人教版九年级数学上册拔高专题圆中的最值问题

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人教版数学九年级上册专题6 最值问题-课件

专题6 最值问题
数学
1．如图，MN 是⊙O 的直径，MN＝4，点 A 在⊙O 上， ∠AMN＝30°，B 为A︵N的中点，P 是直径 MN 上一动点． (1)利用尺规作图，确定当 PA＋PB 最小时点的位置 (不写作法，但要保留作图痕迹)； (2)求 PA＋PB 的最小值．
【解析】A，B的位置与直线MN有什么关系？根据这种关系最小值是一个什么模型？如何作图？
将点 C(－3，2)，D′(0，－2)代入，解得k＝－43， b＝－2，
∴直线 CD′的解析式为 y＝－43x－2. 令 y＝0，解得 x＝－32，∴点 P 的坐标为(－32，0)
3．(原创题) 已知菱形 OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点 A(5，0)，OB＝4 5，点 P 是对角线 OB 上的一个动点， D(0，1)，当 CP＋DP 最短时，求点 P 的坐标．
解方程组yy＝＝43－x－34x324－，49x＋3，得xy11＝＝10，或yx22＝＝－－952，，
∴点 M 的坐标为(1，0)或(－5，－92)时， |PM－AM|的值最大，最大值为 5
6．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm与饭粒相对的点A处，求蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径．【解析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
解：(1)设抛物线的解析式为 y＝ax2＋bx＋c，将 A(1，0)，B(0，3)，C(－4，0)代入，解得 a＝－34，b＝－94，c＝3，∴y＝－34x2－94x＋3
(2)设直线 PA 的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，将 A(1，0)，P(5，3)代入解得 k＝34，

推荐人教版九年级数学上册：期末难点突破突破二圆中的最值问题

第5题图第8题图突破二圆中的最值问题【方法归纳】解决最值问题常用的方法有：特殊位置与极端位置法，几何公理（定理）法，数形结合法等. 一、利用垂线段最短求最值1. {2013?咸宁）如图，在沁AAOB 中，OA=OB = 3V 29 0O 的半径为1，点J 3是边上的动点，过点P 作?0的一条切线PQ （点Q 为切点），则PQ 的最小值为2#?【解析】连 PO 、OQ ，M PQ= VP02-OQ z ，要使 PQ 最小，只需 PO 最小，:.OP ±AB 9 :.OP=39 :.PQ=2^2.2.如图，AABC 中，ZBAC =60°, ZABC =A 5\ AB = 2诉，D 是线段BC J;的一个动点，以AD 为直径画00分别交AB 、AC 于￡：、F ，连接EF ，则线段EF 的最小值为^ ?【解析】作直径EM ，连MF, ZM= 60% EF=^EM=^AD .要使 EF 最小，只需使 AD 最小，故 AD 丄BC.. /.AD=2, EF=^S.二、利用两点之间线段最短求最值3.如图，A 是半圆上一个三等分点，点B 是^?的中点，尸是直径MiV 上一动点，0O 的半径为1，则AP+RP 的最小值为在.【解析】取点B 关于MiV的对称点S 7,连AB/!MN 于P ，.:.AP+BP=AB f =^[2.4.如图，BC 为?0的直径，BC=4#，P 为上一动点，M 为的中点，设APAM 的周长为w ，则m 的取值范围是2V5+2<m<6+2V51【解析】PA<AC, PM<CM ,而 CM = 2v^"，AC=4，/. PA + PM < 4 + 2^5 ,作点 iVf 关于 BC 的对麻点 N ，?则 PM= PN ，??? PA + PM =PA -\- PN ^ AN ,易求 AN = 2#，A PA + PM > 2^5 , /. 2V5 + 2 < m < 6 + 2V5三、利用直径是圆中最长的弦求最值5.（2013 ?陳西）如图，AB 是00的一条弦，点C 是00上一动点，且ZACB = 30°，点E.F 分别是AC 、BC 的中点，直线与0O 交于G 、H 两点，若?0的半径为7,则GE+FH 的最大值为1Q. 5 ..【解析】连OA 、OB ，AOAB 为等边△，AB = 7, ￡F=yAB = 3. 5, /.GE+FH = GH-3. 5.要使 GE+RH ?最大，只需麄_*參參參?GH 取最大值，故 GH 为直径，/-GH= 14,:.GE +FH =10.5.?- …? ? ?6.如图，AJB 为00的直径，点C 为?0上异于A 、B 的一动点，弦AD=5v^"，ZACD=60%CA 、CB 焉关于:C 的一元二次方程JC 2— m:c + rz = 0的两根，则m 的最大值为10^2【解析】易求AB=10，作ZACB 的平分线交OO 于E ，证CA+CB=V^CE ，当CE 为直径时，CA+CB 最大.四、利用特殊位置与极端位置求最值7.如图，A （4, 0），_B （0, 4），？C 的圆心坐标为（一2, 0），半径为2, D 是?C 上一个动点，线段 DA 交:y 轴于E ，设AARE 的面积为S ，则S 的取值范围是8—2在<S<8+2在.【解析1直线AD 在x 轴上方与?C 相切时/ S 最小.直线AD 在o ：轴下方与0C 相切时，S 最大.8.如图，AB 为0O 的直径，（：为半圆的中点，？C 的半径为2,AB = S 9点P 是直径AB 上的一动点， ,PM 与?C 相切于M ，则PM 的取值范围为273<PM<277 ??【解析】PM = VPC2 - CM2 = VPC2 - 4，当PC最小时，PM有最小值，此时PC丄AB，F与0重合；当PC最大时，PM有最大值，此时P与A或B重合. ??。

