直线与圆锥曲线的位置关系(总结归纳)
直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.曲线的位置关系．2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( ) (5)过点(2，4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左，右两支都相交的充要条件是( )A ．k ＞－b aB ．k ＜b aC ．k ＞b a 或k ＜－b aD ．－b a ＜k ＜b a解析：选D.由双曲线渐近线的几何意义知 －b a ＜k ＜b a.过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12的直线l 与抛物线y ＝－x 2交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为( ) A ．－12B ．－14C ．－4D ．无法确定解析：选B.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx －12，代入抛物线方程得2x 2＋2kx －1＝0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－k ，x 1x 2＝－12， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2－12＝(k 2＋1)·x 1x 2－12k (x 1＋x 2)＋14＝－12(k 2＋1)－12k ·(－k )＋14＝－14.故选B.已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 等于____________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x ＋1＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，1－4a ＝0，解得a ＝14.答案：14斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____________．解析：设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4（t 2－1）5.所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4（t 2－1）5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.答案：4105直线与圆锥曲线的位置关系[典例引领]在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1，0)，且点P (0，1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 【解】 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)， 所以c ＝1.将点P (0，1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1，得1b2＝1，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0.因为直线l 与抛物线C 2相切， 所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0， 整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法直线与圆锥曲线方程联立，消去y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程，设其判别式为Δ，(1)Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交； (2)Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； (3)Δ＜0⇔直线与圆锥曲线相离．[提醒] 注意讨论二次项系数是否为零．[通关练习]1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________条． 解析：结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0，1)且平行于x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)． 答案：32．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点．解：将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y 22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4) ＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．弦长问题[典例引领](2017·高考全国卷Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程． 【解】 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1. (2)由y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2，1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1，2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42（m ＋1）.由题设知|AB |＝2|MN |，即42（m ＋1）＝2(m ＋1)，解得m ＝7. 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解． [提醒] 两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．[通关练习]1．已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A 、B 两点，则弦AB的长为________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝（1＋22）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.答案：5532．(2018·太原市模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AB |＝6，则△AOB 的面积为____________．解析：因为抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，当直线AB 垂直于x 轴时，|AB |＝4，不满足题意，所以设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －4k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝16k2＋16，因为|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝6，所以4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝6，解得k ＝±2，所以|y 1－y 2|＝16k 2＋16＝26，所以△AOB 的面积为12×1×26＝ 6.答案： 6中点弦问题[典例引领]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．【解】 (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：法一：设直线l ：y ＝kx ＋b 1(k ≠0，b 1≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 1代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kb 1x ＋2b 21－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 12k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b 1＝b 12k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k O M ＝y M x M ＝－12k ，即k O M ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)， 则x 218＋y 214＝1，①x 228＋y 224＝1，② ①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）8＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0，即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－12. 又y 1＋y 2＝2y 0，x 1＋x 2＝2x 0，所以2y 02x 0·k AB ＝－12.即k OM ·k AB ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值－12.处理中点弦问题常用的求解方法[提醒] 中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．[通关练习]1．若点(3，1)是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.设过点(3，1)的直线交抛物线y 2＝2px (p ＞0)于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②， 由①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2py 1＋y 2，由题意知k AB ＝2，且y 1＋y 2＝2，故k AB ＝2py 1＋y 2＝2，所以p ＝y 1＋y 2＝2. 2．(2018·山西阳泉质检)椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，过AB 中点M 与坐标原点的直线的斜率为22，则mn的值为( ) A.22B.233C ．1D ．2解析：选A.法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 所以k OM ＝y 0x 0＝22，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由AB 的中点为M 可得x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0.由A ，B 在椭圆上，可得⎩⎪⎨⎪⎧mx 21＋ny 21＝1，mx 22＋ny 22＝1， 两式相减可得m (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋n (y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， 则m (x 1－x 2)·2x 0－n (x 1－x 2)·2y 0＝0， 整理可得mn ＝22，故选A. 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1x ＋y －1＝0，可得(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0， 所以x 1＋x 2＝2nm ＋n， y 1＋y 2＝2－(x 1＋x 2)＝2mm ＋n .由中点坐标公式可得，x 0＝x 1＋x 22＝n m ＋n ，y 0＝y 1＋y 22＝m m ＋n.因为M 与坐标原点的直线的斜率为22，所以y 0x 0＝mm ＋n n m ＋n＝m n ＝22.故选A.求解与弦有关问题的两种方法(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x 或y )成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系．(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定 点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数． 易错防范判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：选C.因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 则由题意得b a>2，所以e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>1＋4＝ 5. 2．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( ) A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析：选B.若直线AB 的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 为y ＝k (x －12)，代入抛物线y 2＝2x 得，k 2x 2－(k2＋2)x ＋14k 2＝0，因为A 、B 两点的横坐标之和为2.所以k ＝± 2.所以这样的直线有两条．3．(2018·安徽皖南八校联考)若直线ax ＋by －3＝0与圆x 2＋y 2＝3没有公共点，设点P 的坐标为(a ，b )，则过点P 的一条直线与椭圆x 24＋y 23＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．1或2解析：选C.由题意得，圆心(0，0)到直线ax ＋by －3＝0的距离为3a 2＋b2＞3，所以a 2＋b 2＜3.又a ，b 不同时为零，所以0＜a 2＋b 2＜3.由0＜a 2＋b 2＜3，可知|a |＜3，|b |＜3，由椭圆的方程知其长半轴长为2，短半轴长为3， 所以P (a ，b )在椭圆内部，所以过点P 的一条直线与椭圆x 24＋y 23＝1的公共点有2个，故选C.4．(2018·江西九江模拟)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于C ，若|AF |＝6，BC →＝λFB →，则λ的值为( ) A.34 B.32 C. 3D ．3解析：选D.设A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)，则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，y 1＝42，直线AB 的方程为y ＝22(x －2)，令x ＝－2，得C (－2，－82)，联立方程⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝22（x －2），解得B (1，－22)，所以|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，所以λ＝3. 5．(2018·江西五市八校模拟)已知直线y ＝1－x 与双曲线ax 2＋by 2＝1(a >0，b <0)的渐近线交于A 、B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为－32，则ab的值为( ) A ．－32B ．－233C ．－932D ．－2327解析：选A.由双曲线ax 2＋by 2＝1知其渐近线方程为ax 2＋by 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，。
直线与圆锥曲线的位置关系(总结归纳)
y＝±
33x，
∴有－ 33≤k≤ 33.
• 答案：C
• 【例1】 已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一 个公共点，求实数a的值．
解• 析分证：联结析立论：方程．先组用yy2＝＝代(aax＋数. 1)方x－法1，即联(1)立当 a方＝0程时，组此解方程决组恰，有再一组从解几为何xy＝＝上10.，验
两式相减可得yx11－－yx22·yx11＋＋yx22＝－ba22，即 kAB＝－ba22xy00
.
x2 y2 类似的可得圆锥曲线为双曲线a2－b2＝1
时，有
kAB＝ab22yx00.
2px0
圆锥曲线为抛物线 y2＝2px(p＞0)时，有 kAB＝ y0 .
