概率的统计定义
概率统计基础知识--简略版
（a）A-B
（b）A-B（ A B ）
事件运算性质：
—— 交换律：A B B A ，A B B A —— 结合律 A B C A B C 运算相同：
A B C A B C
—— 分配律 A B C A B A C 运算不同：
事件H=“两次抽到的结果一致” ={(0,0), (1,1)} 若这批产品10000件中合格品与不合格品各占一半，且产品分布均匀随机，则 • P（A）=？ • P（B）=？ • P（C）=？ • P（H）=？ 若批产品总数10000件中不合格品有2000件，结果会怎样呢？
2016/4/16 中级概率1 19
在一个随机现象中有两个事件A与B，若 事件A与B没有相同的样本点，则称A与B互不 相容。
可推广到三个或更多个事件间的互不相容
—— 相等：A=B即AB且B A 两个随机事件A与B，若样本A与B含有相同的 样本点，则称事件A与B相等。
投掷骰子2次：A={（x，y）：x + y =奇数} B={（x，y）：x与y的奇偶性不同} 则： A=B= (1,2),(1,4),(1,6),(2.1),(2,3),(2,5) (3,2),(3,4),(3,6)…
2016/4/16
中级概率1
25
三、概率的性质及其运算法则 概率的性质：（可由概率的定义看出）
—— 性质1：对任意事件A，有0≤P(A)≤1；
—— 性质2： P ( A) 1 P ( A)
—— 性质3：若AB 则P（A-B）=P（A）-P（B）
三、概率的性质及其运算法则 概率的性质：（可由概率的定义看出） —— 性质4：P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）
概率与统计的基本概念及计算方法
概率与统计的基本概念及计算方法概率与统计是数学中的两个重要分支，它们在各个领域中都有着广泛的应用。
概率与统计的基本概念及计算方法是我们理解和运用这两个概念的基础。
本文将从概率与统计的基本概念入手，深入探讨其计算方法，并结合实际案例进行说明。
一、概率的基本概念概率是研究随机现象的可能性的数学工具。
它描述了某一事件发生的可能性大小。
概率的基本概念包括样本空间、事件和概率的定义。
样本空间是指一个随机试验所有可能结果的集合。
例如，掷一枚骰子的样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
事件是样本空间的一个子集，它表示我们感兴趣的结果。
例如，掷一枚骰子得到奇数的事件可以表示为{1, 3, 5}。
概率的定义是指一个事件发生的可能性大小，它的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
计算概率的方法有频率法和古典概型法。
频率法是通过实验的频率来估计概率。
例如，我们可以通过多次掷骰子的实验，统计出掷出奇数的频率，从而估计出掷出奇数的概率。
古典概型法是指在样本空间中，每个结果发生的可能性相等。
例如，掷一枚均匀的骰子，每个数字出现的可能性相等，所以每个数字的概率为1/6。
二、统计的基本概念统计是研究数据的收集、分析和解释的一门学科。
它通过对一定数量的数据进行分析，推断出总体的特征。
统计的基本概念包括总体和样本、参数和统计量、抽样和抽样误差。
总体是指研究对象的全体，它包含了我们感兴趣的所有个体。
例如，我们想研究全国人口的平均身高，那么全国所有人口就是我们的总体。
样本是从总体中选取的一部分个体，它是总体的一个子集。
参数是用来描述总体特征的数值，例如总体的平均值、方差等。
统计量是用来描述样本特征的数值，例如样本的平均值、方差等。
抽样是从总体中选取样本的过程。
为了保证抽样的公正性和代表性，我们通常采用随机抽样的方法。
抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。
由于样本是从总体中选取的一部分，所以样本统计量与总体参数之间存在一定的误差。
简述概率的统计定义
简述概率的统计定义概率是统计学中的一个重要概念，它是用来描述某个事件发生的可能性大小的数值。
在统计学中，概率是指一个事件在所有可能事件中发生的可能性大小。
概率的统计定义是通过统计实验的结果来计算得出的。