新人教版九年级上册数学17.圆中的最值问题

拔高专题圆中的最值问题图(1)探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题例1：如图，A 点是⊙O 上直径MN 所分的半圆的一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是MN 上一动点，⊙O 的半径为3，求AP+BP 的最小值。

解：作点A 关于MN 的对称点A ′，连接A ′B ，交MN 于点P ，连接OA ′，AA ′． ∵点A 与A ′关于MN 对称，点A 是半圆上的一个三等分点， ∴∠A ′ON=∠AON=60°，PA=PA ′，∵点B 是弧AN 的中点，∴∠BON=30°，∴∠A ′OB=∠A ′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA ′=3， ∴A ′．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA ′+PB=A ′．【教师总结】解决此题的关键是确定点P 的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。

探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题例2：如图，在Rt△AOB中，，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），求切线PQ的最小值解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3 ，∴OA=6，∴OP=•OA OBAB=3，∴．【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．求线段AB的最小值．解：（1）线段AB长度的最小值为4，理由如下：连接OP，∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB，取AB的中点C，∴AB=2OC；当OC=OP时，OC最短，即AB最短，此时AB=4．【教师总结】结合切线的性质以及辅助线的作法，利用“垂线段最短”是解决此类问题的关键。

九上圆动点、暗动点、最值问题拔高提优知识点+例题+练习 (分类全面)

3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°, AD＝13cm，BC＝16cm，CD ＝5cm，AB为⊙O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2 cm/s的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．（1）求⊙O的直径；4（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式，并求四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积．（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与⊙O相切，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（2）s=2t+26T=3分之19S=3分之116（3）PQ=16-tH=43t-16T=4-根号14或 T=4+根号14相切，说明理由。

