江苏省无锡市天一实验学校2020-2021 学年度第一学期九年级数学期中考试
江苏省无锡天一中学(实验学校)2024—2025学年上学期九年级期中考试数学试题
江苏省无锡天一中学（实验学校）2024—2025学年上学期九年级期中考试数学试题一、单选题1．方程23x x =的解是（）A ．3x =B ．=0C ．13x =，20x =D ．13x =-，20x =2．已知⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 外，则OP 的长可能是（）A ．3B ．4C ．5D ．63．如图，下列条件不能判定△ADB ∽△ABC 的是（）A ．∠ABD =∠ACBB ．∠ADB =∠ABC C ．AB 2=AD•ACD ．AD AB AB BC=4．下列说法：有下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）直径是圆中最长的弦，（3）圆的内接平行四边形是矩形，（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等，（5）相等的圆心角所对的弧相等，其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知一元二次方程2310x x ++=的两根为1x 、2x ，则1212x x x x ++的值是（）A ．4-B ．2-C ．2D ．46．一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长18m 的住房墙，另外三边用34m 长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽2m 的木门，当羊舍的面积是2160m 时，设所围的羊舍与墙平行的边长为m x ，则根据题意可得方程为（）A ．()34160x x -=B ．3421602x x +-⋅=C ．341602x x ⋅-=D ．()18160x x -=7．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块多边形碎片如图所示，四块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A ．①B ．②C ．③D ．④8．如图，点O 是三边均不等的ABC V 三条角平分线的交点，D E 、两点分别在AB AC 、上，若D O 、、E 三点共线且AD AE =，设BD a =，2DE b =，CE c =，关于x 的方程20ax bx c ++=根的情况（）A ．一定有两个相等实数根B ．一定有两个不相等实数根C ．有两个实数根，但无法确定是否相等D ．没有实数根9．如图，已知正方形ABCD ，E 为AB 的中点，F 是AD 边上的一个动点，连接EF ，将AEF △沿EF 折叠得到HEF ，延长FH 交BC 于点M ，连接EM ．下列结论：①EFM △是直角三角形；②BEM HEM △△≌；③当点M 与点C 重合时，3DF AF =；④MF 平分正方形ABCD 的面积；⑤24FH MH AB ⋅=．其中结论正确的个数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10．如图，点C 是半圆O 的中点，AB 是直径，CF ⊥弦AD 于点E ，交AB 于点F ，若1CE =，103EF =，则BF 的长为（）A ．133B ．1C ．13D ．3二、填空题11．在一张比例尺1:800000的地图上，量得上海浦东磁悬浮的线路长度为4厘米，那么它的实际长度是千米．12．一圆锥的底面半径为3，母线长为6，则这个圆锥的侧面积为．13．若a 是方程210x x --=的一个根，则代数式2332024a a -++的值为．14．已知线段MN 的长是10cm ，点P 是线段MN 的黄金分割点，则较长线段MP 的长．15．如图，O 与正八边形ABCDEFGH 相切于点A ，E ，则»AE 的度数为．16．在半径为3的O 中，弦AB 的长是AB 所对的圆周角的度数是．17．定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知12l l ∥，1l 与2l 之间的距离为2.“等高底”ABC V的“等底”BC 在直线1l 上，点A 在直线2l 上，ABC V 有一边的长是BC ABC V 绕点C 按顺时针方向旋转45︒得到A B C ''△，A C '所在直线交2l 于点D ，则CD =．18．如图，将两块三角板OAB （∠OAB =45°）和三角板OCD （∠OCD =30°）放置在矩形BCEF 中，直角顶点O 重合，点A 、D 在EF 边上，AB =6．（1）若点O 到BC O 到EF 的距离为；（2）若BC =3AD ，则△OCD 外接圆的半径为．三、解答题19．用适当的方法解下列方程：(1)2(31)40x +-=(2)2670x x +-=；20．计算：(1)()23202421124233⎛⎫-+÷--⨯ ⎪⎝⎭；(2)22122+⎝⎭．21．如图，已知ABC V 和AED △，边AB DE ，交于点F ，AD 平分BAC ∠，AF 平分EAD ∠，AE AD AB AC =．(1)求证：AED ABC △∽△；(2)若32BD BF ==，，求AB 的长．22．如果关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程2680x x -+=的两个根是12x =，24x =，则方程2680x x -+=是“倍根方程”．(1)通过计算，判断2320x x -+=是否是“倍根方程”；(2)已知关于x 的一元二次方程：()21320x m x --+=（m 是常数）是“倍根方程”，请求出m的值．23．如图是由小正方形组成的86⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形ABCD 的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹）．(1)图①中，在边AD 上画点E ，使AE DE =；(2)图②中，画BCD ∠的角平分线CF ，交AD 于F ；(3)图③中，点O 在格点上，O 与AB 相切，切点为A ，O 交AD 于G ，BC 与O 相切，切点为M ，CD 与O 相切，切点为N ，画出点M 、N ．24．如图，AB 是O 直径，点C 在O 上，连接CD ，使BCD A ∠=∠．(1)求证：直线CD 是O 的切线；(2)若120ACD ∠=︒，4AB =，求图中阴影部分的面积．25．某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示．矩形地面的长为50米，宽为32米，中心建设一个直径为10米的圆形喷泉，四周各角留一个相同的矩形花坛，图中阴影处铺设地砖．已知矩形花坛的长比宽多15米，铺设地砖的面积是1125平方米．（π取3）(1)求矩形花坛的宽是多少米；(2)四个角的矩形花坛由甲、乙两个工程队负责绿化种植，甲工程队每平方米施工费为100元，乙工程队每平方米施工费为120元．若完成此工程的工程款不超过42000元，至少要安排甲队施工多少平方米？26．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知()8,6B ，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，动点D 从点O 出发沿O →A 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A 停止．在运动过程中，COD △的外接圆交OB 于点P ．连接CD 交OB 于点E ，连接PD ，得到PED V ．(1)求CP DP；(2)如图2，移动过程中，当点P 恰好落在OB 的中点时，求此时点D 的坐标；(3)①设点D 运动的时间为t 秒，直接写出点P 的坐标______（用含t 的代数式表示）；②设PED V 的面积为S ，求S 关于时间t 的关系式．27．【特例感知】（1）如图1，ABC ∠是O 的圆周角，BC 为直径，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，DE AB ⊥，若54BC BD ==，，则AD =，DE =．【类比迁移】（2）如图2，ABC ∠是O 的圆周角，BC 为O 的弦，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，过点D 作DF BC ⊥，垂足为F ，探索线段AB BF BC 、、之间的数量关系，并说明理由．【问题解决】（3）如图3，ABC ∠是O 的圆周角，BC 为O 的弦，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，若90ABC ∠=︒，BD =3AB =，则ABC V 的内心与外心之间的距离为______．28．在ABC V 中，()045B C αα∠=∠=<<︒，AM BC ⊥于点M ，D 是线段BC 上的动点（不与点B ，C ，M 重合），将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．(1)如图1，若点E 在线段AC 上且3AM =，2DM =时，求ME 的长；(2)如图2，若D 在线段BM 上，在射线MB 上存在点F 满足DF DC =，连接AE AF EF ，，，请证明：AE FE ⊥；(3)如图3，若30α=︒，过M 作直线MN AB ⊥交边AB 于点N ，再作点N 关于AM 的对称点N '，点P 是直线MN 上一动点，将APN ' 沿AP 所在直线翻折至ABC V 所在平面内得到APG ，连接BG ，点H 为BG 的中点，连接MH ，当MH 取得最大值时，连接AH ，将AHM △沿AM 所在直线翻折至ABC V 所在平面内得到AMQ △，请直接写出此时GQ BM的值．。
江苏省无锡市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题-【含答案】
B．3（1＋x）2＝147 C．3（1＋x＋x2）＝147 D．（3＋3x）
2＝147
8．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，
不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：
如图，CD 为⊙O 的直径，弦 AB⊥CD，垂足为点 E，CE＝1 寸，AB＝10 寸，则直径
试卷第 6 页，共 7 页
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
试卷第 2 页，共 7 页
பைடு நூலகம்
确的有（ ）
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
A．1 个
B．2 个
C．3 个
第 II 卷（非选择题）
D．4 个
评卷人 得分
二、填空题
11．在比例尺为 1：500000 的地图上量得甲、乙两地的距离为 4cm，则甲、乙两地的
实际距离是___km．
x3
2x y
12．若 y 2 ，则 x 3y ＝_____．
13．已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点（ AP BP ），如果 AB 2cm ，那么线段
2020-2021学年度第一学期江苏省无锡市实验学校九年级期中模拟数学试卷(含解析)
求： （1）该公司员工一分钟跳绳的平均次数至少是多少； （2）该公司一名员工说：“我的跳绳成绩是我公司的中位数”请你给出该员工跳绳成绩的所在范围； （3）若该公司决定给每分钟跳绳不低于 140 个的员工购买纪念品，每个纪念品 300 元，则公司应拿出多 少钱购买纪念品． 25.某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为 80 元，销售价为 120 元时，每天可售出 20 件，为 了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如
．则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 4，5
B. 5，4
C. 5，5
D. 5，6
5.已知⊙O 的半径为 1，弦 AB 长为 1，则弦 AB 所对的圆周角为（ ）
A. 60°
B. 30°
C. 60°和 120°
D. 30°和 150°
6.对于一组数据 3, A. 中位数是 5
7, 5, 3, 2 ，下列说法正确的是（ ）
18.如图，在平面直角坐标系中，以点 A（0，2）为圆心，2 为半径的圆交 y 轴于点 B.已知点 C（2，0）， 点 D 为⊙A 上的一动点，以 CD 为斜边，在 CD 左侧作等腰直角三角形 CDE，连结 BC，则△BCE 面积 的最小值为________.
