不等关系PPT课件
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不等关系与不等式 课件
(2)要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条 性质是否具有可逆性．
用不等式(组)表示不等关系
[典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情 况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20 台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：
家电名称 空调
彩电
冰箱
工时(h)
1 2
用不等式性质求解取值范围 [典例] 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值 范围． [解] ∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)， 即－7＜a－b＜2. 故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．
数式的大小比较
[典例] (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与1a的大小． [解] (1)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)x－122＋34. ∵x<1，∴x－1<0.又x－122＋34>0， ∴(x－1)x－122＋34<0. ∴x3－1<2x2－2x.
(2)因为a－1a＝a2－a 1＝a－1aa＋1， 因为a>0，所以当a>1时，a－1aa＋1>0，有a>1a； 当a＝1时，a－1aa＋1＝0，有a＝1a； 当0<a<1时，a－1aa＋1<0，有a<1a. 综上，当a>1时，a>1a； 当a＝1时，a＝1a； 当0<a<1时，a<1a.
用不等式(组)表示不等关系
[典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情 况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20 台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：
家电名称 空调
彩电
冰箱
工时(h)
1 2
用不等式性质求解取值范围 [典例] 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值 范围． [解] ∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)， 即－7＜a－b＜2. 故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．
数式的大小比较
[典例] (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与1a的大小． [解] (1)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)x－122＋34. ∵x<1，∴x－1<0.又x－122＋34>0， ∴(x－1)x－122＋34<0. ∴x3－1<2x2－2x.
(2)因为a－1a＝a2－a 1＝a－1aa＋1， 因为a>0，所以当a>1时，a－1aa＋1>0，有a>1a； 当a＝1时，a－1aa＋1＝0，有a＝1a； 当0<a<1时，a－1aa＋1<0，有a<1a. 综上，当a>1时，a>1a； 当a＝1时，a＝1a； 当0<a<1时，a<1a.
不等关系与不等式 ppt课件
(2)a是负数
a＜0
(3)x与3的和小于6 x+3＜6
(4)x与2的差大于-1 x-2＞-1
(5)x的4倍大于等于7 4x≥7
(6)y的一半小于3
1 2
y＜3
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不等式和它的基本性质
例1.用不等式表示：
(1) a是负数；(2) a是非负数；
(3) x的6倍减去3大于10；
(4)y的
……
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10
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11
A A
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1 不等关系
在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工作原理，
并且根据这一原理设计出了一些简单机械，
并把它们用到了生活实践当中．
由此可见，“不相等”处处可见.
从今天起，我们开始学习一类新的数学知识：不等式．
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不等词为_不__少__于__， m 2.5%
用不等式组来表示：_____n___2_._3_%_.
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文字语言与数学符号间的转换.
文字语言
数学符号
大于、多于、高于、超过…
>
小于、少于、低于、落后于… <
大于等于、不小于、不少于… ≥
小于等于、不大于、不多于… ≤
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19人的普通票花费
190元
若选择20人的团体票花费 160元
此情况下购买团体票能得到更大实惠.
是否选择团体票就一定实惠？ 若1人去肯定会选择普通票.
那么满足什么样的不等关系时，消费者 能得到更大实惠？
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例2.某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万 册.经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少 5000册.若设每本杂志的定价提高x元，怎样才能使 杂志社的销售收入超过22.4万元？（不求解）
3-1《不等式与不等关系》课件(共29张PPT)
判断两个实数大小的依据是：
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质Байду номын сангаас基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
因式分解、配方、 通分等手段
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
am a
am a
作差
变形 定符号 确定大小
问题探究（三）不等式的性质的应用
性质１:对称性
a<b
b>a
性质２:传递性
a b，b c a c
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:同正可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
性质５:加法法则 (同向不等式可相加)
故选A．
变式 5、给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________．
[答案] ③
问题探究（四）利用不等式的性质求取值范围
例 6、已知－6<a<8,2<b<3，分别求 2a＋b，a－b，ab的取值范围．
分析:欲求 a－b 的取值范围，应先求－b 的取值范围，欲求 ab的取值范围，应先求1b的取值范围．
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质Байду номын сангаас基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
因式分解、配方、 通分等手段
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
am a
am a
作差
变形 定符号 确定大小
问题探究（三）不等式的性质的应用
性质１:对称性
a<b
b>a
性质２:传递性
a b，b c a c
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:同正可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
性质５:加法法则 (同向不等式可相加)
故选A．
变式 5、给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________．
[答案] ③
问题探究（四）利用不等式的性质求取值范围
例 6、已知－6<a<8,2<b<3，分别求 2a＋b，a－b，ab的取值范围．
分析:欲求 a－b 的取值范围，应先求－b 的取值范围，欲求 ab的取值范围，应先求1b的取值范围．
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.