统计学中的概率可以通过频率来估计。
频率是指在一系列重复的独立试验中，某个特定结果出现的次数与试验总次数之比。
例如，如果我们想要计算抛掷一枚硬币正面朝上的概率，我们可以进行多次试验，记录正面朝上的次数，然后将正面朝上的次数除以总的试验次数。
当试验次数趋近于无穷大时，频率将逐渐接近真实概率。
概率的统计定义可以通过大数定律来解释。
根据大数定律，当试验次数足够大时，频率将趋近于真实概率。
这意味着通过多次重复试验，我们可以逐渐准确地估计出某个事件发生的概率。
因此，通过统计实验的结果，我们可以得到概率的统计定义。
在实际应用中，概率的统计定义被广泛用于估计和预测。
例如，在医学研究中，研究人员可以通过对大量患者进行观察和统计，来估计某种疾病的患病率。
在金融领域，投资者可以通过分析过去的股市数据，来预测未来的股票价格变动。
这些都是基于概率的统计定义来进行的。
除了频率法外，还有其他方法来计算概率。
例如，基于概率论的方法可以使用数学模型来计算概率。
概率论是一门数学分支，它研究了随机事件的概率和统计规律。
基于概率论的方法可以更加准确地计算概率，但通常需要更多的数学知识和计算能力。
概率是统计学中的一个重要概念，它用来描述某个事件发生的可能性大小。
概率的统计定义是通过统计实验的结果来计算得出的。
通过频率和大数定律，我们可以逐渐准确地估计出某个事件发生的概率。
概率的统计定义在实际应用中有着广泛的应用，可以用于估计和预测。
除了频率法外，还可以使用基于概率论的方法来计算概率。
无论是哪种方法，概率的统计定义都是统计学中不可或缺的内容。
概率论与数理统计ch1-2
试验二：掷色子
设A=“出现1点”
P(A) 1 0.16& 6
试验次数 10 100 1000 5000 10000 20000 50000
A出现的频数 2 15 153 850 1719 3381 8204
摩根法则：
A B A B ； AB A B
★用简单事件的运算来表示复杂事件！
CH1 随机事件及其概率
§1.2 事件的概率
研究随机试验，仅仅知道所有可能结果是不 够的，还需要了解各种结果出现的可能性大小。
概率就是描述事件A发生可能性大小的一个量。
本节给出概率的四种定义：
一、概率的统计定义
二、概率的古典定义★
概率的古典定义仅适用于具有下述特点的试验模型： (1) 试验中所有基本事件的总数是有限的； —有限性 (2) 每次试验中，各基本事件的发生是等可能的。 —等可能性
——古典概型(等可能性模型)
定义： 如果古典概型中，所有基本事件的总数为n，而
A所包含的基本事件数为m，则事件A发生的 概率为：
公理1(非负性)：0 P(A) 1； 公理2(规范性)： P() 1；
公理3(可列可加性)： 对于两两互斥的事件列A1, A2,L , An,L ，有 P( A1 A2 L An L ) P( A1) P( A2) L P( An ) L 概率则是称非P负(A的)为、事规件范A的的、概可率列。可加的集函数。
m1 m2 m1 m2
fn(A+B)= fn(A) +fn(B)
m1 m2 m1 m2
n
nn
概率的统计定义
概率的统计定义
在相同条件下，进行重复随机试验，如果随着试验次数的增多，事件A出现的频率稳定于某一常数p，则称这个常数p为事件A的概率。
记作p(A)=p，这就是概率的统计定义﹝Statistical Definition of Probability﹞。
当试验次数相当大时，频率稳定于某一常数这一性质，最初是在人口统计方面注意到的。
除了在人口统计方面，法国的蒲丰﹝1707-1788﹞和英国统计学家皮尔逊﹝1857-1936﹞还做了大量的掷钱、掷骰子的试验，证明了当试验次数相当大时，频率稳定于某一常数。
下面是他们掷钱试验的结果：。
概率论 2概率的统计定义、古典概型
个。
• 例８ 从1~100的一百个整数中任取一数，试求取到的整数能被 ６或８整除的概率。
几何概率( Geometric Probability)
将古典概率中的有限性推广到无限性，而保留等可
能性，就得到几何概率。
特点
有一个可度量的几何图形S 试验E看成在S中随机地投掷一点
事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中