三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤） 19.农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位： cm ）进行了测量．根据 统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
【九年级】2021 2021无锡市九年级数学第一学期期中试卷(苏科版含答案)
【九年级】2021 2021无锡市九年级数学第一学期期中试卷（苏科版含答案）【九年级】2021-2021无锡市九年级数学第一学期期中试卷（苏科版含答案）2021-2021无锡市九年级数学第一学期期中试卷（苏科版含答案）（考试时间：120分钟满分：130分后）一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分.）1．以下方程中，一元二次方程的就是…………………………………………………（）a.3x－2x＝0b.x(x－1)＝1c.x2＝(x－1)2d.ax2＋bx＋c＝02．若△abc∽△def，相近比为1:2．若bc＝1，则ef的短就是…………………（）a.12b.1c.2d.43．原价168元的商品已连续两次降价a%后售价为128元，以下方程恰当的就是…（）a.128(1＋a%)2＝168b.168(1－a2%)＝128c.168(1－2a%)＝128d.168(1－a%)2＝1284．如图，⊙o的直径cd垂直弦ab于点e，且ce＝2，de＝8，则ab的长为（）a.2b.4c.6d.85．如图，在⊙o中，ab是直径，bc是弦，点p是⌒bc上任意一点．若ab＝5，bc＝3，则ap的长不可能为………………………………………………………………（）a.3b.4c.4.5d.56．已知扇形的圆心角为45，半径长为12，则该扇形的弧长为…………………（）a.34πb.2πc.3πd.12π7．如图，ab是⊙o的直径，ac是⊙o的切线，连接oc交⊙o于点d，连接bd，∠c＝40，则∠abd的度数就是……………………………………………………（）a.25b.20c.30d.158．例如图，边长为a的也已六边形内有两个三角形（数据例如图），则s阴影s空白的值……（）a.3b.4c.5d.69．例如图，未知△abc和△ade均为等边三角形，d在bc上，de与ac平行于点f，ab＝9，bd＝3，则cf等同于…………………………………………………………（）a.1b.2c.3d.410．例如图，rt△abc中，ac⊥bc，ad平分∠bac交bc于点d，de⊥ad交ab于点e，m为ae的中点，bf⊥bc交cm的延长线于点f，bd＝4，cd＝3．以下结论：①∠aed＝∠adc；②deda＝12；③acbe＝12；④3bf＝4ac．其中恰当结论的个数存有（）a．1个b．2个c．3个d．4个二．填空题（本大题共10小题，每题2分后，共20分后.）11．方程x2＝0的解是.12．一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2＝1的一个根为0，则a＝.13．若一元二次方程mx2＝n（mn＞0）的两个根分别是k＋1与2k－4，则nm＝.14．例如图，未知ab就是△abc外接圆的直径，∠a＝35，则∠b的度数就是.15．如图，在△abc中，点d、e分别在ab、ac上，de∥bc．若ad＝4，db＝2，则debc的值.16．如图，ab、ac、bd是⊙o的切线，p、c、d为切点，如果ab＝5，ac＝3，则bd的长为.17．例如图，△abc中，ae交bc于点d，∠c＝∠e，ad:de＝3:5，ae＝8，bd＝4，则dc的长等同于.18．如图，在rt△abc中，∠acb＝90°，ac＝bc＝2，以bc为直径的半圆交ab于点d，p是⌒cd上的一个动点，连接ap，则ap的最小值是.19．例如图，a、b、c、d依次为一直线上4个点，bc＝2，△bce为等边三角形，⊙o过a、d、e3点，且∠aod＝120．设ab＝x，cd＝y，则y与x的函数关系式为.20．如图，在矩形abcd中，ad＝8，e是边ab上一点，且ae＝14ab．⊙o经过点e，与边cd所在直线切线于点g（∠geb为锐角），与边ab所在直线处设另一点f，且eg:ef＝5:2．当边ad或bc所在的直线与⊙o相切时，ab的长是.三．答疑题（本大题共8小题，共80分后.答疑须要写下必要的文字说明或编程语言步骤）21．（16分）解方程：（1）x2－5x－6＝0（2）2x2－4x－1＝0（3）(x－7)2＋2(x－7)＝0（4）(3x＋2)2＝4(x－3)222．（8分）已知关于x的一元二次方程x2＋2(m＋1)x＋m2－1＝0.（1）若方程存有实数根，谋实数m的值域范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足(x1－x2)2＝16－x1x2，求实数m的值.23．（8分后）例如图，ab为⊙o的直径，pd乌⊙o于点c，交ab的延长线于点d，且∠d＝2∠a．（1）求∠d的度数；（2）若cd＝2，求bd的长．24．（10分后）例如图，在□abcd中，过点b作be⊥cd于e，f为ae上一点，且∠bfe＝∠c.（1）求证：△abf∽△ead；（2）若ab＝4，∠bae＝30，谋ae的长；（3）在（1）（2）的条件下，若ad＝3，求bf的长.25．（8分后）某商店准备工作入一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可以卖出180个，定价每减少1元，销售量天量增加10个；定价每增加1元，销售量天量减少10个．因受到库存的影响，每批次发货个数严禁少于180个，商店若将准备工作买进2000元，则应当发货多少个？定价为多少元？26．（10分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点a、b、c．（1）图画出高圆弧所在圆的圆心d的边线（不必文学创作法，留存作图痕迹），并相连接ad、cd．（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①以点o为原点、水平方向所在直线为x轴、直角方向所在直线为y轴，创建平面直角坐标系则，写下点的座标：c（6，2）、d；（2，0）②⊙d的半径为25（结果留存根号）；③若用扇形adc围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是5π4；④若e（7，0），试判断直线ec与⊙d的位置关系并说明你的理由．27．（10分后）例如图，在锐角△abc中，ac就是最短边，以ac中点o为圆心，12ac短为半径并作⊙o，交bc于e，过o作od∥bc交⊙o于d，联结ae、ad、dc．（1）求证：d是⌒ae的中点；（2）澄清：∠dao＝∠b＋∠bad；（3）若s△cefs△ocd＝12，且ac＝4，求cf的长.28.（10分后）在□aboc中，ao⊥bo，且ao＝bo．以ao、bo所在直线为坐标轴创建如图所示的平面直角坐标系则，未知b(－6，0)，直线y＝3x＋b过点c且与x轴处设点d．（1）求点d的坐标；（2）点e为y轴正半轴上一点，当∠bed＝45°时，谋直线ec的解析式；（3）在（2）的条件下，设直线ec与x轴交于点f，ed与ac交于点g．点p从点o出发沿折线of－fe运动，在of上的速度是每秒2个单位，在fe上的速度是每秒2个单位．在运动过程中直线pa交be于h，设运动时间为t．当以e、h、a为顶点的三角形与△egc相似时，求t的值．初三数学期中考试参考答案与评分标准2021.11一、选择题（每题3分）bcddacacbc二、填空题（每空2分后）11.x1＝x2＝012.113.414.5515.2316.217.15418.5－119.y＝4x20.4或12三、解答题21.①x1＝6，x2＝－1②x1,2＝2±62③x1＝7，x2＝5④x1＝－8，x2＝45………………………………………………………………（每小题4分，分步酌情给分）22.（1）∵原方程存有实数根，∴△＝4(m＋1)2－4(m2－1)≥0…………………………（3分后）解得m≥－1，故m的取值范围是m≥－1…………………………………（4分）（2）若方程两实数根分别为x1、x2，则x1＋x2＝－2(m＋1)，x1x2＝m2－1……（5分后）由(x1－x2)2＝16－x1x2得(x1＋x2)2＝16＋3x1x2，即4(m＋1)2＝16＋3(m2－1)（6分）化简整理得，m2＋8m－9＝0，Champsaurm＝－9或m＝1………………………（7分后）考虑到m≥－1，故实数m的值为1…………………………………………（8分）23.（1）联结oc…………………………………………………………………………（1分后）∵pd切⊙o于点c，∴oc⊥pd………………………………………………（2分）∵⊙o中，oa＝oc，∴∠cod＝2∠a，而∠d＝2∠a，∴∠cod＝∠d（3分后）∴在rt△cod中，d＝45…………………………………………………（4分）（2）∵在rt△cod中，co＝cd＝2，∴od＝22………………………………（6分后）∴bd＝22－2…………………………………………………………………（8分）24.（1）先证∠abf＝∠ead，…………………………………………………………（2分后）再证∠baf＝∠aed，…………………………………………………………（3分）∴△abf∽△ead………………………………………………………………（4分后）（2）ae＝833…………………………………………………………………………（7分）（3）由△abf∽△ead，得bfad＝abae，………………………………………………（8分后）故bf＝abadae＝3×4833＝332．………………………………………………（10分）25.