回归预测方法
回归分析预测方法
8.1回归分析预测法概述
(2)多元相关回归分析预测法，又称复相关回归分析预测法。 是用相关回归分析法对多个自变量与一个因变量之间的相关 关系进行分析，建立多元回归方程作为预测模型，对市场现 象进行预测的方法。这是一种根据多个自变量的变化数值预 测一个因变量数值的方法。例如，根据货币供应量和居民收 入水平预测居民消费总额;根据某种商品的价格、替代品的价 格、居民收入水平等预测该商品的销售量。就属于多元相关 回归分析预测法。
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8.1回归分析预测法概述
在市场经济活动中，任何市场现象的产生和变化，总是由一 定的原因引起，并对其他一些市场现象产生影响。换言之， 各种市场活动总是存在于一定的相互联系之中。市场现象之 间的相互关系可以分为两大类，即函数关系和相关关系。
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8.1回归分析预测法概述
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8.1回归分析预测法概述
【阅读材料】
市场的发展变化受到市场内部与外部多种因素的影响，市场 现象变化与各种影响因素变化之间存在着一定的依存关系， 如市场受社会生产总体状况的影；市场受产业结构、就业结 构及各种经济比例关系的影响；市场受积累和消费比例关系 的影响；市场受人口发展变化的影响；市场受居民收入水平 的影响；市场受商品价格的影响等。对这些客观存在的依存 关系可以用数量加以描述和分析研究。市场现象的这些依存 关系，有各种具体的表现。
函数关系，又称确定性关系，是指由某种确定的原因，必然 导致确定的结果的因果关系。即自变量的每一个确定的 x值， 因变量总有一个唯一确定的 y值与之相对应。所以，在人们 已经掌握市场现象之间的函数关系后，已知一个变量的值就 可以确定另一个变量的值。例如，在产品价格不变的条件下， 销售额可以由销售量来确定，在产品销售量不变的条件下， 销售额可以由产品价格来确定。设产品的价格为 p，销售量 为劣，销售额为 Y，则可以得到函数关系式为 y = px。在 数学、物理、化学等自然科学领域中存在大量函数关系，而 在市场现象中函数关系并不多见，大量存在的是相关关系。
预测回归的九大类算法
预测回归的九大类算法包括以下几种：1. 线性回归（Linear Regression）：它是预测中最简单也是最直观的方法。
通过找到一个线性方程来最小化预测值和实际值之间的平方差。
2. 逻辑回归（Logistic Regression）：虽然称为“回归”，但它实际上是一种分类算法。
逻辑回归通过Sigmoid函数将输入特征映射到0和1之间，用于估计某个事件发生的概率。
3. 多项式回归（Polynomial Regression）：它是线性回归的扩展，允许模型具有非线性的特征。
通过将特征转换为多项式形式，可以捕捉到数据中的非线性关系。
4. 决策树回归（Decision Tree Regression）：决策树是一种树形结构，用于对数据进行分类或回归。
在回归任务中，决策树通过预测连续值来预测结果。
5. 随机森林回归（Random Forest Regression）：随机森林是由多个决策树组成的集成学习方法。
每个树都独立地进行预测，最终结果是所有树预测值的平均值。
6. 支持向量机回归（Support Vector Regression, SVR）：SVR是一种监督学习算法，用于回归分析。
它的目标是找到一个最佳的超平面，以最大化数据点与超平面的距离。
7. 人工神经网络回归（Artificial Neural Network Regression）：人工神经网络是一种模仿人脑工作方式的计算模型，用于处理复杂的非线性关系。
8. 梯度提升机回归（Gradient Boosting Regression）：梯度提升机是一种强大的集成学习算法，通过逐步构建模型来最小化损失函数，提高预测准确性。
9. 弹性网回归（Elastic Net Regression）：弹性网是一种线性回归模型，它结合了L1和L2正则化，以解决数据集中的多重共线性问题。
这些算法各有优势和局限性，适用于不同类型的数据和问题。
在实际应用中，通常需要根据具体问题和对数据的理解来选择合适的算法。
第3章回归预测方法
第3章回归预测方法思考与练习（参考答案）1.简要论述相关分析与回归分析的区别与联系。
答：相关分析与回归分析的主要区别：（1）相关分析的任务是确定两个变量之间相关的方向和密切程度。
回归分析的任务是寻找因变量对自变量依赖关系的数学表达式。
（2）相关分析中，两个变量要求都是随机变量，并且不必区分自变量和因变量；而回归分析中自变量是普通变量，因变量是随机变量，并且必须明确哪个是因变量，哪些是自变量；（3）相关分析中两变量是对等的，改变两者的地位，并不影响相关系数的数值，只有一个相关系数。
而在回归分析中，改变两个变量的位置会得到两个不同的回归方程。