投掷两颗骰子,试计算两颗骰子的点数之 和在4和10之间的概率. 解：设A表示点数之和在4和10之间
1 2 5 P( A) 1 2 2 36 36 6
求
P A B, P A B, P A B
设 P A 0.4,
P AB P A B P A AB 0.2
A B 0.4 0.7 0.2 0.9
0.4 0.3 0.2 0.5
古典概率 (Classical Probability)
考察如下几个试验：
抛两枚均匀的硬币，观察它们出现的正反面的情况。 掷骰子一颗，观察其点数。 掷一颗骰子并抛一枚硬币，观察骰子的点数和硬币的 正反面情况。
(2) 事件A,B有包含关系
解 (1) 由于 AB , 因此 A B A, B A B P( A B) P( A) 0.3 P( B A) P( B) 0.6
(2) 由已知条件和性质3,推得必定有
A B
P( A B) P() 0
P( B A) P( B) P( A) 0.3
它们都具备如下特点： （1）每次试验中，所有可能的结果只有有限多个。 （2）每次试验中，每一种可能的结果发生的可能性相同。 满足这些条件的数学模型称作古典概率。
概率论与数理统计总结1
三Байду номын сангаас 事件间的关系与运算
1. 包含关系: 若事件发生必然导致事件发生 B A或A B 2. 相等关系: A B 且B A 3. 事件的和 ( A B ) :A 与 B 至少有一个发生构成的事件 4. 事件的积 ( A B , 或AB) : A与B 同时发生构成的事件 5.互不相容事件（互斥事件） ：A 与 B 不能同时发生，即 AB=
二. 条件概率
在实际问题中， 常常需要计算在某个事件 B 已发生的条件下,， 另一个事件 A 发生的概率 。 在概率论中，称此概率为事件 B 已发生的条件下事件 A 发生的条件概率，记为 P( A | B ) 。 一般地，因为增加了“事件 B 已发生”的条件，所以 P( A | B ) P ( A) 。
下面举例引出条件概率的定义. 例 1 某工厂有职工 500 人，男女各占一半，男女职工中技术优秀的分别为 40 人与 10 人。 现从中人选一名职工，试问： (1) 该职工为技术优秀的概率是多少? (2) 已知选出的是女职工,她为技术优秀的概率是多少? 解 设 A 表示选出的职工为技术优秀的事件， B 表示选出的是女职工的事件。 40 10 1 (1) P( A) 500 10 10 1 (2) P( A | B ) 250 25 显然， P( A) P( A | B) 。这是因为限制在 B 已发生的条件下求 A 的概率的缘故。 10 10 500 P( AB) 另外，可由 P( A | B ) 250 250 P( B ) 500 推得一般情况下条件概率的定义. 设实验的基本事件总数为 n ，事件 B 所包含的基本事件数为 m B ， 事件 AB 所包含的基本事件数为 m B ，则有
i 1 i 1 n n
概率论与统计1-3 随机事件的概率
基本事件总数为 10 10 10 103 , A 所包含基本事件的个数为 6 6 4, 6 6 4 0.144 . 故 P ( A) 3 10
同类型的问题还有：
1) 电话号码问题；
2) 骰子问题.
3) 英文单词、书、报等排列问题.
例6
分房模型
有n个人，每个人都以同样的概率 1/N 被分配在N(n≤N)间房中的每一间中，试求 下列各事件的概率：
nH
1061 2048 6019 12012
f
德.摩根 蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
f (H ) n的增大
1 . 2
重要结论
频率当 n 较小时波动幅度比较大,当 n 逐渐增 大时 , 频率趋于稳定值, 这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的
满足等式
rn r r1 r2 n n n n
根据定1.2知 P ( A1 Am ) P ( A1 ) P ( Am )
说明
概率的统计定义直观地描述了事件发生的 可能性大小，反映了概率的本质内容，但也有 不足，即无法根据此定义计算某事件的概率.