2.1.1不等关系与重要不等式课件(人教版)
∴ 2 + 2 + 2 ≥ + + .
当且仅当 = = 时，等号成立
4 课堂训练
4
课堂训练
C
C
4
课堂训练
≥ 0
+ >
16 ≤ ≤ 18
2 + 2 > 3
5 预习自测
5
预习自测
√
√
×
√
5
预习自测
C
<
= 2 + 5 + 6 − 2 + 5 + 4
=2
∵2＞0，
∴ +2 +3 ＞ +1 +4 .
作差
变形
0是相等与不等的分界
限，它也为比较实数的大
定号
定论
小提供了标杆.
2
实数大小的比较
再
已知，均为正数，且 ≠ ，比较3 + 3与2 + 2的大小
【解】运用作差法：
【问题4】 ：如何证明重要不等式？
2
2
2
证明： (a b ) - 2ab (a b)
当a b时, (a b) 0
2
当a b时, ( a b )2 0
(a 2 b 2 ) 2ab 0,
当 且 仅 当 a b时 ， 等 号 成 立 。
3
一个重要不等式
B
D
（3）S与S’会出现相等的情况吗，什么时候相
当a=b时
等？ 当a=b时，S=S'，即 + =
A
C
E(FGH)
B
综上， + ≥
重要不等式
当且仅当 = = 时，等号成立
4 课堂训练
4
课堂训练
C
C
4
课堂训练
≥ 0
+ >
16 ≤ ≤ 18
2 + 2 > 3
5 预习自测
5
预习自测
√
√
×
√
5
预习自测
C
<
= 2 + 5 + 6 − 2 + 5 + 4
=2
∵2＞0，
∴ +2 +3 ＞ +1 +4 .
作差
变形
0是相等与不等的分界
限，它也为比较实数的大
定号
定论
小提供了标杆.
2
实数大小的比较
再
已知，均为正数，且 ≠ ，比较3 + 3与2 + 2的大小
【解】运用作差法：
【问题4】 ：如何证明重要不等式？
2
2
2
证明： (a b ) - 2ab (a b)
当a b时, (a b) 0
2
当a b时, ( a b )2 0
(a 2 b 2 ) 2ab 0,
当 且 仅 当 a b时 ， 等 号 成 立 。
3
一个重要不等式
B
D
（3）S与S’会出现相等的情况吗，什么时候相
当a=b时
等？ 当a=b时，S=S'，即 + =
A
C
E(FGH)
B
综上， + ≥
重要不等式
三角形中边与角之间的不等关系课件
A
E
C
已知：△ABC中， ∠ B<∠C 求证： AB＞AC
在△ABC中，如果∠ B<∠C ，那么 在∠C 内部可以作∠BCD＝ ∠ B. 因为∠BCD＝ ∠ B， 所以BD=CD 而AD+CD>AC 所以AD+BD>AC B 即AB>AC D
A
C
在一个三角形中，如果两个角不相 等，那么它们所对的边也不相等，大角 所对的边较大。
1
2
C
在一个三角形中，如果两条边不相 等，那么它们所对的角也不相等，大边 所对的角较大。
A
∵AB>AC ∴∠C>∠B(大边对大角)
B
C
已知：△ABC中， ∠B<∠C 求证： AB＞AC
在△ABC中，如果∠B<∠C ， 那么我们可以将△ABC折叠， 使点B落在C上， ∠B落在∠C 内部，则， BD=CD 而AD+CD>AC B 所以AD+BD>AC 即AB>AC D
∴∠B=∠C(等边对等角) ∵∠ B=∠C ∴AB=AC（等角对等边）
如果AB>AC，那么∠B与∠C 大小如何？ 如果∠C>∠B，那么AB与AC 大小如何？
已知：△ABC中，AB＞AC
求证：∠C＞ ∠B
A
B
C
已知：△ABC中，AB＞AC 求证：∠C＞ ∠B
在△ABC中，如果AB＞AC，那么 我们可以将△ABC折叠，使边AC 落在AB上，点C落在AB上的D点， 则， ∠C＝ ∠ADE 而∠ADE＞ ∠B
A
∵∠C>∠B ∴AB>AC (大角对大边)
B
C
利用上面两个结论，回答下面的问题：
3.1《不等关系》课件(北师大版必修5)
4．一个重要结论 a＋m ＞ a. 设 a，b 为正实数，且 a＜b，m＞0，则 b b＋m
1．若b<0，a＋b>0，则a－b的值( A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定 解析： ∵b<0，a＋b>0， ∴a>－b>0，∴a－b>0. 答案： A的速度 v 的最大限速为 120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距 d 不得小于 10 m，用不 等式表示为( ) B．v≤120(km/h)或 d≥10(m) D．d≥10(m)
a 已知 12＜a＜60,15＜b＜36，求 a－b 及b的取值范围．
a 1 欲求 a－b，应先求－b 范围，欲求 ，应先求 范围，再 b b 利用不等式性质可求解．
[解题过程] ∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15. ∴12－36＜a－b＜60－15，∴－24＜a－b＜45. 1 1 1 12 a 60 1 a 又 ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜4. 36 b 15 36 b 15 3 b 1 a ∴－24＜a－b＜45，3＜b＜4.