联系为：（1）相关分析是回归分析的基础和前提。
只有在相关分析确定了变量之间存在一定相关关系的基础上建立的回归方程才有意义。
（2）回归分析是相关分析的继续和深化。
只有建立了回归方程才能表明变量之间的依赖关系，并进一步进行预测。
2.某行业8个企业的产品销售额和销售利润资料如下：根据上述统计数据:（1）计算产品销售额与利润额的相关系数；r ，说明销售额与利润额高度相关。
解：应用Excel软件数据分析功能求得相关系数0.9934（2）建立以销售利润为因变量的一元线性回归模型，并对回归模型进行显著性检验（取α＝）；解：应用Excel 软件数据分析功能求得回归方程的参数为： 7.273,0.074a b =-=据此，建立的线性回归方程为 ˆ7.2730.074Yx =-+ ① 模型拟合优度的检验由于相关系数0.9934r =，所以模型的拟合度高。
② 回归方程的显著性检验应用Excel 软件数据分析功能得0.05ˆ=450.167(1,6) 5.99F F >=,说明在α=水平下回归效果显著.③ 回归系数的显著性检验0.025ˆ=21.22(6) 2.447tt >=,说明在α=水平下回归效果显著. 实际上，一元线性回归模型由于自变量只有一个，因此回归方程的显著性检验与回归系数b 的显著性检验是等价的。
回归预测
回归预测法回归预测法回归预测法是指根据预测的相关性原则，找出影响预测目标的各因素，并用数学方法找出这些因素与预测目标之间的函数关系的近似表达，再利用样本数据对其模型估计参数及对模型进行误差检验，一旦模型确定，就可利用模型，根据因素的变化值进行预测。
回归预测法一元线性回归预测法(最小二乘法)公式：Y = a + b XX----自变量Y----因变量或预测量a,b----回归系数根据已有的历史数据Xi Yi i = 1,2,3,...n ( n 为实际数据点数目)，求出回归系数 a , b为了简化计算，令 ( X1 + X2 + ... + Xn ) = 0，可以得出a , b 的计算公式如下：a = ( Y1 + Y2 +... + Yn ) / nb = ( X1 Y1 + X2 Y2 + ... + Xn Yn ) / ( X12 + X22 + ... + Xn2 )回归分析预测法的概念回归分析预测法，是在分析市场现象自变量和因变量之间相关关系的基础上，建立变量之间的回归方程，并将回归方程作为预测模型，根据自变量在预测期的数量变化来预测因变量关系大多表现为相关关系，因此，回归分析预测法是一种重要的市场预测方法，当我们在对市场现象未来发展状况和水平进行预测时，如果能将影响市场预测对象的主要因素找到，并且能够取得其数量资料，就可以采用回归分析预测法进行预测。
它是一种具体的、行之有效的、实用价值很高的常用市场预测方法。
回归分析预测法的分类回归分析预测法有多种类型。
依据相关关系中自变量的个数不同分类，可分为一元回归分析预测法和多元回归分析预测法。
在一元回归分析预测法中，自变量只有一个，而在多元回归分析预测法中，自变量有两个以上。
依据自变量和因变量之间的相关关系不同，可分为线性回归预测和非线性回归预测。
回归分析预测法的步骤1．根据预测目标，确定自变量和因变量明确预测的具体目标，也就确定了因变量。
如预测具体目标是下一年度的销售量，那么销售量Y就是因变量。
回归预测法的名词解释
回归预测法的名词解释回归预测法是一种统计学方法，用于根据一组已知的自变量和因变量的数据，建立一个数学模型，以预测未知的因变量值。
该方法基于一个核心假设，即因变量与自变量之间存在着某种线性关系。
回归预测法的基本步骤包括确定问题的目标、收集数据、建立模型、估计参数、进行模型诊断、进行预测和验证模型。
其中，主要涉及到以下名词的解释：1. 自变量：自变量是一些对因变量产生影响的变量，也被称为解释变量或预测变量。
在回归预测法中，我们通过收集和测量这些自变量的值来建立预测模型。
2. 因变量：因变量是我们要预测的变量，通常是我们感兴趣的主要变量。
在回归预测法中，我们使用自变量的值来预测因变量的值。
3. 数据收集：数据收集是回归预测法的第一步。
它包括确定需要收集的自变量和因变量的类型、选择恰当的数据来源、设计合适的数据收集方法等。
4. 建立模型：建立模型是回归预测法的核心步骤。
它涉及到选择适合的回归模型类型（如线性回归、多项式回归等）、确定模型的形式和参数。
5. 估计参数：估计参数是指通过使用回归模型，根据已有数据来估计模型中的未知参数。
常用的估计方法有最小二乘法、最大似然估计等。
6. 模型诊断：模型诊断是评估回归模型的有效性和质量的过程。
它包括对模型拟合优度的评估、对残差的分析以及对模型假设的检验等。
7. 预测：在建立和验证回归模型之后，我们可以使用该模型进行预测。
预测是根据已知自变量的值，利用回归模型估计因变量的值。
8. 验证模型：验证模型是检验已建立的回归模型在新样本上的预测能力和适应性。
它可以使用交叉验证等方法，将已有数据划分为训练集和测试集，并评估模型在测试集上的表现。
9. 线性关系：回归预测法中的核心假设是自变量和因变量之间存在线性关系。