求椭圆
x2 9
y2 4
1 被点
Q(2,1)平分的弦 AB
1.直线y=kx-k+1与椭圆 x2 y2 1 的位置关系为( A )
(A) 相交 (B) 相切 9 (C)4相离
(D) 不确定
2.已知双曲线方程x2-y2=1，过P(0，1)点的直线l与双曲线
只有一个公共点，则l的条数为( A )
(A)4
(B)3
(C)2
(D)1
3.过点(0，1)与抛物线y2=2px(p＞0)只有一个公共点的直线
a
为
4 0，－1，－5时，
直线 y＝(a＋1)x－1 与曲线 y2＝ax 恰有一个公共点．
三、弦的中点问题
x2 y2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆a2＋b2＝1 上不同的两点，
且 x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为 AB 的中点，则xaxa212222＋＋ybyb212222＝＝11，.
直线与圆锥曲线的位置关系
∴AB 的垂直平分线 NG 的方程为 1 y－y0＝－k(x－x0)． 2k2 k2 k2 令 y＝0，得 xG＝x0＋ky0＝－ 2 ＋ ＝－ 2 ＝ 2k ＋1 2k2＋1 2k ＋1 1 1 －2＋ 2 ， 4k ＋2 1 ∵k≠0，∴－2<xG<0， 1 ∴点 G 横坐标的取值范围为－2，0.
2b b－1 2 故a＋b －4· ＝4， a＋b
1 2 将 b＝ 2a 代入得 a＝3，b＝ 3 . x2 2y2 故所求椭圆的方程是 3 ＋ 3 ＝1.
圆锥曲线中最值(或取值范围)问题
[例 3] x2 已知椭圆 2 ＋y2＝1 的左焦点为 F，O 为坐标原点．
(1)求过点O，F，并且与直线l：x＝－2相切的圆M的 方程； (2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B
[备考方向要明了] 考什么 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法． 2.了解圆锥曲线的简单应用． 3.理解数形结合的思想.
怎么考
直线与圆锥曲线的位置关系，是历年高考考查的重
点，常以解答题形式考查，以直线与圆锥曲线的方程为 基础，结合有关概念及计算，将位置关系转化为相应的 方程或方程组的解的讨论．如2012年广东T20等.
两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐
标的取值范围．
[自主解答]
(1)∵a2＝2，b2＝1，∴c＝1，F(－1,0)，
1 ∵圆过点 O，F，∴圆心 M 在直线 x＝－2上． 设
1 M－2，t，则圆半径 1 3 r＝－2－－2＝2，
消去 y，得 ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为 Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C
直线与圆锥曲线的位置关系(一)概要
处理圆锥曲线的有关问题要注意设法 减少运算量，本题所求椭圆焦点未定，可 能在x轴上，也可能在y轴上，本题解法运 用待定系数法，避免了两种情况的讨论；
另外，本题解法中对交点采取“设而不求” 的方法，灵活运用韦达定理，从而简化了 运算过程，以上是处理此类问题的常用技 巧，应很好地体会。
例4、直线y-ax-1=0和曲线3x2-y2=1相交，交 点为A、B，当a为何值时，以AB为直径的圆经过 坐标原点。
故 | AB | 2 | x1 x2 | 2
( x1 x2 ) 4 x1 x2
2
90 2 369 192 2 ( ) 4 , 7 7 7 80 2 2 从而 | FC | ( x0 5) y0 2. 7
例3. 已知椭圆中心在原点, 焦点在坐标轴上, 直线y x 1 与该椭圆相交于P, Q, 且OP OQ,| PQ | 10 , 求椭圆方程. 2
当点P落在其它区域时，以点P为中点的弦存在。
检验方法：将求出的直线与曲线联立，看△ >0?
x2 y 2 例2.过双曲线 1的右焦点F作倾角为 的弦AB, 9 16 4 求弦长 | AB | 及弦AB的中点C到F的距离.
解：双曲线焦点为F（5，0），故AB方程为y=x-5,代 入双曲线方程消去y得： 7 x2 90 x 369 0,
90 369 又设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x0 , y0 ), 则x1 x2 , x1 x2 , 7 7
2 2a (a +1) +a +1=0 2 2 3a 3a
2
解得a=±1.
2 2 练习1.设0< < ,曲线x sin y cos 1和 2 2 2 x cos y sin 1, 有4个不同的交点. (1)求的取值范围; (2)证明这4个交点共圆, 并求圆的半径的取值范围.
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结知识点精讲一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++= 代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时,若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为12AB x =-==即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式)120AB y y k =-=≠三, 已知弦AB 的中点,研究AB 的斜率和方程(1) AB 是椭圆()22221.0x y a b a b+=>的一条弦,中点()00,M x y ,则AB 的斜率为2020b x a y - ,运用点差法求AB 的斜率;设()()()112212,,A x y B x y x x ≠ ,,A B 都在椭圆 上,所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,两式相减得22221212220x x y y a b --+=所以()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=即()()()()22121202212120y y b x x b x x x a y y a y -+=-=--+，故2020AB b x k a y =-（1） 运用类似的方法可以推出；若AB 是双曲线()22221.0x y a b a b-=>的弦，中点()00,M x y ，则2020ABb x k a y =；若曲线是抛物线()220y px p => ，则0AB p k y =题型归纳及思路提示题型1 直线与圆锥曲线的位置关系思路提示（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中0∆> ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到。
直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点，具体如下：①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决．②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于圆或椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行．③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入二次曲线的方程消元后所得的一元二次方程的解的情况来判断．直线l 方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程为f (x ，y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f (x ，y )＝0消元(x 或y )， 如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.若f (x ，y )＝0表示椭圆，上述方程中a ≠0，若f (x, y )＝0表示双曲线或抛物线， 上述方程中a ＝0或a ≠0.①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行(或重合)；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合)．②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac .a ．Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b ．Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c ．Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点．直线与圆锥曲线的位置关系重点是相交：相交――→转化联立方程组有两组不等的实数解――→转化一元二次方程有两个不等实数解――→转化判别式大于零．2．弦长的求法求弦长――→转化求两点间的距离――→综合运用⎩⎪⎨⎪⎧消元，解方程组，一元二次方程根与系数的关系.(1)弦长：(直线与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))，直线斜率为k ，一般地，弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]. (2)若弦过焦点：可用焦半径公式来表示弦长，简化运算． 如x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)， |AB |＝2a －e(x 1＋x 2) (过右焦点)， |AB |＝2a ＋e(x 1＋x 2) (过左焦点)．如抛物线y 2＝2px (p >0)， |AB |＝x 1＋x 2＋p .3．中点弦问题设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上不同的两点，且x 1≠x 2，x 1＋x 2≠0，M (x 0，y 0)为AB 的中点，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b21，x 22a 2＋y22b 21.两式相减可得y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2，即k AB ·y 0x 0＝－b 2a2．类似地，可得圆锥曲线为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1时，有k AB ·y 0x 0＝b 2a2．圆锥曲线为抛物线y 2＝2px (p >0)时，有k AB ＝py 0．探究点1 直线与圆锥曲线的交点问题例1 已知双曲线C ：2x 2－y 2＝2与点P (1, 2)，求过点P 的直线l 的斜率的取值范围，使l 与C 分别有一个公共点，两个公共点，没有公共点．例1 [解答] (1)当l 垂直x 轴时，此时直线与双曲线相切，有一个公共点．(2)当l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y －2＝k(x －1)代入双曲线C 的方程中，整理得(2－k 2)x 2＋2(k 2－2k)x －k 2＋4k －6＝0, (*) 当k 2＝2，即k ＝±2时， (*)为一次方程，显然只有一解； 当k 2≠2时，Δ＝4(k 2－2k)2－4(2－k 2)(－k 2＋4k －6)＝48－32k.