第5章稳恒磁场51-53

B dB 为矢量积分。
r P
I
Bx dBx By dBy
Bz dBz
16
解题要点
3、毕奥-萨伐尔定律的微观理解
电流元可以看成是大量电荷的运动，电流元所 产生的磁场，可以看成由这些运动电荷产生磁场 的叠加。 设导体内的运动电荷数密度为n，带电量为q， 运动速度为v，则电流元内的电荷数为：
d r
dl
B dl B cos dl
L
I B 2r
L
cos dl rd
■
37
I rd L 2r
2、闭合环路不包围载流直导线
2
3 4 1
ᵩ
B dl B d l B d l
L L1 L2
0 I L d L d 2

r

x .P dB x
dB dByz
x
z
Bx dB sin
I
4 πr
I
0 Idl R
2

r

0 IR
4 πr
3
dl
I

0 IR2
2r
3
由对称性可知 每一对对称的电流元在P点 的磁场垂直分量相互抵消 所以
25
y
Id l r ˆ
y
Id l r ˆ
I z R o
Idl r 组成的平面

r
dB
x .P x
ˆ 相互垂直 所以 Idl r 2 dB 垂直于Idl r 组成的平面内
垂直于 r
由此可知
0 Idl dB 4 πr 2
23
第三步：根据坐标 写分量式
y
Id l r ˆ
I z R o
Idl r 组成的平面

r

x .P dB x
dB dByz
x
0 Idl dB 4 πr 2
dBx dB sin
dByz dB cos
0 Idl R
4πr
2

r
24
第四步：考虑所有电流元在P点的贡献
y
Id l r ˆ
I R o
Idl r 组成的平面
dS
S
B dS
s
物理含义：等于穿过该面积的磁力线的总条数。 2）单位：韦（伯） Wb
m 1Wb=1T·
2
6
2.磁场的高斯定理（封闭曲面的磁通量）
穿过封闭曲面的磁力线净条数？
1）文字表述： 通过任意封闭曲面的磁通量为零（穿过封闭曲 面的磁力线净条数为零）。 dS 2）公式：
一、通电直导线磁感强度的计算
将通电直线分割成许多电流元 Idl，每个电 流元产生的磁场由毕奥-萨伐尔定律确定
1.毕奥-萨伐尔定律内容： 每个电流元在场点 P激发的 磁感强度为：
Id l

r
dB
ˆ 0 I dl r 4π r
2
P
I
13
dB
ˆ 0 I dl r 4π r
I z
Idl r 组成的平面

R o
r

x .P dB x
dB dByz
x
B yz dB cos 0
I
结论：在P点的磁感强度
B Bx
0 IR 2
2r
3

2 x R
2

0 IR 2
2

3
2
方向：沿轴向 与电流成右手螺旋关系
26
B Bx

例3 直电流磁场的特点
1)场点在直电流延长线上
I
P
ˆ 0 B0 Idl r
l
B

2)长直载流导线中垂线上一点
• 各电流元产生的磁感强度方向相同
• 中垂线上半部分电流与中垂线下半部分 电流各提供1/2的磁感强度 • 无限长和半无限长载流导线
1 B无限 2
P
必然 结果
B半无限
如图示的 I 1 I2
图8
I3
I内 穿过L的电流即与L相铰链的电流
■
34
I
i
i内