3.利用不等式的性质判断下列各结论是否成立，并简述 理由． a b (1)若 2> 2，则 a>b； c c 1 1 (2)若 a>b，ab≠0，则a<b； (3)a>b，c>d⇒a－c>b－d； 1 1 (4)若 a>b， > ，则 a>0，b<0. a b
解析：
(1)正确．∵c2≠0，∴c2>0.
某厂使用两种零件A、B，装配两种产品： 甲、乙，该厂的生产能力是月产甲最多2 500 件，月产乙最多1 200件，而组装一件甲需要4 个A,2个B；组装一件乙需要6个A,8个B.某个月， 该厂能用的A最多有14 000个，B最多有12 000 个．用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关 系表示出来．
1．若b<0，a＋b>0，则a－b的值( A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定 解析： ∵b<0，a＋b>0， ∴a>－b>0，∴a－b>0. 答案： A的速度 v 的最大限速为 120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距 d 不得小于 10 m，用不 等式表示为( ) B．v≤120(km/h)或 d≥10(m) D．d≥10(m)
a 已知 12＜a＜60,15＜b＜36，求 a－b 及b的取值范围．
a 1 欲求 a－b，应先求－b 范围，欲求 ，应先求 范围，再 b b 利用不等式性质可求解．
[解题过程] ∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15. ∴12－36＜a－b＜60－15，∴－24＜a－b＜45. 1 1 1 12 a 60 1 a 又 ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜4. 36 b 15 36 b 15 3 b 1 a ∴－24＜a－b＜45，3＜b＜4.
3.利用不等式的性质判断下列各结论是否成立，并简述 理由． a b (1)若 2> 2，则 a>b； c c 1 1 (2)若 a>b，ab≠0，则a<b； (3)a>b，c>d⇒a－c>b－d； 1 1 (4)若 a>b， > ，则 a>0，b<0. a b
解析：
(1)正确．∵c2≠0，∴c2>0.
某厂使用两种零件A、B，装配两种产品： 甲、乙，该厂的生产能力是月产甲最多2 500 件，月产乙最多1 200件，而组装一件甲需要4 个A,2个B；组装一件乙需要6个A,8个B.某个月， 该厂能用的A最多有14 000个，B最多有12 000 个．用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关 系表示出来．
不等关系与不等式ppt课件演示文稿
第五单元
不等式、推理与证明
第一节 不等关系与不等式
基础梳理
1. 不等式的定义：用不等号≠、＞、＜、≥、≤ 连接 两个数或代数式 的式子叫做不等式. 2. 不等式的基本性质 (1)a＞b b＜a; (2)a>b,b>c a > c; (3)a>b a+c > b+c; (4)a>b,c>0 ac > bc; (5)a>b,c<0 ac＜bc; (6)a>b,c>d a+c > b+d; (7)a>b>0,c>d>0 ac > bd; > n b. (8)a>b>0,n∈N*,n>1 an > bn,n a ____
2
易错警示
【例】（2010· 辽宁）已知-1＜x+y＜4且2＜x-y＜3， 则z=2x-3y的取值范围是 （答案用区间表示）.
错解 ∵-1＜x+y＜4，① 2＜x-y＜3，② ∴-3＜-x+y＜-2,③ 1 7 由①+②得 2 ＜x＜2 ，由①+③得-2＜y＜1， ∴1＜2x＜7，-3＜-3y＜6,-2＜2x-3y＜13， ∴z的取值范围是（-2，13）.
变式3-1 已知- 2 ≤ a<b ≤ ，求 2 ， 2 的取值范围． 2 解析：∵- 2 ≤a< 2 ， ① - <b ≤ 2 ， ② ①+②得-p<a+b<p，∴- 2 < 2 < 2 . ∵- 2 <b ≤ 2 ，∴- 2 ≤ -b < 2 . ③ ①+③得-p≤a-b<p，∴- 2 ≤ < . 2 2 又a<b，∴ 2 <0，∴- ≤ 2 <0.
