第二章质点动力学习题解答

第2章 质点动力学2-1. 如附图所示，质量均为m 的两木块A 、B 分别固定在弹簧的两端，竖直的放在水平的支持面C 上。

若突然撤去支持面C ，问在撤去支持面瞬间，木块A 和B 的加速度为多大？解：在撤去支持面之前，A 受重力和弹簧压力平衡，F mg =弹，B 受支持面压力向上为2mg ，与重力和弹簧压力平衡，撤去支持面后，弹簧压力不变，则A ：平衡，0A a =；B ：不平衡，22B F mg a g =⇒=合。

2-2 判断下列说法是否正确？说明理由。

（1） 质点做圆周运动时收到的作用力中，指向圆心的力便是向心力，不指向圆心的力不是向心力。

（2） 质点做圆周运动时，所受的合外力一定指向圆心。

解：（1）不正确。

不指向圆心的力的分量可为向心力。

（2）不正确。

合外力为切向和法向的合成，而圆心力只是法向分量。

2-3 如附图所示，一根绳子悬挂着的物体在水平面内做匀速圆周运动（称为圆锥摆），有人在重力的方向上求合力，写出cos 0T G θ-=。

另有沿绳子拉力T 的方向求合力，写出cos 0T G θ-=。

显然两者不能同时成立，指出哪一个式子是错误的 ，为什么？解：cos 0T G θ-=正确，因物体在竖直方向上受力平衡，物体速度竖直分量为0，只在水平面内运动。

cos 0T G θ-=不正确，因沿T 方向，物体运动有分量，必须考虑其中的一部分提供向心力。

应为：2cos sin T G m r θωθ-=⋅。

2-4 已知一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比，即2kf x=-，k 为比例常数。

设质点在x A =时的速度为零，求4Ax =处的速度的大小。

解：由牛顿第二定律：F ma =，dvF mdt=。

寻求v 与x 的关系，换元： 2k dv dx dvm m v x dx dt dx-=⋅=⋅， 分离变量： 2k dxvdv m x=-⋅。

20v x A k dx vdv m x =-⎰⎰，2111()2k v m x A=- 当4Ax =时，6k v mA =。

2-5 如附图所示，一质量分布均匀的绳子，质量为M ，长度为L ，一端拴在转轴上，并以恒定角速度ω在水平面上旋转。

设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r 处绳中的张力()T r 。

解：22df dm r r dr ωωσ==22222222211()()222L LL r rrM M L r T df r dr r L r L Lωωσωσω-====-=⎰⎰2－6 如图所示,已知两物体A 、B 的质量均为m ＝3.0kg 物体A 以加速度a ＝1.0 m/ｓ2运动,求物体B 与桌面间的摩擦力．(滑轮与连接绳的质量不计)习题2－6图解：如图所示，分别对物体和滑轮作受力分析。

根据牛顿第二定律，运动方程为A A T A a m F g m =- （1）B B f T a m F F =-'1 （2）021=-'T T F F （3）因为m m m B A ==，T T F F '=，11T T F F '=，A B a a 2=，联立（1）（2）（3）式解得N 2.72)4(=+-=Af a m m mg F2－7 一质量为10 kg 的质点在力F 的作用下沿x 轴作直线运动,已知F ＝120t ＋40,式中F 的单位为N ,t 的单位的ｓ．在t ＝0 时,质点位于x ＝5.0 m 处,其速度v 0＝6.0 m/ｓ．求质点在任意时刻的速度和位置．解：质点作直线运动，根据牛顿第二定律，有tmt d d 40120v =+ BfF NF gm B Agm A 1T F A a Ba Aa T F 'T F 1T T分离变量并积分t t td )412(d 06.0⎰⎰+=v v 得6462++=t t v 由t x d d v =，两边积分t t t x txd )646(d 025.0⎰⎰++= 得562223+++=t t t x 2－8 质量为m 的跳水运动员,从10.0 m 高台上由静止跳下落入水中．高台距水面距离为h ．把跳水运动员视为质点,并略去空气阻力．运动员入水后垂直下沉,水对其阻力为b v 2 ,其中b 为一常量．若以水面上一点为坐标原点O ,竖直向下为Oy 轴. (1) 求运动员在水中的速率v 与y 的函数关系；(2) 如b /m ＝0.40m -1 ,跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v 减少到落水速率v 0 的1/10？ (假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等)习题2－8图解：（1）跳水运动员在入水前作自由落体运动，入水速度为gh 20=v ，入水后根据牛顿第二定律，运动方程为 ma F F mg =--阻浮 即 tmb d d 2vv =- 因y y t y t d d d d d d d d v v v v == ym b d d 2v v v =- 分离变量并积分⎰⎰=-v v 0v v d d 0yy mb得m by by gh --==e 2e 0v v（2）由上式代入已知条件得m 76.5ln 0=-=v v b m y 2－9 质量为45.0 kg 的物体,由地面以初速60.0 m/ｓ竖直向上发射,物体受到空气的阻力为F r ＝k v ,且k ＝0.03 N /( m/ｓ)．(1) 求物体发射到最大高度所需的时间． (2) 最大高度为多少？解：（1）取竖直向上为y 轴正方向，由牛顿第二定律，运动方程为tk mg d d v mv =-- 分离变量，并积分⎰⎰+-=0d d v vvk mg k m t t得 s 11.61ln 0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=mg k m t kv （2）由yt k mg d d d d v mv v mv ==-- 分离变量积分 v v v d 1d 000max⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==k mg k mg k m y y 得 m 1831ln 00max =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=v kv mg k mg k m y 2－10 如图所示,在光滑水平面上,放一质量为m ′的三棱柱A ,它的斜面的倾角为α ，现把一质量为m 的滑块B 放在三棱柱的光滑斜面上．试求：(1)三棱柱相对于地面的加速度；(2) 滑块相对于地面的加速度；(3) 滑块与三棱柱之间的正压力。

