新高考高三数列综合题
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新华中学2020届高三数学数列专题复习
一、求数列的通项公式
1.已知正数数列{}n a 中前n 项和n S =11
()2n n
a a + （*n N ∈），求通项公式n a .
2.设数列的前项和为 已知 （I ）设，证明数列是等比数列 （II ）求数列的通项公式。
{}n a n ,n S 11,a =142n n S a +=+12n n n b a a +=-{}n b {}n a
3.已知数列｛n a ｝中，111
22
n n a n a a +=-，点（，）
在直线y=x 上，其中n=1,2,3… (Ⅰ)令{}11,n n n n b a a b +=--求证数列是等比数列； (Ⅱ)求数列{}的通项；n a
(Ⅲ)设分别为数列、n n T S {}
、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列？若存在，试求出λ 若不存在,则说明理由
4.已知数列{}n a 满足：10a =，212
21,
,12,,2n n n n a n n a a -+⎧⎪⎪
=⎨++⎪⎪⎩为偶数为奇数，2,3,4,
.n =
（Ⅰ）求567,,a a a 的值，（Ⅱ）设212n n n
a b -=，试求数列{}n b 的通项公式；
二、数列求和
5.已知数列{a n
}且a n
＝⎩⎪⎨⎪
⎧1
n 2＋2n
，n 为奇数，sin n π
4
，n 为偶数， 若S n
为数列{a n
}的前n 项和，则S
2 020
＝________．
6.在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n
b n ，求T n .
12
=n n n b a (+)
7.已知{}n a ，{}n b 均为正项数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，且112
a =，11
b =，22b =，当2n ≥，
*n N ∈时，112n n S a -=-，221111
2()
2n n n n n n T T b T b b --+--=-+.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设2(2)n n
n n n
b a
c b b +=
+，求数列{}n c 的前n 项和n P .
8.设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，且对于所有的正整数n ,有12+=n n a S ．
(I) 求1a ，2a 的值； (II) 求数列{}n a 的通项公式； （III ）令11=b ，k k k a b )1(122-+=-，
k k k a b 3212+=+（⋅⋅⋅=,3,2,1k ），求数列{}n b 的前12+n 项和12+n T ．
9.数列的通项，其前n 项和为. (1) 求; (2) 求数列｛｝的前n 项和.
10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2
2n S n n =-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（Ⅱ）若2,21
,2n a n n n k b a n k
⎧=-=⎨=⎩，*k N ∈.
(i)求21
i
n
i b
=∑； (ii)求
21
n i i b =∑； （iii ）求41
1
||n
i i i b b
+=∑.
{}n a 2
2
2(cos
sin )33n n n a n ππ=-n S n S 3,4n
n n
S b n =⋅n b n T
11.已知31n a n =+，1
32n n b -=⋅，111,22,2
k k n k
k c b n ++⎧<⎪=⎨=⎪⎩，k N ∈，求21n
i i i a c =∑.
12.已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和n S ，数列{}n b 是等比数列，12b =，公比0q >，2312b b +=，
3412b a a =-，11411S b =.
（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）若23n n a c +=， (i)求数列{}n c 的通项公式； (ii)若2442
,2,42,4n n n n n
n
n k c c d a n k c b n k
+⎧≠⎪⎪⎪
==-⎨⎪=⎪⎪⎩
，*k N ∈，
求41n k k d =∑.
13.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足11a =，11b =，2311a S +=，432b a b -=．
（1）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；
（2）设数列}{n c 满足2tan ,214
(1log ,2)π⎧=-⎪=⎨⎪+=⎩n n
n n n b b n m c a a n m
，其中*m N ∈，求∑=n
i i c 21.
14.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，5462,,4a a a 成等差数列，且满足2
434a a =，数列{}n b 的前n 项和
(1)
2
n n n S b +=
，*n N ∈，且11b =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=-=-==-m n m n a m n a c m
b m m n 3,)2
1
(13,2
3,log 221
221
其中*m N ∈，求∑=+⋅n
i i i c c 311.