三、古典概型
1.古典概型定 义
m Cn ( N 1)nm
m C n ( N 1) n m P (C ) Nn
同类型的问题还有： 1) 球在杯中的分配问题； (球人，杯房) 2) 生日问题； (日 房，N=365天) ( 或 月 房，N=12月)
3) 旅客下站问题； ( 站房 )
4) 印刷错误问题； (印刷错误人，页房)
mn 基本事件总数为: C M N m n CM CN A 所包含基本事件的个数为
概率统计知识点
一.随机事件和概率1、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =13° 对于两两互不相容的事件1A ，2A ，…有∑∞=∞==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)(i i i i A P A P Υ常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件A 的概率。
（2）古典概型（等可能概型）1° {}n ωωωΛ21,=Ω，2° nP P P n 1)()()(21===ωωωΛ。
设任一事件A ，它是由m ωωωΛ21,组成的，则有P(A)={})()()(21m ωωωΥΛΥΥ=)()()(21m P P P ωωω+++Λn m =基本事件总数所包含的基本事件数A =2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）(1)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)(2)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当B ⊂ A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P(B )=1- P(B)（3）条件概率和乘法公式定义 设A、B 是两个事件，且P(A)>0，则称)()(A P AB P 为事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率，记为=)/(A B P )()(A P AB P 。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
（4）全概公式设事件B 1, B 2,Λ , B n 满足1°B 1, B 2,Λ , B n两两互不相容，P (B i ) > 0(i = 1,2,Λ , n ) ，2°Υni iB A 1=⊂，则有)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++=Λ。
概率论与数理统计1.3
( N )n N! P ( A) n n N N ( N n)!
旅客 车站
某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸的概率.
( 7 )7 7 ! P ( A) 7 7 7 7
车祸 天
例 设100件产品中有5件次品,现从中任意抽出3件，求： 恰有2件是次品被抽出的概率. A 解法一：设样本点为从100件产品抽出3件的组合 次品 5 件 M件 100 总数： 3 正品 95 件件 N-M 计算A的样本点数分两步： 从5件次品中抽出2件，
1 . 2
n 的增大 稳定于
实验结果与主观一致!
例2（新生儿性别）北京妇产医院6年中新生婴儿的
数量和性别统计 年份 1972 1974 1975 1977 1978 1979 总计
实验结果与主观不一致!
2883 2087 2039 1883 2177 2138 13207 2661 1976 1874 1787 2073 1917 12288 0.5200 0.5137 0.5211 0.5131 0.5122 0.5273 0.5180
P(ABC) = P(A)+P(B)+P(C)
( n)r n! P ( A) r r n n ( n r )!
例 （生日问题）假定每个人的生日在一年365天中 的每一天的可能性是均等的。设某宴会上有 n 个人 （ n 365 ），问此 n 个人中至少有两人生日在同 一天的概率为多少？
解： A 表示至少有两人生日在同一天 设 则 A 表示 每个人的生日全不相同
概 率 的 单 调 性
推论 P(AB) = P(A)P(AB).
A
B
B
概率统计的定义
概率统计的定义概率统计是一种统计学的分支，它研究的是随机变量的概率规律。
它的基本任务是用统计方法从抽样试验中获取随机变量的分布特征及其变化规律，以及推断出参数的取值范围，以此来推断总体特征。
概率统计的基本概念包括：概率、概率分布、随机变量、样本空间、抽样试验、抽样分布、统计量等。
概率是指发生某种事件的可能性。
它是一种不确定性的概念，表示为一个数字。
一般来说，概率的取值范围是0到1之间，其中0表示一定不会发生，而1表示一定会发生。
概率分布是指每一个可能发生的结果的概率，它可以使用概率密度函数或概率分布函数来表示。
常见的概率分布有泊松分布、正态分布、对数正态分布、伽马分布等。
随机变量是指概率统计中用来表达不确定性的变量。
它可以是定义在某一分布上的函数，它的取值不确定，但满足一定的概率分布。
样本空间是指随机变量X可能取值的完整集合。
它用来描述X的取值范围。
抽样试验是指从总体中抽取样本，以便对总体进行统计分析的过程。
它是统计分析的基础，也是统计分析结果可度的基础。
抽样分布是指从总体中抽取样本后，样本统计量的分布特征。
它可以用来描述样本统计量的变化规律，以及推断总体特征的参数的取值范围。
统计量是指用来描述样本的某种特征的量。
它可以是样本均值、样本方差、样本比例等。
综上所述，概率统计是一种研究随机变量的概率规律的统计学分支，它的基本任务是用统计方法从抽样试验中获取随机变量的分布特征及其变化规律，以及推断出参数的取值范围，以此来推断总体特征。
它的基本概念包括：概率、概率分布、随机变量、样本空间、抽样试验、抽样分布、统计量等。
概率统计是统计分析的基础，它是统计分析结果可度的基础，为统计分析提供了重要支持。
概率论与数理统计_ 随机事件及概率_ 概率定义及概率的性质_
小结 主要 内容
概率论与数理统计
概率的描述性定义 概率的统计定义 概率的公理化定义
Thank You!