不等式、推理与证明
第一节 不等关系与不等式
基础梳理
1. 不等式的定义：用不等号≠、＞、＜、≥、≤ 连接 两个数或代数式 的式子叫做不等式. 2. 不等式的基本性质 (1)a＞b b＜a; (2)a>b,b>c a > c; (3)a>b a+c > b+c; (4)a>b,c>0 ac > bc; (5)a>b,c<0 ac＜bc; (6)a>b,c>d a+c > b+d; (7)a>b>0,c>d>0 ac > bd; > n b. (8)a>b>0,n∈N*,n>1 an > bn,n a ____
2
易错警示
【例】（2010· 辽宁）已知-1＜x+y＜4且2＜x-y＜3， 则z=2x-3y的取值范围是 （答案用区间表示）.
错解 ∵-1＜x+y＜4，① 2＜x-y＜3，② ∴-3＜-x+y＜-2,③ 1 7 由①+②得 2 ＜x＜2 ，由①+③得-2＜y＜1， ∴1＜2x＜7，-3＜-3y＜6,-2＜2x-3y＜13， ∴z的取值范围是（-2，13）.
变式3-1 已知- 2 ≤ a<b ≤ ，求 2 ， 2 的取值范围． 2 解析：∵- 2 ≤a< 2 ， ① - <b ≤ 2 ， ② ①+②得-p<a+b<p，∴- 2 < 2 < 2 . ∵- 2 <b ≤ 2 ，∴- 2 ≤ -b < 2 . ③ ①+③得-p≤a-b<p，∴- 2 ≤ < . 2 2 又a<b，∴ 2 <0，∴- ≤ 2 <0.
不等式的基本性质PPT课件
事实上，如果a>b， c>0，因为ac-bc=c(ab)>0，所以ac>bc.
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3，不等号的 方向是否改变？两边都除以-2呢？
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论？能用不等式表示 出来吗？
a>b；甲的年龄大，a+c>b+c
（2）在数轴上，点A与点B分别对应实数a，b， 并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a， b之间的大小关系.如果同时将点A，B向右（或 向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′，B ′ （如图）.你能用不等式表示点A′，B ′所对应 的数的大小关系吗？
a>b；a+c>b+c；a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0
是
（2）4x+3y>0 是
（3）x=3
不是
（4） x2+xy+y2 不是
（5）x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
（3）由（1）（2），你发现了有关不等式的什 么结论呢？你能用不等式表示表示出来吗？
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一数或同一个整式，不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3，不等号的 方向是否改变？两边都除以-2呢？
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论？能用不等式表示 出来吗？
a>b；甲的年龄大，a+c>b+c
（2）在数轴上，点A与点B分别对应实数a，b， 并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a， b之间的大小关系.如果同时将点A，B向右（或 向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′，B ′ （如图）.你能用不等式表示点A′，B ′所对应 的数的大小关系吗？
a>b；a+c>b+c；a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0
是
（2）4x+3y>0 是
（3）x=3
不是
（4） x2+xy+y2 不是
（5）x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
（3）由（1）（2），你发现了有关不等式的什 么结论呢？你能用不等式表示表示出来吗？
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一数或同一个整式，不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.
