，见图*（"）中!&-!*(,的区域.混沌现象的出现，可以由最大李雅普诺夫（/0"12345）指数"来表征，最大李雅普诺夫指数"的计算公式为［)+］"’678$"9!*%#$:!&’&63［!#（&;!）］*;［!!（&;!）］*［!#（&）］*;［!!（&）］*，（<）其中%为计算时选取的总的演化时间，$为数值计算的总步数."-&表示混沌现象的发生.对于图!的相空间轨道，我们计算了"随!&的变化行为，结果在图)中示出.图)#’!&李雅普诺夫指数随!&的变化曲线从图)所示的"随!&变化曲线可以看到，在区域!&(<=!&=!*(,中，"-&，说明了此时系统处于混沌状态.此外不论系统处于约瑟夫森振荡区域)>>*期房永翠等：对称双势阱玻色?爱因斯坦凝聚系统在周期驱动下的动力学相变及其量子纠缠熵表示!"!!"#，还是处于自囚禁区域#"!!"$!%&和!!’$#%(，相空间轨道都是确定论的运动，都有!) !，表明李雅普诺夫指数对这两种情况不能区分*+%量子涨落对系统动力学行为的影响上面讨论的双势阱,-.模型，在纯量子时的两模哈密顿为［$#，+/］"#)"#（$0$1%0%）1!#&（$0$0$$0%0%0%%）0’#（$0%0%0$），（(）其中算符$0，%0（$，%）分别是相应两阱的产生（湮灭）算符，&是总粒子数*在纯量子情况下，系统的演化由如下薛定谔方程决定：233(#（(）〉)"##（(）〉，（4）其中#（(）〉)!&))!$))，&1)〉，)，&1)〉（)) !，$，…，&）是福克态（56789:;:<9），$)是占有率*因此，量子情况的布居数差为*)!$)#（&1#)）&*（$!）这里用&作了归一化*在纯量子情况下，选择!，&〉作为初始态，以对应于平均场近似下的初值*)$*图#（=）画出了当粒子数&)>!时，由薛定谔方程（4）算出的平均布居数差*从图#（=）可以看出，量子情况下的平均布居数差也描述了,-.相变的几个过程：当!"!!"#时，布居数差的平均值〈*〉)!，系统处于约瑟夫森振荡状态；当#"!!"$!%&时，〈*〉"!，接近于$，系统处在自囚禁状态；当$!%&"!!"$#%(时（对应于经典时发生混沌的区域），布居数差的平均值〈*〉"$，系统出现不规则的隧穿*在!!’$#%(后，系统又处于自囚禁状态，〈*〉接近于$*与如图#（;）所示的经典情况比较可以看出，在经典情况出现混沌的区域，在由图#（=）显示的量子情况中，布居数差的平均值也如同经典情况一样发生较大的变化*%系统混沌行为的量子纠缠熵表示!"#"量子纠缠熵为了更清晰地描述在纯量子情况下粒子分布情况，引入了量子纠缠熵*两模,-.系统的纠缠熵是［+&，+(］+（$）)1!&))!$)#@6A#$)#*（$$）由于在每个福克态上的概率是随时间变化的，因此用平均熵来表征两模,-.量子情况下的量子相变行为［+4］*平均熵的计算有两种方法：$）先对一定时间内各态上的概率求平均，然后计算熵；#）先计算熵，然后再平均*这样就得到如下两种平均熵的计算公式：+;B)1!&))!〈$)#〉@6A#〈$)#〉@6A#&，（$#）〈+〉)1〈!&))!$)#@6A#$)#〉C@6A#&*（$+）这两个公式都用@6A#&作了归一化*平均熵越大，表明系统的平均纠缠程度越高*在图中，画出了粒子数分别为&)>!和$!!时两种平均熵随!!的变化曲线*图粒子数&)>!和$!!时量子情况的平均熵随!!的变化曲线在!!较小，处于!"!!"#时，粒子只占据在少数几个态上，并且占据的态是随时间变化的，这样瞬时熵就很小，因此平均熵〈+〉也比较小；而在每个态上的概率基本上是相等的，所以+;B比较大*随着!!的增大，占据的态增多，相应的平均熵〈+〉增大*当?//物理学报>&卷!!超过自囚禁的相变点，处于区域"#!!#$!%&时，这时由于自囚禁现象的发生，粒子被限制在少数几个态上，瞬时熵变小，因此平均熵〈"〉和"’(也相应地减小)当$!%&#!!#$"%*时，在平均场近似情况下系统处于混沌状态，系统占据较多的态，相应的量子情况的平均熵〈"〉和"’(也变大，接近于它们的最大值$，而且粒子数越多，〈"〉和"’(越接近于$)随着!!继续增大，在!!+$"%*后，系统再次处于自囚禁状态，平均熵〈"〉和"’(都减小)!"#"经典和量子情况的比较将经典情况平均场近似下的相图$和平均布居数差〈#〉随!!的变化图"（’），与纯量子情况下的平均布居数差〈#〉随!!的变化图"（,）和平均熵〈"〉和"’(〈#〉随!!的变化图-比较，可以发现：在自囚禁区域，"#!!