概率的性质
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率的公理化定义
设 E 是随机试验, 是它的样本空间.对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数,记为 P( A) , 称为事 件 A的概率,如果集合函数 P( )满足下列条件 :
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即 当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且 逐渐稳定于 0.5.
实验者
德 摩根 蒲丰
K 皮尔逊 K 皮ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ逊
n
2048 4040 12000 24000
概率论与数理统计
概率的可列可加性
概率论与数理统计
概率的性质
(1) P() 0.
证明 An (n 1,2,),
则 An ,且 Ai Aj , n1
由概率的可列可加性得
i j.
P()
P
n1
An
n1
P( An )
P()
n1
P()
0.
P() 0
概率论与数理统计
(2) 若A1, A2 ,, An是两两互不相容的事件,则有
P( A1 A2 An ) P( A1) P( A2 ) P( An ).
概率的有限可加性
证明 令 An1 An2 , Ai Aj , i j, i, j 1,2,.
由概率的可列可加性得
P(A1
A2
An )
P(
Ak )
P( Ak )
概率与统计的基本概念
概率与统计的基本概念概率与统计是数学的两个重要分支，它们与我们的日常生活息息相关，被广泛应用于各个领域。
本文将介绍概率与统计的基本概念，包括概率、随机变量、概率分布、样本空间、均值、方差等内容，以帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
一、概率概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。
概率的值介于0和1之间，0表示不可能事件，1表示必然事件。
概率可以通过实验、几何模型或统计推断等方式进行计算。
例如，掷一枚硬币，正面朝上的概率为1/2，反面朝上的概率也为1/2。
概率的计算可以通过频率法、古典概型或主观概率等方法。
二、随机变量随机变量是对随机事件结果进行数值化的抽象表示。
随机变量可以分为离散型和连续型两种。
离散型随机变量取有限个或无限可数个数值，例如扔一个骰子的结果为1、2、3、4、5、6；而连续型随机变量可以取任意实数值，例如测量某物体的重量。
随机变量可以用来描述概率分布、寻找期望值和方差等。
三、概率分布概率分布是描述随机变量的可能取值及其对应概率的统计规律。
常见的概率分布有离散型分布和连续型分布。
离散型分布包括伯努利分布、二项分布和泊松分布等，用于描述重复实验的结果。
连续型分布包括均匀分布、正态分布和指数分布等，适用于测量类实验的结果。
四、样本空间样本空间是指所有可能试验结果的集合。
例如，抛掷一枚骰子的样本空间为{1,2,3,4,5,6}。
样本空间的大小可以用有限或无限可数个元素来表示。
在统计中，我们通过对样本空间的设计和分析，来推断总体的一些特征。
五、均值与方差均值和方差是描述随机变量集中趋势和离散程度的统计量。
均值是指随机变量取值的平均数，用来表示一个集合的中心倾向；而方差是指随机变量值与均值之间的差异程度，用来表示数据的分散程度。
均值和方差可以通过样本统计量来估计总体参数。
概率与统计的基本概念对于我们理解和分析数据具有重要意义。
通过概率与统计的方法，我们可以对数据进行建模、预测和推断，帮助我们做出科学合理的决策。
000000000001 概率的统计定义、古典概型
4.古典概型的基本模型 球放入杯子模型 古典概型的基本模型:球放入杯子模型 古典概型的基本模型
