2.2平面向量数乘运算及其几何意义.ppt

试判断AC与AE是否共线。
E
C
解： AE AD DE
A
B
3AB 3BC
3 AB BC
D
3AC
∴ AC与 AE 共线．
例3.如图，已知任意两个向量 a、b ，试作OA a b,
OB a 2b,OC a 3b. 你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
a
b
3b
B
2b
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1.向量加法三角形法则:
特点:首尾顺次连，起点 指终点
C ab b
A
a
B
2.向量加法平行四边形法则:
特点:起点相同,对角为和
Ba
b
a
b
C b
O
a
A
3.向量减法三角形法则:
特点：平移同起点，方向指被减
a
B
b
BA a b
b
O
aA
作一作，看成果 已知非零向量 a ,作出a a a ,你能发现什么？
A
b a
O
总结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
且有公共点Ｂ
A,B,C三点共线
已知两个非零向量e1和e2，如果 AB 2e1 3e2，BC 6e1 23e2，CD 4e1 8e2， 求证 : A、B、D三点共线.
设e1,e2是两个非零向量，AB 2e1 ke2,CB e1 3e2, CD 2e1 e2，若A、B、D三点共线，求k的值.
A,B,C三点共线
AB=λCD
AB∥CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
书本P91，A组，9,10 B组,3
（1） | a || || a |;
（2）当 0时， a 的方向与 a 的方向相同；
当 0时， a 的方向与 a 的方向相反。
特别的，当 0 时， a 0.
练一练: 书本P90,练习2,3
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a)
(a为非零向量)，并进行比较。
(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，
例5.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且
AB a, AD b ，你能用 a 、b 来表示MA、MB、MC 和 MD 。
D
C
M
b
A
a
B
练一练: 书本P92,11题
练习：
C
D
①②④
小结:
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点Ｂ 3. 证明 两直线平行:
并进行比较。 a
3(2a)
b
a
3(2a)
=
6a
2a 2b
ab
2b
2(a b ) 2a 2b
2a
二、向量的数乘运算满足如下运算律：
，是实数，
（1）（ a) ( )a;
(2)( )a a a;
(3) (a b) a b.
特别地:（ ）a a a b a b
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算
例1、计算下列各式
(1)(3) 4a
12a
(2)3(a b ) 2(a b ) a
5b
(3)(2a
3b
c
)
(3a
2b
c)
a 5b 2c
练一练: 书本P90,练习5
思考:
(1)若b a(a 0),则a,b位置关系如何?
b // a
(2)若b // a(a 0),则b a是否成立?
成立
三、向量共线定理：
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数, 使b a.
即a与b共线
b a (a 0)
思考:1) a 为什么要是非零向量?
2) b 可以是零向量吗?
练一练: 书本P90,练习4
例2 如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
a
3a a a a
O
A
B
C
3a与 a 方向相同 且 3a 3 a
类比上述结论，(a) (a) (a) 又如何呢？
3a a a a
N
M
Q
P
3a与 a方向相反
且 3a 3 a
一来自百度文库向量的数乘
一般地，我们规定实数λ与向量 a的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作 a，它的长度和方向
规定如下：