#$!%&和!!+$"%*时，系统只占据在少数几个态上，见图$（’）和图$（.），经典和量子情况的平均布居数差〈#〉都接近于布居数差的初值#/ $，见图"，量子情况下的平均熵〈"〉和"’(接近于!，见图-)在经典情况发生混沌的区域，$!%&#!!# $"%*时，粒子在可整个空间的分布是随机的，也就是说系统占据较多的态，见图$（0），经典情况的平均布居数差〈#〉接近于!，见图"（’），而量子情况的〈#〉也不再接近于$，见图"（,），相应的量子情况时的平均熵〈"〉和"’(都接近于$，见图-)但与经典情况下粒子布居数差在混沌区域边界发生突变不同，在量子情况下，原来经典情况的相变点，扩展成一个变化区域)而在!!较小的区域（约瑟夫振荡区域），!!处于!#!!#"时，虽然"’(达到最大值，但由于经典和量子情况在这一区域粒子都只占据在少数几个态上，并且占据的态是随时间变化的，〈"〉由比较小的值逐渐增大，所以约瑟夫振荡区域与混沌区域的差别可以通过平均熵〈"〉表现出来，而"’(不能体现这一差别)1%总结本文主要研究了在相互作用项上加上周期驱动后，对称双势阱中234系统的动力学行为，特别是系统通向混沌的相变行为，及其量子纠缠熵表示)我们发现因相互作用项上的周期驱动作用，随着驱动参数的变化，系统相继表现了约瑟夫振荡状态、自囚禁状态、和不稳定状态（即混沌状态）等不同情况)当系统处于混沌状态时，粒子在各态随机分布，布居数差的平均值〈#〉在!附近波动，平均熵"’(和〈"〉的值与约瑟夫振荡状态和自囚禁状态时的值不同，此时平均熵"$%和〈"〉基本相等，都接近于最大值$)这表明在平均场近似下发生混沌的区域，粒子在各量子态的分布概率是相等的，而且各态间高度纠缠)这两种平均熵可以表征系统不稳定现象（混沌）的发生，它们在纯量子情况中的作用，相当于最大李雅普诺夫指数!在经典情况中的作用，可以表示不稳定（混沌）现象的发生)同时，这两种平均熵还能将系统的约瑟夫振荡状态和自囚禁状态区分开来)与最大李雅普诺夫指数!相比，这两种平均熵能更好地反映出系统相变的各个过程)我们真诚地感谢北京应用物理与计算数学研究所刘杰老师和傅立斌老师的有益指导)［$］56.789:6;<，369=78>?，;’@@=7A9;?，BC7D’643，4:867EE35$FF1&!’()!(#$%$F*［"］G’(C9H2，;7A79;I，56.87A9;?，G8J@76K>，GJ8L77G 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黄昆版固体物理学课后答案解析答案
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 31.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ω31230,,22(),0,224,,022a aa a a a a a a a Ω=⋅⨯==，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++ 同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
量子力学中的谐振子模型及其在材料科学研究中的应用
量子力学中的谐振子模型及其在材料科学研究中的应用量子力学是物理学中一门重要的分支，研究微观粒子的行为和性质。
在量子力学中，谐振子是一种经典的模型，广泛应用于各个领域，特别是在材料科学中。
一、量子力学中的谐振子模型谐振子是一个物理学中常见的模型，描述了一种能量随位置变化而呈正弦形式变化的系统。
在量子力学中，谐振子模型可以通过哈密顿算符来描述，形式如下：H = ħω (a†a + 1/2)其中H是系统的哈密顿算符，ħ是普朗克常数的约化常数，ω是谐振子的固有频率，a†和a是创建算符和湮灭算符，满足如下关系：[a, a†] = 1谐振子的能级结构由哈密顿算符的本征值和本征态确定，能级之间的能量差为ħω。
二、谐振子模型在材料科学中的应用谐振子模型在材料科学的研究中有着重要的应用价值，以下将从光学性质和电子结构两个方面探讨其具体应用。
1. 光学性质在材料科学中，研究材料的光学性质对于开发新型光电器件和解释材料行为具有重要意义。
谐振子模型在描述原子或分子的光学性质时非常有效。
例如，对于分子中的振动模式，可以使用谐振子模型来解释在不同频率下的吸收光谱。