令Δ＝0，可解得k ＝32；令Δ＞0，即48－32k ＞0，此时k ＜32；令Δ＜0，即48－32k ＜0，此时k ＞32.∴当k ＝±2或k ＝32或k 不存在时，l 与C 只有一个公共点；当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜32时，l 与C 有两个公共点；当k ＞32时，l 与C 没有公共点．[点评] (1)为了设出直线方程，先讨论斜率是否存在．当斜率存在时，设出方程并与双曲线方程组成方程组，消去y 得到关于x 的方程．当二次项系数为零时，直线与渐近线平行与双曲线只有一个交点；当二次项系数不为零时，若Δ＝0，则有一个切点；若Δ>0，则有两个交点；Δ<0，则没有交点．(2)有关直线和圆锥曲线的范围问题，常常使用Δ来体现范围．探究点2 中点弦问题例2 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0,2)，离心率e ＝63.(1)求椭圆的方程；(2)直线l ：y ＝kx －2(k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N ，且满足MP →＝PN →，AP →·MN →＝0，求直线l 的方程．[解答] (1)设c ＝a 2－b 2，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝63，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，6a 2＝9a 2－9b 2，∴a 2＝3b 2＝12，即椭圆方程为x 212＋y 24＝1.(2)∵MP →＝PN →，AP →·MN →＝0，∴AP ⊥MN ，且点P 是线段MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 212＋y 241，消去y ，得x 2＋3(kx －2)2＝12， 即(1＋3k 2)x 2－12kx ＝0，(*)，由k ≠0，得方程(*)中Δ＝(－12k)2＝144k 2>0，显然方程(*)有两个不相等的实数根．设M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，线段MN 的中点P(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝12k 1＋3k 2∴x 0＝x 1＋x 22＝6k1＋3k 2， ∴y 0＝kx 0－2＝6k 2－2(1＋3k 2)1＋3k 2＝－21＋3k 2即P ⎝⎛⎫6k 1＋3k 2，－21＋3k 2.∵k ≠0，∴直线AP 的斜率为k 1＝－21＋3k 2－26k1＋3k2＝－2－2(1＋3k 2)6k.由MN →⊥AP →，得－2－2(1＋3k 2)6k ·k ＝－1，∴2＋2＋6k 2＝6，解得k ＝±33，故直线方程为y ＝±33x －2.探究点3 相交弦长与面积问题例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦点到相应准线的距离为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．例3 [解答] (1)∵e ＝c a ＝63，a 2c －c ＝22，解得a ＝3，c ＝2，∴b 2＝3－2＝1， 椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，⎝⎛⎭⎫3223＋y 2＝1，得y 2＝34，AB ＝ 3. 当AB 不垂直x 轴时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，则|m|1＋k2＝32，得m 2＝34k 2＋34. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1， |AB|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k29k 4＋6k 2＋1 ＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝2(k ≠0)，当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时，|AB|max ＝2，当k ＝0时，AB ＝3，综上所述|AB|max ＝2.∴当|AB|最大时，△AOB 面积最大值S ＝12×32×2＝32.变式题：从椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴端点A 及短轴端点B 的连线AB 平行于OM .(1)求椭圆的离心率；(2)当QF 2⊥AB 时，延长QF 2与椭圆交于另一点P ，若△F 1PQ 的面积为203(Q是椭圆上的点)，求此时椭圆的方程． [解答] (1)如图，由题意知x M ＝－c ， 故y M ＝b 2a .又△F 1OM ∽△OAB ，c a ＝b 2a b ⇒b ＝c ⇒e ＝22. (2)设椭圆方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，由(1)知a 2＝2b 2，方程变为x 2＋2y 2＝2b 2.设直线PQ 方程为y －0＝2(x －b)，联立方程组，得5x 2－8bx ＋2b 2＝0， x 1＋x 2＝8b 5，x 1x 2＝2b 25.|PQ|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝26b5∵|y 2－y 1|＝|2(x 2－x 1)|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝43b5S △F 1PQ ＝12×||PQ ×||－22b 3＝203⇒b 2＝25，∴a 2＝50，∴椭圆方程为x 250＋y 225＝1.探究点4 弦的定比分点问题例4 已知椭圆x 25＋y 29＝1，焦点F (0,2)，又点A ，B 在椭圆上，而且AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率．例4 [解答] AF →＝2FB →⇒A ，F ，B 三点共线． 设AB 方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立，得 (9＋5k 2)x 2＋20kx －25＝0， x 1＋x 2＝－20k 9＋5k 2，x 1x 2＝－259＋5k2.又AF →＝2FB →⇒⎩⎪⎨⎪⎧x1＝－2x 2，2－y 1＝2y 2－4，所以－x 2＝－20k 9＋5k 2，－2x 22＝－259＋5k 2，消去x 2，解得k ＝±33. 探究点5 综合应用问题例5 已知双曲线C ：x 21－λ－y 2λ＝1(0＜λ＜1)的右焦点为B ，过点B 作直线交双曲线C的右支于M 、N 两点，试确定λ的范围，使OM →·ON →＝0，其中点O 为坐标原点． [解答] 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由已知易求B(1,0)． 当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为x ＝1.设M(1，y 0)，N(1，－y 0)(y 0＞0)，由OM →·ON →＝0，得y 0＝1，∴M(1,1)，N(1，－1)． 又M(1,1)，N(1，－1)在双曲线上， ∴11－λ－1λ＝1⇒λ2＋λ－1＝0⇒λ＝－1±52. ∵0＜λ＜1，∴λ＝5－12. 当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为y ＝k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 21－λ－y 2λ＝1，y ＝k (x －1)，得：[λ－(1－λ)k 2]x 2＋2(1－λ)k 2x －(1－λ)(k 2＋λ)＝0. 由题意知λ－(1－λ)k 2≠0，∴x 1＋x 2＝－2k 2(1－λ)λ－(1－λ)k 2，x 1x 2＝－(1－λ)(k 2＋λ)λ－(1－λ)k 2，∴y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2λ2λ－(1－λ)k 2，∵OM →·ON →＝0，且M 、N 在双曲线右支上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1＋x 2＞0，x 1x 2＞0⇒⎩⎨⎧k 2＝λ(1－λ)λ2＋λ－1，k 2＞λ1－λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ(1－λ)λ2＋λ－1＞λ1－λ，λ2＋λ－1＞0⇒5－12＜λ＜23.综上知5－12≤λ＜23. 变式题：已知点P 1(x 0，y 0)为双曲线x 28b 2－y 2b 21(b 为正常数)上任一点，F 2为双曲线的右焦点，过P 1作右准线的垂线，垂足为A ，连结F 2A 并延长交y 轴于点P 2.(1)求线段P 1P 2的中点P 的轨迹E 的方程；(2)设轨迹E 与x 轴交于B 、D 两点，在E 上任取一点Q (x 1，y 1)(y 1≠0)，直线QB 、QD 分别交y 轴于M 、N 两点．求证：以MN 为直径的圆过两定点．[解答] (1)由已知得F 2(3b,0)，A ⎝⎛⎭⎫83b ，y 0，则直线F 2A 的方程为y ＝－3y0b (x －3b)，令x＝0，得y ＝9y 0，即P 2(0,9y 0)．于是直线QB 的方程为：y ＝y 1x 1＋2b(x ＋2b)，直线QD 的方程为y ＝y 1x 1－2b(x －2b)，可得M ⎝⎛⎭⎪⎫0，2by 1x 1＋2b ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2by 1x 1－2b . 则以MN 为直径的圆的方程为： ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2by 1x 1＋2b ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2by 1x 1－2b ＝0.令y ＝0得x 2＝2b 2y 21x 21－2b 2，而Q(x 1，y 1)在x 22b 2－y 225b 2＝1上，则x 21－2b 2＝225·y 21，于是x ＝±5b ， 即以MN 为直径的圆过两定点(－5b,0)，(5b,0)．规律总结本节问题的研究集中体现了解析几何的基本思想和方法，要求有较强的分析问题和解决问题的能力，有些问题涉及代数、三角、几何等多方面的知识，因此在复习中要注意各部分之间的联系和综合利用知识解决问题的能力．1．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，通过消元最终归结为讨论一个一元二次方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0的实数解的个数问题．应特别注意要分A ＝0和A ≠0的两种情况讨论，只有A ≠0时，才可用判别式来确定解的个数. 当直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线只有一个公共点．这些情况在解题中往往容易疏忽，要特别注意，对于选择、填空题，用数形结合往往快速简捷．2．斜率为k 的直线被圆锥曲线截得弦AB ，若A 、B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝|x 1－x 2|·1＋k 2＝|y 1－y 2|·1＋1k 2(k ≠0)，利用这个公式求弦长时，应注意应用韦达定理．3．与焦点弦长有关的问题，要注意应用圆锥曲线的定义．4．在给定的圆锥曲线f (x ，y )＝0中，求中点为(m ，n )的弦AB 所在直线方程时，一般可设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，利用A 、B 在曲线上，得f (x 1，y 1)＝0，f (x 2，y 2)＝0及x 1＋x 2＝2m ，y 1＋y 2＝2n ，故可求出斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，最后由点斜式写出直线AB 的方程．5．求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法．。
