离散数学39偏序关系
离散数学 偏序
离散数学中的偏序关系是一个核心概念，它描述了集合中元素之间的一种特定关系。
与等价关系和全序关系不同，偏序关系允许集合中的元素之间只有部分元素之间存在比较关系，而不是全部元素之间都有比较关系。
偏序关系是一种二元关系，通常表示为集合上的一个小于或等于的符号（≤）。
这种关系满足两个基本性质：自反性和传递性。
自反性意味着集合中的每一个元素都小于或等于自己；传递性则意味着如果元素a小于或等于元素b，元素b小于或等于元素c，那么可以推出元素a小于或等于元素c。
偏序关系的一个重要特点是它允许集合中存在不可比较的元素对。
也就是说，对于某些元素a和b，我们不能确定a小于b，也不能确定b小于a。
这种不可比较性使得偏序关系比全序关系更加灵活和实用。
偏序关系在实际应用中有广泛的应用。
例如，在计算机科学中，偏序关系可以用于描述程序的执行顺序、任务之间的依赖关系等。
在数据结构中，偏序关系可以用于定义优先队列、堆等数据结构，从而实现对元素的快速排序和检索。
此外，偏序关系还与数学中的其他概念密切相关，如格、有向无环图等。
通过偏序关系，我们可以对集合中的元素进行排序、分类和比较，从而更好地理解和分析问题的本质。
总之，离散数学中的偏序关系是一种重要的二元关系，它描述了集合中元素之间的部分比较关系。
偏序关系具有自反性、传递性和不可比较性等特点，广泛应用于计算机科学、数据结构、数学等领域。
通过偏序关系的研究和应用，我们可以更好地理解和解决实际问题。
离散数学中的关系
离散数学中的关系
离散数学中的关系指的是集合之间元素的联系或对应关系。
这种关系可以描述为有序对的集合，其中每个有序对都由一对元素组成。
在离散数学中常见的关系包括等价关系、偏序关系、全序关系等。
等价关系是一种自反、对称和传递的关系，即元素之间具有相等的性质。
例如，集合中两个元素的相等关系就是一种等价关系。
偏序关系是一种自反、反对称和传递的关系，即对元素之间存在一种偏序或排序关系。
例如，在集合中，可以通过元素之间的比较来确定它们的顺序关系。
全序关系是一种偏序关系，它不仅是自反、反对称和传递的，还具有完备性，即对于集合中任意两个元素，它们之间必定存在一种顺序关系。
离散数学中还有其他类型的关系，如函数关系、包含关系等。
函数关系是一种特殊的关系，它对于集合中的每个元素，都存在唯一的映射元素。
包含关系则描述了两个集合之间的包含或包含于关系。
通过对这些关系的研究和分析，可以帮助理解和解决离散数学中的问题。
同时，关系的性质和特征也为其他学科如计算机科学、逻辑学等提供了基础。
离散数学___等价关系与偏序关系
思考：
设A＝{a, b, c, d}, 给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下： π1= { {a, b, c}, {d} }， π2= { {a, b}, {c}, {d} } π3= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} } π5= { ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} } 问哪些是A的划分, 哪些不是 A 的划分？ 答案： π 1和π 2 是A的划分, 其他都不是 A 的划分.
（2）当(a,b) ∈R时有(b,a) ∈R，所以满足对称性；
（3）当(a,b) ∈R和(b,c) ∈R时有(a,c) ∈R，所以R是可传递的。
由此可得同年龄关系 R是等价关系。
4
再如设集合A的情况同上所述 若令集合A={a , b , d , c , e , f } 同房间 同房间
其中a ,b, d同住一个房间，c, e ,f同住另一个房间。 如果同住一个房间的大学生认为是相关的，那么 “同房间”关 系 R也是等价关系。 （1）因为每一个大学生都和自已是同房间的，所以满足自反性；
7
（1）a ,b,c都姓“张”，d,e,f 都姓“李” a b
√ √ √
c
√ √ √
d
e
f
a √ b √
c √ d e f
a b c
√ √ √ √ √ √ √
d e f
√
√
a 1 1 1 0 0 0
b c d e f 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
用刀分
{
离散数学实验三：偏序关系中盖住关系的求取及格论中有补格的判定
题目：输入n，求1~n 中的满足整除关系的因子。
再根据盖住关系的原理求盖住关系。
最后判断是否为有补格。
任意输入一个整数作为n 值。
程序代码#include <iostream>#include <cstring>#include <cstdio>#include <string>using namespace std;int count = 0; //从0 开始计数int n; //正整数int factors[100]; //存因子int matrixs[100][100] = {0}; //初始化为0//计算正整数n 的因子void factor(){cout << "The factors of " << n << " are: " << endl;for(int i = 1; i <= n/2; ++i){ //到n/2 结束就行if(n % i == 0){factors[count++] = i;cout << i << ",";}}factors[count] = n; //n 自己也是因子cout << n << endl;}//盖住关系void cover(){//关系矩阵初始化for(int i = 0; i <= count; ++i){for(int j = 0; j <= count; ++j){if(factors[j] % factors[i] == 0){ //如果满足整除关系，就设为1matrixs[i][j] = 1;}}}//开始判断for(int i = 0; i <= count; ++i){for(int j = 0; j <= count; ++j){for(int k = 0; k <= count; ++k){matrixs[k][k] = 0; //先去掉自反性if(matrixs[i][j] && matrixs[j][k]){matrixs[i][k] = 0; //再去掉传递性}}}}cout << "The cover is: {";for(int i = 0; i <= count; ++i){for(int j = 0; j <= count; ++j){if(matrixs[i][j]){ //除去前面去掉的，其他就满足盖住关系了cout << " <" << factors[i] << "," << factors[j] << ">";}}}cout << " }" << endl;}//求最大公约数int gcd(int x, int y){int m;//辗转相除法while(m != 0){m = x % y;x = y;y = m;}return x;}//判断有补格void complemented_lattice(){bool flag;int Gcd, Lcm;for(int i = 1; i < count; i++){flag = false;for(int j = 1; j < count; j++){if(i == j)continue;Gcd = gcd(factors[i], factors[j]); //最大公约数，即最大下界Lcm = factors[i] / Gcd * factors[j]; //最小公倍数，即最小上界if(Gcd == factors[0] && Lcm == factors[count]) //最大下界为1，最小上界为n{flag = true;break;}if(!flag){cout << "This is not complemented lattice!" << endl;return;}}}cout << "This is complemented lattice!" << endl;return;}int main(){cout << "Please input a positive integer: ";cin >> n;cout << endl;factor();cout << endl;cover();cout << endl;complemented_lattice();cout << endl;return 0;}实验结果测试数据一n：25因子为：1，5，25。
离散数学39偏序关系
偏序关系一、偏序关系和哈斯图1、定义3-12.1 若集合A上的二元关系R是自反的、反对称的和传递的，则称R是A的偏序关系，记作≼.设≼为偏序关系，如果<x,y>∈≼，则记作x≼y，读作“小于或等于”。
.序偶<A, ≼>称为偏序集合.（Partially Ordered Relations）注意：这里的“小于或等于”不是指数的大小，而是在偏序关系中的顺序性.x“小于或等于”y的含义是：依照这个序，x排在y的前边或者x就是y.根据不同偏序的定义，对序有着不同的解释.例如整除关系是偏序关系， 3 ≼ 6的含义是3整除6.大于或等于关系也是偏序关系，针对这个关系写5≼4是说大于或等于4,关系≼中5排在4的前边，也就是5比4大.注：和空关系都是A上的偏序关系， 1. 集合A上的恒等关系IA但全域关系E一般不是A上的偏序关系.A2. 实数域上的小于等于关系（大于等于关系），自然数域上的整除关系，集合的包含关系等都是偏序关系.定义设R为非空集合A上的偏序关系，定义(1) ∀x, y∈A, x ≺ y当且仅当 x ≼ y且x≠y;(2) ∀x, y∈A, x 与 y 可比当且仅当 x ≼ y 或 y ≼ x.注：在具有偏序关系的集合A中任二元素 x 和 y 之间必有下列四种情形之一：x ≺ y ，y ≺ x ，x=y ，x 与 y 不可比.例设A={1, 2, 3}(1) ≼是A上的整除关系，则：1 ≺ 2, 1 ≺ 3, 1＝1, 2＝2, 3＝3，2 和3 不可比；(2) ≼是 A 上的大于等于关系，则: 2 ≺ 1, 3 ≺ 1, 3 ≺ 2,1＝1, 2＝2，3＝3.2、定义3-12.2 在偏序集<A , ≼ >中，如果x,y∈A ， x ≼y，x ≠ y，且没有其他元素z满足x≼ z、z ≼y，则称元素y盖住元素 x.并且把所有具备盖住性质的续偶集合记作COV A，COV A={<x,y>| y盖住x }.例1A为正整数m＝12的因子的集合，并设≼为整除关系，求COV A.二、哈斯图（偏序集合图，Hasse Diagram）1、对于给定的偏序集<A，≼ > ，它的盖住关系是唯一的，所以可以用哈斯图表示偏序集合图.哈斯图作图规则：(1)用小圆圈代表元素.(2) 如果 X ≼ Y，且X ≠ Y，则将代表Y的小圆圈画在代表X的小圆圈之上.(3) 如果<X,Y> ∈COV A,则在X与Y之间用直线连接.2、哈斯图举例例2 画出偏序集A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}，≼为整除关系的哈斯图.例3 A={a,b,c}， 画出 <ρ(A), ⊆> 的哈斯图。
偏序关系
注：覆盖P的链数 P中任一反链的元素个数.