(1)杯子容量无限 杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去 求第1、2个 个杯子中去,求第 问题 个杯子中去 求第1 个 杯子中各有两个球的概率, 杯子中各有两个球的概率 其中假设每个杯子可 放任意多个球. 放任意多个球
M + N , m+n
A 所包含的样本点个数为 所包含的样本点个数为
M N M + N 故 P ( A) = m n m + n
M N , m n
(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和 只黑球,现从袋中有放 只红球和6只黑球 问题 设袋中有 只红球和 只黑球 现从袋中有放 回地摸球3次 求前 次摸到黑球 求前2 黑球、 回地摸球 次,求前 次摸到黑球、第3 次摸到红球 的概率. 的概率 解 设 A = {前 2次摸到黑球 , 第三次摸到红球 } 第3次摸到红球 4种 次摸到红球 种 第1次摸到黑球 6种 2次摸到黑球 种
第2次摸球 3次摸球 1次摸球
10种 种
样本点总数为10× 10× 10 = Nhomakorabea03 ,
A 所包含样本点的个数为 所包含样本点的个数为 6 × 6 × 4, 6× 6× 4 = 0.144. 故 P ( A) = 3 10
“免费摸奖”游戏： 免费摸奖”游戏： 免费摸奖
摸奖箱里装着10个球面写着 分 摸奖箱里装着 个球面写着5分、10个球 个球面写着 个球 面写着10分的共 个乒乓球。 分的共20个乒乓球 面写着 分的共 个乒乓球。主办者要你随机 个球， 分或100分 摸10个球，如果总分摸到 分或 个球 如果总分摸到50分或 分，你就 会得到彩电或自行车之类的大奖。 会得到彩电或自行车之类的大奖。如果总分摸 到95、90、85、70、65、60、55分，就可以得 、 、 、 、 、 、 分 到价值几元钱的奖品。但如果总分摸到75分或 到价值几元钱的奖品。但如果总分摸到 分或 80分，则要出 元钱买一瓶“水”得很的洗发 元钱买一瓶“ 分 则要出20元钱买一瓶 精之类。乍一看，挺诱人的。 精之类。乍一看，挺诱人的。
随机事件及其频率·概率的统计定义
§1.1 随机事件及其频率· 概率的统计定义
随机事件（简称事件） 随机试验中的某种结果(它在一次试验中可能发生 也可能不发生,而在大量重复试验中具有某种统计规律 性). 或：随机试验结果的一种描述 或：关于试验结果的一个命题
用大写字母 A , B , C ,表示.
随机事件 事件 必然事件 (记作U ) 不可能事件 (记作V )
பைடு நூலகம்
率
频
0.2
§1.1 随机事件及其频率· 概率的统计定义
概率的统计定义
随机事件发生的可能性可以用一个数来表示, 这 个刻画随机事件 A在试验中发生的可能性大小的、介
于0与1之间的数叫做随机事件 A的概率, 记作 : P( A).
根据定义有：
0 P ( A) 1,
P(V ) 0,
P(U ) 1.
第一章 随机事件及其概率
§1.1 随机事件及其频率·概率的统计定义
§1.1
随机事件及其频率· 概率的统计定义
1.随机现象与统计规律性
确定性现象（必然现象）： 在一定条件下,必然会出现的某种确定的结果. 例如： (1) 向上抛一枚硬币,硬币上升到一定高度后必 然会下落； (2) 水加热后温度必定升高. (3) 太阳必定从东方升起.
统计规律性 人类的大量实践表明,在相同条件下,对随机现象进 行大量的重复观测,其结果总能呈现出某种规律性. 例：抛一枚硬币,观察正面朝上情况.
试验者
抛硬币次数 n
De Morgan Buffon Fisher Pearson Pearson
2048 4040 10000 12000 24000
正面朝上次数 m 1061 2048 4979 6019 12012
1.2概率的定义及性质
P A B P A PB P AB
推论1： P(B A) P(A) P(B).
