导数、微分、不定积分公式
高等数学常用微积分公式
高等数学常用微积分公式一、极限1.无穷大与无穷小：当x→∞时，若极限值L=0，则称函数f(x)是无穷小。
常见无穷小有：x→0时的无穷小o(x)、无穷次可导的无穷小O(x^n)；当x→∞时，若极限值L≠0或不存在，则称函数f(x)是无穷大；2.函数极限：若函数f(x)当x→a时的极限存在稳定的常数L，则称L为f(x)当x→a时的极限，记作：lim(x→a) f(x) = L；3.等价无穷小：若 f(x) 和 g(x) 都是x→a 时的无穷小，并且lim(x→a)(f(x)/g(x))=1，则称 f(x) 和 g(x) 是x→a 时的等价无穷小。
二、导数1.导数的定义：若函数f(x)在点x处的函数值可近似表示为f(x+Δx)≈f(x)+f'(x)Δx，其中f'(x)为f(x)在点x处的导数，则称f'(x)是函数f(x)在点x处的导数。
2.常见函数的导数：(1)和差法则：(u±v)'=u'±v'；(2)乘法法则：(u*v)'=u'*v+u*v'；(3)除法法则：(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^2，其中v≠0；(4) 链式法则：若 y=f(u)，u=g(x) ，则 y=f(g(x)) 的导数为dy/dx = f'(u)*g'(x)。
3.高阶导数：函数f(x)的导数f'(x)的导数称为f(x)的二阶导数，记为f''(x)。
可以依此类推，得到函数f(x)的n阶导数f^(n)(x)。
三、微分1.微分的定义：函数 f(x) 在点 x 处的微分记为 dx，根据导数的定义，有 df(x) = f'(x)dx。
2.微分的性质：(1)常数微分：d(c)=0，其中c为常数；(2) 取单项微分：d(x^n) = nx^(n-1)dx，其中 n 为实数，x 为变量；(3) 和差微分：d(u ± v) = du ± dv；(4) 乘法微分：d(uv) = u*dv + v*du；(5) 除法微分：d(u/v) = (v*du - u*dv)/v^2，其中v ≠ 0；(6) 复合函数微分：若 y=f(u)，u=g(x)，则 dy = f'(u)du =f'(g(x))g'(x)dx。
微积分 中常见的基本公式
设 u = u(x)，v = v(x) 为可导函数，则
(1)
(u
±
v)′
=
u′
±
v′； (2)
(uv)′
=
u′v
+
uv′；(3)
u v
′
=
u′v − uv′ v2
(v
≠
0).
(4) 若 uk = uk (x) (k = 1，2，L，n) 均为可导函数，则
(u1u2 Lun )′ = u1′u2 Lun + u1u2′Lun + L + u1u2 x2 + x4 + o(x4)； 2! 4!
(4) tan x = x + x3 + 2 x5 + o(x5)； 3 15
(5) arcsin x = x + x3 + 3 x5 + o(x5)； (6)arctan x = x − x3 + x5 + o(x5)
6 40
1 n
n
单调递增.
六、 微积分中值定理
1、罗尔 (Rolle) 定理： 假设 f (x) 在 [a，b] 上满足
(1) f (x) 在 [a，b] 上连续；(2) f (x) 在 (a，b)内可导；(3) f (a) = f (b).
则：∃ξ ∈ (a，b) 使得 f ′(ξ ) = 0.
2、拉格朗日(Lagrange) 中值定理：假设 f (x) 在 [a，b] 上满足
(6)
(loga
x)′
=
1 x ln a
(a > 0且 a ≠ 1)；
(8) (cos x)′ = −sin x；
(9) (tan x)′ = sec2 x；
微积分公式大全
微积分公式大全1.极限与连续1.1 极限的定义：对于函数$f(x)$，当$x$趋向于$a$时，如果对于任意给定的$\epsilon > 0$，总存在与$a$不相等的$x$使得当$0 < ，x-a，< \delta$时，$，f(x) - L， < \epsilon$，我们就说函数$f(x)$在$x=a$处的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a}f(x)=L$。
1.2基本极限公式：a) $\lim_{x \to a}c = c$，其中$c$为常数；b) $\lim_{x \to a}x = a$；c) $\lim_{x \to a}x^n = a^n$，其中$n$为正整数；d) $\lim_{x \to a} \sin x = \sin a$；e) $\lim_{x \to a} \cos x = \cos a$；f) $\lim_{x \to a} \tan x = \tan a$，其中$a \neq\frac{\pi}{2} + \pi k$，$k$为整数；g) $\lim_{x \to a} \ln x = \ln a$，其中$a > 0$。
1.3极限的运算法则：a) $\lim_{x \to a}[f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a}f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x)$；b) $\lim_{x \to a} kf(x) = k \lim_{x \to a}f(x)$，其中$k$为常数；c) $\lim_{x \to a} f(x)g(x) = \lim_{x \to a}f(x) \cdot\lim_{x \to a}g(x)$；d) $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)}$，其中$\lim_{x \to a}g(x) \neq 0$；e) $\lim_{x \to a} [f(x)]^n = [\lim_{x \to a}f(x)]^n$，其中$n$为正整数。
不定积分(含变上限积分)和微分解题方法