这意味着在建立模型时，我们假设因变量可以通过自变量的线性组合来解释。
10. 多重共线性：多重共线性是指在回归模型中，自变量之间存在高度相关性。
它可能导致模型不稳定，估计参数的误差增大，并降低模型的解释能力。
回归预测的知识与常用方法
n2
n (x x)2
x0为给定值。
9.2.4 一元线性回归预测案例研究（1）
例：x、y两变量的观察数据如下表所示，根据数据进行回归预测。
数据序号
x
1
1.5
2
1.8
3
2.4
4
3.0
5
3.5
6
3.9
7
4.4
8
4.8
9
5.0
合计
30.3
y
x2
y2
xy
4.8
2.25
23.04
7.20
5.7
3.24
32.49 10.26
9.2.4 一元线性回归预测案例研究（5）
根据上表数据以及t统计量的计算公式有：
S b
( y y ) 2
(n 2) (x x)2
2.03 0.1488 (9 2) 13 .1
t b 2.9303 19 .692 S b 0.1488
取 α 0.05
t (n 2) t 0.025 (7 ) 2.365
由于预测值与实际值之间存在有不确定的偏差，因而需 要确定预测值的有效区间，即置信区间。
一元线性回归预测的置信区间有下述表达式确定：
置信区 间:
[ y t (n 2) • S ( y) ，y t (n 2) • S ( y)]
2
2
其中
S ( y)
( y y ) 2 •
1 1
(x0 x)2
t检验
t检验是利用t统计量来检验回归参数a和b是否具有统计意义。
9.2.2 预测模型检验（相关系数检验）
相关系数的计算公式是：
r
( x x )( y y )
回归预测
回归预测第一节 基本原理及分类情况现在一般用回归两个字来表明一种现象伴随着另一种现象的变化而发生变化的现象。
根据某些影响因素的变动，来推测所研究对象的变化方向和程度，就是回归预测。
它是在定性研究的基础上，对实际调查的定量资料进行分析，找出事物发展的内部因素，确定自变量与因变量以及它们之间的相互关系，得到一个回归方程，然后利用回归方程进行预测。
它是一种利用事物发展变化的因果关系来预测未来发展趋势的一种方法，所以又称之为因果关系预测。
回归问题可以分为只有一个解释变量情况的一元回归问题和多个解释变量情况的多元回归问题。
又可以根据自变量和因变量之间的关系来进行分类，如果自变量和因变量是线性关系则为线性回归问题，否则为非线性回归问题。
这是两种不同的分类方法。
一元回归问题又可再详细的分为一元线性回归法、一元对数回归法、一元幂函数回归法、一元双曲线回归法、一元指数回归法，等。
其中后四种方法属于非线性的回归问题。
多元回归问题我们主要介绍多元线性回归和多元线性加权回归两种，同时对于多元线性回归根据选择自变量的不同，又可以分为强行进入法、向前选择法、向后剔除法和逐步回归法。
第二节 一元回归预测 一 概述一元回归预测也称单因素回归预测。
社会经济现象的发展变化是受许多因素影响的，任何一种经济现象的数量表现都与多种因素有关。
如果影响预测对象的诸多因素中有一个因素是基本的、起决定性的作用，那么就可以考虑应用一元回归模型来预测对象的发展变化规律，进而预测其未来发展趋势。
这就需要对预测对象的影响因素进行比较认真的、全面的分析，从许多影响因素中选择一个最重要的、影响最大的、起决定性作用的因素作为自变量，如果随便采用任意一个因素作为自变量，就可能使预测结果准确性降低。
一元回归预测分为一元线性回归预测和一元非线性回归预测两类。
一元非线性回归主要包括：一元对数回归、一元幂函数回归、一元双曲线回归、一元指数回归、一元倒指数回归、一元S 型回归和一元多次回归，其中一元多次回归最常用的是一元二次回归、一元三次回归和一元四次回归。
回归预测方法
回归预测方法嘿，咱今儿就来唠唠回归预测方法！你说这回归预测啊，就像是给未来画画儿，用已知的线条勾勒出可能的模样。
比如说吧，你想想看，天气预测不就是一种回归预测嘛！根据以往的天气数据，来推测明天会不会下雨，气温大概是多少。
这就好比是在走一条有点模糊的路，靠着过去的脚印来判断接下来该往哪儿走。
那回归预测方法到底是咋回事儿呢？简单说，就是找规律！从一堆数据里找出那些隐藏的关联。
就好像是在一堆拼图碎片里，努力拼凑出一幅完整的画面。
你得有耐心，还得有那么点儿敏锐的洞察力。
咱举个例子啊，比如说房价。
通过过去的房价数据、地段、周边设施等等因素，来预测未来房价的走势。
这可不是瞎猜哦，那得有真本事，得能从那些密密麻麻的数据里看出门道来。
回归预测方法可不是一成不变的哦，就像人的心情一样，有时阳光灿烂，有时也会阴云密布。
不同的情况就得用不同的方法。
这就好比你做饭，不同的菜得用不同的火候和调料，不然可就做不出美味来。
而且啊，这可不是随随便便就能做好的事儿。
你得懂数学，还得懂点统计学，不然那些数据摆在你面前，不就跟看天书似的。
但别害怕呀，只要肯学，啥都能学会。
你想想，如果能准确地预测未来，那得多厉害啊！就像有了一双能穿透迷雾的眼睛，能提前看到前方的路。
这多让人兴奋啊！那回归预测方法在生活中的应用可多了去了。