直线和圆锥曲线的位置关系
直线和圆锥曲线的位置关系知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.判断的方法均是把直线方程代入曲线方程中，判断方程解的个数，从而得到直线与曲线公共点的个数，最终得到直线与曲线的位置关系.一般利用二次方程判别式来判断有无解，有几个解.1．直线0=++C By Ax 椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的位置关系： 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 一元二次方程，其判别式为∆.(1)⇔>∆0直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；(2)⇔=∆0直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；(3)⇔<∆0直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点．2．直线0=++C By Ax 和双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的位置关系： 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的方程.（一）若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若0>∆，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若0=∆，则直线和双曲线相切，有一个切点；(3)若0<∆，则直线和双曲线相离，无公共点．注意：（1）⇒>∆0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0>∆，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0>∆是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；（2）当直线与双曲线的渐近线不平行时，⇔=∆0直线与双曲线相切；（3）如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；（4）过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 外一点),(00y x P 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；3．直线0=++C By Ax 和抛物线)0(22>=p px y 的位置关系：将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 方程.（一）若方程为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若0>∆，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若0=∆，则直线和抛物线相切，有一个切点；(3)若0<∆，则直线和抛物线相离，无公共点.注意：（1）⇒>∆0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0>∆，当直线与抛物线的对称轴重合或平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0>∆也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件.（2）当直线与抛物线的对称轴不重合或平行时，⇔=∆0直线与抛物线相切；（3）如说直线和抛物线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；（4）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.知识点二：圆锥曲线的弦1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦.当直线的斜率k 存在时，直线b kx y +=与圆锥曲线相交于),(),,(2211y x B y x A ，两点，把直线方程代入曲线方程中，消元后所得一元二次方程为02=++c bx ax .则弦长公式：2121x x k AB -+=其中aa c ab x x x x x x ∆=--=-+=-4)(4)(22122121 当k 存在且不为零时, 弦长公式还可以写成：21211y y k AB -+=. 注意：当直线的斜率不存在时，不能用弦长公式解决问题，21y y AB -=.2.焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦公式α221sin 2p p x x AB =++=，其中α为过焦点的直线的倾斜角.3.通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径.椭圆和双曲线的通径为ab AB 22=，抛物线的通径p AB 2=. 知识点三：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. ①在椭圆12222=+b y a x 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k -=；②在双曲线12222=-b y a x 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k =； ③在抛物线)0(22>=p px y 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0y p k =. 注意：因为0>∆是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0>∆！知识点四：求曲线的方程1. 定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标),(y x 所满足的方程0),(=y x f 表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.2. 坐标法求曲线方程的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.通过坐标法，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一.用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何对象，然后对坐标和方程进行代数讨论；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”. 3．求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、代入法、参数法等.规律方法指导1．直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究.因为直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2．直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重.主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用.3．当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.4．解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助于图形的几何性质更为方便.。
直线与圆锥曲线位置关系知识梳理
直线（点）与圆锥曲线的位置关系知 识 梳 理一、 点与圆锥曲线的位置关系设点P 坐标为00(,)x y ,约定：含焦点的区域称为圆锥曲线的内部。
1. 椭圆：若2200221x y a b+=，则P 在椭圆上；若2200221x y a b +<，则P 在椭圆内；若2200221x y a b+>，则P 在椭圆外. 2.双曲线：若2200221x y a b -=，则P 在双曲线上；若2200221x y a b-<，则P 在双曲线外；若2200221x y a b->，则P 在双曲线内. 3.抛物线：若2002y px =，则P 在抛物线上；若2002y px <，则P 在抛物线内；若2002y px >，则P 在抛物线外.说明：当圆锥曲线的焦点在其他轴上时，有类似于上述的结论，此处从略。
二、 直线与圆锥曲线的位置关系1. 椭圆000=000≠∆>⇔⎧⎧⎪⇒≠∆⇔⎨⎨⎩⎪≠∆<⇔⎩二次项系数且交于两点直线一元二次方程二次项系数且切于一点（图示从略）椭圆二次项系数且无公共点（相离）说明：△＞0是直线与椭圆相交的充要条件；△=0是直线与椭圆有且只有一个公共点的充要条件。
2. 双曲线说明：（1）△＞0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件（因为相交包括交于一000=0=000≠∆>⇔⎧⎪⎪⎪≠∆⇔⎧⎪⇒⎨⎨⎩⎪⇔⇔⎪⎪⎪≠∆<⇔⎩ 二次项系数且交于两点二次项系数且切于一点直线一元方程双曲线二次系数(一次方程)交于一点直线渐近线二次项系数且无公共点（相离）12120000x x x x ⎧⎪∆>>⎨⎪∆><⎩既可与两支相交又可与一支相交只与一支交于两点：且与两支交于两点：且⎫⎬⎭有一个公共点点或两点）；但直线与双曲线交于两点时必有△＞0。
△=0是直线与双曲线有一个公共点的充分不必要条件（因为对双曲线来说，有一个公共点包括切于一点和交于一点）；但切于一点时，必有△=0。
直线与圆锥曲线的位置关系
规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：:101l y kx =+⇒过定点（，）:(1)1l y k x =+⇒-过定点（，0）:2(1)1l y k x -=+⇒-过定点（，2）证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。
练习：1、过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有（ ）条。