《不等关系》课件
总结
定不等（不等于）的关系，包 括大于、小于、大于等于、小于等于、不等于等。
应用
掌握不等关系能够帮助开发者编写更加复杂的程序，并进行更加复杂的数据分析。
重要性
理解不等关系有利于掌握程序的逻辑性，避免因数据关系而出现程序BUG。
不等关系PPT课件
了解不等关系，掌握编程中应用技巧。
什么是不等关系
定义
不等关系指两个数据之间的关系不是相等（等于）的关系，而是不等（不等于）的关系。
范例
包括大于、小于、大于等于、小于等于、不等于等。
提醒
理解不等关系有助于理解Python的复杂逻辑。
大于和小于
大于
用符号">"表示。例如：5 > 3
小于
用符号"<"表示。例如：3 < 5
应用
数轴上的点也可以用大于小于描 述，如x > 3。
大于等于和小于等于
1 大于等于
2 小于等于
3 几何意义
用符号">="表示。例如： 5 >= 5
用符号"<="表示。例如： 3 <= 5
不等式可以用来描述数值 的大小关系，从而表示数 量关系、大小关系等几何 意义。
2
循环语句
使用while和for循环，根据不等关系执行不同的次数。例如：for i in range(1,10): print(i)。
3
逻辑运算
使用逻辑运算符（and、or、not）结合不等关系，判断多个条件的复杂情况。 例如：if x >= 10 and x < 20: print("x在10到20之间")。
不等式讲相等关系与不等关系课件pptx
若a<b，b<c，则a<c。证明方法是先证明a和b之间存在一个数x，使得a<x<b，再证明b和c之间存在一个数y，使得b<y<c，那么就可以得出a<c的结论。
不等式的性质证明
对称性的证明
若a<b，则-b<-a。证明方法是通过定义对称性，即定义-b为-a的相反数，得出-b<-a的结论。
结合性的证明
若a<b，c<d，则a+c<b+d。证明方法是通过定义结合性，即先证明a和c之间存在一个数x，使得a<x<b+c，再证明b+c和d之间存在一个数y，使得x<y<d，那么就可以得出a+c<b+d的结论。
Ax ≤ b是指A乘以x的结果小于或等于b，即每个元素$a_{i,j} \times x_j \leq b_i$。
线性不等式的定义
严格线性不等式
$Ax < b$，即矩阵A乘以向量x的结果严格小于向量b。
非严格线性不等式
$Ax \leq b$，即矩阵A乘以向量x的结果小于或等于向量b。
线性不等式的分类
总结词
最大利润问题
总结词
应用线性不等式求解最短路径问题是图论中的经典问题，通常在物流、交通等领域有广泛应用。通过建立线性不等式模型，可以将最短路径问题转化为数学问题，从而用数学方法求出最短路径。
详细描述
最短路径问题是一类经典的图论问题，通常在物流、交通等领域有广泛应用。在求解过程中，通常使用Dijkstra算法、Floyd算法等经典算法构造初始解，并通过不断迭代逐步优化得到最短路径。
证明不等式是均值不等式应用中的另一个重要方面。
详细描述
不等式的性质证明
对称性的证明
若a<b，则-b<-a。证明方法是通过定义对称性，即定义-b为-a的相反数，得出-b<-a的结论。
结合性的证明
若a<b，c<d，则a+c<b+d。证明方法是通过定义结合性，即先证明a和c之间存在一个数x，使得a<x<b+c，再证明b+c和d之间存在一个数y，使得x<y<d，那么就可以得出a+c<b+d的结论。
Ax ≤ b是指A乘以x的结果小于或等于b，即每个元素$a_{i,j} \times x_j \leq b_i$。
线性不等式的定义
严格线性不等式
$Ax < b$，即矩阵A乘以向量x的结果严格小于向量b。
非严格线性不等式
$Ax \leq b$，即矩阵A乘以向量x的结果小于或等于向量b。
线性不等式的分类
总结词
最大利润问题
总结词
应用线性不等式求解最短路径问题是图论中的经典问题，通常在物流、交通等领域有广泛应用。通过建立线性不等式模型，可以将最短路径问题转化为数学问题，从而用数学方法求出最短路径。
详细描述
最短路径问题是一类经典的图论问题，通常在物流、交通等领域有广泛应用。在求解过程中，通常使用Dijkstra算法、Floyd算法等经典算法构造初始解，并通过不断迭代逐步优化得到最短路径。
证明不等式是均值不等式应用中的另一个重要方面。
详细描述
《不等关系》课件
你知道吗
你还记得小孩玩的翘翘板吗？你想过它的 工作原理吗？ 其实，翘翘板就是靠不断改变两端的重量 对比来工作的。
在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工 作原理，根据这一原理设计出了一些简单机械， 并把它们用到了生活实践当中。
由此可见，“不相等”处处可见。从今天起， 我们开始学习一类新的数学知识：不等式。
如果要使正方形的面积不大于25cm2,那么 绳长ℓ 应满足怎样的关系式？ 要使正方形的面积不大于25cm2，就是
l ≤ 25 4
2
即
l 2 ≤ 25 16
2、如图，用一根长 度为ℓ cm 的绳子， 围成一个圆。
如果要使圆的面积不小于100cm2,那么绳长 ℓ 应满足怎样的关系式？
要使圆的面积不小于25cm2，就是
请问:正方形和圆的面积哪个大?
s正方形
当ℓ =12cm时 l 2 122 l 2 122 36 9cm s圆 cm 16 16 4 4
∴圆的面积大
如图，用两根长度均为ℓ cm 的绳子， 分别围成一个正方形和圆。
请问:正方形和圆的面积哪个大?