谐振子模型可以定量地计算分子的吸收峰位、强度和形状，为实验结果提供了重要的理论依据。
2. 电子结构在材料科学中，了解材料的电子结构对于理解材料的导电性和光电性质具有关键意义。
谐振子模型在描述电子结构中的载流子行为时也有广泛应用。
例如，在固体中，电子在晶体势场中的行为可以用谐振子模型来描述，其中电子的能量就是谐振子的能级。
通过计算谐振子的能级分布，可以得到材料的能带结构和载流子的行为，为解释电导率、磁光性等材料性质提供了重要的理论基础。
三、结论量子力学中的谐振子模型是一个重要的模型，广泛应用于各种领域，特别是在材料科学研究中。
这个模型通过描述系统的能量随位置的变化规律，揭示了物质微观行为的奥秘。
在材料科学的研究中，谐振子模型被成功应用于解释材料的光学性质和电子结构，为实验结果提供了重要的理论支持。
一维谐振子在第一激发态下x的平均值
一维谐振子在第一激发态下x的平均值一维谐振子是量子力学中的一个重要模型，它可以用来解释原子和分子的振动。
在一维谐振子的量子力学模型中，我们可以通过求解薛定谔方程来得到系统的能级和波函数。
本文将探讨一维谐振子在第一激发态下x的平均值，并通过数学推导和物理解释进行详细说明。
一、一维谐振子模型1. 一维谐振子的势能函数在一维谐振子的模型中，势能函数可以表示为V(x)= 1/2 kx^2，其中k为弹簧常数，x为粒子的位移。
2. 薛定谔方程一维谐振子的薛定谔方程可以写作(-h^2/2m) d^2ψ/dx^2 + (1/2kx^2)ψ = Eψ，其中h为普朗克常数，m为粒子的质量，ψ为波函数，E为能量。
二、一维谐振子的波函数1. 解薛定谔方程通过数学方法可以求解一维谐振子的薛定谔方程，得到系统的能级和波函数。
在第一激发态下，波函数可以表示为ψ_1(x)。
2. 计算x的平均值一维谐振子在第一激发态下x的平均值可以表示为<x> =∫x|ψ_1(x)|^2 dx，通过对波函数的模平方与x的乘积进行积分求得。
三、x的平均值的物理意义1. 平衡位置一维谐振子在经典力学中具有平衡位置，即势能函数的最小值对应的位置。
x的平均值可以用来描述量子态下粒子的平均位置，与经典力学中的平衡位置相对应。
2. 对称性一维谐振子在量子力学中具有一定的对称性，x的平均值可以帮助我们理解系统在量子态下的对称性质。
四、数学推导1. 波函数的表达式通过求解薛定谔方程，我们可以得到一维谐振子在第一激发态下的波函数ψ_1(x)的表达式。
2. x的平均值计算将波函数的模平方与x的乘积进行积分，即可计算出x的平均值。
五、物理意义解释1. 平均位置x的平均值可以帮助我们理解谐振子在量子态下的平均位置，这有助于我们对系统的性质进行更深入的理解。
2. 波函数的振动一维谐振子在量子态下具有特定的波函数形式，在第一激发态下，波函数会呈现一定的振动特性。
量子力学中的谐振子模型
量子力学中的谐振子模型谐振子是最简单的物理模型之一，它是许多物理学和工程学研究中的基础。
谐振子模型最初是由赫兹在19世纪初研究弹簧振动得到的。
在量子力学中，谐振子模型被广泛应用于描述原子、分子、晶格等系统的振动。
谐振子模型的基本特征谐振子模型是一个标准量子力学问题，它最初是由薛定谔在1926年提出的。
谐振子模型由一个质量为m的粒子在一个势场V(x)中振动组成。
当此势场是一个二次曲线时，粒子的行为就是谐振子。
这个势场可以用下面的公式来描述：V(x) = 1/2mω²x²这里ω是一个频率，它是振动的夹角频率。
谐振子模型的哈密顿量通过薛定谔方程，我们能够得到谐振子模型的哈密顿量。
这个哈密顿量可以去掉第一项(x)来表示为：H = 1/2(p²/m + ω²x²)这里p是粒子的动量。
哈密顿量包含两个部分：动能和势能。
前者与粒子的速度有关，后者与粒子的位置有关。
我们发现，当位置x 和动量p 等于零时，哈密顿量 H 的值从 0 开始逐渐增加。
谐振子模型的能态由于谐振子的势能是是二次函数的形式，其能级也是均匀分布的。
谐振子模型的能态有无限多个，它们对应于独立的能子态和能量。
各个能级之间的能量差为ℏω，其中ℏ是普朗克常数。
任意谐振子可以写成费米函数形式的线性组合。
费米（Fermi）函数是一组由意大利物理学家费米创立的函数，用于描述费米子体系的基态和激发态。
经典谐振子模型与量子谐振子模型经典谐振子模型与量子谐振子模型是存在区别的，量子谐振子模型存在量子化现象。
经典谐振子的振幅可以是任意值，但量子谐振子仅对于特定离散位置有非零振幅。