比如企业预测销售量，根据以往的销售数据来安排生产，免得生产多了卖不出去，或者生产少了不够卖。
这多重要啊，关系到企业的生死存亡呢！还有股票市场，那些高手不就是靠着对数据的分析和回归预测来买卖股票的嘛。
要是能准确预测股票的走势，那可就赚大发了！但这可不是一般人能做到的，得有真功夫才行。
咱普通人也能用到回归预测方法呀，比如说规划自己的财务。
根据自己过去的收入和支出，来预测未来的财务状况，好提前做准备。
总之呢，回归预测方法就像是一把钥匙，能帮我们打开未来的大门。
虽然这把钥匙不是那么容易拿到手，但只要我们努力，就一定能掌握它。
你说是不是？难道不是吗？所以啊，大家都好好去研究研究这回归预测方法吧，说不定会给你带来意想不到的惊喜呢！。
预测回归模型算法
预测回归模型算法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：预测回归模型算法是机器学习领域中常用的一种算法，用于预测连续型变量的输出值。
在许多实际问题中，我们需要根据已知的数据来预测未知的数值，比如房价预测、股票价格预测等。
预测回归模型算法通过学习数据之间的关系，建立一个数学模型来预测未知的输出值。
本文将介绍几种常用的预测回归模型算法，包括线性回归、岭回归、lasso回归、支持向量回归等。
我们来介绍线性回归模型。
线性回归是最简单的回归模型之一，它假设特征与输出值之间存在着线性关系。
线性回归的数学模型可以表示为：Y = W*X + b，其中Y表示输出值，X表示输入特征，W表示权重，b表示偏置。
线性回归模型通过最小化预测值与真实值之间的差距来学习权重和偏置的数值，这可以通过最小二乘法来实现。
线性回归在一些简单的问题上表现很好，但是在复杂的问题中往往表现不佳。
接下来，我们介绍岭回归算法。
岭回归是一种正则化的线性回归算法，它通过在损失函数中添加一个正则化项来防止过拟合。
岭回归的数学模型可以表示为：Y = W*X + b + α||W||^2，其中α表示正则化参数，||W||表示权重的L2范数。
通过调节正则化参数α的数值，我们可以控制模型的复杂度，进而提高模型的泛化能力。
岭回归在处理多重共线性的数据时表现很好。
另一种常用的回归模型是lasso回归算法。
lasso回归也是一种正则化的线性回归算法，与岭回归相比，lasso回归使用L1范数作为正则化项：Y = W*X + b + α||W||。
lasso回归在特征选择方面表现很好，它可以将一些无用的特征的权重置为0，从而达到特征选择的效果。
lasso回归在一些高维数据集上表现很好。
除了线性模型，还有一种非线性的回归模型是支持向量回归(SVR)。
SVR是一种基于支持向量机(SVM)的回归算法，它通过找到满足一定间隔约束的支持向量来拟合数据。
SVR的数学模型可以表示为：Y =Σαi*K(x, xi) + b，其中αi表示支持向量的系数，K(x, xi)表示核函数的值。
三种回归分析预测法
回归分析预测法回归分析预测法是通过研究分析一个应变量对一个或多个自变量的依赖关系，从而通过自变量的已知或设定值来估计和预测应变量均值的一种预测方法。
回归分析预测法又可分成线性回归分析法、非线性回归分析法、虚拟变量回归预测法三种。
(一)线性回归分析法的运用线性回归预测法是指一个或一个以上自变量和应变量之间具有线性关系(一个自变量时为一元线性回归，一个以上自变量时为多元线性回归)，配合线性回归模型，根据自变量的变动来预测应变量平均发展趋势的方法。
散点圈分析: 自变量和因变量具备线性关系最小二乘法来估计模型的回归系数回归系数的估计值：(相关系数R可根据最小二乘原理及平均数的数学性质得到：估计标准差：预测区间：a为显著水平，n-2为自由度，为y在x o的估计值。
2.预测计算根据上面介绍的预测模型，下面就先计算第一季度的预测销售量。
(X为时间，Y为销售量)。
n=16；；；；；根据公式(5)、(6)、(7)、(8)、(9)有：(x i = 17)i0.025(14) = 2.145(二)非线性回归预测法的运用非线性回归预测法是指自变量与因变量之间的关系不是线性的，而是某种非线性关系时的回归预测法。
非线性回归预测法的回归模型常见的有以下几种：双曲线模型、二次曲线模型、对数模型、三角函数模型、指数模型、幂函数模型、罗吉斯曲线模型、修正指数增长模型。
散点图分析发现，抛物线形状，可用非线性回归的二次曲线模型来预测。
1.预测模型非线性回归二次曲线模型为：(10)令,则模型变化为：(11)上式的矩阵形式为：Y = XB + ε(12)用最小二乘法作参数估计，可设观察值与模型估计值的残差为E，则，根据小二乘法要求有：=最小值，(13)即：=最小值由极值原理，根据矩阵求导法，对B求导，并令其等于零，得：整理得回归系数向量B的估计值为：(14)二次曲线回归中最常用的检验是R检验和F检验，公式如下：(15)(16)在实际工作中，R的计算可用以下简捷公式：(17) 估计标准误差为：(18)预测区间为：·S (n<30)(19)·S (n>30)(20)2.预测计算根据上面介绍的预测模型，下面就先进行XT100-W的预测计算。
一元线性回归预测法
利用回归预测模型进行预测