因每批次发货个数严禁少于180个，故原销售定价应当减少……………………（1分后）设在原销售定价基础上增加x元，则销售量减少10x个………………………（2分）根据题意，(52＋x－40)(180－10x)＝2000，……………………………………（4分后）化简整理，得x2－6x－16＝0，解得x＝8或－2…………………………………（6分）而x≥0，∴x＝8……………………………………………………………………（7分后）答：应定销售价每个60元，进货100个…………………………………………（8分）26.（1）画图，略………………………………………………………………………（2分后）（2）c(6，2)、d(2，0)、25、52（1＋1＋1＋2分）…………………………（7分）ec与⊙d切线（推论1分后，用笔2分后）……………………………………（10分后）27.（1）∵ac是⊙o的直径，∴∠aec＝90°，即bc⊥ae…………………………（1分）∵od∥bc，∴od⊥ae…………………………………………………………（2分后）∴⊙o中，d是⌒ae的中点………………………………………………………（3分）（2）缩短ad交bc于g，在⊙o中，oa＝od，又存有od∥bc，∴∠dao＝∠ado＝∠agc＝∠b＋∠bad…………………………………（6分）（3）∵s△ocd＝12s△ac d，s△cefs△ocd＝12，∴s△cefs△acd＝14………………………………（7分后）可证△cef∽△cda…………………………………………………………（8分）∴cfca＝12，cf＝12×4＝2…………………………………………………（10分后）28.（1）c(6，6)……………………………………………………………………………（1分）b＝－12，d(4，0)……………………………………………………………（2分后）（2）e(0，12)…………………………………………………………………………（4分）直线ec的解析式就是y＝－x＋12………………………………………………（5分后）（3）t＝3………………………………………………………………………………（7分）或t＝212…………………………………………………………………………（10分后）。
江苏省无锡市省锡中实验学校2020-2021学年九年级(上)期中数学复习试卷
2020-2021学年九年级（上）期中数学复习试卷五一．选择题（共10小题，共30分）1．cos45°的值等于（）A．B．C．D．2．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3＝0时，原方程可变形为（）A．（x+1）2＝2B．（x+1）2＝4C．（x+1）2＝5D．（x+1）2＝7 3．下列说法正确的是（）A．弦是直径B．平分弦的直径垂直弦C．优弧一定大于劣弧D．等弧所对的圆心角相等4．对于线段a，b，如果a：b＝2：3，那么下列四个选项一定正确的是（）A．2a＝3b B．b﹣a＝1C．D．5．若2﹣是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值是（）A．1B．C．D．6．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠B＝40°，则∠OAC的度数为（）A．20°B．40°C．50°D．80°7．已知⊙O的直径为8，点P在直线l上，且OP＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相切或相交8．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则sin A的值为（）A．B．C．D．9．在如图的正方形网格图中，A、B、C、D都是格点，AB、CD相交于点E，则CE：ED的比值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，∠MON ＝45°，一直角三角尺△ABC 的两个顶点C 、A 分别在OM ，ON 上移动，若AC ＝6，则点O 到AC 距离的最大值为（ ）A ．62B ．323+C ．422+D ．63二．填空题（共8小题，共24分）11．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣2x +1＝0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是 ．12．在比例尺是1：30000的交通游览图上，某隧道长约7cm ，则它的实际长度约为 km ．13．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF ＝CD ＝4cm ，则球的半径为 cm ．14．若x 2﹣x ﹣1＝0，那么代数式x 3+2x 2﹣7的值是 ．15．在平面直角坐标系中，以点（3，﹣4）为圆心，r 为半径的圆与坐标轴有且只有3个公共点，则r 的值是 ．16．如图所示，将一副三角板摆放在一起，组成四边形ABCD ，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB ＝45°，连接BD ，则tan ∠CBD 的值为 ．17．如图，在锐角△ABC 中，以BC 为直径的半圆O 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，且cos A＝，则S △ADE ：S 四边形DBCE 的值为 ．18．如图，已知直线y ＝x ﹣3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 在以C （0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结P A 、PB ，则△P AB 面积的最大值是 ．三．解答题（共10小题，76分）19．（本题6分）计算和解方程（1）2031()27(2020)3tan 302π----+︒ （2）23(2)42x x -=-20．（本题6分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝15，sin ∠A ＝，求BC 的长和tan ∠B 的值．21．（本题6分）解方程x2﹣|x|﹣2＝0，解：1．当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1[不合题意，舍去]．2．当x＜o时，原方程化为：x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1，（不合题意，舍去）x2＝﹣2．所以原方程的根为：x1＝2，x2＝﹣2请参照例题解方程：x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．22．（本题6分）如图，已知⊙O，利用直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）如图①，点P在⊙O上，过点P作⊙O的切线；（2）如图②，点P在⊙O外，过点P作⊙O的切线．23．（本题8分）某水晶饰品商店购进300个饰品，进价为每个6元，第一天以每个10元的价格售出100个，第二天若按每个10元的价格销售仍可售出100个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出25个，但售价不得低于进价）（1）若商家想第2天就将这批水晶销售完，则销售价格应定为多少？（2）单价降低销售一天后，商店对剩余饰品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批饰品共获得625元，问第二天每个饰品的销售价格为多少元？24．（本题8分）解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．例题呈现关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝1，x2＝﹣2（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是．解法探讨（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题小明的思路第1步把1，﹣2代入到第1个方程中求出m的值；第2步把m的值代入到第1个方程中求出的值；第3步解第2个方程．（2）小红仔细观察两个方程，她把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，则“x+2”的值为，从而更简单地解决了问题．策略应用（3）小明和小红认真思考后认为，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解決以下问题，请用他们说的方法完成解答．已知方程（a2﹣2b2）x2+（2b2﹣2c2）x+2c2﹣a2＝0有两个相等的实数根，其中常数a、b、c是△ABC三边的长，判断△ABC的形状．25．（本题8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE•CA．（1）求证：BC＝CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝2．①求证：△AFD∽△ACB．②求DF的长．26．（本题8分）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm 的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：≈1.41，≈1.73）27．（本题10分）请认真阅读下面的数学探究，并完成所提出的问题．（1）探究1：如图1，在边长为a的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，连接AP，将△APC绕点A按顺时针方向旋转至△ABQ处，连接PQ，求△APQ面积的最小值．（2）探究2：如图2，若△ABC是腰长为a的等腰直角三角形，∠BAC＝90°，（1）中的其他条件不变，请求出此时△APQ面积的最小值．（3）探究3：如图3，在△ABC中，AC＝a，∠C＝30°，∠ABC＝90°，P是BC边上任意一点，连接AP，将△APC绕点A按顺时针方向旋转至△AQD处，A、B、D三点共线，连接PQ，求△APQ的面积的最小值．28．（本题10分）如图，矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n．（1）若m＝4，矩形ABCD的边CD上是否存在点P，使得∠APB＝90°？写出点P存在或不存在的可能情况和此时n满足的条件．（2）矩形ABCD的边上是否存在点P，使得∠APB＝60°？写出点P存在或不存在的可能情况和此时m、n满足的条件．。