电流代数和
I1
＊电流正负的规定：
电流方向与L绕行方向成右手
螺旋的电流取正，反之取负。
L
图8
I2
I3
如图示的电流 I 1取负，电流I2 取正。
举例说明 P125
4）L上各点的 B 由所有电流决定，但是
B dl
A
A
B
2）与静电场线的比较： 磁力线是闭合曲线，且与电流相套合（二者 符合右手螺旋）；
4
二、磁场叠加原理 在有若干个磁场源的情况下，它们产生 的磁场服从叠加原理
B Bi
5
三、磁场的高斯定理（磁通连续定理）：
1.磁通量(magnetic flux)：
d m
B
1）定义：
任一曲面S的磁通量Φ定义为：
L
35
只与穿过L的电流有关。
■
讨论
B dl 0 Ii内
L i
1）安培环路定理是稳恒电流磁场的性质方 程。（非稳恒电流的磁场不满足）
2） B d l 0 说明磁场为非保守场（涡旋场） ■
L
36
说明：磁场环路定理的证明：无限长载流直导线为例
1、闭合环路包围载流直导线
y
I z
R o
x
.
P
x
21
y
Id l r ˆ
I
z R o
Idl r 组成的平面
r
dB
x .P x
解：第一步：在圆电流上任取一电流元 Idl
由毕－萨定律 知其在场点P产生的磁感 强度 0 Idl r ˆ dB 2 22 4πr
第二步：分析各量关系 明确 dB 的方向和大小
B dS 0
s
2
B

2

下一页

dS
B
直线电流的磁感应线
环路
I I B
通电螺线管的磁感应线
环路
I
I
圆电流的磁感应线
I
各种典型的磁感应线的分布：
直线电流的磁感线
圆形电流的磁感线
11
直螺线管电流的磁感线
环形螺线管电流的磁感线
12
§6.2.3 毕奥－萨伐尔定律
i
I1
L
I2
B dl
L
I3
也叫环流
■
B dl 0 Ii内
L i
3）正确理解定理中各量的含义
L 在磁场中任取的一闭合环路,并规定绕行 方向（任意）。 dl B 曲线L上各点的磁感强度 I1 I2 dl L绕行方向（此方向可任 L
意取）上的任一线元
§6.2.2 磁感强度(magnetic induction) 一、磁感强度
B表 1、是描述磁场的力的性质的物理量，用 示，其在磁场中的作用与 E 在电场中的作用
相当。
2.磁感应强度的单位：特斯拉（T）
3.磁力线（ B 线）：
1）磁力线和磁感应强度的关系（方向、疏 密）。 BB B
B0
1、电流 或运动电荷在其周围激发磁场(magnetic field)（同时也激发电场 ） 。 2
2、磁场(magnetic field)的宏观性质：
1）对运动电荷(或电流)有力的作用
2）磁场有能量、动量 3、磁场的本质：磁场可以用电场表述出来。只用
电场就可以描述带电体间的相互作用。电场与磁场 构成一个统一的实体---电磁场。
2
Id l

r
P
说明： 0 Idl sin ①大小： dB 2 4 πr
ˆ 如图所示 ②方向：I dl r
方向
I
dB
r
既垂直电流元 又垂直半径
Id l
0 4π 10 ③常量：
7
Tm/A
14
真空中的磁导率
• 思考：电流元形成磁场磁力线在空间的形状？
O
dB
Pm
S
I
平面载流线圈 p m
磁偶极矩 p m
I
磁偶极子的场用磁偶极矩表示
28
I
pm r
.
P
B
0 IR2
2x
3

0 IR2
2r 3
0 IπR 2 0 pm 3 3 2 π r 2πr
若考虑方向，则可写成
0 p m B 2 πr 3
结论：磁偶极子的场沿磁矩方向
*§6.7 铁磁质
稳恒磁场是稳恒电流所产生的磁场.
1
§6.2毕－萨定律 §6.2.1 磁的基本现象（以19世纪为分界）： 一、对磁场的研究
1、19世纪前：磁铁间的相互作用
1）磁性；2）磁极，N、S极。 2、 19世纪后： 1). 电流与磁铁间、电流与电流间有相互作用 2). 分子电流假说。
S
二 、磁场 ：
0 IR 2
2r
3