可以分为：点预测和置信区间预测法 1、点预测法：将自变量取值带入回归预测 模型求出因变量的预测值。 2、置信区间预测法：估计一个范围，并确 定该范围出现的概率。置信区间的大小的 影响的因素：a、因变量估计值；b、回归 标准差；C、概率度t；
模型分析
一元线性回归分析预测法，是根据自变量x和因变量Y的相 关关系，建立x与Y的线性回归方程进行预测的方法。由于 市场现象一般是受多种因素的影响，而并不是仅仅受一个 因素的影响。所以应用一元线性回归分析预测法，必须对 影响市场现象的多种因素做全面分析。只有当诸多的影响 因素中，确实存在一个对因变量影响作用明显高于其他因 素的变量，才能将它作为自变量，应用一元相关回归分析 市场预测法进行预测。
a. Dependent Variable: 建 筑 及 工 况 用 地
此表给出的是原来因变量的数值（第三列） 在相同自变量取值情况下，按线性回归方程预测值（第四列 释义 释义
概念
一元线性回归预测法 是分析一个因变量与 一个自变量之间 的线性关系的预测方法。 常用统计指标： 平均数、增减量、平均增减量
基本思想
确定直线的方法是最小二乘法 最小二乘法的基本思想：最有代表性的直 线应该是直线到各点的距离最近。然后用 这条直线进行预测。
模型的建立
举例（玉溪；单位：万亩）
回归变量选择
Variables Entered/Removed b Model 1 Variables Entered 耕 地 a Variables Removed . Method Enter
a. All requested variables entered. b. Dependent Variable: 建 筑 及 工 况 用 地
回归分析预测法
一元线性回归样本函数
ˆ b ˆX ˆ b Y i 0 1 i ˆ 为E（Y ）的估计式； 式中 , Y
i i
ˆ 为b 的估计式； b 0 0 ˆ 为b 的估计式。 b
1 1
回归模型
对于样本中每一个与Xi相对的观测值Yi与由样 本回归函数得到的估计值有一随机偏差，这个 偏差称为随机误差，记为ei。
如此以来，高的伸进了天，低的缩入了地。他百思 不得其解，同时又发现某人种的平均身高是相当稳 定的。最后得到结论：儿子们的身高回复于全体男 子的平均身高，即“回归”——见1889年F.Gallton 的论文《普用回归定律》。 后人将此种方法普遍用于寻找变量之间的规律
二、回归分析与相关分析
相关分析：是研究两个或两个以上随机
2 2222R ＝1 2
n2
(1 R ）
2
3、变量的显著性检验（t检验）
主要对多元线性回归模型而言，在方程的总体 线性关系呈显著性时，并不能说明每个解释变 量对被解释变量的影响是显著的，必须对每个 解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解 释变量保留在模型中。其检验的思路与方程显 著性检验相似，用以检验的方法主要有三种： F检验、t检验、z检验。它们区别于方程显著性 检验在于构造统计量不同，其中应用最为普遍 的为t检验。
意义：拟合优度越大，自变量对因变量的解释程度越 高，自变量引起的变动占总变动的百分比高。观察点 在回归直线附近越密集。 取值范围：0-1
修正的
R ，记为R
2
2
在应用过程中，如果在模型中增加一个解释变 量，模型的解释功能增强了，回归平方和增大 R ，记为R R R 2 也增大了。从而给人一个错觉：要使得模 了， 型拟合得好，就必须增加解释变量，但是在样 本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得 自由度减少，于是实际应用中引进修正的决定 2 R 系数 ,具体表达式为（其中 n是样本容量，n-k n 1 R ＝1 (1 R ） n2 ＝n-2为残差平方和的自由度， n-1为总体平方和 的自由度）： n 1
回归分析预测方法
.
回归分析预测法
一、回归预测的一般步骤 （一）回归分析预测法的具体步骤 1、确定预测目标和影响因素 2、进行相关分析
r (x x )( y y) (x x)2 (y y)2
2
.
相关系数的取值范围为：，-1≤r≤1即 ≤r 1。当变量与呈线性相关时， 越r接近l， 表明变量间的线性相关程度愈高； 越r 接近0，表明变量间的线性相关程度愈 低。r>0表明为正相关，r<0表明为负相 关。
5
.
5、进行实际预测 运用通过检验的回归方程，将需要预测的自变量x代入方程并计 算，即可取得所求的预测值。 预测通常有两种情况，一是点预测，就是所求的预测值为一个 数值；另一是区间预测，所求的预测值有一个数值范围。通常 用正态分布的原理测算其估计标准误差，求得预测值的置信区 间。
6
.
二、一元线性回归预测方法 （一）一元线性回归预测的含义 （二）一元线性回归预测的实例
3
.
3、建立回归预测模型 线性回归方程的一般表达式为：
y a b1x1 b2 x2 bn xn
当线性回归只有一个自变量与一个因变量间的回归，称为 一元线性回归或简单线性回归、直线回归，可简写为：
y a bx
4
.
