第二章 基本初等函数(Ⅰ) 章末复习课 教案(人教A版必修1)

1． 指数、对数的运算应遵循的原则

指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地使用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．

2． 对于底数相同的对数式的化简，常用的方法：

(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．

(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．

例1 (1)化简;)21(2483332332

3134ab a

b a ab b b

a a ⨯-÷++- (2)计算：2log 32－log 3329

＋log 38－25log 53. 解 (1)原式＝.8)8(331

313131b a b a a b a b a a =⨯⨯--

(2)原式＝log 34－log 3329

＋log 38－52log 53 ＝log 3⎝⎛⎭

⎫4×932×8－5log 59 ＝log 39－9＝2－9＝－7.

跟踪训练1 计算80.25×42＋(32×3)6＋log 32×log 2(log 327)的值为________．

答案 111

解析 ∵log 32×log 2(log 327)＝log 32×log 23

＝lg 2lg 3×lg 3lg 2

＝1， ∴原式＝234×214

＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111. 题型二 数的大小比较

数的大小比较常用方法：

(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．

(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．

(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．

例2 比较下列各组数的大小：

(1)40.9,80.48，⎝⎛⎭⎫12－1.5；

(2)log 20.4，log 30.4，log 40.4.

解 (1)40.9＝21.8,80.48＝21.44，⎝⎛⎭⎫12－1.5＝21.5，

∵y ＝2x 在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴40.9>⎝⎛⎭⎫12－1.5>80.48.

(2)∵对数函数y ＝log 0.4x 在(0，＋∞)上是减函数，

∴log 0.44

又幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是减函数，

所以1log 0.42<1log 0.43<1log 0.44

， 即log 20.4

(1)27,82；(2)log 0.22，log 0.049；(3)a 1.2，a 1.3；(4)0.213,0.233.

解 (1)∵82＝(23)2＝26，

由指数函数y ＝2x 在R 上单调递增知26<27即82<27.

(2)∵log 0.049＝lg 9lg 0.04＝lg 32

lg 0.22

＝2lg 32lg 0.2＝lg 3lg 0.2

＝log 0.23. 又∵y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上单调递减，

∴log 0.22>log 0.23，

即log 0.22>log 0.049.

(3)因为函数y ＝a x (a >0且a ≠1)，当底数a 大于1时在R 上是增函数；当底数a 小于1时在R 上是减函数，

而1.2<1.3，故当a >1时，

有a 1.2

当0a 1.3.

(4)∵y ＝x 3在R 上是增函数，

且0.21<0.23，∴0.213<0.233.

题型三 复合函数的单调性

1．一般地，对于复合函数y ＝f (g (x ))，如果t ＝g (x )在(a ，b )上是单调函数，并且y ＝f (t )在(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，那么y ＝f (g (x ))在(a ，b )上也是单调函数．

2．对于函数y ＝f (t )，t ＝g (x )．

若两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，即“同增异减”，但一定要注意考虑复合函数的定义域． 例3 已知a >0，且a ≠1，试讨论函数f (x )＝1762++x x a

的单调性． 解 设u ＝x 2＋6x ＋17＝(x ＋3)2＋8，

则当x ≤－3时，其为减函数，

当x >－3时，其为增函数，

又当a >1时，y ＝a u 是增函数，

当0

所以当a >1时，原函数f (x )＝1762++x x a

在(－∞，－3]上是减函数，在(－3，＋∞)上是增函数．

当0

在(－∞，－3]上是增函数，在(－3，＋∞)上是减函

数．

(1)y ＝log 0.2(9x －2×3x ＋2)；

(2)y ＝log a (a －a x )．

解 (1)令t ＝3x ，

u ＝9x －2×3x ＋2＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2＋1≥1>0.

又y ＝log 0.2u 在定义域内递减，

∴当3x ≥1(t ≥1)，即x ≥0时，u ＝9x －2×3x ＋2递增，

∴y ＝log 0.2(9x －2×3x ＋2)递减．

同理，当x ≤0时，y ＝log 0.2(9x －2×3x ＋2)递增．

故函数y ＝log 0.2(9x －2×3x ＋2)的递增区间为(－∞，0]，递减区间为[0，＋∞)．

(2)①若a >1，则y ＝log a t 递增，且t ＝a －a x 递减，而a －a x >0，即a x

②若00，即a x 1， ∴y ＝log a (a －a x )在(1，＋∞)上递减．

综上所述，函数y ＝log a (a －a x )在其定义域上递减．

题型四 幂、指数、对数函数的综合应用

指数函数与对数函数性质的对比：

指数函数、对数函数是一对“姊妹”函数，它们的定义、图象、性质、运算既有区别又有联系．

(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)，对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)的图象和性质都与a 的取值有密切的联系．a 变化时，函数的图象和性质也随之变化．

(2)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点(0,1)，对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)的图象恒过定点(1,0)．

(3)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)具有相同的单调性．

(4)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)互为反函数，两函数图象关于直线y ＝x 对称．

例4 已知函数f (x )＝lg 1＋2x ＋a ·4x 3

在x ∈(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围． 解 因为f (x )＝lg 1＋2x ＋a ·4x 3

在(－∞，1]上有意义， 所以1＋2x ＋a ·4x >0在(－∞，1]上恒成立．

因为4x >0，所以a >－⎣⎡⎦

⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，1]上恒成立． 令g (x )＝－⎣⎡⎦

⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ，x ∈(－∞，1]．