2 x R
2
讨论 1）圆电流中心的场

0 IR 2
2

3
2
x0 B
0 I
2R
2）若x >> R
即场点离圆电流很远
B
0 IR2
2x
3

0 IR2
2r 3
下一节
27
3) 平面载流线圈的磁矩 磁偶极子
定义平面载流线圈的磁矩
Pm IS
如果 场点距平面线圈的距 离很远，这样的平面载流 线圈称为磁偶极子
dN nSdl
S为电流元的截面积。电流I为
I nqsv
17
S为电流元的截面积，则一个运动电荷产生 的磁场为
d B 0 qv r B 2 dN 4 r
其中，vdl v
解题要点
18
毕奥─萨伐尔定律解题要点
1） 取电流元 Idl ， 计算由 Idl 产生的 dB 的大小： 0 Idl sin dB 4 r2 dBx 2） 判断 dB 的方向， 把 dB 进行分解：dB dB y
N 总匝数为N 总长为l （n l
单位长度上匝数）
通过稳恒电流 电流强度为I 解：分析对称性 知内部场沿轴向
方向与电流成右手螺旋关系 由磁通连续原理可得
l B
I
B内>>B外
取过场点的每个边都相当小的矩形环路abcda B内 dl B dl B外 dl B dl B d l
31
§6.3 安培环路定理及应用 §6.3 .1 安培环路定理表述 §6.3.2 安培环路定理求磁场
32
§6.3 .1 安培环路定理表述
1.文字表述：在恒定电流的磁场中 磁感强度沿任一闭合环路的线积分 等于穿 过该环路的所有电流的代数和的0倍 2.表达式：
L
B d l I 0 i内
P

I dl
Idl r
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dB P
磁力线垂直于电流元和半径组成的平面 磁力线是圆心在电流元轴线上的一系列同心圆
磁力线绕向与电流流向成右手螺旋关系
15
2.整段通电直导线激发的磁场：
直导线产生的磁场等于导线上 各个电流元产生磁场的矢量和
Id l
ˆ 0 Idl r B dB 2 4 r
1 2
0
■
38
§6.3.2 安培环路定理求磁场 对于一些对称分布的电流 可以通过取合适的环路L 利用磁场的环路定理比较方便地求解场量 (类似于电场强度的高斯定理的解题) 1.用安培环路定理解题的条件：
电流的分布具有对称性。例题：
■
0 I ˆt r 1）无限长直导线（基础， B 2r
29
4）电磁学中物质分子的模型
电场时:电偶极子
磁场时:磁偶极子
电偶极矩 pe I 磁偶极矩 pm
+
场量的表达形式相同
E
1 4 0 r
3

r pe 3 pe r

30
0 B 3 pm 3 pm r r 4r

Bx dBx 3）对各分量分别积分： B dB y y 4）求积分。
19
例6.2 求长直载流导线的磁场分布,导线 的长为L，电流为I。
1 dcot 2 d s in
I
例6.3 求载流导体圆环在轴线上的磁感应强度 。圆环半径为R，电流为 I。
建如图所示的坐标系 设圆电流在yz平面内 场点P坐标为x
第6章 稳恒电流(steady current)和稳恒磁场(magnetic field) *§6.1 稳恒电流(电流密度不随时间变化) §6.2毕奥－萨伐尔定律(Biot and Savart Law) §6.3 安培环路定理(Ampere’s Law) §6.4 安培力和洛仑兹力 §6.5 磁场中的磁介质
）
无限长柱面（体），无限大载流平面
2）无限长、密绕直螺线管 内部：匀强场，外部：近似为零. 3）密绕螺绕环 内部：与螺绕环共轴的圆周上各点的B大小相等， 方向沿圆周的切线方向；外部：近似为零。 2.解题步骤： 1）分析B的对称性 2）过待求场点设计安培环路： ①等 B cos 线，② cos 0 线，③B=0线 40 ■ 3）求解。 例题：127页
大小：单位时间流过单位截面的电量 电流密度矢量 J 的多少。方向：正电荷移动的方向。
•（体）电流 (面)密度
如图 电流强度为I 的电流通过截面S
若均匀通过 电流密度为 J I S •(面) 电流 (线)密度
I
S
如图 电流强度为I的电流通过截线 l
若均匀通过 电流密度为
I i l
I
41
l
例1 求密绕长直螺线管内部的磁感强度