我们可以猜想，用长度均为ℓ cm的两根绳子分别围成 一个正方形和圆，无论ℓ 取何值，圆的面积总大于正 方形的面积，即： 2 2
知识回顾 我们学过等式，请问什么叫等式？ 用等号表示相等关系的式子叫等式。
我们知道相等关系的量可以利用等式来描述；同 比如，研究表明同学们每天睡觉的时间要不少于 9小时；体育考试中合格的分数要不低于60分。
时，现实生活中还存在许多反映不相等关系的量。
请同学们也举一些不相等关系的例子。
问题探究
1、如图，用一根长 度为ℓ cm 的绳子， 围成一个正方形。
l ≥ 100 2
你还记得小孩玩的翘翘板吗？你想过它的 工作原理吗？ 其实，翘翘板就是靠不断改变两端的重量 对比来工作的。
在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工 作原理，根据这一原理设计出了一些简单机械， 并把它们用到了生活实践当中。
由此可见，“不相等”处处可见。从今天起， 我们开始学习一类新的数学知识：不等式。
如果要使正方形的面积不大于25cm2,那么 绳长ℓ 应满足怎样的关系式？ 要使正方形的面积不大于25cm2，就是
l ≤ 25 4
2
即
l 2 ≤ 25 16
2、如图，用一根长 度为ℓ cm 的绳子， 围成一个圆。
如果要使圆的面积不小于100cm2,那么绳长 ℓ 应满足怎样的关系式？
要使圆的面积不小于25cm2，就是
请问:正方形和圆的面积哪个大?
s正方形
当ℓ =12cm时 l 2 122 l 2 122 36 9cm s圆 cm 16 16 4 4
∴圆的面积大
如图，用两根长度均为ℓ cm 的绳子， 分别围成一个正方形和圆。
请问:正方形和圆的面积哪个大?
我们可以猜想，用长度均为ℓ cm的两根绳子分别围成 一个正方形和圆，无论ℓ 取何值，圆的面积总大于正 方形的面积，即： 2 2
知识回顾 我们学过等式，请问什么叫等式？ 用等号表示相等关系的式子叫等式。
我们知道相等关系的量可以利用等式来描述；同 比如，研究表明同学们每天睡觉的时间要不少于 9小时；体育考试中合格的分数要不低于60分。
时，现实生活中还存在许多反映不相等关系的量。
请同学们也举一些不相等关系的例子。
问题探究
1、如图，用一根长 度为ℓ cm 的绳子， 围成一个正方形。
l ≥ 100 2
不等关系和不等式PPT课件
练 习 ： 比 较 2a
2
+3和 4a的 大 小 .
1 练习 2.已知 a R 且 a 1, 比较 1 a 与 1 a 的大小.
例3 比较大小
1．
1 3 2
和
b bm 2． 和 (a, b, m R ) a am
3、设 a 0 且
比较 log t 1 a 2
(×) a>b>0,c>d>0
性质1 a b b a (反身性) 性质2 a b , b c a c (传 递 性) 性质3 a b a c b c (可 加 性) 性质4 a b , c d a c b d 性质5 a b , c 0 ac bc (可 乘 性) a b , c 0 ac bc
n n
n n
性质8：若 a b 0, 则 a b (n N且n 1)
例题讲析
c c 例1：已知 a b 0, c 0. 求证： . a b
练习1 （1）已知
1 1 a b, ab 0.求证： . a b
（2）已知
a b 0, c d 0.求证ac bd.
性质3 如果a > b , 那么a + c > b + c .
可 加 性
性质4 如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.
性质5 如果a>b,且c>0,那么ac>bc; 如果a>b,且c<0,那么ac<bc.
可 乘 性
性质6 如果a>b>0,且c>d>0,那么ac>bd.
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解：设明年的产量为x袋，则
x≥80000 4x≤200×2100 0.02x≤600+1200
四、反馈练习
3.用今天所学的数学知识来解释生活中 “糖水加糖甜更甜”的现象.
即b克糖水中有a克糖（b>a>0）， 若再添加m克糖（m>0)，则糖水更 甜了.试根据这一事实，提炼出一个 不等式.
四、反馈练习
4.经长期观察某港口水的深度y是时间t(0≤t≤24) 的函数且近似满足关系式y=3sin 6 t+10. 一般情 况下船舶航行时船底离海底的距离为5m或5m以上 认为安全. 某船的吃水深度6.5m. 在同一天内， 问该船何时能安全进出港口？（不求解）
解：由题意，得
3sin
6
t 10≥6.5 5
五、回顾反思
1.解决实际问题的常规步骤
抽象、概括
实际问题
刻画
数学问题；
2.本堂课建立的模型主要是 不等关系.