A ．4B ．3C ．2D ．1分析：作出抛物线232--=x x y ，判断点P(3,2)相对抛物线的位置。
解：抛物线232--=x x y 如图，点P （3，2）在抛物线的内部，根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有一条。
故选择D规律提示：含焦点的区域为圆锥曲线的内部。
（这里可以用公司的设备画图）一、过一定点P 和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在抛物线外，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（2）若定点P 在抛物线上，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（3）若定点P 在抛物线内，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。
二、过定点P 和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在双曲线内，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；（2）若定点P 在双曲线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线；（3）若定点P 在双曲线外且不在渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线；（4）若定点P 在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；（5）若定点P 在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P 和双曲线只有一个公共点的直线不存在。
直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线:0l Ax By C++=与圆锥曲线:()0C f x y=，的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线:0l Ax By C++=，圆锥曲线:()0C f x y=，，由()0Ax By Cf x y++=⎧⎨=⎩，，，，即将直线l的方程与圆锥曲线C的方程联立，消去y便得到关于x的一元二次方程20ax bx c++=（当然，也可以消去x得到关于y的一元二次方程），通过一元二次方程解的情况判断关系，见下表：注意：（1）直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件；（2）由于抛物线及双曲线问题的特殊性，有时借助于数形结合可能会更直观、更方便，我们知道：当直线与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行时，都只有一个交点，但此时并非相切.2．应用例1 若直线1y kx=+与焦点在x轴上的椭圆2215x ym+=总有公共点，求m的取值范围．解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．解：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知05m<<．22115y kx x y m =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(5)105(1)0m k x kx m +++-=． 又∵直线与椭圆总有公共点，∴上述方程0∆≥对一切实数k 成立，即22(10)4(5)5(1)0k n k m -⨯+⨯-=，亦即251k m -≥对一切实数k 成立．10m -∴≤，即1m ≥．故m 的取值范围为[)15m ∈，．解法二：由于直线过定点(01)，，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(01)，必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求．另解：由椭圆的方程及椭圆的焦点在x 轴上知05m <<．又∵直线与椭圆总有公共点．∴直线所经过的定点(01)，必在椭圆内部或边界上． 220115m+∴≤，即1m ≥． 故m 的取值范围为[)15m ∈，．评析：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路灵活，且简捷．例2 已知直线(1)1y a x =+-与曲线2y ax =恰有一个公共点，求实数a 的值．解：联立方程2(1)1y a x y ax =+-⎧⎨=⎩，， （1）当0a =时，此方程组恰有一解为10.x y =⎧⎨=⎩， （2）当0a ≠时，消去x ，整理得2110a y y a+--=． 若1a =-，则方程组恰有一解为11.x y =-⎧⎨=-⎩， 若1a ≠-，令0∆=，可解得45a =-． 所以，当4015a =--，，时，原直线与曲线恰有一个公共点． 评析：上面三个解的几何意义是：当0a =时，曲线2y ax =蜕化成直线0y =，此时已1y x =-，它恰有一个交点(10)，；当1a =-时，直线与抛物线对称轴平行，恰有一个交点；当45a =-时，直线与抛物线相切．。
直线与圆锥曲线的位置关系
二、研究方法与思想
1.直线和圆锥曲线的位置关系及判断、运用设直线l的方程 为：Ax+By+C=0圆锥曲线方程为：f(x，y)=0
由
f(x，y)=0
消元(x或y)
Ax+By+C=0
若消去y后得ax2+bx+c=0，若f(x ， y)=0表示椭圆，则a≠0， 为此有 (1)若a=0，当圆锥曲线为双曲线时，直线l与双曲线的渐近 线平行或重合.当圆锥曲线是抛物线时直线l与抛物线对称轴 平行或重合. (2)若a≠0，设Δ=b2-4ac ①Δ＞0时，直线与圆锥曲线相交于不同两点 ②Δ=0时，直线与圆锥曲线相切于一点 ③Δ＜0时，直线与圆锥曲线没有公共点
x1 x2 y1 y2 1 2 0 (1) （ ）－（ ）得 2 2 a b 2
(3)
练习： 一中心在原点，对称轴为坐标轴的椭 圆与直线 x + y = 3相交于A、B两点，C是AB 的中点。若AB = 2 2 ，O是坐标原点， OC的斜率为2,求椭圆的方程。
y
A
y x 1 9 9 2
求以点P(2,1)为中点的弦所在
的直线方程.
点评:本题属于中点弦问题,一般采用韦达定理和点差法求解.
x2 y2 对于椭圆 M N 1 (a b 0) 设 ( x1 , y1 )、 （x2 , y2 ) 2 2 a b 2 2 2 2
x12 y12 则: 2 2 1 a b 2 2 x2 y 2 1 a 2 b2
解：将直线 y kx 1代入双曲线方程 x y 4 2 2 x - y =4 2 2 化简整理 (1 k2 ) x 2kx 5 0 （※） 2
2 2
y kx 1 与双曲线 x 2 y 2 4 的右 例2: 若直线 支有两个相异公共点，求 k 的范围.
九年级数学圆锥曲线期末复习3
高 二 数 学 期 末 复 习 三（圆锥曲线综合问题）一、知识回顾1．直线与圆锥曲线的位置关系：在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解.注意：①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必“0∆>”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“0∆>”.②直线与抛物线(相交不一定交于两点)、双曲线位置关系(相交的四种情况)的特殊性，应谨慎处理.2．弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则22|||AB x x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则12|||AB y y =-=，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB 12y -。
注意：焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和，或统一（第二）定义求解。
3．圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆12222=+by a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k -=；在双曲线22221x y a b-=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k =；在抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率)0(00≠=y y pk 。
注意：如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率”为桥梁转化.4.常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直译法、代点法、参数法、交轨法等), 以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质，这是解析几何的两类基本问题，也是解析几何的基本出发点.注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化.②在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.二、典型例题例1．（1）椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x 的最短距离为13138； （2）过抛物线x y 22=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知ΔABO 重心的横坐标为3（O 为坐标原点），则|AB|=___10____（3*）已知直线1+-=x y 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上，则此椭圆的离心率为22（4*）若椭圆11022=+m y x 与双曲线122=-b y x 有相同的焦点，且),310(y P 椭圆与双曲线的一个交点，则椭圆与双曲线的方程分别为,11022=+y x 1822=-y x 。
圆锥曲线与直线的位置关系
(2009福建，13)过抛物线y2＝2p两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
椭圆
平行或重合
平行或重合
相交
两个不同的
相切
唯一
相离
公共点
二、当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)． 若直线过圆锥曲线的焦点，当焦点弦垂直于对称轴(椭圆的长轴、双曲线的实轴)时称为 ，其中|AB|＝ ，(p为焦准距)．若椭圆 (a＞b＞0)的弦AB过焦点F1(－c,0)，则|AB|＝ ；若双曲线 (a＞0，b＞0)的弦AB过焦点F1(－c,0)，且A、B在左支，则|AB|＝ ；若抛物线y2＝2px(p＞0)的弦AB过焦点F( 0)，则|AB|＝ .
活动策划方案
基础知识 设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线：f(x，y)＝0， 消元(x或y)，若消去y得a1x2＋b1x＋c1＝0.