习题2－10图解：三棱柱A 和滑块B 受力如图，以三棱柱A 为参考系（非惯性系），应用牛顿第二定律，有1N mggm 'Aa 1NF '2N F OBa xθαyAa BAaBA A ma ma mg =+ααcos sin （1） 0sin cos 1=--ααA N ma F mg （2） 0sin 1='-'A Na m F α （3） 11N NF F =' （4） 以上四式联立解得 ααα2sin cos sin m m mg a A +'=αα2sin sin )(m m g m m a BA +'+'= αα21sin cos m m mg m F N +''=由加速度的矢量关系，得ααα2222sin sin )2(sin m m m m m m g a B +'+'+'= 与竖直向下方向的夹角⎪⎭⎫⎝⎛+''=-=αααθcot arctan sin cos arctan m m m a a a BA A BA2－11 跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。

求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。

解：由牛顿第二定律，运动方程为tk mg d d 2v mv =- 分离变量，并积分⎰⎰-=v v v02d d k mg k m t t得 vv -+=k mg k mg kg m t ln 21 即kgm tkg m tk mg 22e 1e 1--+-=v当∞→t 时，极限速率kmgT =v 。

2－12 一半径为R 的半球形碗，内表面光滑，碗口向上固定于桌面上。

一质量为m 的小球正以角速度ω 沿碗的内面在水平面上作匀速率圆周运动。

求小球的运动水平面距离碗底的高度。

解：小球受力如图所示，由牛顿第二定律，运动方程为2sin sin θωθmR F N =0cos =-mg F N θ 上两式消去F N ，求得 2cos ωθR g =小球运动水平面距离碗底的高度为)1()cos 1(2ωθR g R R h -=-=2－13在光滑的竖直圆环上，套有两个质量均为m 的小球A 和B ，并用轻而不易拉伸的绳子把两球联结起来。

两球由图示位置开始释放，试求此时绳上的张力。

习题2－13图解：小球A 和B 受力如图所示，由牛顿第二定律，运动方程为A ma T = 45sin 045cos =-- T mg F NAB ma T mg ='- 45sin 045cos ='- T F NBTmgmgF NAF NB a Ba A注意到T T ='，A B a a =，上四式联立求得mg T 22= mg F NA21= mg F NB 22=2－14 如图所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速率为v 1，下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前θ 角,速率为v 2,若车后有一长方形物体,问车速v 1为多大时,此物体正好不会被雨水淋湿？解：以雨滴为研究对象，地面为静止参考系，汽车为运动参考系。

如图，v 2为绝对速度，v 1 为牵连速度，雨滴相对于汽车速度v '2为相对速度。

要使物体不会被雨水淋湿，v '2的方向应满足hl arctan ≥α，由图可知θθαcos sin arctan221v v v -=即 hl ≥-θθcos sin 221v v v所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥θθsin cos 21h l v v2－15 一飞机驾驶员想往正北方向航行,而风以h /km 60的速度由东向西刮来,如果飞机的航速(在静止空气中的速率)为h /km 180,试问驾驶员应取什么航向? 飞机相对地面的速率为多少? 试用矢量图说明。

v 2v '2θv 1α解：以地面为参考系，飞机为研究对象，如图，飞机相对地面的速度v 为绝对速度，风的速度u 为牵连速度，飞机 的航速v '为相对速度。

由 v ＝u ＋ v ' 可得飞机相对地面的速度170km/hkm/h 601802222=-=-'=u v v4.1931arcsin=='=v u α，驾驶员应取向北偏东4.19的航向。