在这些位置上，它的“位置波函数”保持相干，因此与经典谐振子的振幅一致。
单谐振子和多谐振子单谐振子和多谐振子是量子谐振子模型的两种形式。
单谐振子模型是指只有一个谐振子的系统，多谐振子模型是指由多个谐振子组成的系统。
在单谐振子模型中，哈密顿量可以表示为：H = ℏω( a† a + 1/2)这里a和a†分别是降算符和升算符，它们是谐振子模型的基础运算符。
KSi能带结构及态密度的第一性原理研究
Ａｂｓ ｒ ｃ ： ｅｅ ｅ ｔｏ ｉ ｔｕ ｔ ｒ ｓａ ｄ ｄ ｎｓｔｅ ｆｓａｅ ｅＫＳｉ ａ ｅｂｅ ｎ ｃ ｌ ｕ ａｅ ｓｎ ｈ ｒｔｐ ｉ ｃｐｌ ｔ ａ ｔ Ｔｈ ｌｃｒ ｎ ｃｓｒ ｃ ｕ ｅ ｎ ｅ ｉｉｓｏ ｔｔ ｓｏｆ ｈ ｖ ｅ ａｃ ｌｔ ｄ ｕ ｉ ｇ ｔ ｅ ｆ ｓ－ ｒｎ ｉ ｅ ｔ ｈ ｉ
收稿 日期 ：２ １－６ １；修 改日期：２ １－ ７０ ０ ００— ２ ００ ０－ ２ 基金项 目：贵州 省科学技 术基金 项 目（ 黔科 合 Ｊ ２ １］０２号） 字［００２０ ；贵阳市科 技计划 项 Ｈ（０９筑 科大 合 同字 第 ６号） ２０ 作者简介：‘ Ｉ （９８） 郝ｊ １７一，男，山西原平人，讲师，硕士，主要从事新型电子功能材料研究（— ａｌｈｏｈｎｔｎ ＠ｑ ． ｍ） ￣ Ｅｍ ｉ ａｚｅｇ ｇ ｑｃ ； ： ｏ ｏ 杨子义（９ ８） １７一，男，湖北孝感人，博士，主要从事新型电子功能材料研究（－ ｉｙｙ ｘ＠１６ｃｍ） Ｅｍａｌ ｚｇ ｌ ２ ． ． ： ｏ
ｓ ｍｉｏ ｄ ｃ ｏ ｔ ｅ ｂ ｎ ａ ｆ１４ ｅ ａ ｄ ｔ ｅｄ ｎ ｉ ｆ ｔ ｔｓｏ ｅｅ ｅ ｇ ａ ｄ ｒ ｉ ｕ ｓ ｄ ｉ ｅａｌ ｅ ｃ ｎ ｕ ｔ ｒ ｈｔ ａ ｄｇ ｐ ｏ ．２ Ｖ， ｎ ｅ ｓｔ ｏ ａ ｅ ｆ ｈ ｎ ｒ ｙ ｂ ｗｉ ｈ ｈ ｙ ｓ ｔ ｎ ｓ ｅｄ ｓ ｓｅ ｄ ｔ ｉ ａ ｃ ｎ ． Ｋｅ ｒ ｓ ＫＳ ； ｉ ｔ ｒ ｃ ｐ ｅ ； ｌ ｃｒ ｎ ｃｂ ｄ ｓｒ ｃ ｕ ｅ ｄ ｎ ｉ ｆｓ ｔ ｓ ｙｗｏ ｄ ： ｉ Ｆ ｒ — ｉ ｉ ｌｓ ｅｅ ｔｏ ｉ ａ ｔ ｔ ｒ ； ｅ ｓ ｙｏ ａ ｅ ｓｐ ｎ ｎ ｕ ｔ ｔ
量子力学习题以及课堂练习答案
一.微观粒子的波粒二象性1、在温度下T=0k 附近，钠的价电子能量约为3电子伏特，求其德布罗意波长。
2、求与下列各粒子相关的德布罗意波长。
（1）能量为100电子伏特的自由电子；（2）能量为0.1电子伏特的自由中子；（3）能量为0.1电子伏特，质量为1克的自由粒子； （4）温度T=1k 时，具有动能kTE 23=的氦原子，其中k 为玻尔兹曼常数。
3、若电子和中子的德布罗意波长等于oA 1，试求它们的速度、动量和动能。
4、两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两电子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？5、设一电子为电势差U 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000oA （可见光）o A 1（x 射线），oA001.0（γ射线）时，加速电子所需的电势差各是多少？二.波函数与薛定谔方程1、设粒子的归一化波函数为 ),,(z y x ϕ，求 （1）在),(dx xx +范围内找到粒子的几率；（2）在),(21y y 范围内找到粒子的几率； （3）在),(21x x 及),(21z z 范围内找到粒子的几率。
2、设粒子的归一化波函数为 ),,(ϕθψr ，求：（1）在球壳),(dr rr +内找到粒子的几率；（2）在),(ϕθ方向的立体角Ωd 内找到粒子的几率； 3、下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？（1）Eti ix Eti ix ex ex t x---+=ψ)()(),(211ψψ[])()(21x x ψψ≠（2）tE i t E i ex ex t x 21)()(),(2--+=ψψψ)(21E E ≠（3）EtiEti ex ex t x)()(),(3ψψ+=ψ-4、对于一维粒子，设 xp i o e xπψ21)0,(=，求 ),(t x ψ。
5、证明在定态中，几率密度和几率流密度均与时间无关。
6、由下列两个定态波函数计算几率流密度。
量子力学习题