不定积分和微分-J、公式 一 f (x)dx f (x)和 f /(x)dx —f (x)dxdxdx注意：f(x)的不定积分为F(x) c F(x)是f (x)的原函数 f (x)是F(x)的导数, 即f(x)dx F (x) c 或 F ，(x) f (x)1、已知不定积分的值，求被积函数或被积函数中的一部分，禾U 用两边求导处理已知 f( (x))dx F(x) c ,求 f(x)2 2f (x)dx x c ，求 xf (1 x )dx2、已知导数值，求原函数，利用两边积分的方法处理 已知 F ，( (x)) f(x)，求 F(x)方法：令(x) t ,则 x 1(t)，即 F ，(t) f( /(t))，故 F(x) f( /(t))dt/ 2 2方法：求导得f ( (x)) F /(x)，令(x) t ,则x1(t)，即 f(x)/ 1F ((x))f (x) c 的应用解：对 f (x)dxx 2 c 求导得 f(x) 2x , f (1x 2) 2x 22则 xf (1 x )dxx(2 2x 2)dx x 2咚 c(2) xf (x)dxdxarcsinx c ，求 ---------f(x)解：对 xf (x)dx arcsinx c 两边求导得xf (x)_1_一1一X 2，即 f(x) _1_ X 2dxx 1m 21 x 2d(1"I3x 2)2 c例 2 (1) f (sin x) tan x ,求f (x)・2222sin x 解：令 sin x t ，贝y cos t 1 t ， tan x — cos x(2)已知 f /( x) x[ f /(x)1]，求 f (x)解：令In x t 得x即f /(t)&两边积分的f(t)&dt tIn |t解：令 x t ，则上式为f '(t) t[f /( t) 1]，即f /(x)x[f /( x) 1]由上面两式得f /(x) 两边积分得f(x)2x x 2 12x~~2~xIn (x 2 1) c(3 )设 f (u)在内可导，且 f(0)f (In x)，求 f(u)f /(t)0 e t e t 1即 f /(t)1te 2当 t 0 时，fit)两边积分得f(t)dtC 1当 t 0 时，f /(t) te 2，两边积分得 f(t)te^dt t2e 2 C 2又因为设f(t)在内可导，所以 f(t)在内连续t而 lim f (t) lim (2e 2 t 0t 0C 2)2 c 2, lim t 0f(t)阿(tx2(4 )设 y f(x)在x 处的改变量为-x o( x) ( x x0)，y(0)1，求y /(1) 解：由 y x o(x)即巴_dxy 1两边积分得 dy ydx 1 xInln(1 x)而 y(0) 10，即/(1)(5)设 f (x) sin t dt ， t 0 f(x)dx解： f (x)dx 0xf ( x) |0xf /(x)dxxsin x , dx 0 x「sinxdx二、已知F(x)是f (x)的原函数F /(x)f(x)f (x)dx F(x)，求被积函数中含有 f ( c(x))的积分 1、由f(x) F /(x)求出f(x)，代入积分计算 2、把积分转化为 f( (x))d( (x))的形式，利用 f (x)dx F (x) c 求值 sin x例3( 1) 是f (x)的原函数，a xsin x 解：因为是f(x)的原函数，所以x f(ax) _ axt 1 dx 2a a0,求 f(x)dx f (ax) dx a sin xc x Si nt f (t)dt 2 a t (2)e x 是 f(x)的原函数，求 x 2 f (Inx)dxsin ax c— a x解：因为 f(x) (e x )/ e x ，所以 f (In x)2x 贝U x f (ln x)dx xdxc2三、已知f(x)的表达式，求被积函数中含有 f( (x))的积分1、由f(x)求f( (x))，再把f( (x))的表达式代入积分计算2、由f (x)先求 f (x)dx ，把含有f( (x))的积分转化为f( (x))d (x)的形式处理例 4 ( 1) f (sin 2 x) ，求 一^=^ f (x)dxsin x <1 x解：在 ' f (x)dx 中，令x sin t 得 V1 xsi nt 2 2 22 f (sin t)d (sin t) 2 sin t .1 sin 212t cost 2sint cIn x 即(x)/2 x 2xf (x)dx xd[ f (x)] xf (x) f (x)dx 2x e e(x)dx2ln |x1| c(3)(e")/f (x)， f /(x)连续，求xf / (x)dx x 2/解：因为(e ) f (x)，所以f (x)x 22xe x ，f (x)dxx 2去f(x )dxf (sin 2t)dt2 tsintdt 2 td(cost) 2t cost costdt因为 sin t 、x , cost T x , t arcs in . x":x所以 -------- f (x)dxV1 x2 1 x arcs in 、x 2 x(2)f(x 21) In2x —2，且 f[ (x)] ln x 求x 22(x)dx解：令x 2t ,则 f(t) In H ，而f[ (x)]In xx 2x /(4) f (x) xe ，求 f (x) In xdx 解: f /(x) ln xdx ln xd[ f (x)] f (x)lnx(5) 解: (6)xe x In xe x dx xe x In xIn f (x) cosx ，求xfMx f(x)xd[ln xcosxf(x)x 2si nt1 解：因为 f(x) 10xf (x)dxf (x)] xln f(x) ln f (x)dxcosxdx xcosx sinx1t dt ，求 Q xf (x)dx x 2sin t1，f(x)dx 21 12 2 sin x dx 2 0 四、利用凑微分法求积分 注意：f /[g(x)] g /(x)dx 例 5 (1) f (0) 1 , f (2) 解：1xf 〃(2x)dx^14f /(2) 2(2)设f (x)二阶可导,所以f /(x). 