等价结论:有限偏序集中存在一个链覆盖和一个反链，它们 大小相等
Dilworth定理的归纳证明
证明. 按照P中元素个数（|P|=1, 2 …）进行归纳证明. 设a为P中的一个极大元素, P’ =P-{a} 设(P’,≼)有一个大小为k的反链{a1, a2, …, ak}，并有一个规模 为k的链覆盖{C1, C2, …, Ck}. 对任意Ci , P’中大小为k的任一反链均有唯一的元素属于Ci， 这些元素有一个最大元，记为xi. A={x1, x2, …, xk}必是反链。否则，不妨假设A中有两个元素 xi≼ xj. 根据xj的定义，P’中必有一个大小为k的反链Aj, xj是Aj 和Cj的公共元素，假设y是Aj和Ci的公共元素，则y≼ xi. 从而 y≼ xj.与Aj是反链矛盾.
x1 x2且x1 ≼ x2, 或者x1 = x2且y1 ≼ y2
易证R是AA上的偏序关系
给定有限字符集合，若在上有一个偏序关系，类似上述 办法，可以对任意正整数 k, 定义 k( 由 中字符构成的长度 为 k的串的集合 ) 上的偏序关系。加以适当的技术处理，则 容易定义 +(由 中字符构成的长度为任意正整数的串的集 合)上的偏序关系：字典关系
b
c a1 a2
….
….
ai ak
d
e
f
g
C
i 1
k
i
P(Ci互不相交）
Dilworth定理
链覆盖 是(P,≼)中一组互不相交的链, 它们一起包 含了P中的所有元素. Dilworth 定理 (1950) 在任意有限偏序集(P,≼)中, 覆盖P的最小链数等于 P中最长反链的长度（元素个数）.
《离散数学》偏序关集与格
第六章 偏序关集与格
• §6.1 偏序关系和偏序集
– §6.1.1 偏序关系和偏序集的定义与性质 – §6.1.2 积偏序和字典序 – §6.1.3 哈斯图
• §6.2 偏序集中的特殊元素
– §6.2.1 偏序集中的特殊元素 – §6.2.2 拓扑排序 – §6.2.3 有限偏序集的高度与宽度
• §6.3 格与布尔代数
– §6.3.1 格的定义 – §6.3.2 特殊的格 – *§6.3.3 布尔代数
18
积偏序和字典序
• 定理 假设 (A, ≤1) 和 (B, ≤2) 是两个偏序集，
则可以定义在 AB 上的偏序关系 ≤ 为： (a, b) ≤ (a’, b’) 当且仅当 a≤1a’ 且 b≤2b’，
42
极大元与极小元
h
f
g
d
e
a
b
c
43
极大元与极小元
h
f
g
d
e
a
b
c
44
最大元与最小元
12 8
9
6
4
10
11 3
2
57
1
45
极大元与极小元
{a, b}
{a, b, c}
{b, c} {a, c}
{a}
46
{b} {c}
极大元与极小元
• 有时候，极大元/极小元只有一个； • 有时，极大元/极小元也可能存在多个； • 孤立结点既是极小元，也是极大元； • 有时，极小元和极大元可能不存在，
• 偏序集 (A, R1) 称做偏序集 (A, R) 的对偶。
12
偏序集
• 例如：
– 小于等于关系 和
– 大于等于关系
次序关系-集合与关系-离散数学
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偏序集哈斯图（Hasse图）的画法
令<A,≤>是偏序集， x,y,z∈Ａ 作图规则：
(1)用“ ° ”表示A中元素。 (2)若x≤y，且x≠y，则将结点y画在结点x的上
方。 (3)若x≤y， x≠y且没有不同于x,y的z，使得
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三、偏序集哈斯图（Hasse图）
(1)用矩阵表示偏序关系，不能明显看出二元关系的 特征。
(2)用简化的关系图表示较合适。 简化的关系图： (1)自反性：每个结点都有自回路，可省去自回路。 (2)反对称性：两个结点间只可能有一个箭头方向，
所以将箭头默认为从下→上，可省略箭头。 (3)传递性：由于有<a,b>,<b,c> ∈R，则<a,c> ∈R，
自反 对称 传递 反对称 反自反
等价关系
有 向 图
等 价 类
商 集
划 分
相容关系
简 化
图
相 容 类
容 类
最 大 相
完 全 覆 盖
偏序关系 全
序
哈 斯 图
重要 元素
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一、偏序关系(partial order relation)
1. 定义3-12.1 R是A上自反、反对称和传递的关系，则称R是 A上的偏序关系。并称<A,R>是偏序集。
<2,6>, <4,4>, <6,6>} R
所以，R是偏序关系。
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2. x与y是可比较的
<A,≤>是偏序集，x,y∈A，若要么x≤y，要么y≤x， 则称x与y是可比较的。
偏序关系的定义
偏序关系的定义
偏序关系是指在一个集合中，存在一种关系，使得其中的某些元素可以被比较大小，而另一些元素则不能。
这种关系被称为偏序关系，也叫部分序关系。
偏序关系的性质
偏序关系具有以下性质：
1. 反自反性：对于任意元素a，a不与自己存在偏序关系。
2. 反对称性：如果a与b存在偏序关系，且b与a也存在偏序关系，则a=b。
3. 传递性：如果a与b存在偏序关系，b与c也存在偏序关系，则a与c也存在偏序关系。
4. 非对称性：如果a与b存在偏序关系，那么b与a不存在偏序关系。
偏序关系的应用
偏序关系在实际生活中有很多应用，例如：
1. 排序：偏序关系可以用来对一组数据进行排序，例如对学生成绩进行排名。
2. 选择：偏序关系可以用来进行选择，例如在购物时选择商品。
3. 比较：偏序关系可以用来比较两个事物的大小，例如比较两个人的身高。
4. 筛选：偏序关系可以用来筛选出符合条件的元素，例如筛选出符合要求的员工。
总结
偏序关系是一种重要的数学概念，在实际生活中有很多应用。
了解偏序关系的定义和性质，可以帮助我们更好地理解和应用它。
离散数学等价关系与偏序关系
等价类
设R是非空集合A上的等价关系， 则A上互相等价的元素构成了A的 若干个子集，称作等价类
定义 设R为非空集合A上的等价关系, x∈A，令
[x]R = { y | y∈A∧xRy } 称 [x]R 为 x 关于R 的等价类, 简称为 x 的等价类, 简 记为[x].