e x e x ，问能否得到 G 3、知 G
d 的过程。 5、简单 Zeemann 效应是否可以证实自旋的存在？
0 二（20 分）求在辏力场势 U r ra ra
中运动的粒子，当 l=0 时的定态能级
数。
三（20 分）氢原子处于基态。求(1) r 的平均值；(2) 动量 P 的平均值 0 1 0 四（20 分）已知哈密顿算符 H 0 2 ai 0 ai 3
求： （1）能量本征值； （2）当 a 很小时，能量修正至二级。
五（20 分）设 F l 1 1 ) L (l 1 2l 1
表象下， S 五（20 分）求在 S n z
系处于 1 (sz ) 态时，求 S n
2
1 ( x 2 2
3 2
z ) 的本征值及本征函数。当体
的几率为多少？ 2
C—1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 D
ˆ n n n ，证明：a ˆ a ˆ ]=1， N ˆ ，a ˆn ˆa ˆ ，N 3、据[ a
n n 1 。
4、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。
是否厄米算符？ 是否一种角动量算符？ ，问 5、自旋 S 2 二（20 分）粒子在势场 U x 1 2 x a2 2 xa 中运动，求其定态能级及波函 xa
ˆ 在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 3、力学量 G
4、简述能量的测不准关系；
1 ( x, y , z ) ˆ 表象下，波函数 5、电子在位置和自旋 S z ( x, y, z ) 如何归一化？解释 2
核物质对称能研究新结果
核物质对称能研究新结果李祝霞原子能院：张英逊，欧立等NSCL/MSU: M.B.Tsang等1、引言2、对称能研究新结果3、结论对称能：质量公式：非对称核物质核态方程(EOS)饱和点附近的密度依赖(L and Ks)对称能系数S对称能研究意义核结构：对称能＋库仑能决定了一个核对于beta衰变是否稳定核反应：对称势的动力学效应对反应过程，产物的影响天体物理：中子星的半径，冷却，内壳厚度，…对称能研究现状为了确定对称能密度依赖，开展了大量实验，理论研究，通过比较获得对称能密度依赖从核结构研究Shetty et al, PRC 76, 024606(2007)•不同模型所得到的一些结论Problem:•结论不同•有些数据不能解释Why ？？1，模型物理假设不同2，采用的势场、介质中核子核子散射截面不同I B U U 04(i s o s p i n d i f f u s i on )AMD(isoscaling)需要进一步、更为细致的研究完整的Skyrme能量密度泛函N. Wang, Li, et.al., PRC69,034608，Y.X.Zhang, Li, et.al., PRC71,024604(2005); 74,014602(2007)Skyrme form理论模型：ImQMD05所有参数直接从Skyrme 力参数得到二、对称能的密度依赖研究新结果Note ：表面项和表面对称能项的引入在碎块形成和发射中的影响可考虑碎块（轻荷电粒子和IMF以及重碎块）形成和发射，能很好描写实验结果Zhang, Li, PRC71,024604(2005);Zhang,Li, PRC74,014602(2007)SkPL= 3（C s,k/3+C s,p/2）基于ImQMD ，可同时描述多种实验观测量Double ratio （中心碰撞）同位旋扩散比（大碰撞参数）如果没有同位旋扩散：如果同位旋完全平衡i 对应不同的观测量R 7＝M.B.Tsang,Y. Zhang,.,Li, etal.PRL102,122701(2009)Zhang, Li, et al. PLB 664(2008) 145A=124Sn+124SnB=112Sn+112Sn.double ratio软的对称能较合适Data:NSCL/MSU ImQMD05left: free neutrons,protons right: free neutrons,protons+ light charged particles（中心碰撞）double ratioA=124Sn+124Sn B=112Sn+112Sn.at a specific y实验发射源的同位旋不对称度R7P 0相应于饱和密度中子物质中由对称能引起的压强L = 3（C