2sin x 2 2x x 2sin x 2x 2 f (x) ,1 "^|01 2 cosx 2 |0x 2f /(x)dxxs in x 2dxcos 1 2 f /[g(x)] d[g(x)] d[f(g(x ))]3， f (2) 5，求 1 〃 °xf 〃(2x)dx 2// 1 2 /tf (t)dt - 0td[f (t)]f (2) f (0)24tf /(t)|2h |02/ 0f(t )dtf /(b) a ， f /(a) b ，a f /(x)f //(x)dx设 o [ f (x)f〃(x)]sinxdx 5， f ( ) 2，求 f(0)f (0) f ( )0 f (x)sin xdxf (x)，且 f (x) F(x) g(x)，求 f(x)F(x) 0，求 f (x)解：因为F(x)是f (x)的原函数，所以 F ，(x)F 2 (x) 而F ，(x)F(x)dx F(x)d[F(x)]2(2)f (x)连续，且当xx1 时，f(x)[0f(t)dtxxe 1]2，求f (x)2(1 x)2解: b / //a f (x)f (x)dxba f (x)d[f (x)]/ 2 2 2[f (x)] |b a b|a2解:0 f〃 (x)sin xdx osin xd[ f /(x)]f / (x)cosxdx因为°[f(x )f" (x)] sin xdx 5，所以f(0) f()5 而 f( )2，故 f(0)方法：两边积分 F /(x)F(x)dx g(x)dx ，得F 2(x)g(x)dx ，求 f (x)例6 ( 1) F (x)是f (x)的原函数，且x0时，有 2f (x) F (x) sin 2x ，又 F(0)1，故F 2(x) x 沁4又 F(0)1 得c 1而 F(x) 0 ,所以 F(x)x sin4x1 f(x)41 cos 4x • 4x sin 4x 4(3) 0 cosxd[f (x)]五、已知F ，(x)f(x)，2由于 f(x) F(x) sin 22x 故 F ，(x) F(x)sin 2 2x ，两边积分得F /(x)F(x)dx sin 22xdx - 2 dx -cos 4xdx -2 2sin 4x 8C iC 2解：令g(x) o f (t)dt，g/(x) f (x)，由于f(x)[ x0 f(t)dt1]xxe2(1 x)2g/(x)[g(x) 1]xxe 2(1两边积分得g/(x)[g(x) 1]dxxxe 」2dx2(1 x)2[g(x) 1]d[g(x) 1]xxe .2dx2(1 x)2-dxx[g(x) 1]2十因为g(x)xf(t)dt令x 0得g(0) 0，代入上式故g(x) 1，f/(x)2(1x e x(3)已知f (x)为非负连续函数，且x0时, xf(x)f(x t)dt(12 dxx3，求f (x)x 令x-t 提示：因为°f(x)f(x t)dt uf(x)xf(u)du，令g(x)xo f (u)du 处理六、变上限积分的导数运算b注意：(1)如F(x) f (t)dt,x [a,b]，则F(x) b f (t)dt，则F/(x) f(x)⑵如F (x) (x) f (t)dt，则由复合函数的求导法则有⑶如F (x)-J -J..F/(x) —F(u) — f(u) /(x) f[ (x)]dx dx(x)f (t)dt，可得成F(x)(x)/(x)F/(x) f[ (x)] 例7( 1 )已知f (x)满足xf(x) 1c(x)f(t)dt(x) f(t)dt，则/(x) f[ (x)] /(x)x2t f (t)dt，求f(x)解：两边求导得 f(x) xflx) x 2f(x) 即d[ f (x)](x 1)dx f (x) x两边积分得In f (x)卄/sin x 、 小即f(x) (2flx)) 02 cosx因为f (x)是不恒等于零的连续函数，故f /(x)1sin x1两边积分得 f(x)dx —ln(2 cosx) c2 2 cosx 22xsin t 在f 2(x)f (t) dt 中令x 0,得f(0) 0代入上式有c 0 2 cost 1 1 故 f (x) In(2 cosx) In 3 2 2注意:(1 )上题要充分利用已知条件确定初始条件 f(0) 0(2 )定积分或变上限积分的被积函数有参变量时，必须通过换元，使被积函数不含参变量，然后再求导例8( 1)已知f (x)连续， x10tf (2x t)dt -2 arctanx ， f(1)21 求 f(x)dx1解:令2x tu ，则xtf (2x 0t)dtx2x (2x u)f(u)du2x2x x f (u)du2xx uf(u)du(2 )求一个不恒等于零的连续函数 f (x)，使它满足f 2(x) sin t 2 costdt解：两边求导得2f(x)f /(x) f(x)sin x 2 cosxsin x 4 2 cosxIn x c ,所以 f (x)2x即2xx f (u)du 2x1 2uf (u)du arctanxx 223所以 1f(x)dx4故 y / /x 0 e 1注意：此题确定y 的方法d x f (x )(5 )设f(x)为已知可导奇函数，g(x)为f (x)的反函数，贝yxg(tdx xx f(x)f(x)解：令 t x u ，则 x xg(t x)dt x 0 g(u)dud x f (x)f (x) /两边求导得：2 2xx f(u)duxf(x)因为f (1)1，上式中令x 1 x 421 f(u)du f(1)(2 )求可导数f(x)，使它满足10f (tx)dt f (x) xsinx1解：令 tx u ，贝U 0 f (tx)dt f (u)duxf (x) xsinx ，所以 o f (u)duxf (x) x 2 sinx两边求导得fix) 2sinx