提高 x元
5x ( 2 x )(10 )万元 2
x 万册 0.2
三、数学应用
变式.某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为 10万册. 经过调查，若价格每提高0.2元，发行 量就减少5000册. 为获得最大利润，该杂志的最 佳售价为多少元？
解：设每本杂志价格提高x元，总利润为y元. 由题意，得
维生素A（单 维生素B（单 位/kg） 位/kg） 甲 300 700
成本 大于等于 （元/kg）
35000
5
大于等于 40000
乙
丙
500
300
y
g ( x) x2 1
例4.
1
f ( x) x 2
0 1
x
（体现了不等式和图象的联系） 从这张图上你可以得到什么样的不等关系？（不 求解） x 2 解：由图可得 x 1 . 2
y
g ( x) x2 1
分析
1
f ( x) x 2
0 1
x
抛物线在直线上方 抛物线方程为 直线方程为
f ( x) g ( x)恒成立
f ( x) x 1
2
x g ( x) 2
四、反馈练习
1.某种植物适宜生长的温度为18℃--20℃的山 区，已知山区海拔每升高100m，气温下降 0.55℃.现测得山脚下的平均气温为22℃，该 （不求解） 植物种在山区多高处为宜？ 解：设该植物适宜的种植高度为xm， 由题意，得
成本（元/kg）
5 4 3
某人将这三种食物混合成100kg的食品，要使混合食品中 至少含35000单位的维生素A及40000单位的维生素B，设甲, 乙这两种食物各取x kg，y kg，那么x，y应满足怎样的关 系？（不求解） 300 x 500 y 300(100 x y)≥35000 分析： 700 x 100 y 300(100 x y)≥40000 解：由题意，得 x≥0
5x y ( 2 x )(10 ) 2 5 2 化简，得 y x 1 22.5 2
（这是二次函数问题）
三、数学应用
例3.下表给出了甲，乙，丙三种食物的维生素含量及成本：
维生素A（单位/kg）
甲 乙 丙 300 500 300
维生素B（单位/kg）
700 100 300
不等关系
一、问题情境
实际生活中:
长 短
轻重
大小
高矮
二、学生活动
1.这是某酸奶的质量检查规定
脂肪含量（f） 蛋白质含量（p）
不少于2.5％
不少于2.3％
从表格中你能获得什么信息？ 用数学关系来反映就是 f≥2.5% p≥2.3%.
二、学生活动
2.二次函数y x2 2 x 3的图象在x轴上方的 x的集合.
y≥0
即：
（这是一个不等式组）
x≥0
2x-y ≥50 y≥25
分析 维生素A含量
100kg食品 食物甲 食物乙 食物丙 x kg y kg （100-x-y）kg 至少35000单位 300x
+
维生素B含量
至少40000单位 700x
+
500y
+
100y
+
300(100-x-y)
300(100-x-y)
满足题意的 x的集合可表示为 2 {x x 2 x 3 0}.
三、数学应用
例1.博物馆的门票每张10元，20人以上（含20 人）的团体票8折优惠，在不足20人时，怎样购 票更合算？
解：设有x人 (x<20)时，由题意，得:
（这是一次不等式问题）
三、数学应用
例2.某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为 10万册. 经过调查，若价格每提高0.2元，发行 量就减少5000册. 若设每本杂志的定价提高x元， 怎样才能使杂志社的销售收入超过22.4万元？ （不求解）
0.55x 18≤22- 100
≤20.
四、反馈练习
2.某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下 面条件的制约：生产此产品的工人数不超过200 人；每个工人年工作约计2100h；预计此产品明 年销售量至少80000袋；每袋需用4h；每袋需要 原料20kg；年底库存原料600t，明年可补充 1200t.试根据这些数据预测明年的产量.
分析： 解：设每本杂志价格提高x元，由题意，得
5x ( 2 x )(10 ) 22 .4 2
化简，得
5x 2 10 x 4.8 0
（这是一元二次不等式问题）
分析
实际问题: 销售收入超过22.4万 元, 数学问题：销售收入>22.4万元.
× 发行量 减少
0.5×
销售收入 ＝ 每本价格
x≥80000 4x≤200×2100 0.02x≤600+1200
四、反馈练习
3.用今天所学的数学知识来解释生活中 “糖水加糖甜更甜”的现象.
即b克糖水中有a克糖（b>a>0）， 若再添加m克糖（m>0)，则糖水更 甜了.试根据这一事实，提炼出一个 不等式.
