【精选】全等三角形易错题(Word版 含答案)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．如图，在ABC 中，45ABC ∠=,AD ,BE 分别为BC ,AC 边上的高，连接DE ,过点D 作DF DE ⊥与点F ，G 为BE 中点，连接AF ，DG ．

（1）如图1，若点F 与点G 重合，求证：AF DF ⊥；

（2）如图2，请写出AF 与DG 之间的关系并证明．

【答案】(1)详见解析;(2)AF=2DG,且AF ⊥DG,证明详见解析.

【解析】

【分析】

(1) 利用条件先△DAE ≌△DBF,从而得出△FDE 是等腰直角三角形,再证明△AEF 是等腰直角三角形,即可.

(2) 延长DG 至点M,使GM=DG,交AF 于点H,连接BM, 先证明△BGM ≌△EGD,再证明△BDM ≌△DAF 即可推出.

【详解】

解:（1）证明:设BE 与AD 交于点H..如图，

∵AD,BE 分别为BC,AC 边上的高,

∴∠BEA=∠ADB=90°.

∵∠ABC=45°,

∴△ABD 是等腰直角三角形.

∴AD=BD.

∵∠AHE=∠BHD,

∴∠DAC=∠DBH.

∵∠ADB=∠FDE=90°,

∴∠ADE=∠BDF.

∴△DAE ≌△DBF.

∴BF=AE,DF=DE.

∴△FDE是等腰直角三角形.

∴∠DFE=45°.

∵G为BE中点,

∴BF=EF.

∴AE=EF.

∴△AEF是等腰直角三角形.

∴∠AFE=45°.

∴∠AFD=90°,即AF⊥DF.

（2）AF=2DG,且AF⊥DG.理由:延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM,

∵点G为BE的中点,BG=GE.

∵∠BGM∠EGD,

∴△BGM≌△EGD.

∴∠MBE=∠FED=45°,BM=DE.

∴∠MBE=∠EFD,BM=DF.

∵∠DAC=∠DBE,

∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE.

∵∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF,

∴∠BDF=45°-∠DBE.

∵∠ADE=∠BDF,

∴∠ADF=90°-∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD.

∵BD=AD,

∴△BDM≌△DAF.

∴DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM.

∵∠BDM+∠MDA=90°,

∴∠MDA+∠FAD=90°.

∴∠AHD=90°.

∴AF⊥DG.

∴AF=2DG,且AF⊥DG

【点睛】

本题考查三角形全等的判定和性质,关键在于灵活运用性质.

2．如图1，在平面直角坐标系中，点D（m，m+8）在第二象限，点B（0，n）在y轴正半

轴上，作

DA ⊥x 轴，垂足为A ，已知OA 比OB 的值大2，四边形AOBD 的面积为12．

（1）求m 和n 的值．

（2）如图2，C 为AO 的中点，DC 与AB 相交于点E ，AF ⊥BD ，垂足为F ，求证：AF ＝DE ．

（3）如图3，点G 在射线AD 上，且GA ＝GB ，H 为GB 延长线上一点，作∠HAN 交y 轴于点N ，且∠HAN ＝∠HBO ，求NB ﹣HB 的值．

【答案】（1）42m n =-⎧⎨=⎩

（2）详见解析；（3）NB ﹣FB ＝4（是定值），即当点H 在GB 的延长线上运动时，NB ﹣HB 的值不会发生变化．

【解析】

【分析】

（1）由点D ，点B 的坐标和四边形AOBD 的面积为12，可列方程组，解方程组即可； （2）由（1）可知，AD ＝OA ＝4，OB ＝2，并可求出AB ＝BD ＝25，利用SAS 可证△DAC ≌△AOB ，并可得∠AEC ＝90°，利用三角形面积公式即可求证；

（3）取OC ＝OB ，连接AC ，根据对称性可得∠ABC ＝∠ACB ，AB ＝AC ，证明

△ABH ≌△CAN ，即可得到结论.

【详解】

解：（1）由题意()()218122

m n n m m --=⎧⎪⎨++-=⎪⎩ 解得42m n =-⎧⎨=⎩

； （2）如图2中，

由（1）可知，A （﹣4，0），B （0，2），D （﹣4，4），

∴AD ＝OA ＝4，OB ＝2，

∴由勾股定理可得：AB ＝BD ＝5

∵AC ＝OC ＝2，

∴AC＝OB，

∵∠DAC＝∠AOB＝90°，AD＝OA，

∴△DAC≌△AOB（SAS），

∴∠ADC＝∠BAO，

∵∠ADC+∠ACD＝90°，

∴∠EAC+∠ACE＝90°，

∴∠AEC＝90°，

∵AF⊥BD，DE⊥AB，

∴S△ADB＝

1

2

•AB•AE＝

1

2

•BD•AF，

∵AB＝BD，

∴DE＝AF．

（3）解：如图，取OC＝OB，连接AC，根据对称性可得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，

∵AG＝BG，

∴∠GAB＝∠GBA，

∵G为射线AD上的一点，

∴AG∥y轴，

∴∠GAB＝∠ABC，

∴∠ACB＝∠EBA，

∴180°﹣∠GBA＝180°﹣∠ACB，

即∠ABG＝∠ACN，

∵∠GAN＝∠GBO，

∴∠AGB＝∠ANC，

在△ABG与△ACN中，

ABH ACN

AHB ANC

AB AC

∠=∠

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴△ABH≌△ACN（AAS），

∴BF＝CN，

∴NB﹣HB＝NB﹣CN＝BC＝2OB，

∵OB＝2

∴NB﹣FB＝2×2＝4（是定值），

即当点H在GB的延长线上运动时，NB﹣HB的值不会发生变化．