s,k /3+C s,p/2）对称能密度依赖的：对称能系数S 0，饱和密度附近对称能变化的斜率L ，表征中子物质对称能引起的压力p 0IAS:表面对称能研究N.P.A 818,36(09)PDR: pygmy dipole resonance PRC76,051603(07)GDR,PRC77,06304(08)arXiv:0902.3739Thickness of neutron skin from present work (ImQMD) PRL 102,122502(2009)Isospin diffusion (IBUU04) PRC72,064611(2005)实验测量结果与理论比较得到对称能密度依赖约束（S 0，L ，P 0）PRL 102,122502(2009)Present work三、结论1、同位旋扩散，双中子、质子产额比等3种不同实验测量结果可以同时用ImQMD05模型很好描写2、通过实验、理论计算比较由最小得到对对称能的密度依赖的约束所得结果与目前由其他的手段得到得结果没有矛盾3、所得的对称能密度依赖的范围仍较大，随实验精度提高，将有可能给出在低于饱和密度区的对称能的密度依赖更为精确的约束祝会议成功祝会议成功！。
AlN能带及态密度的密度泛函理论研究
量; A lN 是一种直接宽禁带半导体, 带隙为 417 eV, 比较起来该结果优于一些文献中的计算值。
关键词: A lN; 能带; 能隙; 密度泛函理论
中图分类号: O 73
文献标识码: A
引言
A lN 是一种新型的 Ó - Õ族 直接 带隙 宽禁带 化合 物 半导 体材 料, 在 常温 常压 下是稳 定的 六方 铅锌 矿结 构 [ 1]。 A lN 具有许 多 特 殊 的物 理 性 能, 诸如 高 击 穿场 强、高电阻率、高热传 导性、高热导 率和 高化学 稳定性、 优良的压电性, 低介电常数, 低介电损耗, 高机电耦合系 数 和高 声表 面波 传播 速度、优异的 机械 强度 和低 毒害 性, 使其具有广泛的应用或许多潜在用途。如电子元器 件、集成电路封装、介质隔离和绝缘材料, 高温高功率器 件 [ 2]、声表面波器件和体波器件 [ 3]、高频宽带通信、功率 半导体器件和短波 长光电 器件等。但 要实 现 A lN 在光 电器件上的广泛应 用还 面临重 大挑 战 ) 难以获 得有效 的 p型层, 这就依赖 于 A lN 晶体物 理性 质的深 入理解。 而固体能带理论是固体电子论的基础, 固体的许多物理 性质原则上都可由 固体的 能带 理论阐 明和解 释。本文 采用基 于密 度 泛 函理 论 的 平 面波 超 软 赝 势 法 研 究了 A lN 晶体的能带结构和态密度曲线, 阐述了 A lN 晶体的 电子结构, 所得结果对 A lN 晶体物理性质的研究和应用 提供了有益的理论参考。
1 计算方法和模型
本文所有的计算基于密度泛函理论 ( DFT ) 的平面波 赝势法 [ 4]。对铅锌矿 型 A lN 晶胞 进行了几何结 构优化, 电子间的交换 ) 关联势用局域 密度近似 ( LDA ) 描述, 为
陕西师范大学物理化学专业硕士研究生 《量子化学与群论》课程作业解析答案
7-5 环己三烯为 点群，以6个 轨道为表示的基,其可约表示为:
根据约化公式进行约化,得:
第八章群论初步及其应用
8-1以4个 轨道为表示的基，利用约化公式进行约化
已知：
用投影算子构造
得到了属于 表示的 轨道 ，属于 表示的 轨道，轨道的组合系数矩阵为
转置后为
得到4个杂化轨道 ，最后组合得MnO4-分子轨道
陕西师范大学物理化学专业硕士研究生
《量子化学与群论》课程作业解析答案
第一、二章量子力学基础
1.1一维谐振子的基态波函数为：
故基态时
1.2证明：v=1时谐振子波函数为:
⑴
V=2时谐振子归一化波函数为：
⑵
由⑴，⑵式知, 时的归一化因子是正确的。
1.3
是x的偶函数，x又是奇函数
是奇函数
1.4（1）①，②，③，⑥是线性算符。
2
一维势箱中的粒子,其 ,因此矩阵元 ,重叠积分 ,可由下面这些式子求得;
将这些式子代入久期方程展开后得:
函数 ， ， ， 的性质如表格：
函数
与x轴的交点（x，y）
极值点（x，y）
图形变化情况
0，位于x轴上方
，位于x轴上方
，位于x轴上方
内 ，位于x轴下方， 内 位于x轴上方
根据这个表格可得草图如下：
形成的可约表示为：
利用约化公式,得;
结合 的特征标表知:
和 为红外活性; 和 为拉曼活性.