1．若a1＝0，此时圆锥曲线不是 ．当圆锥曲线为双曲线时，直线l与双曲线的渐近线 ；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴 ． 2．若a1≠0，Δ＝ －4a1c1，则 ①Δ＞0时，直线与圆锥曲线 ，有 交点； ②Δ＝0时，直线与圆锥曲线 ，有 的公共点； ③Δ＜0时，直线与圆锥曲线 ，没有 ．
忽视判别式产生的混淆
01
斜率为1的直线与椭圆 交于A、B两点，O是原点，当△OAB面积最大时，直线的方程是____________．
02
应用“差分法”失误 已知双曲线方程为2x2－y2＝2，以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为________．
若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆 总有公共点，那么m的取值范围是 ( )
回归教材
A．(0,5) B．(1,5) C．[1,5) D．与k有关
直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳(1)
直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳(1)直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳直线和圆锥曲线是几何学中常见的两种基本图形，它们的位置关系十分复杂。
在学习和研究数学问题时，了解它们的位置关系具有重要意义。
下面将总结归纳直线和圆锥曲线的位置关系。
一、直线与椭圆的位置关系1. 直线不经过椭圆：直线与椭圆没有交点，此时直线和椭圆之间没有任何位置关系。
2. 直线与椭圆相切于一点：直线与椭圆相切于一点，此时直线与椭圆的位置关系为切线。
3. 直线与椭圆相交于两点：直线与椭圆相交于两个点，此时直线与椭圆的位置关系是两个交点的连线。
4. 直线穿过椭圆：直线与椭圆相交于四个点，此时直线与椭圆的位置关系是四个交点的连线。
二、直线与双曲线的位置关系1. 直线不经过双曲线：直线与双曲线没有交点，此时直线和双曲线之间没有任何位置关系。
2. 直线与双曲线相切于一点：直线与双曲线相切于一点，此时直线与双曲线的位置关系为切线。
3. 直线与双曲线相交于两点：直线与双曲线相交于两个点，此时直线与双曲线的位置关系是两个交点的连线。
4. 直线穿过双曲线：直线与双曲线相交于四个点，此时直线与双曲线的位置关系是四个交点的连线。
三、直线与抛物线的位置关系1. 直线不经过抛物线：直线与抛物线没有交点，此时直线和抛物线之间没有任何位置关系。
2. 直线与抛物线相切于一点：直线与抛物线相切于一点，此时直线与抛物线的位置关系为切线。
3. 直线与抛物线相交于一个点：直线与抛物线相交于一个点，此时直线与抛物线的位置关系为交点。
4. 直线穿过抛物线：直线与抛物线相交于两个点，此时直线与抛物线的位置关系是两个交点的连线。
通过以上总结，我们可以看出，直线和圆锥曲线的位置关系与它们之间的交点有关，交点的个数和位置决定了它们的位置关系。
这对于学习和研究圆锥曲线成立方程、性质等问题非常有帮助。
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANⅠ复习提问一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。
（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 与曲线C 相离。
二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212AB AB AB x y y ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠00x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0x y ，即22op a k k b =-；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0x y ，即22op b k k a =； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ；若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。
第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系
∴b＝1，∴所求椭圆方程为x32＋y2＝1.
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)． ①当 AB⊥x 轴时，|AB|＝ 3. ②当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y＝kx＋m.
由已知
|m| ＝ 1＋k2
23，得
2．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦
直线 l：f(x，y)＝0，曲线 r：F(x，y)＝0，l 与 r 的两个不同的交
点 A、B，A(x1，y1)、B(x2，y2)，则(x1，y1)、(x2，y2)是方程组
fx，y＝0，
Fx，y＝0
的两组解．方程组消元后化为关于 x(或 y)的一元二
次方程 Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0)．判别式 Δ＝B2－4AC，应用 Δ>0，
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
【例 1】 已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 36，短轴 一个端点到右焦点的距离为 3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的 距离为 23，求△AOB 面积的最大值．
则 P(－4,0)，显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y＝k(x＋4)， 如图设点 M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中点 G(x0，y0)． 将 y＝k(x＋4)代入x82＋y42＝1， 整理得：(2k2＋1)x2＋16k2x＋32k2－8＝0. 由 Δ＝(16k2)2－4(2k2＋1)(32k2－8)>0，
拓展提升——开阔思路 提炼方法 圆锥曲线与探索型问题包含两类题型，一是无明确结论，探索结论问
题；二是给定明确结论，探索结论是否存在问题．设置此类问题，旨在考 查创新意识和探究能力．
直线与圆锥曲线的位置关系
基本计算
1. 如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两 端点坐标分别为(x1,y1)、(x2 ,y2)则弦长公式为：
| AB | 1 k x1 x2
2
1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2
2 2
2.在与弦中点、弦的斜率有关的题型中，用韦达 定理是常见思路。
例1 已知抛物线的方程为 y 4 x ，直线 l 过定点P（－2,1），斜率为 k ，k 为值时，直线 l 与抛物线 y 2 4 x ：只有一个公共点；有两个公 共点；没有公共点？
b|b 公共点，则b的取值范围为
2 若直线y=x+b与曲线
x 1y
2
恰好有一个
2或 - 1 b 1
3 在y轴上的截距为1的直线与焦点在x轴上的椭圆
x2 y2 1恒有公共，则m的取值范围是 [1,5)∪(5,+∞) 变2.是否存在实数m，使在y轴上的截距为1的直
基本方法
1 直线与圆锥曲线的位置关系可以通过对直线方 程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的情 况的讨论来研究，即方程消元后得到一个一元二次 方程，利用判别式 来讨论。 2 直线与圆锥曲线的位置关系，还可以利用数形 结合、以形助数的方法来解决。 3 特殊情形： （1）在双曲线中，当直线平行于其渐近线时，直 线与双曲线有且仅有一个公共点。 （2）在抛物线中，平行于其对称轴的的直线和抛 物线有且仅有一个公共点。
2 x2 y2 y 2 1 2x 1 )恒有公共 线与椭圆 (或 5 m m
点。若存在，则求出m；若不存在，请说明理由。
y2 x2 变3.不论k为何值，直线y=kx+b 与椭圆 1 9 4 总有公共点，则b的取值范围为 -3≤b≤3
直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系一、学习目标1．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；2．掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题.二、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即()⎩⎨⎧==++0,0y x F C By Ax 消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C ； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C ；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是 ；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是2．圆锥曲线的弦长(1)圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．(2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝.(抛物线的焦点弦长|AB |＝ )．三、基础训练1．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．y ＝kx ＋2与y 2＝8x 有且仅有一个公共点，则k 的取值为________．3.已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a =4.（2010全国卷1）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ， 且2=，则C 的离心率为 .四、例题精选考向一 弦长问题【例1】►（2013新课标I ）已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.【训练1】（2010辽宁）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o,2AF FB =uu u r uu r . （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）如果|AB|=154，求椭圆C 的方程.考向二 中点弦问题【例2】►（2013陕西文）已知动点M (x ,y )到直线l :x =4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍.(Ⅰ) 求动点M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点,求直线m 的斜率.【训练2】（2013新课标II ）平面直角坐标系xoy 中，过椭圆M ：)0(12222>>=+b a b y a x 右焦点的直线03=-+y x 交M 于A 、B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为21。
高二上册数学选修一《2.8 直线与圆锥曲线的位置关系》知识点梳理
高二上数学选修一第二章《平面解析几何》知识点梳理2.8直线与圆锥曲线的位置关系课程目标A.清楚直线与圆锥曲线的三种位置关系.B.会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题.C.加强数形结合思想的训练与应用.重难点重点：直线与圆锥曲线的三种位置关系难点：会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题我们知道，通过直线的方程、圆的方程可以探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，而且这些问题都可以转化为方程组的解的问题。