xcosx两边积分得f(x)2 sin xdxxcosxdx cosx xsinx c(3) 由方程yt 2e 01 ( x 0)确定y 是x 的函数，求解:x 求导得y / 2sinx 2―dy2sin x 2，故 d ；h(4)y(x)是由x y x t 2 e t dt10确定的函数，求y //x 解:x 求导得 1 e (y x ^(y / 1)0故y /e (yx)21y x +22e dt 0中令x 0时，有yt 2e 1dt 0，即 yx)dtdt所以x xg(t x)dt 0g(u)du xf (x) g[ f(x)] dx x 012当 x 1 时， f (x) dx 2xdx x C 22xx c x221 xc x2令 h(x)f (x) /g(u)du ，则 h (x)f /(x) g[ f(x)] xf /(x)两边积分得 h(x) xf /(x)dx xf (x) f (x)dxd x f (x )2 /故xg(t x)dt xf (x) x 2 f /(x)dx xf(x)dx(6)设函数f(x)可导，且f (0)0 , g(x)xtm 0f(x n t n )dt ，求 1丿叫弩解：令X” t u ，则 g(x) xn 1 n0t f (xt n )dtx n0 f(u)du由于g /(x)n 1 n 、x f (x ) lim^°2nx 1 limQ2n x 0 x1 lim 2n x 0f(x n ) f(0)f /(0) 2n七、求分段函数的不定积分先分别求分段函数 f(x)的各分段在相应区间的原函数 F(x)，然后考虑函数 F(x)在分段点处的连续性。
微积分ab公式
微积分ab公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：微积分是数学中非常重要的一个分支，它主要研究函数的极限、连续性、微分和积分等概念。
在微积分的学习过程中，经常会遇到各种各样的公式，其中最为经典的莫过于微积分AB公式。
AB公式是微积分中常用的一组基本公式，它包括导数和积分的基本公式，掌握了这些公式可以帮助我们更好地理解微积分知识，提高解题效率。
接下来，本文将为大家介绍微积分AB公式。
一、微积分AB公式之导数基本公式1.1 常数导数法则若f(x)=C，则f'(x)=0，其中C为常数。
1.2 变量幂函数导数法则若f(x)=x^n，则f'(x)=nx^(n-1)，其中n为常数。
1.3 和差法则若f(x)=u(x)+v(x)，则f'(x)=u'(x)+v'(x)。
1.4 积法则若f(x)=u(x)v(x)，则f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。
1.5 商法则若f(x)=u(x)/v(x)，则f'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x))^2。
1.6 复合函数法则若f(x)=g(u(x))，则f'(x)=g'(u(x))u'(x)。
以上便是部分导数基本公式，它们在微积分的学习中起着至关重要的作用。
掌握这些基本公式可以帮助我们求解各种函数的导数，进一步推导出更加复杂的微积分问题。
二、微积分AB公式之积分基本公式2.1 不定积分基本公式∫kdx=kx+C∫x^n dx=1/(n+1)x^(n+1)+C，其中n不等于-1∫1/x dx=ln|x|+C∫e^x dx=e^x+C∫a^x dx=(1/ln(a))a^x+C其中k、a为常数，C为常数。
2.2 定积分基本公式∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)为f(x)的原函数。
积分基本公式是微积分中另一个重要的内容，它主要用于求函数在某一区间上的面积、弧长等问题。
导数微分不定积分公式
导数微分不定积分公式一、导数1.定义导数是函数在其中一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
对于函数$f(x)$，在点$x=a$处的导数表示为$f'(a)$或$\frac{{df}}{{dx}}\bigg，_{x=a}$。
导数的几何意义是函数图像在该点处的切线斜率。
2.基本导数公式常见函数的导数公式如下：常值函数的导数为零：$\frac{{d}}{{dx}}(C) = 0$，其中$C$为常数。
幂函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(x^n) = nx^{n-1}$，其中$n$是实数。
指数函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(a^x) = a^x \ln{a}$，其中$a>0$。
对数函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(\log_a{x}) = \frac{{1}}{{x \ln{a}}}$，其中$a>0$且$a\neq 1$。
三角函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(\sin{x}) = \cos{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\cos{x}) = -\sin{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\tan{x}) = \sec^2{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\cot{x}) = -\csc^2{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\sec{x}) = \sec{x}\tan{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\csc{x}) = -\csc{x}\cot{x}$二、微分1.定义微分表示函数在其中一点附近的变化情况，主要有全微分和偏微分两种。
