数字信号处理及应用 王华奎 部分答案

T [ax1 (n) bx2 (n)] g (n)[ax1 (n) bx2 (n)] g (n) ax1 (n) g (n) bx2 (n) aT x1 (n) bT x2 (n)
所以系统是线性系统。
由于 T [ x(n m)] g (n) x(n m)，
极点为 z 0.5 ；零点为 z 0 。 （2）由Z变换的定义知
X ( z)
n
a
1 n

n
u (n 1) z
n
a z
n n
a z
n 1

n n
az 1 az
1 其收敛域为 az 1 ，即 z 。 a
ax1 ( n )
e
bx2 ( n )
T [ax1 (n)] T [bx2 (n)]
由因为
T x(n m) e
即
x ( n m)
,
y(n m) ex ( nm)
T x(n m) y(n m)
所以系统是移不变的。 （5）解：由 T [ x(n)] x2 (n) 得
Y ( z) 1 z 则 H ( z) X ( z ) z 1 10 z ( z 3)( z 1 ) 3 3 1 1 1 1 (1 3z )(1 z ) 3
所以极点为
将 H ( z )展开成部分分式有 9 1 8 8 H ( z) (1 3z 1 ) (1 1 z 1 ) 3
1 z1 3，z2 3
要使系统稳定，收敛域必须包含单位圆，则
1 z 3 3
可知单位脉冲响应 h(n)为双边序列，所以
9 n 1 1 n h(n) 3 u ( n 1) ( ）u ( n) 8 8 3
第二章
2.1 求周期冲击串 x(n)
解:根据DFS的公式
r
y1 (n) T[ x1 (n)] [ x1 (n)]2，y2 (n) T[ x2 (n)] [ x2 (n)]2
ay1 (n) by2 (n) a[ x1 (n)] b[ x2 (n)]
2
2
而
T[ax1 (n) bx2 (n)] [ax1 (n) bx2 (n)]
h ( n) 1
所以系统是稳定的。
（3）当 n 0 时，h(n) u(3 n) 0 ，所以系统 是非因果的。而
n
h(n) 1 1
3

所以系统是非稳定的。
n h ( n ) 3 u(n) 0 ，所以系统 （4）当 n 0 时， 是因果的。而
的有值范围；而Z变换的收敛域是满足
n


x ( n) z
n
M
的 z 值范围。 （1）由Z变换的定义知
X ( z)
n
2

n
u (n)z
n
2 z
n 0

n n
1 1 1 0.5 z
其收敛域为 0.5 z 1 1 ，即 z 0.5。因此，
习题课
第一章
1.1
xa (t )
ˆa (t ) x
G ( j )
ya1 (t )
T
1 4， 4 已知， G ( j) 0， 4
，s 8
xa1 (t ) cos(2 t )， xa 2 (t ) cos(5 t )
问： ya1 (t )、ya 2 (t ) 有无失真？
根据频率响应与系统函数的关系有
H (e ) H ( z )
j
z e j
1 j 1 0.6e
n
1.21 求以下序列的Z变换
(1) 2 u(n) (3) 2 u(n)
n
n
(2) a u(n 1)
解：分析
X ( z)
n


x(n)z n 中，n 的取值范围是 x(n)
10 y (n 1) y (n) y (n 1) x(n) 3
并已知系统是稳定的，试求单位脉冲响应。 分析： 先根据差分方程求出系统函数，再利用部分 分式法求其反变换，可得 h(n) 。 解：对差分方程两边作Z变换得 10 1 z Y ( z ) Y ( z ) zY ( z ) X ( z ) 3
j
n 2
e
j
e
e +1+e
j 4
e
j 2
e
j 3
e
e
j 5
e
j 6
1.17 已知序列
2 (n 2) (n 1) 5 (n) (n 1) (n 2)
不明显求解 X (e j ) ，计算下列各量。
n


h(n) 30 31

所以系统是非稳定的。
1.7 判断下列系统的:
（a）线性；（b）时不变性；（c）因果； （d）稳定；
(1) T [ x(n)] g (n) x(n)
(3) T [ x(n)] e
x(n)
（1）解：由 T [ x(n)] g (n) x(n) 得
WNn0 k
2.19 分析：记录长度T0和频域分辨力F0的关系为T0 1/ F0，
抽样定理 f s 2 f h，最少抽样点数N 满足：
T0 f s 2 f h N T F0 F0
解 ①求T0
因为T0 1/ F0，F0 10Hz，所以 1 T0 0.1s 10 即最小记录长度为0.1s。
②求 T
因为
T0 2 f h T F0
T0 F0 0.110 0.2ms 所以采样间隔 T 2 f h 2 2500
③求最少抽样点数N
T0 f s 2 f h 2 2500 N 500 T F0 F0 10
而抽样点数必须为2的整数幂，所以取N=512点.


h( n ) M
1.6 判断下列 h(n) 的因果性与稳定性。
(1) ( n)
(3) u (3 n)
(2) (n n0 )，n0 0或n0 0
(4) 3 u (n)
n
解：（1）因为 n 0 时， h(n) (n) 0 ，所以 系统是因果的。而
要求周期满足
2p k N= w0
需分三种情况讨论。
1、当 2p w0 为整数时，k＝1，正弦序 列是周期序列，且N＝ 2p w0 。
2p N= k w0
2、 2p w0 是一个有理数，设 2p w0 = P Q (P、Q互为素数)取k＝Q，那么N＝P,正弦序 列是周期序列，且N＝P。
2p w0 是无理数，正弦序列不是周期序列。 3、
(n rN ) 的DFS系数。
j 2 kn N