无锡市天一实验学校九年级上期中数学试题及答案
无锡市天一实验学校秋学期初三数学期中试卷出卷人：刘 审卷人：张玲一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答案直接写在答卷上相应的位置处．．．．．．．．．) 1．下列函数关系中，y 是x 的二次函数的是 ………………………………… ( ▲ ) A ．y = 2x + 3 B ．y =1+x C ．y = x 2 − 1 D ．y = 1x 2 + 12．如图，已知⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，点E 是︵AD 上任意一点，则∠BEC 的度数为…………………………………………………………………………………… ( ▲ ) A ．30° B. 45° C. 60° D. 90°3．二次函数y = −3x 2 − 6x + 5的图象的顶点坐标是 …………………………… ( ▲ )A ．(−1，8)B ．(1，8)C ．(−1，2)D ．(1，−4)4．已知圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，则这个圆锥的母线长为 ……… ( ▲ ) A ．12cm B ．10cm C ．8cm D ．6cm5．把抛物线y = −x 2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 …………………………………………………………………………… ( ▲ ) A ．y = −(x − 1)2 − 3 B ．y = −(x + 1)2 − 3 C ．y = −(x − 1)2 + 3 D ．y = −(x + 1)2 + 36．如图，两个同心圆的半径分别为4cm 和5cm ，大圆的一条弦AB 与小圆相切，则弦AB 的长为 ………………………………………………………………………… ( ▲ ) A ．3cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm第2题图 第6题图 第9题图7．已知点A 在半径为r 的⊙O 内，点A 与点O 的距离为6，则r 的取值范围是 ( ▲ ) A ．r > 6 B ．r ≥ 6 C ．r < 6 D ．r ≤ 6 8．已知二次函数y = −x 2 − 2x + k 的图象经过点A (1，y 1)，B (2-，y 2)，C (−2，y 3)，则下列结论正确的是 ……………………………………………………………… ( ▲ )A ．y 1 < y 2 < y 3B ．y 2 < y 1 < y 3C ．y 3 < y 1 < y 2D ．y 1 < y 3 < y 29．已知二次函数y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a − b < 0；②abc < 0；③a + b + c < 0；④a − b + c > 0；⑤4a + 2b + c > 0．其ED ABC OA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，在△ABC 中，AB = 10，AC = 8，BC = 6，经过点C 且与AB 相切的动圆与CB 、CA 分别相交于点E 、 F ，则线段EF 长度的最小值是 …………… ( ▲ )A ．24B ．4.75C ．4.8D ． 5第10题图二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接写在答卷上相应的位置处．．．．．．．．．) 11．如图，AB 是半圆的直径，点C 、D 是半圆上两点，∠ABC = 50°，则∠ADC = ▲ ． 12．抛物线y = −2x 2 + 8bx + 1的对称轴是直线x = −2，则抛物线的解析式为 ▲ ． 13．已知扇形的半径为3 cm ，圆心角为120°，则此扇形的的弧长是 ▲ cm(结果保留π)． 14．抛物线y = 2x 2 + 8x + m 与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 ▲ ．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，⊙O 为△ABC 的内切圆，点D是斜边AB 的中点，则tan ∠ODA 等于 ▲ ．第11题图 第15题图 第17题图16．已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y = −12x 2 + 1上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 ▲ ．17．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 、EF 是⊙O 的弦，且AB // CD // EF ，AB = 10，CD =6，EF = 8．则图中阴影部分的面积为 ▲ ．18．已知二次函数y = −x 2 + 2|x |+ 1．如果方程−x 2 + 2|x |+ 1 = k 恰有两个不相等的实数根，那么k 须满足的条件是 ▲ ．三、解答题(本大题共10小题，共84分．请在答卷指定区域内作答．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．(本题满分6分)如图，已知⊙O 的半径为R ．(1)请用无刻度的直尺、圆规作出已知圆的内接正△ABC (只需保留作图痕迹)(2)试求正△ABC 的周长． CAB EF AB OCDEFO第19题图20．(本题满分8分)如图，已知二次函数y = ax 2 − 4x + c 的图象经过点A 和点B ． (1)求该二次函数的表达式；(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；(3)若点P (m ，m )在该函数图象上，求m 的值．第20题图21．(本题满分7分)如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，延长BC 至点D ，使DC =CB ．延长DA 与⊙O 的另一个交点为E ，连结AC ，CE ．(1)求证：∠B =∠D ；(2)若⊙O 的半径为2，AC = 2，求CE 的长．第21题图22．(本题满分6分)如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB = 2，∠B = 30°，点C 是弦AB 上任意一点(不与点A 、B 重合)，连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD ． (1)求弦AB 的长；(2)当∠D = 20°时，求∠BOD 的度数．ACDEO第22题图23．(本题满分8分)如图，已知抛物y = x 2 + bx + c 与x 轴交于点A 、B ，AB = 2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x = 2． (1)求抛物线的函数表述式；(2)设P 为对称轴上一动点，求△APC 周长的最小值；第23题图24．(本题满分8分)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，D 为⊙O 上的一点，CD = CB ，延长CD 交BA 的延长线于点E ．(1)求证：CD 为⊙O 的切线；(2)若OF ⊥BD 于点F ，且OF = 1，∠ABD = 30°，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)第24题图25．(本题满分9分)某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q 量化考核司机的工作业绩．OABCD素)，W 由两部分的和组成：一部分与x 的平方成正比，另一部分与x 的n 倍成正比．试行中得到了表中的数据． (1)用含x 和n 的式子表示Q ；(2)若n = 3，要使Q 最大，确定x 的值； (3)设n = 2，x = 40，能否在n 增加m % (m > 0)同时x 减少m %的情况下，而Q 的值仍为420，若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．26．(本题满分10分)已知抛物线的顶点为(0，4)且与x 轴交于(−2，0)，(2，0)．(1)直接写出抛物线解析式；(2)如图，将抛物线向右平移k 个单位，设平移后抛物线的顶点为D ，与x 轴的交点为A 、B ，与原抛物线的交点为P ．①当直线OD 与以AB 为直径的圆相切于点E 时，求此时k 的值；②是否存在这样的k 的值，使得点O 、P 、D 三点恰好在同一直线上？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．xyPE D CBAOxyP DBAO第26题图 备用图27．