实例 A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类： [1]=[4]=[7]={1,4,7} [2]=[5]=[8]={2,5,8} [3]=[6]={3,6}
如果顶点 xi 连通到xk , 则 从 xi到 xk 有 边
1
例：给定集合X={a,b,c}，R和S是X中的关系，给
定
R {a,b, a, c, c, b}
S {a,b, b, c, c, a}
试求出t(R),t(S)，并画出关系图
解：t(R) R1 R2 R3 R
t(S) S1 S2 S3 S1 S2 S3
11
例题
例1 设A＝{a, b, c, d}, 给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下：
π1= { {a, b, c}, {d} }， π2= { {a, b}, {c}, {d} } π3= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} } π5= { ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} }
关系性质判别
定义
条件 关系 矩阵
自反
反自反
对称
反对称
x(x∈A→<x x(x∈A→
,x>R)
<x,x>R)
xy(x,y∈A∧ <x,y>∈R→<y,x >∈R)
偏序关系
一、偏序关系
（2） 偏序集 ＜A, R 意指在一个集合 A 中给定于一 个序列关系。若 x, y A且xy ，我们就说 y 在 x 的 后面或 x 在 y 的前面或 x 包含在 y 中。 例 1：说明实数集 R 上的小于等于关系是偏序 关系，即 R, ；任意集合 S 的幂集上的包含 关系是偏序关系,即 P(S ),
一、偏序关系 定义 4-24 设偏序集<A, >，如果对于 A 中任意
两个元素 a, b A ,必有 a b 或 b a ，则称 是 A
上的全序关系。称 A, 为全序集。 例如，实数集 R 上的小于等于关系就是全序关 系。但是，整数集 Z 上的整除关系就不是全序 关系。
一、偏序关系
例 4-2 设 A {2,3,4,5,6,12,24,30} ， R 是 A 上 的整除关系， R { x, y x y} ，证明 R 是偏序 关系。 定义 4-23 对于集合 A 上的偏序关系 R ，如果 A 中两个 a ， b ，有 aRb ,则称 a 与 b 是可比较 的。
二、哈斯图
偏序集 A, 可以通过哈斯图表示，它是对关系图的
简化。 （1）由于偏序关系是自反的，即对每个元素 a ，都有 aRa ，因此在图上省去自环。 （2）由于偏序关系是传递的，即若有 aRb 和 bRc ，则 必有 aRc ，因此在图中省去 a 与 c 之间的连线。 （3）对于 aRb ，规定 b 在 a 的上方，则可省去箭头。 这样的图称为哈斯图。
4.上确界和下确界
注：一个子集 B 的上界和下界未必存在，也未必唯一，上 确界和下确界也未必存在。若上（下）确界存在，则必是 唯一的，上（下）确界的符号分别是 sup 与inf 。 例 设 集 合 A {1,2,3,4,5} ， A 上 的 二 元 关 系 R 为
偏序关系
最大元, 最小元举例
例: <A,|>, A={1,2,3,4,5,6,9,10,15} B1={1,2,3}, B2={3,5,15}, B3=A. B1的最大元是{}, B1的最小元是{1} B2的最大元是{15}, B2的最小元是{} {15}, {} B3的最大元是{}, B3的最小元是{1}
最小上界,最大下界举例
例16(1): <A,|>, A={1,2,3,4,5,6,9,10,15} B1={1,2,3}, B2={3,5,15}, B3=A. B1的最小上界是{6}, B1的最大下界是{1} B2的最小上界是{15}, B2的最大下界是{1} {15}, {1} B3的最小上界是{}, B3的最大下界是{1}
说明: 说明: 如果存在最大( 如果存在最大(小)元,则必是唯一的. 则必是唯一的. 极大( 极大(小)元是一种局部性质,这个元素可能并不 元是一种局部性质, 是与每个元素都有关系, 是与每个元素都有关系,只要没有与它可比的元素 存在;而最大( 是一种"全局"性质, 存在;而最大(小)是一种"全局"性质,它必须 与相应集合成中每个元素都有关系. 与相应集合成中每个元素都有关系. 对于非空有穷偏序集来说,一定存在着极大( 对于非空有穷偏序集来说,一定存在着极大(小) 但最大( 元可能存在也可能不存在. 元,但最大(小)元可能存在也可能不存在. 如果存在着唯一的极大( 如果存在着唯一的极大(小)元,则这个极大(小) 则这个极大( 元必是最大( 元必是最大(小)元.
