不定积分的计算

不

定义：如果在区间I 上，可导函数F （x ）的导函数为f （x ），即对任一x ∈I ，都有

()()dF(x)=f(x)dx F x f x '=或

那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数F （x ），使对任一x I ∈都有

()()F x f x '=

简单地说：连续函数一定有原函数。 一、换元积分法 1、第一类换元法

定理：设f （u ）具有原函数，()u x ϕ=可导，则有换元公式：()[()]()[()]u x f x x dx f u ϕϕϕ='=⎰，

设要求()g x dx ⎰，如果函数g （x ）可以化为g x [()]()x x ϕϕ'⎰（）=的形式，那么

()()[()]()[()]u x g x dx f x x dx f u du ϕϕϕ='==⎰⎰

.

这样，函数g （x ）的积分即化为函数f （u ）的积分，如果能求得f （u ）的原函数，那么也

就求出了g(x)的原函数。 例，求

⎰

解：被积函数中，cos2x 是一个复合函数：cos2x=cosu ，u=2x ，常数因子恰好是中间变量u 的导数，因此，作变换u2x ，便有：

2cos 2cos 22cos 22()cos sin 22cos 2sin 2xdx x dx x x dx

udu u c u x xdx x c

=∙=∙=

=+==+⎰⎰⎰⎰⎰即 将代入得

2、第二类换元法

定理：设()x t ϕ=是单调的可导的函数，并且()0t ϕ'≠，又设[()]()f t t ϕϕ'具有原函数，则有换元公式：1

x ()[[()]()]t f x dx f t t dt ϕϕϕ-='=⎰⎰（） （2）

其中1

x ϕ-（）是()x t ϕ=的反函数。

证明：设[()]()f t t ϕϕ'的原函数为()t Φ，记1

[()](x F x ϕ-Φ=），利用复合函数及反函数的

求导法则。得到：1

F ()[()]()[()]()()

d dt x f t t f t f x dt

dx

t ϕϕϕϕΦ''=

∙

=∙

=='

即F(x)是f （x ）的原函数，所以有：1

()()[()]f x dx F x c x c ϕ-=+=Φ+⎰ =1

()

[[()]()]t x f t t dt ϕ

ϕϕ-='⎰

即证明了公式（2）。

例、求()(0)x a >⎰

解：求这个积分的困难在于有根式，但我们可以用三角公式2

2

sin cos 1t t +=来去根式。

2

2

2

2

sin ,2

2

cos ,cos cos cos cos .

sin 2=()+c

24

=t+2x a t t a t dx a tdt a t a tdt a

tdt t t a a

π

π

=-

<<

===

∙=+⎰⎰设那于是根式化成了三角式，所求极分化为

2

2

2

sin t cos t 2

x=sin ,,t=arcsin 2

2

cos 2

arcsin

+

2

a c

a t t a

t a

a

π

π

π

π

+-

<<

===

⎰

由于所以于是所求积分为

常用的几种变量代换

二、分部积分法

设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数，那么，两个函数乘积的导数公式为

vu uv =uv ''''''（）

=u v+uv 移项得（）-u v 对这个等式两边求不定积分得

uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰ （1）

公式（1）称为分部积分公式，如果求uvdx ⎰有困难，而求u vdx '⎰比较容易时，分部积分公式就可以发挥作用了。

为简便起见，也可以把公式（1）写成下面形式

udv uv vdu =-⎰⎰ （2）

例、求cos x xdx ⎰

2

2

2

u dv=cosxdx

du ,sin 2)x cos sin sin v sin cos sin cos u=cosx dv=xdx du 2x cos xdx =

cos x+sin 2

2

u d x dx v xdx x x xdx

du xdx x xdx x x x c

x

x

x

xdx

====

-=

=

++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

解：设 那么代入分部积分公式（得

而容易积出，所以

求这个积分时，如果设，，那么=-sinxdu,v=于是上式右端的积分比原积分更难求出所以和v 选取不当，就求不出结果