蒙特卡罗法

第3章蒙特卡罗法3.1蒙特卡罗法的基本原理

3.1.1蒙特卡罗法的基本过程

3.1.2蒙特卡罗法的基本问题

1. 蒙特卡罗法的收敛性

2

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2. 蒙特卡罗法的误差

3. 蒙特卡罗法的费用

3.1.3蒙特卡罗法的特点

1. 收敛速度与问题维数无关

2. 受问题条件限制的影响不大

3. 不必进行离散化处理

4. 蒙特卡罗法是一种直接解决问题的方法

5. 误差容易确定

计算机辅助绘图基础（第4版） 3

6. 蒙特卡罗法的缺点

3.1.4蒙特卡罗法待研究的若干问题

1. 随机数

2. 已知分布的随机抽样

3. 非归一问题的随机抽样

4. 蒙特卡罗法的基本技巧

5. 蒙特卡罗法的并行化计算方法

3.1.5随机变量的基本规律

1. 随机变量

2. 数学期望值

3. 方差

4. 特征函数

5. 中心极限定理

4

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6. 分布函数的基本性质

7. 随机变量序列的收敛性

图3.1几种收敛的关系3.1.6大数定律及中心极限定理的一般形式

1. 大数定律

2. 中心极限定理

3.1.7 4个常见的中心极限定理

1. 勒维·林德伯格（Lévy Lindeberg）中心极限定理

计算机辅助绘图基础（第4版） 5

2. 棣莫弗·拉普拉斯（De Moivre Laplace）中心极限定理

3. 李雅普诺夫（Ляпунов）中心极限定理

4. 林德伯格（Lindeberg）中心极限定理

3.1.8几种常见的概率模型和分布

1. 贝努利概型——二项分布

2. 泊松（Poisson）分布

3. 均匀分布

6

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4. 正态分布

5. 指数分布

6. Gamma分布

7. Beta分布

8. t分布

9. z分布

10. χ2分布

11. 指数分布

12. 反余弦分布

13. 多项分布

计算机辅助绘图基础（第4版）7

14. 非中心Gamma分布

15. 非中心t分布

3.1.9蒙特卡罗法简单应用举例

图3.2 Buffon投针试验示意图

图3.3投针试验中针与线相交概率

8

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图3.4随机投点求积分值3.2伪随机数

3.2.1简单子样

3.2.2随机数与伪随机数

计算机辅助绘图基础（第4版）9 3.2.3产生伪随机数的几种方法

1. 平方取中法

2. 加同余法

3. 乘同余法

4. 乘加同余法

5. 移位寄存器方法——Tausworthe方法

10

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6. 斐波那奇（Fibonacci）方法

7. 混合方法

8. 复杂组合法

3.2.4伪随机数的检验

1. 均匀性检验

2. 伪随机数的独立性

3. 统计检验

3.3随机变量的抽样

3.3.1直接抽样方法

1. 离散型随机变量的抽样方法

2. 连续型随机变量的抽样方法

3. 举例

3.3.2舍选抽样方法

1. 舍选抽样的一般形式

2. 简单分布舍选函数——第一类舍选法

3. 乘分布的舍选抽样方法——第二类舍选方法

3.3.3复合抽样方法

1. 复合抽样的一般形式

2. 加分布的复合抽样

图3.5均匀带电球壳

3. 复合舍选抽样方法

3.3.4近似抽样方法

1. 近似分布函数密度

图3.6阶梯近似

图3.7线性近似

2. 反函数近似

3. 渐近分布

3.3.5变换抽样方法

1. 变换抽样方法

2. 随机变量的和、差、积、商分布

3. 随机变量的最大与最小

4. 二维变换抽样方法

3.3.6若干重要分布的抽样

1. β分布

2. Г分布

3. Cauchy分布

4. χ2分布

5. t分布

6. 散射方位角余弦分布

3.4蒙特卡罗法在确定性问题中的应用

3.4.1用蒙特卡罗法求解线性代数方程

3.4.2矩阵求逆

3.4.3求解线性积分方程

3.4.4蒙特卡罗法用于积分运算

1. 单元积分，随机投点法

图3.8积分I=∫10g(x)dx的值等于g（x）曲线下面积

2. 平均值法

3. 计算多重积分的随机投点法

4. 计算多重积分的平均值法

3.5蒙特卡罗法在随机问题中的应用3.5.1布朗运动

1. 随机游动逼近

2. 随机中点移动

3.5.2随机游动问题

3.6.1自相似性和分形

3.6.2分形的数学基础

1. 分形维数

图3.9三次Koch曲线

2. δ覆盖

3. 豪斯道夫测度