9 4 2 6 3 1 15 5 10 4 2 6 3 1 9 15 5 10
链(chain), 反链(antichain)
设<A,>为偏序集, BA, 链(chain): B是A中的链 xy( x∈B∧y∈B → x与y可比 ) |B|称为链的长度 反链(antichain): B是A中的反链 xy( x∈B∧y∈B∧x≠y → x与y不可比 ) |B|称为反链的长度
离散数学(3.12序关系)
Hasse Diagram
定义3.10.2 在偏序集中 A, ，若元素a, b A ，
a≠b，a≤b，且在集A中不存在任何其它元素c，使得 a≤c,c≤b，则称元素b盖住元素a，并且记
cov A {a, b a, b A, b盖住a}
称
cov A 为偏序集 A, 中的盖住关系。显然 cov A 。
3 ．下列关系哪一个是自反的、对称的、反对称的或可传 递的？ 〈1〉当且仅当n1n2<8(n1,n2∈N)时,有n1ρ n2 〈2〉当且仅当r1≤ | r2| (r1,r2∈R)时,有r1ρ r2 解〈1〉ρ 不是自反的，如4∈N，但4· 4=16>8。
ρ 是对称的，因为 对于任意的 n1, n2∈N，若有 n1n2< 8， 则 n 2n 1 = n1n 2 < 8 。 ρ不是反对称的，例，2· 3<8，3· 2<8，但3≠2. ρ 不是可传递的，例如，3· 2<8，2· 3<8，但3· 3=9>8。
（4）若a是B的下界，且对B的任意下界 a ，均有 a
则称a为B的最大下界（下确界），记作GLB(B)。
例9. 设A＝｛a,b,c｝，对于偏序集 ( A), ，
( A)
集合
{{a},{b},{c}} {{a},{a,b}}
｛a,b,c｝ {a,b,c}
{a,b},{a,b,c}
上界
下界
例如 在例3的整除关系中，3≤4，4≤3均不成立。
在例4的包含关系中 {b} {a, c},{a, c} {b}
定义3.10.5 设≤是集合A上的一个偏序，若对于任意
元素a,b∈A，必有a≤b或b≤a，则称它为A上的一个全序。
偏序关系及其逆关系的并集是等价关系
偏序关系及其逆关系的并集是等价关系1.介绍偏序关系偏序关系是指在集合上的一种二元关系，它具有反身性、反对称性和传递性。
具体而言，在集合X上，如果对于任意的a、b、c∈X，满足以下三个条件：① 反身性：a≤a② 反对称性：如果a≤b且b≤a，则a=b③ 传递性：如果a≤b且b≤c，则a≤c那么我们称≤为集合X上的一种偏序关系。
2.介绍逆关系逆关系就是在原关系中，将元组的顺序颠倒。
假设R是集合X上的一个关系，那么R的逆关系定义为R的元组(a,b)颠倒为(b,a)，就得到了R的逆关系。
3.偏序关系的逆关系如果R是集合X上的一个偏序关系，那么R的逆关系R-1也是在X上的一个偏序关系。
我们可以通过验证来证明这一点。
① 反身性：由R是偏序关系可知，a≤a，根据逆关系的定义，aRb，则bRa，所以b≤b② 反对称性：如果aRb且bRa，则根据R是偏序关系可知a=b③ 传递性：如果aRb且bRc，则根据R是偏序关系可知a≤b且b≤c，最终得到a≤c4.偏序关系及其逆关系的并集现在我们来考虑偏序关系R和其逆关系R-1的并集R∪R-1。
R∪R-1包括了R和R-1中的所有元组。
我们可以通过验证来证明R∪R-1是一个等价关系。
① 反身性：R包括了所有的反身性元组，而R-1也包括了所有的反身性元组，所以R∪R-1满足反身性② 对称性：R中的元组(a,b)对应着R-1中的元组(b,a)，所以R∪R-1满足对称性③ 传递性：假设(a,b)∈R∪R-1且(b,c)∈R∪R-1，如果(a,b)∈R，那么由R的传递性可知(a,c)∈R；如果(a,b)∈R-1，那么由R-1的传递性可知(a,c)∈R-1。
R∪R-1满足传递性。
5.总结通过上述的论证，我们得知偏序关系及其逆关系的并集是等价关系。
这一结论对于理解偏序关系和等价关系的性质有着重要的意义，同时也为数学领域的相关研究提供了深入的思考和方法。
在实际应用中，我们可以通过这一结论，对偏序关系和等价关系进行更深入的分析和应用。
离散数学知识点整理
离散数学一、逻辑和证明命题逻辑命题：是一个可以判断真假的陈述句。
联接词：∧、∨、→、↔、¬。
记住“p仅当q”意思是“如果p，则q”，即p→。
记住“q除非p”意思是“¬p→q”。
会考察条件语句翻译成汉语。
构造真值表语句翻译系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。
命题等价式逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
证逻辑等价是通过p推导出q，证永真式是通过p推导出T。
量词谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如∀x>0P(x)。
当论域中的元素可以一一列举，那么∀xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。
同理，∃xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。
两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如∀x（P(x)∧Q(x))和(∀xP(x))∧(∀xQ(x))。
量词表达式的否定：¬∀xP(x) ⇔∃x¬P(x)，¬∃xP(x) ⇔∀x¬P(x)。
量词嵌套我们采用循环的思考方法。
量词顺序的不同会影响结果。
语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。
嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。
推理规则一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。
但有效论证不代表结论正确，因为也许有的前提是假的。
命题和量化命题的组合使用。
二、集合、函数、序列、与矩阵集合∈说的是元素与集合的关系，⊆说的是集合与集合的关系。
常见数集有N={0,1,2,3...}，Z整数集，Z+正整数集，Q有理数集，R实数集，R+正实数集，C复数集。
A和B相等当仅当∀x(x∈A↔x∈B)；A是B的子集当仅当∀x(x∈A→x∈B)；A是B的真子集当仅当∀x(x∈A→x∈B)∧∃x(x∉A∧x∈B)。
离散数学的基础知识点总结
