双曲线的渐近线

双曲线的渐近线

【教学目标】

1.知识教学点：使学生理解并掌握双曲线的渐近线的导出和论证，以及双曲线的渐近线的作用•

1

2.能力训练点：在与初中所学的y 的图象的类比中获得双曲线的渐近线的特点，从而

x

培养学生分析、归纳、推理等能力.

3.学科渗透点：使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质（渐近线）的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解.

【教材分析】

1.教学重、难点：双曲线的渐近线的导出和论证.

1

（解决办法：引导学生类比初中所学的y —的图象的特点，然后逐一证明）

x

2.教学疑点：双曲线的渐近线的发现和证明.

（解决办法：通过类比以及几何画板猜测）

【教学程序】

1.新课引入

课前播放“悲伤双曲线”的音乐。

我们前面已经学习了双曲线，你对双曲线有哪些了解呢？

（标准方程、中心、顶点、对称轴、离心率、准线等）

1

那么你对这条双曲线：y —（的图像）又有哪些了解呢？

x

你能找出它的中心吗？顶点呢？（双曲线和对称轴的交点），从而引出对称轴。

我们发现这条双曲线的对称轴并不是x、y轴，但是x、y轴又和这条双曲线的关系很密切，

你能说说它们的关系吗？（1）无交点；（2）逐渐接近一>无限接近。（板书）从而引出课题“双曲线的渐近线”。（板书）

2.新课讲解

【探索1】我们通常研究的双曲线的焦点都在坐标轴上（以焦点在x轴上的双曲线为例），

1

所以我们可以将y 的图像绕原点顺时针旋转45度，得到焦点在x轴上的双曲线。

x

这说明焦点在x轴上的双曲线也有渐近线。

那么，一般的双曲线的渐近线在哪里呢？大家猜猜看。（停顿）

能否根据其特征（无交点、逐渐接近- > 无限接近）找到它呢？（按特征的顺序依次研究）—、、x2 y2

【探索2】你能找到和双曲线— 2 1（a 0,b 0）的图象没有交点的直线吗？（y轴等

a b

过原点的部分直线）

2 2

【探索3】那么这么多和双曲线—占1（a 0, b 0）的图象没有交点的直线中，到底哪

a b

一条是和其逐渐接近并且无穷远处无限接近的呢？

（通过几何画板进行猜测）

先取a= 1,改变b的取值，比较直线的斜率和a, b的关系，

再取a = 2,改变b 的取值，比较直线的斜率和 a , b 的关系。 引导学生发现该直线的斜率 k -。

a

【探索4】几何画板的猜测不能代替证明，那么如何证明上述猜想的结果呢？

（学生可能说出几种不同的方案，取一种方案在几何画板上进行演示，然后证明） 我们不妨先以具体实例证明，并根据对称性取第一象限证明。

设双曲线的方程为 2

x

~2 a 2

b

1

，

（1 ）证明直线y

b

x 2

x 与双曲线— 2

1无父点，易证; a a

b

（2 ）证明逐渐趋近— ＞无限接近。

2 2

设M （x,y ）是双曲线 笃 每 1上的第一象限的一点， N （x, y ）是直线上与M 有相同横坐标

a b

【探索5】我们回到课前引入的问题。 我们能不能求出旋转后的双曲线的标准方程呢？ 由旋转前后的不变性，可求出 a .2，再由b 1，可求得：b . 2 ,

a

2 2

所以双曲线的标准方程为：

——1。

2 2

我们把实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线。 3 •例题讲解

2 2

例1 :求双曲线—£

4 9

（由学生到黑板前板演，并提问是如何画出草图的（先画渐近线） 的（描点），继续追问描的哪个点，从而引出矩形框的讲解）

的点，贝V |MN | y

-(x ,x a

a 2

)

ab ~2

2

x \ x a

从而x 增大直至趋于正无穷大时, |MN|逐渐减小直至趋于 即：点M 向无穷远处运动时,

M 点就无限接近于直线

0 ；

b x 。 a

2

x 综上，双曲线冷

a

2

y

1的渐近线方程为

b 2

根据对称性，其他象限类似。

我们称直线y

— x 为双曲线—2 y ? a a b 1(a 0,b 0）的渐近线。

1的渐近线方程，并画出双曲线的草图。

，追问渐近线是如何画出

2 2

【变】求双曲线工—1的渐近线方程。

9 4

(学生可能出现两种答案，此时在几何画板上进行验证，并得出焦点在

y 轴上的双曲线

y 2 x 2

a

2 — 1(a 0,b 0)的渐近线方程y x )

a b

b

3

由于例1和变式的结果都是y

x ，进而引出下面的追问

1。

2

3

【追问1】以直线y

— x 为渐近线的双曲线方程，你还能写出几个吗？

2

2

(如 —

4

y 3

2等，进而可以总结：以直线 y

—x 为渐近线的双曲线方程可以统一表 9 2

2

示为一

4

y 2 (

0))。(可以用几何画板演示结果)

9

【追问2】上述方程中 0,若 0，表示的是什么呢?

4 •课堂小结(略) 【教学反思】 1. 本节课的教学设计初衷是以学生的认知水平、

认知习惯为出发点，逐步寻找最近发展区, 从而

使学生能够顺利的接受并理解双曲线的渐近线；

2. 关于双曲线的渐近线的证明一直是本节课的矛盾点，若证明，则较难突破这一难点，若 不证明，则不符合学生猜测后证明的思想；

3. 对于双曲线的渐近线的应用则不是本节课的重点，因而淡化处理。

(恰好为双曲线的渐近线方程，进而总结：双曲线

a 2

b 2

1(a 0,b 0)的渐近线方程

2

为—

2 a

x 2

了

1(a 0

，

b

0)的渐近线方程为

2

y 2 a