全微分：对于函数$z=f(x,y)$，在点$(x_0,y_0)$处全微分表示为$dz=\frac{{\partial z}}{{\partial x}}dx+\frac{{\partialz}}{{\partial y}}dy$，其中$\frac{{\partial z}}{{\partial x}}$和$\frac{{\partial z}}{{\partial y}}$分别表示对于$x$和$y$的偏微分。
不定积分计算公式
不定积分计算公式不定积分是微积分中一个重要的概念，它表示函数的原函数。
计算不定积分可以使用一系列的公式和技巧。
下面将介绍一些常用的不定积分计算公式。
1.幂函数不定积分的基本公式之一是幂函数的不定积分公式。
∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (n≠-1)其中C为常数。
例如，∫x^2 dx = x^3/3 + C只有当指数n不等于-1时，幂函数才有原函数。
2.指数函数和对数函数指数函数和对数函数是常用的函数，它们的不定积分可以通过以下公式计算。
∫e^x dx = e^x + C∫ln(x) dx = xln(x) - x + C其中e为自然对数的底数。
3.三角函数三角函数也有常用的不定积分公式。
∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C其中C为常数。
4.反三角函数其不定积分公式如下所示。
∫sec^2(x) dx = tan(x) + C∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C其中C为常数。
5.一些特殊函数除了上述常见的函数，还有一些特殊的函数和它们的不定积分公式。
∫1 dx = x + C∫1/x dx = ln，x，+ C (x≠0)∫e^ax sin(bx) dx = (a e^ax sin(bx) - b e^ax cos(bx))/(a^2 + b^2) + C∫e^ax cos(bx) dx = (a e^ax cos(bx) + b e^ax sin(bx))/(a^2 + b^2) + C其中a和b为常数。
6.分部积分法分部积分法是一个常用的计算不定积分的技巧，它基于导数运算和不定积分之间的关系。
积分常用公式(最新整理)
积分常用公式一．基本不定积分公式：1． C x dx +=⎰2． ) 3．111++=⎰αααx dx x 1(-≠αC x dx x+=⎰ln 14．5．C aa dx a xx+=⎰ln )1,0(≠>a a C e dx e xx+=⎰6． 7．C x xdx +-=⎰cos sin C x xdx +=⎰sin cos 8．9．C x dx x xdx +==⎰⎰tan cos 1sec 22Cx dx x xdx +-==⎰⎰cot sin 1csc 2210． 11．C x xdx x +=⋅⎰sec tan sec Cx xdx x +-=⋅⎰csc cot csc 12．（或）C x dx x+=-⎰arcsin 11212arccos 11C x dx x+-=-⎰13．（或）C x dx x +=+⎰arctan 11212cot 11C x arc dx x +-=+⎰14．15．C x xdx +=⎰cosh sinh Cx xdx +=⎰sinh cosh 二．常用不定积分公式和积分方法：1．2．C x xdx +-=⎰cos ln tan Cx xdx +=⎰sin ln cot 3．4．C axa x a dx +=+⎰arctan 122C a x ax a ax dx ++-=-⎰ln 21225． 6．C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc 7．8．C axx a dx +=-⎰arcsin22Ca x x a x dx +±+=±⎰2222ln 9．C a x a x a x dx x a ++-=-⎰arcsin 222222210．Ca x x a a x xdx a x +±+±±=±⎰2222222ln 2211．第一类换元积分法（凑微分法）：Cx F x t x d x f dx x x f dx x g +=='=⎰⎰⎰)]([)(])([)]([)()]([)(ϕϕϕϕϕϕ为为为为为为为为为为为为12．第二类换元积分法（典型代换：三角代换、倒代换、根式代换）：Cx F C t F dt t f dt t t g t x dxx g +=+=='=-⎰⎰⎰)]([)()()()]([)()(1ϕϕϕϕ为注：要求代换单调且有连续的导数，且“换元须还原”)(t ϕ13．分部积分法(典型题特征：被积函数是两类不同函数的乘积，且任何一个函数不能为另一个函数凑微分)⎰⎰-=vduuv udv 14．万能置换公式（针对三角有理函数的积分。
导数微分不定积分公式
一、导数的概念及其计算1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim 。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0）） 处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3．常见函数的导出公式．（１）0)(='C （C 为常数） （２）1)(-⋅='n nxn x（３）x x cos )(sin =' （４）x x sin )(cos -='4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu =法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。
