直线与圆锥曲线的位置关系(总结归纳)

a
为
4 0，－1，－5时，
直线 y＝(a＋1)x－1 与曲线 y2＝ax 恰有一个公共点．
三、弦的中点问题
x2 y2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆a2＋b2＝1 上不同的两点，
且 x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为 AB 的中点，则xaxa212222＋＋ybyb212222＝＝11，.
1.直线与椭圆的位置关系:
设直线与椭圆方程分别为:
联立方程组
y=kx+m b2x2+a2y2=a2b2
y=kx+m与 消去y得:
x2 a2
y2 b2
1:
Ax2+Bx+C=0
(1)△>0 相交 (2)△=0 相切 (3)△<0 相离
直线与圆锥曲线的位置关系
2.直线与双曲线的位置关系:
设直线与双曲线方程分别为:
2
x
L4相切
直线L绕着点(0，3)旋转过程中，直线L与双曲线 x 2 y 2 1 43
的 交点情况如何？L的斜率变化情况如何？
L4 L3 y L2 L1 3
-2
2
x
直线L绕着点(-1，3)转过程中，直线L与抛物线 y 2 4 x
的交 点情况如何？L的斜率变化情况如何？
L
3
y
L2
L1
x
直线与圆锥曲线的位置关系
所在的直线方程
.
已知在平面直角坐标系 中的一个椭圆，它的中心在原点，
左焦点为 F ( 3, 0) ,右顶点为 D ( 2, 0 ) ,设点 A
1.直线y=kx-k+1与椭圆 x2 y2 1 的位置关系为( A )
(A) 相交 (B) 相切 9 (C)4相离 (D) 不确定
2.已知双曲线方程x2-y2=1，过P(0，1)点的直线l与双曲线
只有一个公共点，则l的条数为( A )
(A)4
(B)3
(C)2
(D)1
3.过点(0，1)与抛物线y2=2px(p＞0)只有一个公共点的直线
焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；
通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴， 此时焦点弦也叫通径。=
3．设直线 Ax＋By＋C＝0 与圆锥曲线 f(x，y)＝0 相交于 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则弦长
|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ (1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2] ＝ 1＋k12|y1－y2|＝ (1＋k12)[(y1＋y2)2－4y1y2].
y＝±
33x，
∴有－ 33≤k≤ 33.
• 答案：C
• 【例1】 已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一 个公共点，求实数a的值．
解• 析分证：联析结立：论方程．先组用yy2＝＝代(aax＋数. 1)方x－法1，即联(1)立当 a方＝0程时，组此解方程决组，恰有再一组从解几为何xy＝＝上10.，验
一知识与方法
直线与圆的位置关系:
1)相离 2)相切 3)相交
几 直线与圆锥曲线的位置关系:
何 1）相离
2）相切
角
没有交点
度
有一个交点
3）相交
有两个交点
有一个交点
直线l绕着点(0，3)旋转过程中，与椭圆x 2 y 2 1
43
的交点情况如何？L的斜率变化情况如何？
yl
3 -2 3
L2相切 L3相交
条数是( D )
(ຫໍສະໝຸດ Baidu)0
(B)1
(C)2
y
(D)3
y
0
x
x 0
x2 y2
(2009·福建)已知双曲线12－ 4 ＝1
的右焦点为
F，若过点
F
的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围
(
33 )A．(－ 3 ， 3 )
B．(－
3，
3)C.－
33，
33D．[－
3， 3]
x2 y2
又由双曲线方程12－ 4 ＝1，有双曲线的渐近线方程为
所以“直线与抛物线或双曲线有一个 公共点是直线与抛物线或双曲线相切 的必要不充分条件”
把直线方程代入圆锥曲线方程
得到一元一次方程
双曲线， 直线与 渐近线平行
相交1
抛物线， 直线与 对称轴平行 或重合
相交1
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0
相交 相切 相离
2
1
0
2. 弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。
y=kx+m与
x2 a2
y2 b2
1:
(1)若直线与渐近线平行, 则相交且只有一个交点.
(2)若直线与渐近线重合, 则相离即没有交点.
(3)若直线与渐近线相交,联立方程组
y=kx+m b2x2-a2y2=a2b2
消去y得: Ax2+Bx+C=0
故①△>0 相交 ②△=0 相切 ③△<0 相离
直线与双曲线位置关系种类
yy
y
y
oo FF xx
o
Fx
o
Fx
3.直线与抛物线的位置关系:
设直线与抛物线方程分别为: y=kx+m与y2=2px:
(1)若直线与对称轴平行或重合,则相交且只有一个交点.
(2)若直线与对称轴相交, 由
y=kx+m y2=2px 得: Ax2+Bx+C=0
故①△>0 相交 ②△=0 相切 ③△<0 相离
两式相减可得yx11－－yx22·yx11＋＋yx22＝－ba22，即 kAB＝－ba22xy00
.
x2 y2 类似的可得圆锥曲线为双曲线a2－b2＝1
时，有
kAB＝ab22yx00.
2px0
圆锥曲线为抛物线 y2＝2px(p＞0)时，有 kAB＝ y0 .
求椭圆
x2 9
y2 4
1 被点
Q(2,1)平分的弦 AB
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
3.直线与抛物线的位置关系:
设直线与抛物线方程分别为: y=kx+m与y2=2px:
(1)若直线与对称轴平行或重合,则相交且只有一个交点.
(2)若直线与对称轴相交, 由
y=kx+m y2=2px 得: Ax2+Bx+C=0
故①△>0 相交 ②△=0 相切 ③△<0 相离
(2)当 a≠0 时，消去 x，得a＋a 1y2－y－1＝0.
①若a＋a 1＝0，即 a＝－1，方程变为一元一次方程－y－1＝0，
方程组恰有一组解yx＝＝－－11.，
a＋1 ②若 a ≠0，即
a≠－1，令Δ＝0，
得 1＋4(a＋a 1)＝0，可解得 a＝－45，这时直线与曲线相切，只有一个公共点．
综上所述知，当
Y
O
X
种类:相离;相切; 相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点)
位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
X 相离:0个交点
Y
O
X
若直线与渐近线平行, 则相交且只有一个交点.
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）