（2） 是①，②，③，④的本征函数； 是③，⑥的本征函数；
是③，⑥的本征函数； 是②，③，⑥的本征函数；
是①，②，③，⑥的本征函数；
1.5
（3）用数学归纳法证明：
《固体物理学》基础知识训练题及其参考标准答案
《固体物理学》基础知识训练题及其参考标准答案《固体物理》基础知识训练题及其参考答案说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。
第一章作业1：1.固体物理的研究对象有那些？答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。
2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点？答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。
非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。
3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点？试画图说明。
有那些单质晶体分别属于以上三类。
答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。
常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。
面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。
常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。
六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。
常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。
4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。
答：NaCl：先将两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格；金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格；Cscl:：先将组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。
二维各向同性谐振子在均匀磁场中的能级及简并度变化
相应于 Ｅ 的能量本征态 ， 若取守恒量完全集为（ ， ） ％ ｚ 的共 同本征态， ： 则
（ ， ＝Ｒ（ ） 唧 ｐ ） ｐｅ
ｒ ｔ＝ ２ ＋Ｉ Ｉ ｍ ＝ ０， ２… ；ｍ ＝ ０，± １，± ２… ｌ，
则 Ｅ ＝Ｅ ＋Ｅ ＝ （ｌ ） ∞ ，＋１ｈ ０
Ｔ ／ ０， ２… ，＝ ｌ， ， Ｔ ＝ ０， ２… ｌ Ｉ ，， １，
（） ２
得 能级简 度 并
＝∑ （ 一 ＋ ）＝（ ＋ ） ， １ ｌ ， １； ｌ ０１ … ｌ 其中，＝ ，， ２
＝
Ｏ
若采用平面极坐标 ， 由文献 ［ ］ １ 可知 ，
ｎ
０ １２３的能级 Ｅ ， ，， 简并度 如下 ：
Ｅ ／ ｔ０ ｈ ｏ
ｌ
ｎ
（ ｏ ｍ） ｎ， （ ０ ０，）
（ ０，
．
｛
ｌ
１
０
ｌ １
２一∞Ｌ∞ ／ｑ ２＋∞Ｌ∞ ／ｏ
３ —２ｔ￡ ｔ０ ｏ ／ｏ ３ ３ ＋２ｔ￡ ｔ０ ｏ ／ｏ ４ — ３ｔ￡ ｏ ｏ ／ｔ０
ｎ＝０ １２３的能级 简并度 如下 ： ， ，，
ｎ
０ １
Ｅ ／ｌ ｏ ｌｏ ｔ
１ ２
（ ｍ） ｎ，
（ ，） ００ （ ，一１ （ １ ０ ） ０， ）
．
｛ Ｔ
１
２ ３
４
２ ３
３ ４
（ ２ （ ，一２ （ ，） ０， ） ０ ） １０ （ ３ （ ，一３ （ ，） １ ０， ） ０ ） １ １ （ ，一１ ）
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青海师专学报 （ 教育科学）
四川师范大学物理与电子工程学院《量子力学》历年考研真题汇编