O ADBCE F二、最值问题1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D 是平面内的一个动点，且AD=4，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是． 2分之3,2分之72、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则PQ 长的最小值为．13分之603、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC=10，D 是BC 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为．2倍跟24、如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为．10.55、如图，在Rt△AOB中，OA=OB=5，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为．2倍根号26、在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx ﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．247、如图，90MON ∠=︒ , Rt ABC ∆的顶点,A B 分别在,OM ON 上，90ACB ∠=︒，点A 从点O 出发沿射线OM 运动，同时点B 从点O 出发沿射线ON 运动，连接OC .若AB = 10，则OC 长的最大值是 .58、如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=10，则PM 的最大值是．49、如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，点E 、F 分别为AD 、DC 边上的点，且 EF=4，点G 为EF 的中点，点P 为BC 上一动点，则PA+PG 的最小值为___________ 410、在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 .100P（x,y）PA2=(X+1)2+y2PB2=(x-1)2+y2PA2+PB2 =2（x2+y2）+2x2+y2最大值为72=4911、在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图1，当PQ//AB时，求PQ的长度；根号6（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．2分之3倍根号3PQ2=OQ2-OP2OP最小，PQ最大12、如图，圆O的半径为1，A，P，B，C是圆O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断三角形ABC的形状：；等边（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；PA+PB=PC （3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．中点，根号313、如图，已知圆O的直径AB=12cm，AC是圆O的弦，过点C作圆O的切线交BA 的延长线于点P，连接BC．（1）求证：∠PCA=∠B；（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当三角形ABQ与三角形ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．3分之5π3分之13π3分之23π三、暗动点、隐圆1、如图，OA ⊥OB ，垂足为O ，P 、Q 分别是射线OA 、OB 上的两个动点，点C 是线段PQ 的中点，且PQ=4.则动点C 运动形成的路径长是___.π2、已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A B 、分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的长的最大值是． 2（分之根号3+1）a3．如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（）AA 、21B 、5C 、1455D 、524、如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，1BC =，点D 是斜边AB 上的一个动点(不与点A 重合)，AED ∆为等边三角形.过D 点作DE 的垂线，F 为垂线上任意一点，G 为EF 的中点，则线段CG 长的最小值是 . 2分之35、如图，E 是正方形ABCD 的边AD 上的动点，过点A 作AH BE ⊥于点H . 若正方形的边长为4，则线段DH 的最小值是多少? 2分之根号5-26、如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE=DF ．连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于H ．已知正方形ABCD 的边长为4cm ，解决下列问题：（1）求证：BE ⊥AG ；（2）求线段DH 的长度的最小值．2分之根号5-27、如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动.若，线段CP的最小值是_____________根号5-18、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC=2，∠BAC=30°，求线段PM 的最大值39、如图,以y轴上一点M为圆心作M,分别与坐标轴交于点A,B,C,其中A(0,3),B(1,0),动点P在劣弧BC上由点B运动到C,过点B作BQ⊥AP于点Q,求垂足Q在此过程中经过的路径。

2021-2022学年人教版数学九年级上册第二章《圆的最值问题、综合题》练习

圆的最值问题、综合题一最值问题：题型分析：1.圆上一点到直线的最值问题：求圆上一点到直线的距离的最值问题可以转为成求圆心到定直线的距离问题来解决。

2.圆上一点到定点距离的最值问题：涉及与圆相关的两点的距离，可以转换为圆心与定点距离问题来求解。

3.过定点的弦长问题：会运用到是直径时，弦长最长，垂直直径时弦长最短。

4.切线问题：求切线长问题可以转换为圆心到直线距离问题求解。

5.利用数形结合方法解决直线与圆的问题：利用直线的斜率、截距几何意义解决问题。

6.与相似有关的综合题型：找出对应的相似模型，通过对应边成比例，用配方法求解。

例1.如图，AB是半⊙O的直径，点C是半⊙O上的一点，且AC=4cm,BC=3cm.点P是AB上的动点，过点P分别作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D、E，连接DE，则在点P移动过程中，DE的最小值为________.例2.如图，地面OB 与墙OA 垂直，在墙与地面斜放一根8 米长的竹竿MN，当竹竿的N 端点由O 点开始向右平移直至竹竿的M 端点与O 点重合时结束，此时竹竿的中点P 的运动长度是米。

例3.如图，点P(3，4)，⊙P半径为2，A(2.8，0)，B(5.6，0)，点M是⊙P上的动点，点C 是MB的中点，则AC的最小值是.例4.如图，在ABC∆中，90ACB∠=︒，12BC=，9AC=，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则23AD BD+的最小值是.例5在△ABC 中，若O 为BC 边的中点，则必有：AB 2+AC 2＝2AO 2+2BO 2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG 中，已知DE ＝4，EF ＝3，点P 在以DE 为直径的半圆上运动，则PF 2+PG 2的最小值为（）A ．B ．C ．34D ．10例6．已知点A （4，0），B （4，4），点P 在半径为2的⊙O 上运动，试求21AP+BP 的最小值。

人教版九年级数学上册拔高专题圆中的最值问题 .docx

初中数学试卷马鸣风萧萧拔高专题圆中的最值问题一、基本模型构建常见模型图(1) 图（2）思考图（1）两点之间线段最短；图（2）垂线段最短。

.在直线L 上的同侧有两个点A 、B ，在直线L 上有到A 、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L 的对称点，对称点与另一点的连线与直线L 的交点就是所要找的点．二、拔高精讲精练探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题例1：如图，A 点是⊙O 上直径MN 所分的半圆的一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是MN 上一动点，⊙O 的半径为3，求AP+BP 的最小值。