四、反馈练习
4.经长期观察某港口水的深度y是时间t(0≤t≤24) 的函数且近似满足关系式y=3sin 6 t+10. 一般情 况下船舶航行时船底离海底的距离为5m或5m以上 认为安全. 某船的吃水深度6.5m. 在同一天内， 问该船何时能安全进出港口？（不求解）
解：由题意，得
3sin
6
t 10≥6.5 5
五、回顾反思
1.解决实际问题的常规步骤
抽象、概括
实际问题
刻画
数学问题；
2.本堂课建立的模型主要是 不等关系.
提高 x元
5x ( 2 x )(10 )万元 2
x 万册 0.2
三、数学应用
变式.某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为 10万册. 经过调查，若价格每提高0.2元，发行 量就减少5000册. 为获得最大利润，该杂志的最 佳售价为多少元？
解：设每本杂志价格提高x元，总利润为y元. 由题意，得
维生素A（单 维生素B（单 位/kg） 位/kg） 甲 300 700
成本 大于等于 （元/kg）
35000
5
大于等于 40000
乙
丙
500
300
y
g ( x) x2 1
例4.
1
f ( x) x 2
0 1
x
（体现了不等式和图象的联系） 从这张图上你可以得到什么样的不等关系？（不 求解） x 2 解：由图可得 x 1 . 2
y
g ( x) x2 1
分析
1
f ( x) x 2
0 1
x
抛物线在直线上方 抛物线方程为 直线方程为
f ( x) g ( x)恒成立
f ( x) x 1
2
x g ( x) 2
四、反馈练习
1.某种植物适宜生长的温度为18℃--20℃的山 区，已知山区海拔每升高100m，气温下降 0.55℃.现测得山脚下的平均气温为22℃，该 （不求解） 植物种在山区多高处为宜？ 解：设该植物适宜的种植高度为xm， 由题意，得
成本（元/kg）
5 4 3
某人将这三种食物混合成100kg的食品，要使混合食品中 至少含35000单位的维生素A及40000单位的维生素B，设甲, 乙这两种食物各取x kg，y kg，那么x，y应满足怎样的关 系？（不求解） 300 x 500 y 300(100 x y)≥35000 分析： 700 x 100 y 300(100 x y)≥40000 解：由题意，得 x≥0
5x y ( 2 x )(10 ) 2 5 2 化简，得 y x 1 22.5 2
（这是二次函数问题）
三、数学应用
例3.下表给出了甲，乙，丙三种食物的维生素含量及成本：
维生素A（单位/kg）
甲 乙 丙 300 500 300
维生素B（单位/kg）
700 100 300
不等关系
一、问题情境
实际生活中:
长 短
轻重
大小
高矮
二、学生活动
1.这是某酸奶的质量检查规定
脂肪含量（f） 蛋白质含量（p）
不少于2.5％
不少于2.3％
从表格中你能获得什么信息？ 用数学关系来反映就是 f≥2.5% p≥2.3%.
二、学生活动
2.二次函数y x2 2 x 3的图象在x轴上方的 x的集合.
y≥0
即：
（这是一个不等式组）
x≥0
2x-y ≥50 y≥25
分析 维生素A含量
100kg食品 食物甲 食物乙 食物丙 x kg y kg （100-x-y）kg 至少35000单位 300x
+
维生素B含量
至少40000单位 700x
+
500y
+
100y
+
300(100-x-y)
300(100-x-y)
满足题意的 x的集合可表示为 2 {x x 2 x 3 0}.
三、数学应用
例1.博物馆的门票每张10元，20人以上（含20 人）的团体票8折优惠，在不足20人时，怎样购 票更合算？
解：设有x人 (x<20)时，由题意，得:
（这是一次不等式问题）
三、数学应用
例2.某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为 10万册. 经过调查，若价格每提高0.2元，发行 量就减少5000册. 若设每本杂志的定价提高x元， 怎样才能使杂志社的销售收入超过22.4万元？ （不求解）
0.55x 18≤22- 100
≤20.
四、反馈练习
2.某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下 面条件的制约：生产此产品的工人数不超过200 人；每个工人年工作约计2100h；预计此产品明 年销售量至少80000袋；每袋需用4h；每袋需要 原料20kg；年底库存原料600t，明年可补充 1200t.试根据这些数据预测明年的产量.
分析： 解：设每本杂志价格提高x元，由题意，得
5x ( 2 x )(10 ) 22 .4 2
化简，得
5x 2 10 x 4.8 0
（这是一元二次不等式问题）
分析
实际问题: 销售收入超过22.4万 元, 数学问题：销售收入>22.4万元.
× 发行量 减少
0.5×
销售收入 ＝ 每本价格