4、回归预测模型的检验 建立回归方程的根本目的在于预测，将方程用于预测之 前需要检验回归方程的拟合优度和回归参数的显著性， 只有通过了有关的检验后，回归方程方可用于经济预测， 常用的检验方法有相关系数检验、F检验、t检验和D—w 检验等。
多元线性回归预测法
xi2 yi ˆ4
xi3 yi
(4-33) (4-34)
第二步，根据回归模型旳自由度n-p和给定旳明显性水平值
查有关系数临界表，得 R n p 值
第三步，判断。若 R R n p ，表白变量之间线性有关明显，
检验经过，这时回归模型可用来进行预测。若
，
表白R变量R之n间 线p性有关关系不明显，检验通但是，这时旳回归
二元线性回归方程为
yˆi ˆ0 ˆ1xi1 ˆ2 xi2 , ( p 2)
此时
Bˆ
ˆ0 ˆ1
,
ˆ2
X
1
1
1
x11 x21
xn1
x12
x22
xn
2
得出 ˆ0, ˆ1, ˆ2 旳计算公式如下：
A X'X
n
n
i 1 n
xi1
i1
xi 2
n
xi1
i 1 n
xi21
第三步，判断。若F F p, n p 1 ，则以为回归方
程有明显意义，也就是p1=p2=…=pp=0不成立；反之，则以 为回归方程不明显.
F统计量与可决系数，有关系数有下列关系：
F
R2 1 R2
•
n p p 1
(4-39)
R
p 1F n p p 1F
(4-40)
4. 回归系数旳明显性检验——t检验
随机误差项相互独立旳假设不能成立，回归模型存在有关。
在实际预测中，产生自有关旳原因可能是：
（i）忽视了某些主要旳影响要素。 （ii）错误地选用了回归模型旳数学形式。
（iii）随机误差项 i 本身确实是有关旳。
合适旳补救方法是：
（i）把略去旳主要影响原因引入回归模型中来。 （ii）重新选择合适旳回归模型形式。 （iii）增长样本容量，变化数据旳精确性。
回归分析预测方法
回归分析预测方法回归分析是一种统计学方法，用于研究自变量和因变量之间的关系，并使用这种关系来预测未来的观测数据。
在回归分析中，自变量被用来解释因变量的变化，并且可以使用回归方程来预测因变量的值。
回归分析有多种类型，例如简单线性回归、多元线性回归、多项式回归以及非线性回归等。
其中，简单线性回归是最简单且最常用的回归模型之一、它假设自变量和因变量之间存在线性关系，可以用一条直线来拟合数据。
回归方程的形式可以表示为：Y=β0+β1X+ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
多元线性回归是简单线性回归的扩展，它允许多个自变量来预测因变量。
回归方程的形式可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε，其中n是自变量的数量。
多项式回归适用于自变量和因变量之间的关系非线性的情况。
通过将自变量的幂次添加到回归方程中，可以通过拟合曲线来逼近数据。
非线性回归适用于因变量和自变量之间的关系不能通过简单的线性模型来解释的情况。
这种情况下，可以使用其他函数来拟合数据，例如指数函数、对数函数、幂函数等。
在进行回归分析之前，需要满足一些假设。
首先，自变量和因变量之间需要存在一定的关系。
其次，误差项需要满足正态分布和独立性的假设。
最后，自变量之间应该有一定的独立性，避免多重共线性的问题。
回归分析的步骤通常包括数据收集、数据预处理、模型建立、模型评估和模型使用等。
在数据收集和预处理阶段，需要收集并整理自变量和因变量的数据，并对数据进行处理，如缺失值处理和异常值处理等。
在模型建立阶段，需要根据问题的背景和数据的特点选择适当的回归模型，并使用统计软件进行参数估计。
在模型评估阶段，需要对模型进行检验，如检验回归系数的显著性、残差分析和模型的拟合程度等。
最后，在模型使用阶段，可以使用回归方程来预测未来的观测数据，或者进行因素分析和结果解释等。
回归分析预测方法的应用广泛，并且被广泛应用于各个领域，如经济学、金融学、社会科学以及医学等。
回归预测法
回归的现代解释
• 回归分析是关于研究一个应（因）变量对 另一个或几个解释变量（自变量）的）依 赖关系，其用意在于通过后者的己知或设 定值，去估计和〔或〕预测前者的（总体） 均值
变量间的函数关系
• 函数关系是一一对应的确定关系 • 设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，
并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依 确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记 为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量。 • 各观测点(x,y)落在一条线上.