离散数学的基础知识点总结第一章命题逻辑1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假；2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反；4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；第二章谓词逻辑1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章集合1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0；2.基：集合A中不同元素的个数，|A|；3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2；5.集合的分划：(等价关系)①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合；②这几个子集相交为空，相并为全(A)；6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；第五章关系1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数2种不同的关系；为mn，A到B上可以定义mn2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系；3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4.前域(domR)：所有元素x组成的集合；后域(ranR)：所有元素y组成的集合；5.自反闭包：r(R)=RUI;x对称闭包：s(R)=RU1-R;传递闭包：t(R)=RU2R U3R U……6.等价关系：集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；7.偏序关系：集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；8.covA={<x,y>|x,y属于A，y盖住x}；9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)；极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)；最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10.前提：B是A的子集上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界(若存在，可能不唯一)；下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界(若存在，可能不唯一)；上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；第六章函数2种不同的关系，有m n种不同的函数；1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有mn2.在一个有n个元素的集合上，可以有22n种不同的关系，有n n种不同的函数，有n!种不同的双射；3.若|X|=m,|Y|=n，且m<=n，则从X到Y有A m n种不同的单射；4.单射：f:X-Y，对任意x,2x属于X,且1x≠2x，若f(1x)≠f(2x)；1满射：f:X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应；双射：f:X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；5.复合函数：fºg=g(f(x));6.设函数f:A-B，g:B-C，那么①如果f,g都是单射，则fºg也是单射；②如果f,g都是满射，则fºg也是满射；③如果f,g都是双射，则fºg也是双射；④如果fºg是双射，则f是单射，g是满射；第七章代数系统1.二元运算：集合A上的二元运算就是2A到A的映射；2. 集合A上可定义的二元运算个数就是从A×A到A上的映射的个数，即从从A×A到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为2*22=42=16种；3. 判断二元运算的性质方法：①封闭性：运算表内只有所给元素；②交换律：主对角线两边元素对称相等；③幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；④有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；⑤有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；4.同态映射：<A,*>,<B,^>,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由<A,*>到<B,^>的同态映射；若f是双射，则称为同构；第八章群1.广群的性质：封闭性；半群的性质：封闭性，结合律；含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2.群没有零元；3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4.循环群中幺元不能是生成元；5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；第十章格与布尔代数1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；2.格的基本性质：1) 自反性a≤a 对偶: a≥a2) 反对称性a≤b ^ b≥a => a=b对偶:a≥b ^ b≤a => a=b3) 传递性a≤b ^ b≤c => a≤c对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c4) 最大下界描述之一a^b≤a 对偶avb≥aA^b≤b 对偶avb≥b5）最大下界描述之二c≤a,c≤b => c≤a^b对偶c≥a,c≥b =>c≥avb6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c对偶av(bvc)=(avb)vc7) 等幂律a^a=a 对偶ava=a8) 吸收律a^(avb)=a 对偶av(a^b)=a9) a≤b <=> a^b=a avb=b10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd11) 保序性b≤c => a^b≤a^c avb≤avc12）分配不等式av(b^c)≤(avb)^(avc)对偶a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)13）模不等式a≤c <=>av(b^c)≤(avb)^c3.分配格：满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格<A,<=>的全上界，记为1；(若存在则唯一)全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格<A,<=>的全下界，记为0；(若存在则唯一)7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；8.补元：在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元；10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；11.布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；第十一章图论1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3.平凡图：只有一个孤立点构成的图；4.简单图：不含平行边和环的图；5.无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6.