(本题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，二次函数y = ax 2 + bx + c 的图象经过点A ，B ，与x 轴分别交于点E ，F ，且点E 的坐标(32，0)，以OC 为直径作半圆，圆心为D ． (1)求二次函数的解析式；(2)求证：直线BE 是⊙D 的切线；(3)若直线BE 与抛物线的对称轴交点为P ，M 是线段CB 上的一个动点(点M 与点B ，C 不重合），过点M 作MN // BE 交x 轴于点N ，连结PM ，PN ，设CM 的长为t ，△PMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．问S 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．第27题图 备用图28．(本题满分10分)在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB = 90°，P 是OA 延长线上一点，过线段OP 的中点H 作OP 的垂线交弧AB 于点C ，射线PC 交弧AB 于点D ，联结OD ．(1)如图，当︵AC = ︵CD 时，求弦CD 的长；(2)如图，当点C 在︵AD 上时，设P A = x ，CD = y ，求y 与x 的函数关系式，并写出x的取值范围；第28题图 备用图AO BAO BDCH P无锡市天一实验学校秋学期初三数学期中考试参考答案题号 12345678910答案CBABDCADBC11． 130° 12． y = −2x 2 − 8x + 113． 2π 14． 8 15． 2 16． (6 ，−2) 17． 12.5π 18． k = 2或k < 1三、解答题(本大题共10小题，共84分) 19．(本题满分6分) (1)如图，△ABC 就是所求作的三角形． ………………3分OABCOABCD在Rt △OCD 中，∠ODC = 90°，∠OCD = 30°，则CD = OC ·cos30° = 23R ， ∴BC = 2CD =3R ，∴△ABC 的周长 = 33R ． ………………3分20．(本题满分8分)(1)将A (−1，−1)，B (3，−9)代入，得： ⎩⎨⎧-=+--=++912914c a c a ，∴a = 1，c = −6， ∴y = x 2 − 4x − 6 ………………3分(2)对称轴：直线x = 2顶点坐标：(2，−10) ………………2分(3)∵点P (m ，m )在函数图象上， ∴m 2 − 4m − 6 = m∴m = 6或−1． ………………3分21．(本题满分7分)（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°， ∴AC ⊥BC , ∵DC =CB ∴AD =AB ，∴∠B =∠D ． ………………3分 （2）设BC =x ，则AC =x －2．在Rt △ABC 中，AC 2+BC 2=AB 2， ∴（x －2）2+x 2=4，解得71,7121-=+=x x （舍去）， ∵∠B =∠E ，∠B =∠D ， ∴∠D =∠E ， ∴CD =CE ， ∵CD =CB∴CE =CB =1+7． ………………4分22．(本题满分6分)ABCDEO(1)过点O作OE⊥AB于E，则AE=BE=AB，∠OEB=90°，∵OB=2，∠B=30°，∴BE=OB•cos∠B=2×=，∴AB=2；………………3分（2）连接OA，∵OA=OB，OA=OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°，∴∠BOD=2∠DAB=100°；…………3分23．(本题满分8分)解：（1）∵AB=2，对称轴为直线x=2∴ A点的坐标为（1,0），B点的坐标为（3,0）∵抛物y=x2+bx+c与x轴交于点A、B∴1,3是方程x2+bx+c=0的两个根.由根与系数的关系，得1+3=－b，1×3=c∴b=－4，c=3∴抛物线的函数表达式为y=x2－4x+3………………4分（2）连接AC，BC，BC交对称轴于点P，连接P A.由（1）知抛物线的函数表达式为y=x2－4x+3，点A、B的坐标分别为（1,0），（3,0）∴点C的坐标为（0,3）.∴ BC=223+1=10.3+3=32，AC=22∵点A、B关于对称轴x=2对称，∴P A=PB∴P A+PC=PB+PC此时，PB+PC=BC∴当P点在对称轴上运动时，P A+PC的最小值等于BC∴△APC周长的最小值=AC+AP+PC=32+10………………4分24．(本题满分8分)(1) 证明: 连接OD∵BC是⊙O的切线∴∠ABC = 90°∵CD = CB∴∠CBD =∠CDB∵OB = OD∴∠OBD = ∠ODB( 2) 在Rt △OBF 中,∵∠ABD = 30°，OF = 1, ∴∠BOF = 60º，OB = 2, BF = 3 ∵OF ⊥ BD ∴BD = 2BF = 2⨯3=6, ∠BOD = 2∠BOF = 120° ∴S 阴 = S 扇 形 BOD - S △ BOD162136021202⨯⨯-⨯=π3-34π= ………………4分25．(本题满分9分)解：（1）设W=k 1x 2+k 2nx ，∴Q= k 1x 2+k 2nx+100.由表中数据，得212212420=40240100,10060140100.k k k k ⎧+⨯+⎪⎨=+⨯+⎪⎩ 解得121= ,106.k k ⎧-⎪⎨⎪=⎩ ∴Q=110-x 2+6nx+100. ………………3分（2）当n=3时，Q=110-x 2+18x+100.由n=﹣110＜0可知，要使Q 最大，x=181210-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=90. …………3分(3)由题意，得420=110-[40（1-m%）]2+6×2(1+m%)×40（1-m%）+100.即2(m%)2﹣m%=0，解得m%=12，或m%=0（舍去）.∴m=50. …………3分26．(本题满分10分)xyPE D CBAOxyPDCB AO解：（1）设所求抛物线解析式为y =ax 2+c ，把点（0，4）、（2，0）分别代入y =ax 2+c ，得y =-x 2+4. ………………2分(2)①连接CE ，CD ， ∵OD 是⊙C 的切线， ∴CE ⊥OD ，在Rt △CDE 中，∠CED ＝90°，CE=AC =2，DC =4，∴∠ EDC ＝30°， ∴在Rt △CDO 中，∠ OCD ＝90°，CD =4，∠ ODC ＝30°，∴OC =334，∴当直线OD 与以AB 为直径的圆相切于E 时， k = OC =334；………………4分②设平移k 个单位后的抛物线的解析式是y = －（x －k ）2+4，它与y =－x 2+4交于点P ，可得点P 的坐标是（2k ，442+-k ）．设直线OD 的解析式是y=ax ，把D （k ，4）代入，得y=k4x ，若点P （2k ，442+-k ）在直线y=k 4x 上，则24442kk k •=+-x .解得k=22±（舍去负值）．∴当k =22时，点O 、P 、D 三点恰好在同一直线上． ………………4分27．(本题满分12分)（1）由题意，得A (0，2)，x ＝－2b a ＝1，E (－23，0)，∴2,1,2420,93c ba abc ⎧⎪=⎪⎪-=⎨⎪⎪-+=⎪⎩解得9,89,42,a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴二次函数的解析式为y ＝－98x 2+94x +2. ………………3分（2）过点D 作DG ⊥BE 于点G .由题意，得ED ＝23+1＝53，EC ＝2+23＝83，BC ＝2，∴BE ＝6449+＝103.∵∠BEC ＝∠DEG ，∠EGD ＝∠ECB ＝90°，∴△EGD ∽△ECB .∴DG BC ＝DE BE ，即2DG＝53103，∴DG ＝1.∵⊙D 半径为1，且DG ⊥BE ，∴BE 是⊙O 的切线，G 为切点. ………………4分（3）由题意，得E (－23，0)，B (2，2)，设直线BE 的解析式为y ＝kx +b ，∴22,20,3k b k b +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得3,41.2k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线BE 的解析式为y ＝34x +12.∵直线BE 与对称轴交于点P ，对称轴为直线x ＝1，∴y ＝54，∴点P 的坐标为(1，54).∵MN ∥BE ，∴∠MNC ＝∠BEC .∵∠MCN ＝∠BCE ＝90°，∴△MNC ∽△BEC .∴CNEC＝MC BC ，即83CN ＝2t ，∴CN ＝43t ，∴DN ＝43t －1∴S △PND ＝12DN ·PD ＝12·(43t －1)·54＝56t －58，S △MNC ＝12CN ·CM ＝12·43t ·t ＝23t 2，S 梯形PDCM ＝12 (PD +CM )·CD ＝12 (54+t )·1＝58+12t .∵S ＝S △PND + S 梯形PDCM －S △MNC∴S ＝－23t 2+43t (0＜t ＜2)，∴S 存在最大值，当t ＝1时，S 最大＝23. …………5分28．(本题满分10分)AO BAO BDCH P………………4分………………6分。
江苏省无锡市天一实验学校2020-2021 学年度第一学期九年级数学期中考试