不定积分与导数和微分的关系
不定积分与导数和微分的关系不定积分与导数和微分的关系在微积分中，不定积分、导数和微分是三个重要且密切相关的概念。
它们之间存在着紧密的联系和相互影响，互为逆过程。
本文将深入探讨不定积分与导数和微分的关系，通过从简到繁的方式，帮助读者更好地理解这一主题。
我。
不定积分的概念和性质不定积分是微积分中的一种运算。
它的概念可以通过对导数运算的逆运算来理解。
给定一个函数f(x)，如果存在一个函数F(x)，使得F'(x)= f(x)，那么F(x)就是f(x)的不定积分，通常表示为∫f(x)dx。
不定积分表示我们在求函数f(x)的导数时所得到的原函数。
不定积分具有以下性质：1. 线性性质：对于任意的常数a和b，有∫(af(x) + bg(x))dx =a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
2. 可加性质：对于任意的函数f(x)和g(x)，有∫(f(x) + g(x))dx =∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
3. 常数项性质：对于任意的函数f(x)，有∫f(x)dx + C，其中C为常数。
二。
导数和微分的概念和性质导数是微积分中的另一种重要概念。
给定一个函数f(x)，其导数表示函数在某一点上的变化率。
导数是通过极限的思想定义的，即f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h) - f(x))/h〗。
导数可以描述函数的变化趋势和曲线的斜率。
微分是导数的微小变化，可以理解为导数的不确定性。
微分在一元函数中通常表示为dx，可以表示函数f(x)在某一点上的微小变化量。
微分可以帮助我们研究函数在局部的性质和变化。
导数和微分具有以下性质：1. 线性性质：对于任意的常数a和b，有(d/dx)(af(x) + bg(x)) =a(d/dx)(f(x)) + b(d/dx)(g(x))。
2. 可加性质：对于任意的函数f(x)和g(x)，有(d/dx)(f(x) + g(x)) = (d/dx)(f(x)) + (d/dx)(g(x))。
基本求导积分公式
f'(c) = 0f'(x^n) = nx^(x-1)f'(1/x) = -1/x^2f'(√x) = 1/2√xf'(㏑x) = 1/xf'(㏒ax) = 1/x㏑a （a为底）f'(a^x) = a^x * ㏑af'(e^x) = e^xf'(sinx) = cosxf'(cosx) = -sinxf'(tanx) = (sec^2)x = 1/(cos^2)xf'(cotx) = -(csc^2)x = -1/(sin^2)xf'(secx) = cesx * tanxf'(cscx) = -cscx * cotxf'(arcsinx) = 1/√(1-x^2)f'(arccosx) = -1/√(1-x^2)f'(arctanx) = 1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。
在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算。
基本求导积分公式
f'(c) = 0f'(x^n) = nx^(x-1)f'(1/x) = -1/x^2f'(√x) = 1/2√xf'(㏑x) = 1/xf'(㏒ax) = 1/x㏑a （a为底）f'(a^x) = a^x * ㏑af'(e^x) = e^xf'(sinx) = cosxf'(cosx) = -sinxf'(tanx) = (sec^2)x = 1/(cos^2)xf'(cotx) = -(csc^2)x = -1/(sin^2)xf'(secx) = cesx * tanxf'(cscx) = -cscx * cotxf'(arcsinx) = 1/√(1-x^2)f'(arccosx) = -1/√(1-x^2)f'(arctanx) = 1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。
在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算。
高中极限导数积分知识总结
csc′x=-cscxcotx
cos′x=-sinxsec′x=secxtanxtan′x=sec2x
cot′x=-csc2x
arcsin′x=
arctan′x=
arccos′x=-
arccot′x=-
③高阶导数：
1.微分导数定义：
①导数定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在点x0取得该变量△x(x≠0)时，相应地函数y=f(x)也有改变量，△y=f(x0+△x)-f(x0)。如果 存在，则称函数y=f(x)在点x0可导，并称这个极限值为函数y=f(x)在点x0的导数。其几何意义是x0点的斜率。
②微分定义：设函数y=f(x)在区间I上有定义，x0,x0+△x∈I，如果函数的改变量△y=f(x0+△x)-f(x0)可表示为△y=A△x+0(△x)，其中A是不依赖△x常数，而0(△x)是比△x高阶无穷小，则称函数y=f(x)在点x0可微：dy=Adx。其几何意义是△y线性部分。
③可导与连续性：如果函数y=f(x)在点x0可导，则函数在该点x0连续。一个函数在点x0连续却不一定可导。
2.计算方法原则：
①四则运算：
[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)
[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
y=f(u)，u=g(x)→y′=f′(u)·g′(x)
②常用导数：
C′=0
(xa)′=axa-1
(ax)′=axlna
(ex)′=ex
(logax)′=
(lnx)′=