1. 回归平方和占总离差平方和的比例
n
r 2
1
yi yˆi 2
i 1 n
yi yHale Waihona Puke 2U S总1
Q S总
i 1
2. 反映回归直线的拟合程度 3. 取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间 4. r2 1，说明回归方程拟合的越好；r20，说明
回归方程拟合的越差
5. 判定系数等于相关系数的平方，即r2＝(r)2
• lm.sol<-lm(Y~X1+X2,data=blood) #进行回归分析 • summary(lm.sol) #汇总分析结果 • Y=-62.96+2.136X1+0.4002X2. • 预测：X=(80, 40)时，相应Y的概率为0. 95的预测区间. • new<-data.frame(X1=c(80,75),X2=c(40,38)) • lm.pred<-predict(lm.sol,new,interval="prediction",level=0.95) • lm.pred
i 1
i 1
回归分析预测方法
3
3.1 引言—回归分析和相关分析
（2）相关关系。相关关系反映的是客观事物之间的非严格、 不确定的线性依存关系。 特点： A. 客观事物之间在数量上确实存在一定的内在联系。表现 在一个变量发生数量上的变化，要影响另一个变量也相应 地发生数量上的变化。例如劳动生产率的提高会降低成本 等等。 B. 客观事物之间的数量依存关系不是确定的，具有一定的 随机性。表现在当一个或几个相互联系的变量取一定数值 时，与之对应的另一个变量可以取若干个不同的数值。这 种关系虽然不确定，但因变量总是遵循一定规律围绕这些 数值的平均数上下波动。
整理可得
na b xi yi
a xi b xi2 xi yi
20
经济预测与决策方法讲义
3.2 一元线性回归预测法—参数估计
回归参数的估计值为：
b
n xi y i xi y i
i 1
n
n
n
n xi2 ( xi ) 2
i 1 i 1
n
i 1 n
22
经济预测与决策方法讲义
3.2 一元线性回归预测法—相关系数
离差平方和的分解 在一元线性回归模型中，观测值 yi 的数值会发生波动，这种波动称为 变差。变差产生的原因如下： （1）受自变量变动的影响，即 x 取值不同对 y 的影响； （2）受其他因素（包括观测和实验中产生的误差）的影响。 对每一个观测值， 变差的大小可以用该观测值 yi 与其算术平均数 y 的离差 yi － y 来表示，而全部 n 次观测值的总变差可由这些离差的平 方和来表示：
联系
是研究客观事物之间相互依存关系的两个不可分割 的方面。 一般先进行相关分析，由相关系数的大小决定是否 需要进行回归分析。 相关分析中，研究的是变量之间的相互依存关系，变 量间的关系是并列的，对等的，不必确定哪个是自变 量，哪个是因变量； 回归分析中，要确定哪个是自变量，哪个是因变量。 相关分析中，所涉及的变量都可以是随机变量，各自接受随机因素的 影响；回归分析中，自变量是可以准确测量或控制的非随机变量，因 变量的取值事先不能确定，是随机变量。
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第3章回归预测方法思考与练习（参考答案）1.简要论述相关分析与回归分析的区别与联系。
答：相关分析与回归分析的主要区别：（1）相关分析的任务是确定两个变量之间相关的方向和密切程度。
回归分析的任务是寻找因变量对自变量依赖关系的数学表达式。
（2）相关分析中，两个变量要求都是随机变量，并且不必区分自变量和因变量；而回归分析中自变量是普通变量，因变量是随机变量，并且必须明确哪个是因变量，哪些是自变量；（3）相关分析中两变量是对等的，改变两者的地位，并不影响相关系数的数值，只有一个相关系数。
而在回归分析中，改变两个变量的位置会得到两个不同的回归方程。
联系为：（1）相关分析是回归分析的基础和前提。
只有在相关分析确定了变量之间存在一定相关关系的基础上建立的回归方程才有意义。
（2）回归分析是相关分析的继续和深化。
只有建立了回归方程才能表明变量之间的依赖关系，并进一步进行预测。
2.某行业8个企业的产品销售额和销售利润资料如下：（1）计算产品销售额与利润额的相关系数；r=，说明销售额与利润额高度相关。
解：应用Excel软件数据分析功能求得相关系数0.9934（2）建立以销售利润为因变量的一元线性回归模型，并对回归模型进行显着性检验（取α＝）；解：应用Excel 软件数据分析功能求得回归方程的参数为： 7.273,0.074a b =-=据此，建立的线性回归方程为 ˆ7.2730.074Yx =-+ ① 模型拟合优度的检验由于相关系数0.9934r =，所以模型的拟合度高。
② 回归方程的显着性检验应用Excel 软件数据分析功能得0.05ˆ=450.167(1,6) 5.99F F >=,说明在α=水平下回归效果显着.③ 回归系数的显着性检验0.025ˆ=21.22(6) 2.447tt >=,说明在α=水平下回归效果显着. 实际上，一元线性回归模型由于自变量只有一个，因此回归方程的显着性检验与回归系数b 的显着性检验是等价的。
（3）若企业产品销售额为500万元，试预测其销售利润。
根据建立的线性回归方程 ˆ7.2730.074Y x =-+，当销售额500x =时，销售利润ˆ29.73Y=万元。
3.某公司下属企业的设备能力和劳动生产率的统计资料如下：企业代号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设备能力 (千瓦/人)劳动生产率(万元/人)该公司现计划新建一家企业，设备能力为千瓦/人，试预测其劳动生产率，并求出其95%的置信区间。
解：绘制散点图如下：散点图近似一条直线，计算设备能力和劳动生产率的相关系数为，故可以采用线性回归模型进行拟合。