类似地，因为平面直角坐标系中的点在椭圆、双曲线、抛物线上的充要条件是点的坐标满足对应的方程，所以我们同样可以通过方程组的解的问题来探讨直线与这些曲线的位置关系的问题。
一、典例解析例1.判断直线y=2x−2与椭圆x25+y24=1，是否有公共点，如有，求出公共点的坐标，如公共点有两个，求出以这两个公共点为端点的线段长。
解：联立直线与椭圆的方程，可得方程组y=2x−2x25+y24=1解方程组可得x=0y=−2或x=53y=43因此直线与椭圆有两个公共点，且公共点的坐标为（0，-2）（53，43）从而可知所求线段长为（53−0）2−[43−（−2）]2=553你认为应该怎样来判断直线与椭圆是否有公共点？如果有两个公共点，应该怎样求得对应线段的长？1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,有且只有一个公共点及有两个相异的公共点.(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程,消元后所得方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.如消去y后得ax2+bx+c=0.由Ax+By+C=0,f(x,y)=0消元,①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l 与双曲线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合).②若a ≠0,设Δ=b 2-4ac.Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点;Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点;Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点.2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则所得弦长|P 1P 2|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]或|P 1P 2|=1+1k2[(y1+y2)2-4y1y2](k ≠0).(2)当斜率k 不存在时,可求出交点坐标,利用两点间距离公式直接运算.1.判断(1)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与点P (b ,0),过点P 可作出该椭圆的一条切线.()(2)直线y=k (x-a )与椭圆x2a2+y2b2=1的位置关系是相交.()(3)若直线与抛物线只有一个交点,则该直线与抛物线相切.()答案:(1)×(2)√(3)×2.顶点在原点,焦点在x 轴上且截直线2x-y+1=0所得弦长为15的抛物线方程为.解析:设所求抛物线的方程为y 2=ax (a ≠0).①直线方程变形为y=2x+1,②设抛物线截直线所得弦为AB.将②代入①,整理得4x 2+(4-a )x+1=0,则|AB|=(1+22)a -442-4×14=15.解得a=12或a=-4.所以所求抛物线的方程为y 2=12x 或y 2=-4x.答案:y 2=12x 或y 2=-4x例2.已知直线l :kx-y+2-k=0,双曲线C :x 2-4y 2=4,当k 为何值时,(1)l 与C 无公共点;(2)l 与C 有唯一公共点;(3)l与C有两个不同的公共点.分析直线与圆锥曲线的公共点的个数,就等于直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组的解的个数.因此本题可转化为方程组解的个数的判定,从而确定参数的取值.解:(1)将直线方程与双曲线方程联立,消去y得(1-4k2)x2-8k(2-k)x-4(k2-4k+5)=0.①要使l与C无公共点,即方程①无实数解,则有1-4k2≠0,且Δ<0,即64k2(2-k)2+16(1-4k2)(k2-4k+5)<0.解得k>-2+193或k<-2-193,故当k>-2+193或k<-2-193时,l与C无公共点.(2)当1-4k2=0,即k=±12时,方程①只有一解;当1-4k2≠0,且Δ=0,即k=-2±193时,方程①只有一解,故当k=±12或k=-2±193时,l与C有唯一公共点.(3)当1-4k2≠0,且Δ>0时,方程①有两个不同的解,即l与C有两个不同的公共点,于是可得,当-2-193<k<-2+193,且k≠±12时,l与C有两个不同的公共点.判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,可将直线l的方程代入曲线C的方程,消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).(1)当a≠0时,若Δ>0,则直线l与曲线C相交;若Δ=0,则直线l与曲线C相切;若Δ<0,则直线l与曲线C相离.(2)当a=0时,即得到一个一次方程,则直线l与曲线C相交,且只有一个交点.此时,若C为双曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行于抛物线的对称轴.(3)当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线或抛物线可能相切,也可能相交.跟踪训练1已知直线l:y=2x+m,椭圆C:x24+y22=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个不同的公共点;(2)有且只有一个公共点;(3)没有公共点?解:直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组y=2x+m,①x24+y22=1,②将①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0,③这个关于x的一元二次方程的判别式Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.(1)由Δ>0,得-32<m<32.于是,当-32<m<32时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点.(2)由Δ=0,得m=±32.也就是当m=±32时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点,即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点.(3)由Δ<0,得m<-32或m>32.从而当m<-32或m>32时,方程③没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时直线l 与椭圆C 没有公共点.例3已知椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与椭圆交于P ,Q 两点,且OP ⊥OQ ,|PQ|=102,求椭圆的方程.分析设出椭圆方程,将椭圆方程和直线方程联立消去y ,转化为关于x 的一元二次方程,利用根与系数的关系,根据向量数量积和弦长公式建立方程组求解.解:设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n ),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).由y=x+1,mx2+ny2=1,得(m+n )x 2+2nx+n-1=0,Δ=4n 2-4(m+n )(n-1)>0,即m+n-mn>0.由OP ⊥OQ ,得x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0,∴2(n -1)m+n−2nm+n +1=0,∴m+n=2.①又|PQ|2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=2[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=8(m+n -mn )(m+n )2=1022,将m+n=2代入得mn=34.②由①②式,得m=12,n=32或m=32,n=12.故椭圆方程为x22+32y 2=1或32x 2+y22=1.若直线l 与圆锥曲线F (x ,y )=0相交于A ,B 两点,求弦AB 的长可用下列两种方法:(1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联立,解得点A ,B 的坐标,然后用两点间距离公式,便得到弦AB 的长,一般来说,这种方法较为麻烦.(2)不求交点坐标,可用一元二次方程根与系数的关系求解.设直线方程为y=kx+m ,与圆锥曲线F (x ,y )=0交于两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+(kx1+m -kx2-m )2=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2;或当k ≠0时,|AB|=1+1k2|y 1-y 2|=1+1k2·(y1+y2)2-4y1y2.当k=0时,直线平行于x 轴,∴|AB|=|x 1-x 2|.跟踪训练2抛物线y 2=12x 截直线y=2x+1所得弦长等于()A .15B .215C .152D .15解析:令直线与抛物线交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由y=2x+1,y2=12x ,得4x 2-8x+1=0,∴x 1+x 2=2,x 1x 2=14,∴|AB|=(1+22)(x1-x2)2=5[(x1+x2)2-4x1x2]=15.答案:A三、达标检测1.直线y=kx-k+1与椭圆x29+y24=1的位置关系为()A .相交B .相切C .相离D .不确定解析:∵y=kx-k+1,∴y-1=k (x-1),过定点(1,1),定点在椭圆x29+y24=1内部,故选A .答案:A2.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案:C3.已知点P (k ,1),椭圆x29+y24=1,点P 在椭圆外,则实数k 的取值范围为.解析:依题意得,k29+14>1,解得k<-332或k>332,故实数k 取值范围为-∞,-332∪332,+∞.答案:-∞,-332∪332,+∞4.已知直线l :x-y+m=0与双曲线x 2-y22=1交于不同的两点A ,B ,若线段AB 的中点在圆x 2+y 2=5上,则m 的值是.解析:设线段AB 的中点为M (x 0,y 0),由x -y+m=0,x2-y22=1,得x 2-2mx-m 2-2=0,∴x 0=m ,∴y 0=x 0+m=2m ,∵点M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=5上,∴m 2+(2m )2=5,∴m=±1,检验可知判别式Δ>0.故m=±1.答案:±15.抛物线x 2=-y 上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值为.解析:设直线4x+3y+c=0与抛物线相切,由4x+3y+c=0,x2=-y ,得3x 2-4x-c=0,由Δ=16+12c=0,得c=-43,所以两平行线的距离为-8+4316+9=43.答案:436.如图,椭圆x216+y27=1的左、右焦点为F1,F2,一条直线l经过F1且与椭圆相交于A,B两点.(1)求△ABF2的周长;(2)若l的倾斜角是45°,求△ABF2的面积.解:(1)由x216+y27=1,知a=4,△ABF2的周长=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a=16.(2)由椭圆方程x216+y27=1,可得F1(-3,0),F2(3,0),又l的倾斜角是45°,故斜率k=1,∴l的方程为y=x+3.将直线方程代入椭圆方程,整理得23x2+96x+32=0,∴x1+x2=-9623,x1x2=3223,|AB|=(1+1)×-96232-4×3223=11223.设点F2到直线l的距离为d,则d=|3-0+3|2=32.∴S△ABF2=12|AB|·d=12×11223×32=168232.四、小结。
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(2)当 a≠0 时，消去 x，得a＋a 1y2－y－1＝0.