解：作点A 关于MN 的对称点A ′，连接A ′B ，交MN 于点P ，连接OA ′，AA ′．∵点A 与A ′关于MN 对称，点A 是半圆上的一个三等分点，∴∠A ′ON=∠AON=60°，PA=PA ′，∵点B 是弧AN 的中点，∴∠BON=30°，∴∠A ′OB=∠A ′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA ′=3，∴A ′B=32．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA ′+PB=A ′B=32．【教师总结】解决此题的关键是确定点P的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。

探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题例2：如图，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），求切线PQ的最小值解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3 2，∴AB=2OA=6，∴OP=•OA OBAB=3，∴PQ=22OP OQ=22．【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P 在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．求线段AB的最小值．解：（1）线段AB长度的最小值为4，理由如下：连接OP，∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB，取AB的中点C，∴AB=2OC；当OC=OP时，OC最短，即AB最短，此时AB=4．【教师总结】结合切线的性质以及辅助线的作法，利用“垂线段最短”是解决此类问题的关键。

初中数学九年级(初三)圆中的最值问题(讲义)

y y＝x＋1
P
F
O
EA
x
1
二、圆与将军饮马 1、如图，CD 是⊙O 的直径，点 A 是半圆上的三等分点，B 是弧 AD 的中点，P 点为直线 CD 上的一个动点，CD=4. （1）求 AP+BP 的最小值；（2）求 AP﹣BP 的最大值．
2、如图，已知圆 O 的面积为 3π，AB 为直径，弧 AC 的度数为 80°，弧 BD 的度数为 20°，点 P 为直径 AB 上任一点，则 PC+PD 的最小值为_________．
【归纳】 1、垂线段、对称； 4、随动点问题
圆中的最值问题
2、构建函数（不等式）； 5、最大角问题
3、弦角问题；
【讲练】一、垂线段最短 1、如图，已知 AB 是⊙O 的弦，C 是⊙O 上的一个动点，连接 AC、BC，∠C=60°，⊙O 的半径为 2，则 △ABC 面积的最大值是_________． 2、如图，半圆 O 的半径为 1，AC⊥AB，BD⊥AB，且 AC=1，BD=3，P 是半圆上任意一点，则封闭图形 ABDPC 面积的最大值是_________． 3、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 经过点 A（﹣4，0）、B（0，4），⊙O 的半径为 1（O 为坐标原点），点 P 在直线 AB 上，过点 P 作⊙O 的一条切线 PQ，Q 为切点，则切线长 PQ 的最小值为_________．
2、如图，△ABC 中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2 2，D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径作⊙O 分别交 AB、AC 于 E、F，连接 EF，则线段 EF 长度的最小值为___________.
2、如图，△ABC 中，∠ABC＝45°，AC＝2，半径为 5的⊙O 始终过 A、C 两点，连接 OB，则线段 OB 长度的最大值为____________.

人教版九年级上圆中常见最值问题解法探索

圆中常见最值问题解法探索最值问题成为中考的典型考题，也是各章创新考题之一.下面就把圆中常见的最值问题归纳一下，供学习时借鉴.一、直径最大弦型最大值模型1. 最值的源体是圆的弦例1 （2019年东营）如图1，AC 是⊙O 的弦，AC=5，点B 是⊙O 上的一个动点，且∠ABC=45°，若点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则MN 的最大值是．解析：因为点M ，N 分别是BC ，AC 的中点，所以MN=21AB ，所以当弦AB 取得最大值时，MN 就取得最大值，因为直径是圆中最大的弦，所以当弦AB 是直径时，AB 最大，如图1，连接 AO 并延长交⊙O 于点B ′，连接CB ′，因为AB ′是⊙O 的直径，所以∠ACB ′=90°．因为∠ABC=45°，AC=5，所以∠AB ′C=45°，所以AB ′=2255 =52，所以MN 的最大值为最大MN =225．所以应该填．点评：当线段是圆的某条弦时，熟记直径是圆中最大的弦是解题的关键.2.动点到定弦的最大值例2（2019•广元）如图2，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且AB 是⊙O 的直径，点P 为⊙O 上的动点，且∠BPC=60°，⊙O 的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是．解析：如图2，过O 作OM ⊥AC 于M ，延长MO 交⊙O 于P ，则此时，点P 到AC 的距离最大，且点P 到AC 距离的最大值=PM ，因为OM ⊥AC ，∠A=∠BPC=60°，⊙O 的半径为6，所以OP=OA=6，所以OM=23OA ＝23×6＝33，所以PM=OP+OM=6+33，所以点P 到AC 距离的最大值是6+33，所以答案为6+33．点评：圆上动点到定弦距离的最大值就是垂直平分线弦的直径的两个端点到弦的距离，这是垂径定理的应用，也是直径是圆中最大的弦的应用.此法也是用于在拱形中计算最值. 跟踪专练（2019年杭州）如图3，已知锐角三角形ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC 于点D ，连接OA 。