无锡市天一实验学校200-2021学年第一学期期中考试初三数学试卷 2020.11一、选择题(每小题3分，共30分) 1.sin60°的值为（ ） A.21 B.33 C.23 D.32.若式子x 1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A.x ≠1B.x ≤1C.x ≥1D.x ＜13.下列方程是一元二次方程的是（ ）A.x+2y=3B.x 2+6=0C.x 2+x 3＝9D..x(x+3)=x 2-24.如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，AD ＝3，BD ＝6，DE ＝2，则BC 的值为（ ）A.5B.6C.7D.85.如图，AB 是⊙的直径，DB 、DE 分别切⊙O 于点B 、C ，若∠ACE ＝35°，则∠D 的度数是（ ）A.65°B.55°C.60°D.70°6.有下列说法:①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等③经过三个点一定可以作圆；④相等的圆心角对的弧相等.其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个（第4题） （第5题） （第7题）7.如图AB 是⊙O 的直径，点C 、D 、E 在⊙O 上，∠AEC ＝25°，∠BDC ＝（ ）A.100°B.110°C.120°D.115°8.如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度把一根长10m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出杆长1m 处的D 点离地面的高度DE ＝0.6m ，又量得杆底与坝脚的距离AB ＝6m ，则石坝的坡度为（ ）A.43B.53 C.3 D.4（第8题） （第9题） （第10题）9.如图，在△ABC 中，AB ＝AC=5，BC ＝25，若点O 为△ABC 三条高的交点，则OA 的长度为（ ） A.253 B.352 C.5 D.453 10.如图，点A(-1，0)，点B(-4，0)，平行四边形ABCD 的顶点D 在第二象限，反比例函数y=x (k<0)图像过点D 和BC 边的中点E,若∠C=α，则k 的值(用含α的式子表示为)（ ）A.-4tan αB.-3tan αC.925-tan αD.928-tan α 二、填空题(每小题2分，共16分)11.方程x 2＝2x 的解是_________.12.如果x y x +=47，那么y x =_________. 13.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB=6，∠A ＝60°，则BC ＝_________.14.若关于x 的一元二次方程kx 2-2x-1＝0有两个实数根，则实数的取值范围是_________.15.如图，在4×5的正方形网格中点A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC ＝_________.16.⊙O 是AC 的外接圆，∠BOC ＝110°，则∠A 的度数等于_________.17.在数学必修拓展课上，小兰利用一张直角三角形纸片折出了一个菱形AFDE ，如图所示，若∠ACB ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，则折痕EF 的长为_________.（第15题） （第17题） （第18题） 18.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，点O 为△ABC 边上一点，⊙0是以点O 为圆心，1为半径的圆，若点O 沿三角形的边顺时针方向运动一周，则⊙O 扫过区域的面积为_________.三、解答题(本大题共10小题，共84分)19.计算:(本题满分8分)(1)-（-21）-2-4sin60°-tan45° (2)tan60°+│2-3│20.解下列方程:(本题满分8分)(1)x 2+4x-3=0 (2)x 2-4x+4=(3x-6)221. (6分)化简代数式b a b a 2+-+222244b ab a b a ++--1，然后选择一个你喜欢的代入求值.22.(8分)如图，在正方形ABCD 中，点E 为线段BC 上一点，EF ⊥AE ，交CD 于点F.(1)求证:△ABE ∽△ECF ；(2)若△ABE ∽△AEF ，试确定BE 与EC 的数量关系，并说明理由.23.(6分)由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废下方点C处有生命迹象，在废墟一侧地面上探测点A、B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°(如图所示)，试确定生命所在点C的深度.(参考数据:2≈1.414，3≈1.732，结果精确到0.1)24.(10分)如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点连接DE、OE.(1)试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O半径r＝6，DE＝8，求AD的长.25.(8分)某保健柜加工销售芝麻核桃粉，平均每天可销售20千克芝麻核桃粉，每千克赢利18元，双十一临近，为了抓住商机，增加赢利，尽快减少库存，该专柜决定采取适当降价措施.经调查发现，如果每千克降价1元，专柜平均毎天可多售出5千克，求该专柜平均每天赢利400元，且让顾客得到实惠，每千克芝麻核桃粉应降价多少元?26.(6分)门环，在中国绵延了数千多年的，集实用、装饰和门第等級为一体的一种古建筑构件，也成为中国古建“门文化”中的一部分，现有一个门环的示意图如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心.(1)请用无刻度直尺与圆规，过点O作一个⊙P，使⊙P与直线AF和直线AB同时相切.(请保留作图痕迹)(2)若正六边形ABCDEF E的边长为18cm，试求(1)中⊙P的半径.(结果保留根号)27.(10分)如图1，在平行四边形中，AB＝6，∠B＝α(60°＜α≤90°)，点E在BC上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B与AD上的点F重合，连接EF.(1)求证:四边形ABEF是菱形；(2)如图2，点M是BC上的动点，连接AM，把线段AM绕点M顺时针旋转α得线段MN，连接FN，求FN的最小值(用含α的代数式表示)28.(14分)如图，在矩形OABC中，点A坐标为(8，0)，点C坐标为(0，6)，将矩形OABC绕坐标原点O逆时针方向旋转90°得矩形ODEF，矩形ODEF的对角线OE所在直线为l.(1)直线l的解析式为:_________________.(2)若直线l以每秒1个单位的速度向右运动，当直线l经过点B时停止运动，设运动时间为t秒，若直线l扫过矩形OABC的面积为S，试求S与t的函数关系式；(3)在(2)的条件下，点P为线段BC上一点，在直线l出发的同时，点P以每秒2个单位的速度沿B→C→B的方向运动，以点P为圆心，BP为半径作⊙P，请问当t为何值时，直线与⊙P相切?。
江苏省无锡市天一实验学校2020年九年级中考一模数学试题
精选资料初三中考第一次适应性训练数学试卷（考 120 分 ， 卷 分 130 分．）一、 （本大 共10 小 ，每小 3 分，共 30 分．在每小 所 出的四个 中，只有一 是正确的， 用 2B 笔把答 卡上相 的 号涂黑）．．．．．．．．．．．．．1．－ 3 的 是（ ▲ ）11C ．－ 3D ． 3A ．B ．332．以下运算正确的选项是（▲ ） 235232 223)4x 7B ． ( x)x x C ． x xx D ．（ x y A ． ( xy ）=x3．分解因式 a 29a 的 果是（▲ ）A ．a （ a - 9）B ．（ a - 3）（ a ＋ 3）C ．（ a - 3a ）（ a ＋ 3a ）D ． (a 3)24．如 ，所 形中是中心 称 形但不是 称 形的是( ▲ )AB CD5．一次数学 后，随机抽取九年 某班5 名学生的成 以下：91， 78， 98， 85， 98．对于 数据法 的是 （ ▲ ）．． A ．极差是 20 6． 的底面半径A ． 4πB ．中位数是 91C ．众数是 982，母4， 它的 面 ( ▲)B ． 8πC ． 16πD ． 4 3πD ．均匀数是917．如 是由几个同样的小正方体搭成的一个几何体，它的俯 是（）A ．B ．C ．D ．8．在平面中，以下命 真命 的是（▲）A ．四 相等的四 形是正方形B ．四个角相等的四 形是矩形C ． 角 相等的四 形是菱形D ． 角 相互垂直的四 形是平行四 形9.定 符号 min{a ，b} 的含 ：当 a ≥b min{a ，b}=b ；当 a ＜ bmin{a ，b}=a ．如： min{1 ， 3}= 3，min{ 4， 2}= 4． min{ x 2+1， x} 的最大 是（▲ ）A ．B ．C ． 1D ． 010.如 ，在平面直角坐 中，直 l 原点，且与 y正半 所 的 角 60°， 点 A （ 0，1）作 y 的垂 交直 l 于点 B ， 点 B 作直 l 的垂 交 y 于点 A 1，以 A 1B 、 BA 作 □ABA 1C 1； 点 A 1 作 y 的垂 交直 l 于点 B 1， 点 B 1 作直l 的垂 交 y 于点 A 2，以 A 2B 1、 B 1 A 1作 □A 1B 1A 2C 2； ⋯ ；按此作法 下去， C n 的坐 是（ ▲ ）A ．（×4n ，4n ）B ．（﹣×4n-1 ， 4n-1 ）C ．（﹣×4n ﹣ 1， 4n ）D ．（×4n ，4n-1）精选资料二、填空题 （本大题共 8 小题，每题2 分，共 16 分．不需写出解答过程，只要把答案直接填写在答题．．卡上相应的地点 处） ．．．．．．． 11．函数 yx 2 中自变量 x 的取值范围是▲ 。
江苏省无锡市锡山区2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
⑵若 ，求图中阴影部分的面积.