推论2：
n
P Ai
n
P
Ai
P Ai Aj
P Ai Aj Ak 1n1 PA1 A2 An
i 1
i 1
1i jn
近百年世界重大地震
“重大”的标准
① ②
震级
死亡
7 级左右 5000人以上
时间
地点
级别 死亡
1905.04.04 克什米尔地区
8.0
1906.08.17 智利瓦尔帕莱索港地区 8.4
1917.01.20 印度尼西亚巴厘岛
1920.12.16 中国甘肃
8.6
1923.09.01 日本关东地区
7.9
1935.05.30 巴基斯坦基达地区 7.5
三、概率的公理化定义
定义1.2.3 定义在事件域F上的一个集合函数 P 称为概率。
如果它满足如下三个条件：
1.非负性：A F, P(A) 0.
2.规范性： P() 1
3.可列可加性： 若
Ai
F,
i
1,
2,...
且两两互不相容,有
P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
60年代后又创立了信息算法理论;
1980年由于它在调和分析, 概率论,遍历理 论 及 动力系统方面 出色的工作获沃尔夫奖;
他十分重视数学教育,在他的指引下,大批数 学家在不同的领域内取得重大成就.其中包括и.M. 盖尔范德,B.и.阿诺尔德, Я.Г.西奈依等人.
统计与概率的概念
统计与概率的概念统计与概率是数学中重要的概念和工具，被广泛应用于各个领域和行业中。
统计学涉及数据的收集、整理、分析和解释，而概率则用于描述和预测随机事件的可能性。
本文将从基本概念、应用领域和现实生活中的例子等方面介绍统计与概率的概念及其重要性。
一、统计的概念及基本原理统计是一门研究搜集、整理、分析和解释数据的学科。
它可以帮助我们了解数据中隐藏的规律和趋势，从而做出有意义和准确的结论。
统计的基本方法包括总体与样本、描述统计和推断统计。
总体是指我们研究的对象的全体，例如一个国家的人口、一堆产品的质量等。
样本是从总体中选取的一部分个体或观察结果。
通过对样本的研究和分析，我们可以得出对总体的推断和结论。
描述统计用于对数据进行概括和总结，包括测量数据的中心趋势和离散程度等。
常见的描述统计指标包括平均值、中位数、标准差等。
推断统计则通过对样本数据的分析来推断总体的性质和特征。
它可以帮助我们从一个相对较小的样本中获得有关总体的信息，并对总体进行推断和预测。
二、概率的概念及应用概率是用于描述和预测随机事件的可能性的数学工具。
它涉及到随机实验、样本空间和事件的概念。
随机实验是指具有不确定性的试验，例如掷硬币、抛骰子等。
样本空间是指随机实验的所有可能结果的集合。
事件是样本空间中某些结果的集合。
概率可以用来描述事件发生的可能性。
在一个随机实验中，事件发生的概率是指该事件出现的次数与总试验次数之间的比例。
概率的应用非常广泛。
在自然科学中，概率可以用于描述物理现象、天气预测等。
在金融领域中，概率可以用于风险评估和投资决策。
在医学领域中，概率可以用于疾病的诊断和治疗方案的选择。
三、统计与概率在现实生活中的应用统计与概率在现实生活中有许多应用。
下面列举几个例子。
1. 调查研究：统计学可以帮助研究人员进行调查和数据分析，从而得出有关人群的结论。
例如，根据一次调查的结果，我们可以得知某种产品的市场需求，从而制定相应的生产和销售策略。
第三章 概率与概率分布 华中农业大学生物统计学讲义
该试验样本空间由10个等可能的基本事件构成，即n=10，而事 件A所包含的基本事件有3个，即抽得编号为1、2、3中的任何一 个，事件A便发生。
P(A)=3/10=0.3
P(B)=5/10=0.5
12 3 4 5
6
7
8 9 10
一、概率基本概念
A＝“一次取一个球，取得红球的概率”
10个球中取一个球，其可能结果有10个基本事件（即每个球 被取到的可能性是相等的），即n=10 事件A：取得红球，则A事件包含3个基本事件，即m=3
P(A)=3/10=0.3
12 3 4 5
6
7
8
9 10
一、概率基本概念
B＝ “一次取5个球，其中有2个红球的概率” 10个球中任意取5个，其可能结果有C105个基本事件，即n= C105 事件B =5个球中有2个红球，则B包含的基本事件数m= C32 C73
P(B) = C32 C73 / C105 = 0.417
2、在一定条件下可能发生也可能不 发生。
（二）频率（frequency）
一、概率基本概念
若在相同的条件下，进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A出现的次数m称为事件A出现的 频数，比值m/n称为事件A出现的频率(frequency)， 记为W(A)=m/n。