九上圆动点、暗动点、最值问题拔高提优知识点+例题+练习（分类全面）

九上圆动点、暗动点、最值问题拔高提优知识点+例题+练习（分类全面）3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°, AD＝13cm，BC＝16cm，CD ＝5cm，AB为⊙O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2 cm/s的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．（1）求⊙O的直径；4（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式，并求四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积．（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与⊙O相切，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（2）s=2t+26T=3分之19S=3分之116（3）PQ=16-tH=43t-16T=4-根号14或 T=4+根号14相切，说明理由。

O ADBCE F二、最值问题1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D 是平面内的一个动点，且AD=4，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是． 2分之3,2分之72、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则PQ 长的最小值为．13分之603、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC=10，D 是BC 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为．2倍跟24、如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为．10.55、如图，在Rt△AOB中，OA=OB=5，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为．2倍根号26、在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx ﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．247、如图，90MON ∠=? , Rt ABC ?的顶点,A B 分别在,OM ON 上，90ACB ∠=?，点A 从点O 出发沿射线OM 运动，同时点B 从点O 出发沿射线ON 运动，连接OC .若AB = 10，则OC 长的最大值是 .58、如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=10，则PM 的最大值是．49、如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，点E 、F 分别为AD 、DC 边上的点，且 EF=4，点G 为EF 的中点，点P 为BC 上一动点，则PA+PG 的最小值为___________ 410、在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 .100P（x,y）PA2=(X+1)2+y2PB2=(x-1)2+y2PA2+PB2 =2（x2+y2）+2x2+y2最大值为72=4911、在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图1，当PQ//AB时，求PQ的长度；根号6（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．2分之3倍根号3PQ2=OQ2-OP2OP最小，PQ最大12、如图，圆O的半径为1，A，P，B，C是圆O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断三角形ABC的形状：；等边（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；PA+PB=PC （3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．中点，根号313、如图，已知圆O的直径AB=12cm，AC是圆O的弦，过点C作圆O的切线交BA 的延长线于点P，连接BC．（1）求证：∠PCA=∠B；（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当三角形ABQ与三角形ABC 的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．3分之5π3分之13π3分之23π三、暗动点、隐圆1、如图，OA ⊥OB ，垂足为O ，P 、Q 分别是射线OA 、OB 上的两个动点，点C 是线段PQ 的中点，且PQ=4.则动点C 运动形成的路径长是___.π2、已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A B 、分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的长的最大值是． 2（分之根号3+1）a3．如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（）AA 、21B 、5C 、1455D 、524、如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，30CAB ∠=?，1BC =，点D 是斜边AB 上的一个动点(不与点A 重合)，AED ?为等边三角形.过D 点作DE 的垂线，F 为垂线上任意一点，G 为EF 的中点，则线段CG 长的最小值是 . 2分之35、如图，E 是正方形ABCD 的边AD 上的动点，过点A 作AH BE ⊥于点H . 若正方形的边长为4，则线段DH 的最小值是多少? 2分之根号5-26、如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE=DF ．连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于H ．已知正方形ABCD 的边长为4cm ，解决下列问题：（1）求证：BE ⊥AG ；（2）求线段DH 的长度的最小值．2分之根号5-27、如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动.若，线段CP的最小值是_____________根号5-18、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC=2，∠BAC=30°，求线段PM 的最大值39、如图,以y轴上一点M为圆心作M,分别与坐标轴交于点A,B,C,其中A(0,3),B(1,0),动点P在劣弧BC上由点B运动到C,过点B作BQ⊥AP于点Q,求垂足Q在此过程中经过的路径。