①若a＋a 1＝0，即 a＝－1，方程变为一元一次方程－y－1＝0，
方程组恰有一组解yx＝＝－－11.，
a＋1 ②若 a ≠0，即
a≠－1，令Δ＝0，
得 1＋4(a＋a 1)＝0，可解得 a＝－45，这时直线与曲线相切，只有一个公共点．
综上所述知，当
所以“直线与抛物线或双曲线有一个 公共点是直线与抛物线或双曲线相切 的必要不充分条件”
把直线方程代入圆锥曲线方程
相交1
抛物线， 直线与 对称轴平行 或重合
相交1
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0
相交 相切 相离
2
1
0
2. 弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。
1.直线y=kx-k+1与椭圆 x2 y2 1 的位置关系为( A )
(A) 相交 (B) 相切 9 (C)4相离 (D) 不确定
2.已知双曲线方程x2-y2=1，过P(0，1)点的直线l与双曲线
只有一个公共点，则l的条数为( A )
(A)4
(B)3
(C)2
(D)1
3.过点(0，1)与抛物线y2=2px(p＞0)只有一个公共点的直线
y=kx+m与
x2 a2
y2 b2
1:
(1)若直线与渐近线平行, 则相交且只有一个交点.
(2)若直线与渐近线重合, 则相离即没有交点.
(3)若直线与渐近线相交,联立方程组
y=kx+m b2x2-a2y2=a2b2
消去y得: Ax2+Bx+C=0
故①△>0 相交 ②△=0 相切 ③△<0 相离
直线与双曲线位置关系种类
1.直线与椭圆的位置关系:
设直线与椭圆方程分别为:
联立方程组
y=kx+m b2x2+a2y2=a2b2
y=kx+m与 消去y得:
x2 a2
y2 b2
1:
Ax2+Bx+C=0
(1)△>0 相交 (2)△=0 相切 (3)△<0 相离
直线与圆锥曲线的位置关系
2.直线与双曲线的位置关系:
设直线与双曲线方程分别为:
y＝±
33x，
∴有－ 33≤k≤ 33.
• 答案：C
• 【例1】 已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一 个公共点，求实数a的值．
解• 析分证：联析结立：论方程．先组用yy2＝＝代(aax＋数. 1)方x－法1，即联(1)立当 a方＝0程时，组此解方程决组，恰有再一组从解几为何xy＝＝上10.，验
条数是( D )
(A)0
(B)1
(C)2
y
(D)3
y
0
x
x 0
x2 y2
(2009·福建)已知双曲线12－ 4 ＝1
的右焦点为
F，若过点
F
的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围
(
33 )A．(－ 3 ， 3 )
B．(－
3，
3)C.－
33，
33D．[－
3， 3]
x2 y2
又由双曲线方程12－ 4 ＝1，有双曲线的渐近线方程为
焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；
通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴， 此时焦点弦也叫通径。=
3．设直线 Ax＋By＋C＝0 与圆锥曲线 f(x，y)＝0 相交于 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则弦长
|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ (1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2] ＝ 1＋k12|y1－y2|＝ (1＋k12)[(y1＋y2)2－4y1y2].
yy
y
y
oo FF xx
o
Fx
o
Fx
3.直线与抛物线的位置关系:
设直线与抛物线方程分别为: y=kx+m与y2=2px:
(1)若直线与对称轴平行或重合,则相交且只有一个交点.
(2)若直线与对称轴相交, 由
y=kx+m y2=2px 得: Ax2+Bx+C=0
故①△>0 相交 ②△=0 相切 ③△<0 相离
所在的直线方程
.
已知在平面直角坐标系 中的一个椭圆，它的中心在原点，
左焦点为 F ( 3, 0) ,右顶点为 D ( 2, 0 ) ,设点 A
Y
O
X
种类:相离;相切; 相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点)
位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
X 相离:0个交点
Y
O
X
若直线与渐近线平行, 则相交且只有一个交点.
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
a
为
4 0，－1，－5时，
直线 y＝(a＋1)x－1 与曲线 y2＝ax 恰有一个公共点．
三、弦的中点问题
x2 y2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆a2＋b2＝1 上不同的两点，
且 x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为 AB 的中点，则xaxa212222＋＋ybyb212222＝＝11，.
2
x
L4相切
直线L绕着点(0，3)旋转过程中，直线L与双曲线 x 2 y 2 1 43
的 交点情况如何？L的斜率变化情况如何？
L4 L3 y L2 L1 3
-2
2
x
直线L绕着点(-1，3)转过程中，直线L与抛物线 y 2 4 x
的交 点情况如何？L的斜率变化情况如何？
L
3
y
L2
L1
x
直线与圆锥曲线的位置关系
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
3.直线与抛物线的位置关系:
设直线与抛物线方程分别为: y=kx+m与y2=2px:
(1)若直线与对称轴平行或重合,则相交且只有一个交点.
(2)若直线与对称轴相交, 由
y=kx+m y2=2px 得: Ax2+Bx+C=0
故①△>0 相交 ②△=0 相切 ③△<0 相离
一知识与方法
直线与圆的位置关系:
1)相离 2)相切 3)相交
几 直线与圆锥曲线的位置关系:
何 1）相离
2）相切
角
没有交点
度
有一个交点
3）相交
有两个交点
有一个交点
直线l绕着点(0，3)旋转过程中，与椭圆x 2 y 2 1
43
的交点情况如何？L的斜率变化情况如何？
yl
3 -2 3
L2相切 L3相交
两式相减可得yx11－－yx22·yx11＋＋yx22＝－ba22，即 kAB＝－ba22xy00
.
x2 y2 类似的可得圆锥曲线为双曲线a2－b2＝1
时，有
kAB＝ab22yx00.
2px0
圆锥曲线为抛物线 y2＝2px(p＞0)时，有 kAB＝ y0 .
求椭圆
x2 9
y2 4
1 被点
Q(2,1)平分的弦 AB