X (k ) x(n)e
可得
n 0
N 1
X (k ) e
n 0
N 1 j 2 kn N

1 e
j
2 k N N 2 k N
1 e
k rN
j
1 0
k rN，r为整数
2.7 求序列的N点DFT，其中 0 n N 1 ，序列为
(1) x(n) 1
(3) x(n) (n n0 )
N 1 n 0 j 2 kn N
0 n0 N
解：（1）根据DFT公式
X (k ) x(n)e
所以 X (k ) x(n)e
n 0 N 1 j
0 k N 1
N 1 j 2 kn N n 0
系统的因果性
根据因果性的定义：输出变化不会发生在输入 变化之前的系统称为因果系统。
则
n n0 时，y1 (n1 ) y2 (n1 )
即对于因果系统，若 n n0 时，x1 (n1 ) x2 (n1 ) ，由此推得
LSI系统因果稳定的充要条件
h(n) 0， (n 0)
n
y(n m) g (n m) x(n m)， 即 T [ x(n m)] y(n m) ，所以系统不是移不变的。
（3）解：由 T [ x(n)] e x ( n )得
T[ax1 (n) bx2 (n)] e
e
所以系统是非线性系统。
ax1 ( n )bx2 ( n )
(1) X (e )
j
0
(2)



X (e ) d
j
2
解： 注意应用序列傅立叶变换的定义、性质 及帕塞瓦尔定理。
(1) X (e )

j
0

n
x ( n )e

j0 n
n
x ( n) 2 1 5 1 1 6
（2）由帕塞瓦尔定理，令 x(n) y(n) ，则
n


h ( n) 1
所以系统是稳定的。 （2）当 n0 0 时，若 n 0，h(n) (n n0 ) 0 所以系统是因果的。 当 n0 0 时，若 n 0 ，h(n) (n n0 ) 0 ，所 以系统是非因果的。而
n


2 kn N
e
等比级数 求和公式
n

1 e
j
2 k N N
1 e
2 j k N
0
a1 (1 q ) s 1 q
（3）根据DFT公式
X ( k ) x ( n )e
n0
N 1
j
2 kn N
(n n0 )e
n 0
N 1
j
2 kn N
（3）由Z变换的公式
n
1 知 2 u ( n) 1 1 2z
知
其收敛域为
n
1 a u (n) 1 1 az
n z
由Z变换的时间反转性质 Z x(n) X ( z )
1
1 2 u ( n) 1 2z
1 z 2
。
1.27 求序列的Z变换
x(n) a ， 0 a 1
3.1本题要求计算比较FFT的运算量。 2 分析：（1）直接利用DFT计算：复乘次数为 N 复加次数为 N ( N 1) N （2）利用FFT计算：复乘次数为 log 2 N 2 复加次数为 N log2 N 解:（1）直接计算 复乘所需时间 T1 10 10 1024 10.5s
n
解：由题意知， （1）当 n 0 时，x(n) anu(n) ,查P35表1.4.1知
1 X ( z) ， z a 1 1 az
（2）当 n 0 时，x(n) a
n
u(n) 由Z变换
的时间反转性质得
1 X ( z) ， z a 1 az
1.32 研究一个输入为 x(n)和输出为 y (n) 的时域 LSI系统，已知它满足
2 2
2
[ax1 (n)] [bx2 (n)] 2abax1 (n) x2 (n)
所以系统是非线性系统。 因为
T [ x(n m)] x(n m) ，y (n m) x(n m)
2
2
T [ax1 (n) bx2 (n)] ay1 (n) by2 (n)
所以
1 2




X (e ) d
j
2
n


x ( n)
2


X (e ) d 2
j
2
n


x(n) 64
2
1.19 解：对差分方程两边同时进行Z变换得
Y ( z) 0.6 z Y ( z) X ( z)
所以，系统函数为
1
Y ( z) 1 H ( z) X ( z ) 1 0.6 z 1
解：根据采样定理： s 2h 可知
ya1 (t ) 无失真， ya 2 (t ) 将失真。
1.5 判断周期性
3 p (2) x(n) = A sin( n + ), A是常数； 4 4
3 P 2p 8p = = 解（2） w0 = ， 是无理数，因此 4 Q w0 3
x(n) 是非周期序列。
若 x(n) =
正弦序列的周期性 Asin(w0n + f )，则
x(n + N ) = A sin [( N + n)w0 + f ] = A sin [N w0 + nw0 + f ] 若 N w0 = 2k p，k为整数，则
x(n) = x(n + N )
按周期序列的定义，该正弦序列为周期序列。
所以系统是移不变的。
1.12 用定义求序列的傅立叶变换
(1) x(n) (n n0 )
解： (1) X (e )
j
源自文库
n
x(n)e
5 j n

j n
e
j n0
(2) x(n) u (n 2) u(n 6)
解：(2)
X (e )
j 2 j