应用Excel 软件数据分析功能求得回归方程的参数为： 3.115, 1.43a b ==据此，建立的线性回归方程为 ˆ 3.115+1.43Yx =，对模型进行检验如下： （1）模型拟合优度的检验由于相关系数0.9806r =，所以模型的拟合度高。
（2）回归方程的显着性检验应用Excel 软件数据分析功能得0.05ˆ=300.34(1,12) 4.75F F >=,说明在α=水平下回归效果显着.（3）回归系数的显着性检验0.025ˆ=17.33(12) 2.1788tt >=,说明在α=水平下回归效果显着. 当设备能力为千瓦/人时根据建立的线性回归模型ˆ 3.115+1.43Y x = ，可得劳动生产率ˆ13.41Y=。
其95%的置信区间为[,] 4．某市1977～1988 年主要百货商店营业额、在业人员总收入、当年竣工住宅面积的统计数据如下：根据上述统计数据:（1）建立多元线性回归模型；解：应用Excel 软件数据分析功能求得多元线性回归模型的参数为：0120.2233,0.1.0.077βββ===据此，建立的线性回归方程为 12ˆ0.22330.10.077Y x x =++ （2）对回归模型进行拟合优度检验、F 检验、t 检验和ＤＷ检验（取α=）解：①拟合度检验应用Excel 软件计算得0.9808R =,接近于1，说明模型的拟合程度越高 ②F 检验应用Excel 软件计算得ˆ113.88F =,查表得0.05(2,9) 4.26F =，故0.05ˆ(2,9)F F > 说明在α=水平下回归效果显着。
③t 检验应用Excel 软件计算得12ˆˆ5.188,0.849tt ==，查表得0.025(9) 2.262t =，故10.025ˆ(9)t t >，说明在α=水平下1β显着不为0，自变量1x 对ˆY有显着影响，而20.025ˆ(9)t t <，故接受假设20β=，说明2x 对ˆY无显着影响。
④ DW 检验通过计算得21221()55.31DW 2.7919.84nii i nii e ee-==-===∑∑ 当0.05,2,12a m n ===时，查DW 检验表，因DW 检验表中，样本容量最低是15，故取：0.82, 1.75L U d d ==，则有4DW <4U L d d -<-之间。
由此可以得出检验无结论。
检验结果表明，不能判断回归模型是否存在自相关。
（3）假定该市在业人员总收入、当年竣工住宅面积在1988 年的基础上分别增长15%、17%，请对该市1989 年主要百货商店营业额作区间估计（取α=）。
解：回归方程为12ˆ0.22330.10.077Y x x =++。
但由于2x 对Y 无显着影响，故用方程1ˆ0.22330.1Y x =+做回归预测： 1ˆ0.22330.10.22330.1248.5 1.1528.8Y x =+=+⨯⨯= 预测区间为： 200ˆ[(1)]Y t n m S ε±--，即0.025[28.8(9) 1.4848]t ±⨯，故当 1989年在业人员总收入为 千万元时，在α=显着性水平上，营业额的区间估计为：[25.44,32.16] 千万元。
5.下表是某百货商店某年的商品销售额和商品流通费率数据，根据表中数据： (注：题中的商品销售额为分组数据，自变量取值可用其组中值)6-9 9-12 12-15 15-18 18-21 21-24 24-27（1）拟合适当的曲线模型；解：绘制散点如下根据散点图的形状，与双曲线函数接近，故采用双曲线模型。
设双曲线回归预测方程为：011Y xββ=+ 令1x x'=，则方程可转换为：01Y x ββ'=+ 应用Excel 软件数据分析功能求得参数为： 012.225,7.621ββ==，由此可得双曲线回归方程为：12.2257.621Y x=+（2）对模型进行显着性检验；（取α=）由于上述双曲线回归方程是通过对其变换后的线性方程01Y x ββ'=+而得到的，因此这里显着性检验主要对方程01Y x ββ'=+进行检验，包括：①模型拟合优度的检验相关系数0.9673r =，所以模型的拟合度高。
②回归方程的显着性检验应用Excel 软件数据分析功能得0.05ˆ=101.92(1,7) 5.59F F >=,说明在α=水平下回归效果显着.③回归系数的显着性检验0.025ˆ=12.079(7) 2.365tt >=,说明在α=水平下回归效果显着. 通过以上检验，说明回归预测方程12.2257.621Y x=+的检验是显着的（3）当商品销售额为13万元时，预测商品流通费率:当商品销售额为13万元时，预测商品流通费率为1ˆ 2.2257.621 2.811(%)13y=+⨯= 6．已知下表中(,)i i x Y 为某种产品销售额的时间序列数据，其中ix 为时间序号，i Y为产品销售额（单位：万元）。
试利用龚帕兹生长曲线预测2005年该产品的销售额。
解：将上述数据分为三组： 1996-1998为第一组，1999-2001为第二组，2002-2004为第三组；然后求各组的i Y 值的对数和：311ln 5.3984i i S Y ===∑，624ln 6.3064i i S Y ===∑， 937ln 6.7359i i S Y ===∑利用公式，求得：33221 6.7359 6.30640.42950.47116.3064 5.39480.9116S S b S S --====--，所以0.7781b =2122()(1)(6.3064 5.3948)(0.77811)ln 0.9268(1)(0.47111)0.7781r S S b a b b ---⨯-===--⨯-⨯所以0.3958a =1(1)0.47111ln 5.39480.7781(0.9268)10.77811ln 2.3713r b b S a b K r -⋅--⋅-⨯⨯---=== 所以10.71k =，则预测模型为：0.7781ˆ10.710.3958tY=⨯故100.77812005ˆ10.710.39589.933Y =⨯=（万元）即2005年该产品的销售额预测为万元。