目 录2012年四川师范大学626量子力学考研真题2013年四川师范大学626量子力学考研真题2014年四川师范大学826量子力学考研真题2015年四川师范大学826量子力学考研真题2016年四川师范大学826量子力学考研真题2017年四川师范大学826量子力学考研真题2018年四川师范大学830量子力学考研真题2012年四川师范大学626量子力学考研真题四川师范大学2012年攻读硕士学位研究生入学考试试题专业代码：07OM*―专业名称：理论物理、粒子物理与原子核物理、.原子与分子物理、凝聚态物理、光学考试科目代码：626考试科目名称：量子考学_____________.（本试卷共目」大题必小题，满分150一分）说明：（1）试题和答卷分离，所有答题内容须写在答题纸上，写在试题或草稿纸上的内容无效;（2）答题时，可不抄题，但须写明所答试顾序号；（3）答题时，严禁使用红色笔或铅笔答题.一、填室题：（本大题共7小题，每空5分，共计45分，每空的答案必须写在答题纸上）1、德布罗意提出实物粒子具有波动和粒子两重性，其粒子和波动的关系为和2、矿画r是状态用伊描写的粒子在体积元打内的（设p是归一化的工3、连续谱的本征函数可归一化为一.4、电子自旋及相应的磁矩是电子本身的"5、全同粒子按所遵循的统计规律可分为和■■-■6、与表象无关的态函数用表示。
7、当两力学量算符对易，它们所对应的力学量值—确定。
二、判断题：（本大题共5小题，每题2分，共计1Q分*正确的画叫”，错误的画每室的答案必须写在答题纸上）&、若啊与的都是体系的状态函数，姻它们的叠加态伊=件+%也是体系的状态函数.（＞9、若力学量A是守恒量，则力学量A的测量值就是唯一确定的.（）10、甲与p是系统的状态波函数，它们满足甲=c伊，则¥与中描述同一我态*（）■、定态指的是所对应的波函数不随时间变化的状态。
（＞12、按照态函数巾的统计意义，快|’在全空间的积分必为r（）旦.简述题：（本大题共2小题，每题邛分，共计20分，答题内容必须写在答题纸上）13、为什么力学量算符都是厄米算符？14、什么样的状态为系统的束缚态？处在束缚态中的能量本征谱般具有什么样的特点？四、证明题：（本大题共2小题，每题15分，共计30分，答艇内容必须与在答理氏上）15、证明kpj=袖。
原子核的壳层模型
原子的壳层模型世界是元素周期表的基础 原子的壳层模型成功解释了惰性气体的出现，
Z=2，10，18，36，54……（幻数）时，原子最稳定。
原子核壳层模型的提出：
实验事实：自然界存在幻数核，当质子数Z或中子数N等于
（幻数）原子核特别稳定！
那么，原子核是否也具有壳层结构
壳层模型提出遭到的挫折：
1：缺乏物理基础 原子壳层模型是考虑到原子中存在一个
相对固定的中心体（原子核），电子在其 势场中独立运动，在以此求解薛定谔方程 而得到的。这样的物理思想在原子核内缺 少根据：一缺少中心，二有强核力。
2：初试失败 人们假定核内核子在其他核子的平均场中做相对独立
运动利用核子在势阱中运动求解薛定谔方程，却得不到 与实验相符的幻数！
2l 1C
E E j1 2 E j1 2 2 根据上述公式，我们可以作如下分析： 两分裂能级的间隔随l增大而增大，随A的增大而减小。 核内核子受到的自旋-轨道耦合是相当强，它引起的能 级分裂相当大，由于很大的能级分裂，便得到了原来的 不到的幻数。大家可以照此思路分析一下一些幻数 的产生机理。
支持幻数存在的实验事实：
1：在偶数Z（Z〉32）的稳定核素中，只有 或8882S的r50,数138 B特a8别2,14稳0C定e82 的丰度大于50%，足见中子数为50 2：稳定核素中，N=20，28，50和82的同中子异荷素 数目比邻近的要多。 3：幻数核的最后一个核子的结合能要比幻数大1时最后 一个核子的结合能大的多，说明幻数核的结合紧得多。 4：中子数为50，82，126的原子的核的俘获的机率比 邻近核素要小得多，说明幻数和不宜再结合一个中子。 5：幻数核的第一激发态能量约为2MeV，比邻近荷素要 大得多。
环形振子势的超对称性和形不变性
环形振子势的超对称性和形不变性
钱尚武;黄博文
【期刊名称】《北京大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1999(35)3
【摘要】证明了在球极坐标下环形振子势在ｒ维和θ维具有超对称性和形不变性，得到了该势的能量本征值和能量本征函数。
【总页数】5页(P346-350)
【关键词】超对称性;形不变性;能量本征值;环形振子势
【作者】钱尚武;黄博文
【作者单位】北京大学物理学系;首都师范大学物理学系
【正文语种】中文
【中图分类】O413.1
【相关文献】
1.三维谐振子的超对称性和形不变性 [J], 王德云;王薇
2.利用超对称性和形不变性方法求解Poschl-Teller势的能谱和波函数 [J], 王德云;王薇
3.利用超对称性和形不变性方法求解P schl—Teller势的能谱和波函数 [J], 王德云;王薇
4.哈特曼势的超对称性和形不变性(英文) [J], 钱尚武;黄博文;王德云;顾之雨
5.利用超对称性和形不变性方法求解P schl-Teller势的能谱和波函数 [J], 王德云;王薇
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