基本求导积分公式
f'(c) = 0f'(x^n) = nx^(x-1)f'(1/x) = -1/x^2f'(√x) = 1/2√xf'(㏑x) = 1/xf'(㏒ax) = 1/x㏑a （a为底）f'(a^x) = a^x * ㏑af'(e^x) = e^xf'(sinx) = cosxf'(cosx) = -sinxf'(tanx) = (sec^2)x = 1/(cos^2)xf'(cotx) = -(csc^2)x = -1/(sin^2)xf'(secx) = cesx * tanxf'(cscx) = -cscx * cotxf'(arcsinx) = 1/√(1-x^2)f'(arccosx) = -1/√(1-x^2)f'(arctanx) = 1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。
在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算。
微积分,积分,定积分,不定积分,导数的关系
微积分,积分,定积分,不定积分,导数的关系
微分是函数增量关于自变量增量(h)的线性近似，他是h的函数，就是说
Δf(x)≈df(x)＝f'(x)h
当然了在h很小时误差才不会大。
当然了绝大多数情况下后面的h会写成dx，这是因为函数x的微分dx本身就是h。
而导数是增量h前面的系数f'(x)，因为微分是h的线性函数，所以这个系数f'(x)就非常重要了。
定积分的定义是分割区间，然后取极限，这里不细说了自己翻书看看。
直观上来说就是求曲线f下方的面积，通过分割区间，形成一块块小矩形，每一块矩形的面积为f(x)h，所以曲线下方的面积为h→0,Σf(x)h。
根据前面我们知道当这个h很小时它能够用来近似某个函数F(x)的增量ΔF(x)。
那如果能求出这个F(x)是不是就能利用它来求出这条曲线下方的面积了呢，然后我们希望f(x)h能作为F(x)在x处的线性近似，就是说希望f(x)h能作为F(x)的微分。
由这个想法，就引入了原函数以及不定积分的概念，他们作为连接定积分与微分的桥梁(牛顿莱布尼茨公式)的重要结构。
不定积分在一定程度上可以看做是求微分的逆运算，由它和原函数就直接导出了著名的牛顿莱布尼茨公式。
微积分公式整理与推导
微积分公式整理与推导微积分是数学中的一个重要分支，它是研究函数的变化规律的工具。
在微积分的学习中，掌握并理解各种常用的微积分公式是非常重要的。
本文将对微积分中常用的公式进行整理与推导，帮助读者更好地掌握微积分。
一、导数公式的整理与推导1. 基本导数公式1.1 常数函数导数公式我们知道，常数函数的导数为零。
设函数f(x) = c，其中c为常数，则其导数为：f'(x) = 01.2 幂函数导数公式幂函数是形如f(x) = x^n的函数，其中n为整数。
根据幂函数的定义，我们可以推导出幂函数的导数公式。
设函数f(x) = x^n，其中n为整数，则其导数为：f'(x) = nx^(n-1)1.3 指数函数和对数函数导数公式指数函数和对数函数是微积分中常见的函数类型。
根据指数函数和对数函数的定义，我们可以推导出它们的导数公式。
（略去证明过程）设函数f(x) = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1，则其导数为：f'(x) = a^x * ln(a)其中ln(a)表示以e为底数的对数。
设函数f(x) = log_a(x)，其中a为常数且大于0且不等于1，则其导数为：f'(x) = 1 / (x * ln(a))2. 常见函数的导数公式2.1 三角函数导数公式三角函数在微积分中也经常出现。
下面是常见三角函数的导数公式。
（略去证明过程）sin(x)的导数：cos(x)cos(x)的导数：-sin(x)tan(x)的导数：sec^2(x)2.2 反三角函数导数公式反三角函数也是常见的函数类型，它们的导数公式如下：（略去证明过程）arcsin(x)的导数：1 / sqrt(1 - x^2)arccos(x)的导数：-1 / sqrt(1 - x^2)arctan(x)的导数：1 / (1 + x^2)3. 导数计算方法以上是一些基本函数的导数公式。
对于复合函数的导数计算，可以使用链式法则。
成人高考专升本高数二必考公式大全
成人高考专升本高数二必考公式大全常用数学公式
, 乘法与因式分解公式
, 三角不等式
, 一元二次方程的解
, 某些数列的前n项和
, 二项式展开公式
, 三角函数公式
, 导数与微分
, 不定积分表(基本积分) 一、乘法与因式分解公式
1.1 1.2
1.4
二、三角不等式
2.1
2.2
2.3
2.4
2.6
三、一元二次方程的解
3.2(韦达定理)根与系数的关系:
四、某些数列的前n项和
4.2 4.3
4.7
五、二项式展开公式
六、三角函数公式
1 两角和公式
6.1 6.2
2 倍角公式
6.5
6.6
3 半角公式
4 和差化积
七、导数与微分
1 求导与微分法则
2 导数及微分公式
八、不定积分表(基本积分)。
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一、导数的概念及其计算 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim→∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； （2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xy x ∆∆→∆0lim。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0）） 处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3．常见函数的导出公式．（１）0)(='C （C 为常数） （２）1)(-⋅='n n x n x（３）x x cos )(sin =' （４）x x sin )(cos -='4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫ ⎝⎛v u ‘=2''vuv v u -（v ≠0）。