0≤W(A) ≤1
例：
一、概率基本概念
设样本空间有n个等可能的基本事件所构成，其中事件A包 含有m个基本事件，则事件A的概率为m/n，即P(A)=m/n。
古典概率(classical probability) 先验概率(prior probability)
一、概率基本概念
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
随机抽取一个球，求下列事件的概率; （1)事件A＝抽得一个编号< 4 （2)事件B =抽得一个编号是2的倍数
概率与统计基本知识点总结
概率与统计基本知识点总结1.概率理论：概率的定义：概率是描述随机事件发生可能性的数值，通常用介于0和1之间的数表示。
概率的基本性质：概率值在0到1之间，且所有可能事件的概率之和为1事件的独立性：两个或多个事件相互独立，意味着一个事件的发生不受其他事件发生与否的影响。
加法法则：若A和B是两个事件，则它们联合发生的概率等于它们各自发生的概率之和减去它们同时发生的概率。
乘法法则：对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积。
条件概率：事件A在事件B发生的条件下发生的概率，表示为P(A，B)。
贝叶斯定理：根据已知的条件概率，求解另一个条件概率的计算公式。
2.随机变量与概率分布：随机变量：将随机事件的结果映射到实数上的变量。
离散型随机变量：取有限个或可数个值的随机变量。
连续型随机变量：取任意实数值的随机变量。
概率分布：描述随机变量取各个值的概率的函数。
离散型概率分布：包括离散均匀分布、二项分布、泊松分布等。
连续型概率分布：包括连续均匀分布、正态分布、指数分布等。
期望：随机变量的平均值，反映其分布的中心位置。
方差：随机变量偏离其均值的程度，反映其分布的离散程度。
3.统计推断：总体与样本：总体是指研究对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分个体。
参数与统计量：总体的数值特征称为参数，样本的数值特征称为统计量。
抽样分布：样本统计量的概率分布。
中心极限定理：在一定条件下，样本容量足够大时，样本的均值近似服从正态分布。
置信区间：用样本统计量作为总体参数的估计范围。
假设检验：通过对样本数据的分析，判断总体参数是否满足其中一种假设。
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例如，若我们希望知道某射手中靶的 概率，应对这个射手在同样条件下大量 射击情况进行观察记录.
若他射击n发，中靶 m发，当n很大时，可 用频率m/n作为他中 靶概率的估计.
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概率笑话 一位统计学家对乘飞机飞行感到恐
慌，尤其是因为近来在飞机上经常 出现一些炸 弹威吓事件。于是，他对一颗 炸弹出现在一架 飞机上的概率作了计算（统计频率），由于这个
概率合理地小，仅为 10，4 他消除了疑虑。然后，
他又计算了两枚炸弹同时出现在一架飞机上的概
率，发现此概率是绝对地小，仅为 ，10于是8 ，
打这以后，他乘飞机旅行时，总是在手提箱中携 带一枚炸弹！
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1.2 概率的定义及基本性质 1.2.1 概率的统计定义
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下面我们从几个试验入手，揭示随机 事件一个极其重要的特征：
频率稳定性
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频率稳定性
在充分多次试验中，事件的频率总 在一个定值附近摆动，而且，试验次数 越多，一般来说摆动越小. 这个性质叫 做频率的稳定性.
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频率在一定程度上反映了事件发生的 可能性大小. 尽管每进行一连串（n次）试 验，所得到的频率可以各不相同，但只要 n相当大，频率与概率是会非常接近的.
因此，概率是可以通过频率来“测量” 的, 频率是概率的一个近似.
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这种稳定性为用统计方法求概率的数 值开拓了道路. 在实际中，当概率不易求 出时，人们常取实验次数很大时事件的频 率作为概率的估计值， 称此概率为