无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边；7.r-正则图：每个节点度数均为r的图；8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；12.可达：对于图中的两个节点v,j v，若存在连接i v到j v的路，则称i vi与v相互可达，也称i v与j v是连通的；在有向图中，若存在i v到j v的j路，则称v到j v可达；i13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；单向连通：图中两节点至少有一个方向可达；弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通)14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；15.关联矩阵：M(G)，m是i v与j e关联的次数，节点为行，边为列；ij无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，关联矩阵的特点：无向图：①行：每个节点关联的边，即节点的度；②列：每条边关联的节点；有向图：③所有的入度(1)=所有的出度(0);16.邻接矩阵：A(G)，a是i v邻接到j v的边的数目，点为行，点为列；ij17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列；P(G)=A(G)+2A(G)+3A(G)+4A(G)可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；2A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；3A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；4A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18.布尔矩阵：B(G)，v到j v有路为1，无路则为0，点为行，点为列；i19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；20.生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；21.构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先；深度优先：①选定起始点v；②选择一个与v邻接且未被访问过的节点1v；③从v出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所1有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；广度优先：①选定起始点v；②访问与v邻接的所有节点1v,2v,……,k v,这些作为第一层节点；③在第一层节点中选定一个节点v为起点；1④重复②③，直到所有节点都被访问过一次；22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；23.构造最小生成树的三种方法：克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法；（1）克鲁斯卡尔方法①将所有权值按从小到大排列；②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；④重复③，直到所有节点都被访问过一次；（2）管梅谷算法(破圈法)①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；③重复②，直到所有节点都被访问过一次；（3）普利姆算法①在图中任取一点为起点v，连接边值最小的邻接点2v；1②以邻接点v为起点，找到2v邻接的最小边值，如果最小边值2比v邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直接连接，否则退回1v，1连接v现在的最小边值(除已连接的边值)；1③重复操作，直到所有节点都被访问过一次；24.关键路径例2 求PERT图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间及关键路径.解：最早完成时间TE(v1)=0TE(v2)=max{0+1}=1TE(v3)=max{0+2,1+0}=2TE(v4)=max{0+3,2+2}=4TE(v5)=max{1+3,4+4}=8TE(v6)=max{2+4,8+1}=9TE(v7)=max{1+4,2+4}=6TE(v8)=max{9+1,6+6}=12 最晚完成时间TL(v8)=12TL(v7)=min{12-6}=6TL(v6)=min{12-1}=11TL(v5)=min{11-1}=10TL(v4)=min{10-4}=6TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0 缓冲时间TS(v1)=0-0=0TS(v2)=2-1=1TS(v3)=2-2=0TS(v4)=6-4=2TS(v5=10-8=2TS(v6)=11-9=2TS(v7)=6-6=0TS(v8)=12-12=0关键路径: v1-v3-v7-v825.欧拉路：经过图中每条边一次且仅一次的通路；欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路；欧拉图：具有欧拉回路的图；单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路；欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路；26.（1）无向图中存在欧拉路的充要条件：①连通图；②有0个或2个奇数度节点；（2）无向图中存在欧拉回路的充要条件：①连通图；②所有节点度数均为偶数；（3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件：①除两个节点外，每个节点入度=出度；②这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入；度比出度少1；（4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件：图中每个节点的出度=入度；27.哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路；哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路；哈密顿图：具有哈密顿回路的图；28.判定哈密顿图（没有充要条件）必要条件：任意去掉图中n个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n；充分条件：图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数；29.哈密顿图的应用：安排圆桌会议；方法：将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图)，即可；30.