2024年九年级数学中考一轮复习考点突破课件：与圆有关的最值问题

的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长的最小值为（
A. 4.75
B. 4.8
B ）
D. 4 2
C. 5
第1题
1
2
3
4
5
6
7
2.
3
如图，直线y＝ x－3与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是以点C（0，
4
1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小
值为（
A. 6
B ）
动点，以AD为直径作☉O，分别交AB，AC于点E，F，连接EF，则线段EF长的最小值为 Nhomakorabea2
.
第6题
1
2
3
4
5
6
7
7. 如图，在Rt△ABC中，AB＝3，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC
绕点B按顺时针方向旋转，得到△A'BC'，点A，C的对应点分别为A'，
C'，D是A'C'的中点，求旋转的过程中，点D到直线AC距离的最大值.
BC＝2 ，∴

BH＝ BC＝

＝90°.∴ AH＝

.∴

−
.∵ AH⊥BC，∴ ∠AHB
＝1.∴

sin∠ABC＝＝

∠ABC＝∠ACB＝30°，∠BAC＝120°.∵ ∠BDC

∠BDC＝ ∠BAC.∴

＝60°，∴
点D在以点A为圆心，
AB长为半径的☉A上运动.作☉A，延长HA交☉A于点
B. 5.5
C. 5
D. 4.5
第2题
1
2
3
4
5

人教版九年级数学上册第24章：圆的最值专题

圆的最值专题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．2.如图,已知直线y=0.75x-3与x轴、y轴分别交于A．B两点,P是以C（0,1）为圆心,1为半径的圆上一动点,连结PA．PB.则△PAB面积的最大值是（）A．8 B．12 C．10.5 D．8.53.如图24－2－10，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为()图24－2－10A.32B．2 C.8 1313 D.12 13134.如图，在等腰直角三角形中，，，是△所在平面内一点，且满足，则的取值范围为________．5.如图，△中，，，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作于H，连接AH，则AH的最小值为______6.如图，等边三角形ABC中，D是边BC上一点，过点C作AD垂线段，垂足为点E，连接BE，若AB=2，则BE的最小值是____________7.如图，等边△ABC的边长为6，D为BC边上的中点，P为直线BC上方的一个动点，且满足∠PAD=∠PDB，则线段CP长的最大值为．8.正△ABC的边长为4，⊙A的半径为2，D是⊙A上一动点，E为CD中点，则BE的最大值为．9.如图，在平面直角坐标系中，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.6，0），B（5.2，0），点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值为．10.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为．11.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为．12.如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA,CB分别相交于点P，Q,则线段PQ的最小值（）A．5 B．4C．4.75 D．4.813.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DI的最小值等于（）A ． +3B ．2﹣2C ．2﹣D ．2+314.如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点．若PB 切⊙O 于点B ，则PB 的最小值是（） A. B. C. 3 D. 215.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点A （6，0）、B （0，6）， ⊙O 的半径为2（O 为坐标原点），点P 是直线AB 上的一动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为（） A. B. 3 C. 3 D.16.如图，已知菱形ABCD 的边长为8，∠B ＝60°，点O 为对角线AC 的中点，⊙O 半径为1，点P 为CD 边上一动点，PE 与⊙O 相切于点E ，则PE 的最小值是．17.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP ，连接B′A ，则B′A 长度的最小值是（）CA ．1 B.2 C.3 D.418.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是AD 边上的一个动点，将△AEF 沿EF 所在直线折叠得到△GEF ，连接GC ，则GC 长度的最小值是．19.如图，等边三角形纸片ABC 中，4AB =. D 是AB 边的中点，E 是BC 边上一点现将△ 沿DE 折叠，得△ .连接'CB ，则'CB 长度的最小值为（）A.2-B.1C.31-D.220.如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°,AB=22,D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB.AC 于点E,F,连接EF,则线段EF 长度的最小值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 221.如图，C、D 是以AB 为直径的圆O 上的两个动点（点C、D 不与A、B 重合），在运动过程中弦C D 始终保持不变，M 是弦C D 的中点，过点C作C P⊥AB 于点P，若C D=3，AB=5，PM=x，则x的最大值是()A．3 B. C.2.5 D.222.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的最小值是．。