23．某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品．
（1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为；
（2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），求小芳获得2份奖品的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9
3．下列说法正确的是（）
A．若甲组数据的方差 ，乙组数据的方差 ，则甲组数据比乙组数据大
B．从1，2，3，4，5，中随机抽取一个数，是偶数的可能性比较大
C．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3
D．若某种游戏活动的中奖率是30%，则参加这种活动10次必有3次中奖
A．圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半B．三点确定一个圆
C．圆有四条对称轴D．各边相等的多边形是正多边形
7．如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点， ＝ ，∠D＝128°，则∠B的度数为（ ）
A．128°B．126°C．118°D．116°
8．如图，在长20m、宽18m的矩形草坪上，修筑同样宽的三条（横向一条，纵向两条）矩形道路，要使草坪面积达到306m2，则道路宽度是（）
24．《国家学生体质健康标准》规定：体质测试成绩达到90.0分及以上的为优秀；达到80.0分至89.9分的为良好；达到60.0分至79.9分的为及格；59.9分及以下为不及格，某校为了了解九年级学生体质健康状况，从该校九年级学生中随机抽取了10%的学生进行体质测试，测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示。
无锡市天一实验学校 2021-2022 学年九年级上学期期中考试数学试题(含答案)
江苏省无锡市天一实验学校2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题【解析版】一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．3x2﹣6x+2B．x2﹣y+1＝0C．x2＝0D．+x＝2【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、它不是方程，故本选项错误；B、该方程中含有2个未知数，故本选项错误；C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、该方程是分式方程，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．已知⊙O的直径为4，点O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法判断【分析】根据直线与圆的位置关系判定方法，假设圆心到直线的距离为d，当d＞r，直线与圆相离，当d＝r，直线与圆相切，当d＜r，直线与圆相交，由⊙O的直径为4cm，点O到直线l的距离为2cm，得出d＝r，进而l与⊙O的位置关系．【解答】解：∵⊙O的直径为4，∴⊙O的半径为2，∵点O到直线l的距离为2，∴d＝r∴l与⊙O的位置关系相切．故选：B．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是判断出圆的半径与圆心到直线的距离，再根据判定方法得出位置关系．3．已知，则的值为（）A．2B．C．D．【分析】根据比例的性质得出3a﹣3b＝a，求出2a＝3b，即可得出答案．【解答】解：∵＝，∴3a﹣3b＝a，∴2a＝3b，∴＝，故选：D．【点评】本题考查了比例的性质的应用，此题比较典型，难度不大．4．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（）A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C．D．【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC，∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．5．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝20°，则∠BOD等于（）A．20°B．40°C．80°D．70°【分析】由线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理的即可求得：＝，然后由圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴＝，∴∠BOD＝2∠CAB＝2×20°＝40°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．6．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则k满足（）A．k≥0B．k≤0且k≠﹣1C．k＜0且k≠﹣1D．k≤0【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，∴，解得：k≤0且k≠﹣1．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为（）A．6B．7.5C．10.5D．12【分析】过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，通过证明△EFG∽△CBG，可得GN：GM＝EF：BC ＝1：2，可求GN，GM的长，由面积的和差关系可求解．【解答】解：过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵EF＝AD，∴EF＝BC，∵AD∥BC，NG⊥AD，∴△EFG∽△CBG，GM⊥BC，∴GN：GM＝EF：BC＝1：2，又∵MN＝AB＝3，∴GN＝1，GM＝2，＝×6×2＝6，∴S△BCG＝×3×1＝，S矩形ABCD＝AB•BC＝6×3＝18，∴S△EFG∴S＝18﹣6﹣＝．阴影故选：C．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，求出阴影部分的面积可以转化为几个规则图形的面积的和或差的关系．8．如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD＝AC，AB＝4，∠ABC＝150°，则△DBC的面积是（）A．B．C．D．【分析】过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，利用△ABD∽△CED，得到比例式，求得线段CE的长，在直角三角形EBC中，利用直角三角形的边角关系求得BE，进而利用比例式求得线段BD的长，利用三角形的面积公式即可求得结论．【解答】解：过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，如图，∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°．∵∠ABC＝150°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝60°．∵BD⊥AB，CE⊥BD，∴AB∥EC．∴△ABD∽△CED．∴．∵AD＝AC，∴．∴．∴EC＝3．在Rt△CEB中，∵tan∠EBC＝，∴BE＝．∴．∴BD＝．∴＝××3＝．故选：D．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，构建“8”字模型图得到相似三角形是解题的关键．9．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，点O为BC上的点，⊙O的半径OC＝0.5，点D是AB边上的动点，过点D作⊙O的一条切线DE（点E为切点），则线段DE的最小值为（）A．B．C．﹣1D．【分析】连接OE、OD，过点O作OD′⊥AB于D′，根据切线的性质得到OE⊥DE，根据相似三角形的性质求出OD′，根据勾股定理计算即可．【解答】解：连接OE、OD，过点O作OD′⊥AB于D′，∵DE是⊙O的切线，∴OE⊥DE，在Rt△ODE中，DE＝＝＝，则当OD最小时，DE最小，由垂线段最短可知，当OD′⊥AB时，OD′最小，∵OD′⊥AB，∠C＝90°，∴△BOD′∽△BAC，∴＝，即＝，解得：OD′＝2，∴DE的最小值＝＝，故选：A．【点评】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．10．如图，点O为正方形ABCD对角线BD的中点，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC＝EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下五个结论中①OH＝BF；②∠CHF＝60°；③BC＝（2+）GH；④HF2＝HE•HB，正确结论有（）A．1B．2C．3D．4【分析】①只要证明OH是△DBF的中位线即可得出结论；②根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC＝22.5°即可求出结论；③OH是△DBF的中位线等已知条件可得出OH＝BO，设正方形的边长为2a，表示出GH、BC即可得出结论；④由相似三角形的判定定理得出△DHE∽△BHD，根据相似三角形的对角边成比例即可得出结论．【解答】解：①在正方形ABCD中，∠BCE＝∠DCF，BC＝DC，∵EC＝CF，∠BCE＝∠DCF，BC＝DC，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴∠CBE＝∠CDF，∵∠CBE+∠BEC＝90°，∠BEC＝∠DEH，∴∠DEH+∠CDF＝90°，∴∠BHD＝∠BHF＝90°，∵BE平分∠DBC，∴∠HBD＝∠HBF，∵BH＝BH，∴△BHD≌△HBF（ASA），∴DH＝HF，∵OD＝OB，∴OH是△DBF的中位线，∴OH＝BF，故①正确；∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，∴BC＝CD，∠BCD＝∠DCF，∠EBC＝22.5°，∵CE＝CF，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（SAS），∴∠EBC＝∠CDF＝22.5°，∴∠BFH＝90°﹣∠CDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，∴OH是CD的垂直平分线，∴DH＝CH，∴∠CDF＝∠DCH＝22.5°，∴∠HCF＝90°﹣∠DCH＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠CHF＝180°﹣∠HCF﹣∠BFH＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，故②不正确；③∵OH是△DBF的中位线，∴OH∥BF，OH＝BF，OG＝BC，∴∠OHB＝∠HBF，∵BE是∠DBF的平分线，∴∠DBH＝∠HBF，∴∠OHB＝∠HBO，∴OH＝BO，设正方形的边长为2a，则BC＝2a，OG＝a，BD＝2a，∴OB＝OH＝a，∴GH＝OH﹣OG＝a﹣a＝（﹣1）a，∴，∴BC＝（2+2）GH，故③不正确；④∵∠DBF＝45°，BE是∠DBF的平分线，∴∠DBH＝22.5°，由②知∠HBC＝∠CDF＝22.5°，∴∠DBH＝∠CDF，∵∠BHD＝∠BHD，∴△DHE∽△BHD，∴，∴DH2＝HE•HB，故④正确；故选：B．【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．二.填空题（共8小题，每小题3分共计30分）11．在比例尺1：8000000的地图上，量得两城市的距离为6.4厘米，则这两城市的实际距离为512千米．【分析】根据比例尺＝代入数据计算即可．【解答】解：设两城市的实际距离为xcm，∵比例尺＝，∴1：8000000＝6.4：x，∴x＝51200000，∴这两城市的实际距离为512千米．