平面图：将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图；31.面次：面的边界回路长度称为该面的次；32.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍；33.欧拉定理：假设一个连通平面图有v个节点，e条边，r个面，则v-e+r=2；34.判断是平面图的必要条件：(若不满足，就一定不是平面图)设图G是v个节点，e条边的简单连通平面图，若v>=3，则e<=3v-6；35.同胚：对于两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图，则称G1，G2是同胚的；36.判断G是平面图的充要条件：图G不含同胚于K3.3或K5的子图；37.二部图：①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1，V2；②图中每条边的一个端点在V1，另一个则在V2中；完全二部图：二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接；判定无向图G为二部图的充要条件：图中每条回路经过边的条数均为偶数；38.树：具有n个顶点n-1条边的无回路连通无向图；39.节点的层数：从树根到该节点经过的边的条数；40.树高：层数最大的顶点的层数；41.二叉树：①二叉树额基本结构状态有5种；②二叉树内节点的度数只考虑出度，不考虑入度；③二叉树内树叶的节点度数为0，而树内树叶节点度数为1；④二叉树内节点的度数=边的总数(只算出度)；握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立；⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1；⑥位于二叉树第k层上的节点，最多有12 k个(k>=1)；⑦深度为k的二叉树的节点总数最多为k2-1个，最少k个(k>=1)；⑧如果有n个叶子，2n个2度节点，则0n=2n+1；42.二叉树的节点遍历方法：先根顺序（DLR）；中根顺序（LDR）；后根顺序（LRD）；43.哈夫曼树：用哈夫曼算法构造的最优二叉树；44.最优二叉树的构造方法：①将给定的权值按从小到大排序；②取两个最小值分支点的左右子树(左小右大)，去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值；③重复②，直达所有权值构造完毕；45.哈夫曼编码：在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值；每个节点的编码：从根到该节点经过的0和1组成的一排编码；。
第四章 6偏序关系
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4.9 偏序关系
总结： 极大元，极小元，最大元，最小元需要在子集B中找。
上界，下界在整个集合A中找。 上确界在上界中找。 下确界在下界中找。 极大元，极小元不要求可比。 最大元，最小元，上（下）界，上（下）确界都要求可比。
不可比，它们处在哈斯图中的同一个层次。
最大(小)元必是极大(小)元，反之不然。 最大(小)元不一定存在，若存在，则必是唯一的。
定理4.9.1 设〈A, ≼〉是偏序集，B是A的非空子集，如果B有最小元
（最大元），则最小元（最大元）是唯一的。
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4.9 偏序关系
定义4.9.6（上界，下界，上确界，下确界）
集合 A B C
上界
无 无
6,12,24,36
下界
无 2,3,6,12
无
上确界 下确界
无
无
无
12
6
无
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24
36
12 6
2
3 20
4.9 偏序关系
上(下)界和上(下)确界的性质： 一个集合B，其上(下)界不一定存在；若存在，则不一定是唯一
的，并且它们可能在B中，也可能在B外。
一个集合B若有上(下)界，其上(下)确界也不一定存在；若上 (下)确界存在，则必定是唯一的。
离散数学 (Discrete Mathematics)
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4.9 偏序关系
❖ 偏序关系的定义 ❖ 偏序关系的哈斯图 ❖ 偏序集中的特殊元素 ❖ 几种特殊的偏序集 ❖ 小结
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4.9 偏序关系
一、偏序关系的定义
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偏序关系
一、偏序关系和哈斯图
1、定义3-12.1 若集合A上的二元关系R是自反的、反对称的和传递的，则称R是A的偏序关系，记作≼.设≼为偏序关系，如果<x,y>∈≼，则记作x≼y，读作“小于或等于”。
.序偶<A, ≼>称为偏序集合.（Partially Ordered Relations）
注意：这里的“小于或等于”不是指数的大小，而是在偏
序关系中的顺序性.x“小于或等于”y的含义是：依照这个序，
x排在y的前边或者x就是y.
根据不同偏序的定义，对序有着不同的解释.
例如整除关系是偏序关系， 3 ≼ 6的含义是3整除6.
大于或等于关系也是偏序关系，针对这个关系写5≼4是说大于或等于4,关系≼中5排在4的前边，也就是5比4大.
注：
和空关系都是A上的偏序关系， 1. 集合A上的恒等关系I
A
但全域关系E
一般不是A上的偏序关系.
A
2. 实数域上的小于等于关系（大于等于关系），自然数域上的整除关系，集合的包含关系等都是偏序关系.
定义设R为非空集合A上的偏序关系，定义
(1) ∀x, y∈A, x ≺ y当且仅当 x ≼ y且x≠y;
(2) ∀x, y∈A, x 与 y 可比当且仅当 x ≼ y 或 y ≼ x.
注：
在具有偏序关系的集合A中任二元素 x 和 y 之间必有下列四种情形之一：
x ≺ y ，y ≺ x ，x=y ，x 与 y 不可比.
例设A={1, 2, 3}
(1) ≼是A上的整除关系，则：1 ≺ 2, 1 ≺ 3, 1＝1, 2＝2, 3＝3，
2 和
3 不可比；
(2) ≼是 A 上的大于等于关系，则: 2 ≺ 1, 3 ≺ 1, 3 ≺ 2,
1＝1, 2＝2，3＝3.
2、定义3-12.2 在偏序集<A , ≼ >中，如果x,y∈A ， x ≼y，x ≠ y，且没有其他元素z满足x≼ z、z ≼y，则称元素y盖住元素 x.并且把所有具备盖住性质的续偶集合记作COV A，
COV A={<x,y>| y盖住x }.
例1A为正整数m＝12的因子的集合，并设≼为整除关系，求COV A.
二、哈斯图（偏序集合图，Hasse Diagram）
1、对于给定的偏序集<A，≼ > ，它的盖住关系是唯一的，所以可以用哈斯图表示偏序集合图.
哈斯图作图规则：
(1)用小圆圈代表元素.
(2) 如果 X ≼ Y，且X ≠ Y，则将代表Y的小圆圈画在代表X
的小圆圈之上.
(3) 如果<X,Y> ∈COV A,则在X与Y之间用直线连接.
2、哈斯图举例
例2 画出偏序集A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}，≼为整除关系的哈斯图.。