二、定积分的概念及其计算（牛顿—莱布尼茨公式） 1．定积分 （1）概念设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式I n ＝∑ni f 1＝(ξi )△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：⎰b a dx x f )(，即⎰ba dx x f )(＝∑=∞→ni n f 1lim (ξi )△x 。
这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式定理 若函数)(x f 在],[b a 上连续，且存在原函数)(x F ，则)(x f 在],[b a 上可积，且⎰-=baa Fb F dx x f )()()(这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为⎰-==ba ba a Fb F x F dx x f )()()()(。
基本的积分公式：⎰dx 0＝C ；⎰dx x m ＝111++m x m ＋C （m ∈Q ， m ≠－1）；⎰x 1dx ＝ln x ＋C ；⎰dx e x＝xe ＋C ；⎰dx a x＝aa xln ＋C ；⎰xdx cos ＝sin x ＋C ；⎰xdx sin ＝－cos x ＋C （表中C 均为常数）（2）定积分的性质①⎰⎰=b a ba dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）； ②⎰⎰⎰±=±b a b a ba dx x g dx x f dx x g x f )()()()(； ＜b )。
③⎰⎰⎰+=ba ca bc dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c （3）定积分求曲边梯形面积由三条直线x ＝a ，x ＝b （a <b ），x 轴及一条曲线y ＝f （x ）(f (x )≥0)围成的曲边梯的面积⎰=ba dx x f S )(。
如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a<b ）围成，那么所求图形的面积S＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝⎰⎰-ba ba dx x f dx x f )()(21。
一、基本导数公式：()()()()()()()()()()()()()()()''1'''''''2'2'''''21.2.3.ln 4.15.log ln 16.ln7.sin cos8.cos sin9.tan sec 10.cot csc 11.sec sec tan 12.csc csc cot 113.arcsin 114.arccos 115.arctan 11n n x xx xa kx kxnx a a a e ex x a x xx x x x x xxx x x x x x x x x x -========-==-==-==-=+()'216.a cot 1rc x =-+二、基本微分公式：()()()()()()()()()()()()()()1221.2.3.ln 4.15.ln 16.log ln7.sin cos8.cos sin9.tan sec 10.cot csc 11.sec sec tan 12.csc csc cot 113.arcsin 14.arccos n n xxxxa d kx kd x nx dx d aa adx d e e dxd x dxx d x dxx ad x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d x x xdx d x x xdx d x dxd x -========-==-==-=()()221115.arctan 1116.cot 1dxd x dx xd arc x dx x=-=+=-+三、不定积分基本公式：11.2.13.14.ln 15.ln ||6.sin cos7.cos sin8.tan ln |cos |9.cot ln |sin |10.csc ln |csc cot |11.sec ln |sec tan |n nx x xxkdx kx c xx dx cn e dx e c a dx a cadx x c xxdx x cxdx x c xdx x c xdx x c xdx x x c xdx x x c+=+=++=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2232121311xdx x cx dx x cdx cx x =+=+=-+⎰⎰⎰222222222112.c cot sin 113.sec tan cos114.arctan 115.arcsin 16.sec tansec 17.csc cot csc 118.arctan 119.ln ||220.dx cs xdx x cx dx xdx x c xdx x c x dx x cx xdx x c x xdx x cdx x c x a a a dx x a c x a a x a==-+==+=++=+=+=-+=++-=+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin 21.ln ||22.ln ||xc a dx x c x c=+=++=++⎰⎰⎰()221ln 112x dx x c x =+++⎰ 21arctan 1dx x c x =++⎰。