故答案为：512．【点评】本题考查了比例线段，熟练掌握比例尺＝是解题的关键．12．已知实数m是关于x的方程22﹣3x﹣1＝0的一根，则代数式m2﹣m﹣2值为﹣．【分析】根据一元二次方程的解的定义得到2m2﹣3m﹣1＝0，两边除以2变形得到m2﹣m＝，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵m是关于x的方程2x2﹣3x﹣1＝0的一根，∴2m2﹣3m﹣1＝0，∴m2﹣m＝，∴m2﹣m﹣2＝﹣2＝﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．13．已知P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝6cm，则AP长为（3﹣3）cm．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；所以AP＝AB，代入数据即可得出AP的长度．【解答】解：P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），∴＝，∵AB＝6cm，∴AP＝（3﹣3）cm．故答案为：（3﹣3）．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．14．如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与反射光线的夹角为50°，则平面镜与水平地面的夹角α的度数是65°．【分析】根据题意求出∠ABC，根据余角的概念求出∠ABD，根据平行线的性质解答即可．【解答】解：如图，由题意得：∠ABC＝×50°＝25°，∴∠ABD＝90°﹣25°＝65∵AB∥DE，∴α＝∠ABD＝65°，故答案为：65°．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念是解题的关键．15．某服装原价为300元，连续两次涨价a%后，售价为363元，则a的值为10．【分析】根据该服装的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：依题意，得：300（1+a%）2＝363，解得：a1＝10，a2＝﹣210（舍去）．故答案是：10．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点处，则∠ABC的正弦值为．【分析】利用网格求出AC和AB的长，根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，最后根据三角函数的意义求解即可．【解答】解：如图，取BC的中点D，连接AD，由网格可得，AC＝，AB＝，∴AB＝AC，∴AD⊥BC，Rt△ABD中，∵AD＝，∴sin∠ABC＝．故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．17．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，CE＝BC，过B作BG⊥DE于G，交DC的延长线于H，连接AG交DC的延长线于F，则tan∠CBH＝，的值为．【分析】证出∠CDE＝∠CBH，设BE＝EC＝m，则BC＝CD＝2m，想办法用m表示DF，CF，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝∠BCH＝90°，∵BG⊥DG，∴∠BGE＝∠DCE＝90°，∵∠BEG＝∠CED，∴∠CDE＝∠CBH，设BE＝EC＝m，则BC＝CD＝2m，∵∠CDE＝∠CBH，∴tan∠CBH＝tan∠CDE＝，∴，∴EG＝m，BG＝m，DE＝＝m，∵CH＝EC＝m，∴DH＝DC+CH＝3m，DG＝DE+EG＝m，∴GH＝＝＝m，∵AB∥FH，∴△FHG∽△ABG，∴，∴，∴FH＝3m，∴DF＝6m，CF＝4m，∴．故答案为：，．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．18．如图，⊙O的半径为4，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB＝30°，C为PB的中点，则点A、B在圆上运动的过程中，线段AC的最大值为2+2，此时∠ACB＝45°．【分析】如图，连接OA，OP，OB，延长BA到H，使得AH＝BA，连接PH．证明AC＝PH，求出PH的最大值即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA，OP，OB，延长BA到H，使得AH＝BA，连接PH．∵BA＝AH，BC＝CP，∴AC∥PH，AC＝PH，∴当PH的值最大时，AC的值最大，∵∠AOB＝2∠APB＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AO＝AH＝AB，∴∠HOB＝90°，∴OH＝OB＝4，∵PH≤OH+OP，∴PH≤4+4，∴当P、O、H共线时，PH最大，PH的最大值为4+4，∴AC的最大值为2+2，∵AC∥PH，∴∠ACB＝∠BPH，∵OP＝OB，∠HOB＝90°，P、O、H共线，∴∠BPO＝45°，∴∠ACB＝45°故答案为：2+2，45°．【点评】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，具体的规划是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．三.解答题（共10小题，共计90分）19．（8分）解方程：（1）（x﹣1）2﹣9＝0．（2）x2﹣2x﹣5＝0．【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，解得：x1＝4，x2＝﹣2；（2）x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝5+1，（x﹣1）2＝6，∴x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．20．（8分）计算：（1）2cos230°+；（2）﹣14+（π﹣3）0﹣2cos60°+|3﹣|．【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）原式利用乘方的意义，零指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝2×（）2+＝2×+＝+；（2）原式＝﹣1+1﹣2×+2﹣3＝2﹣4．【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．21．（8分）如图，在▱ABCD中，点E在BC上，∠CDE＝∠DAE．（1）求证：△ADE∽△DEC；（2）若AD＝6，DE＝4，求BE的长．【分析】（1）根据AD∥BC，可以证得∠ADE＝∠DEC，然后根据∠CDE＝∠DAE即可证得；（2）根据相似三角形对应边的比相等，即可求得EC的长，则BE即可求解．【解答】（1）证明：∵▱ABCD中AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，又∵∠CDE＝∠DAE，∴△ADE∽△DEC；（2）解：∵△ADE∽△DEC，∴＝，∴＝，∴EC＝．又∵BC＝AD＝6，∴BE＝6﹣＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明两个三角形相似最常用的方法是证明两组角对应相等．22．（8分）如图是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC顶点A、B、C均在格点上，在给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．（1）在图中画出△ABC中BC边上的中线AD；（2）在图中画出△BMN，使得△BMN与△BCA是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在AB、BC边上，位似比为；（3）连结MD、ND，四边形AMND的面积是．【分析】（1）根据三角形中线的定义作出图形即可．（2）在BC上取一点N，使得NB＝2，取格点T，连接NT交AB于M，△BMN即为所求．＝S△ABC﹣S△BMN﹣S△ADC，求解即可．（3）根据S四边形AMND【解答】解：（1）如图，线段AD即为所求．（2）如图，△BMN即为所求．＝S△ABC﹣S△BMN S△ADC＝×6×4﹣×3×4﹣×2×＝．（3）S四边形AMND故答案为：．【点评】本题考查作图﹣位似变换，三角形的中线，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找线段AB，BC的三等分点，属于中考常考题型．23．（8分）已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1＝x2+1，求m的值．【分析】（1）首先得到Δ＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9）＝36＞0证得方程有两个不相等的实数根；（2）根据已知条件得到得出关于m的方程求得答案即可．【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9）＝36＞0，∴此方程有两个不相等的实数根；（2）∵x＝＝2m±3，∴x1＝2m﹣3，x2＝2m+3，∵2x1＝x2+1，∴2（2m﹣3）＝2m+3+1，∴m＝5．【点评】本题考查了根的判别式的知识，同时题目中还考查了配方法等知识，特别是解决第（2）题时，用公式法求含有字母系数方程更是个难点．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C、点D在⊙O上，AC＝CD，AD与BC相交于点E，点F在BC的延长线上，且AF＝AE．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若EF＝12，sin∠BAC＝，求⊙O的半径．【分析】（1）先由AB是⊙O的直径证明∠ACB＝90°，再由等边对等角以及圆周角定理证明∠CAF＝∠B，则∠FAB＝∠CAF+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，由此可以证明AF是⊙O的切线；（2）先证明∠F＝∠BAC，则sin∠F＝＝sin∠BAC＝＝，设AC＝4m，AF＝5m，由勾股定理得CF＝3m，由3m＝6得m＝2，则AC＝8，设BC＝4n，AB＝5n，由勾股定理得AC＝3n，由3n＝8得n＝，可求出AB的长，进而求出OA的长，即⊙O的半径长．【解答】（1）证明：如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠D，∵∠D＝∠B，∴∠CAD＝∠B，∵AF＝AE，AC⊥EF，∴∠CAF＝∠CAE，即∠CAF＝∠CAD，∴∠CAF＝∠B，∴∠FAB＝∠CAF+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，∵OA是⊙O的半径，且AF⊥OA，∴AF是⊙O的半径．（2）∵AF＝AE，AC⊥EF，∴CF＝CE＝EF＝×12＝6，∴∠F＝90°﹣∠B＝∠BAC，∵∠ACF＝90°，∴sin∠F＝＝sin∠BAC＝＝，设AC＝4m，AF＝5m，∴CF＝＝3m，由3m＝6得m＝2，∴AC＝8，设BC＝4n，AB＝5n，∴AC＝＝3n，由3n＝8得n＝，∴AB＝，∴OA＝AB＝，∴⊙O的半径长为．【点评】此题重点考查圆的切线的判定、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，此题综合性较强，是很好的练习题．25．（10分）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了增加利润，减少库存，商店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么可多售出2件．设每件童装降价x元．（1）降价后，每件盈利（40﹣x）元，每天可销售（20+2x）件；（用含x的代数式填空）（2）每件童装降价多少元时，每天盈利1200元；（3）该专卖店每天盈利能否等于1300元，若能，求出此时每件童装降价多少元，若不能，说明理由．【分析】（1）利用每件盈利＝销售价格﹣进价，即可用含x的代数式表示出每件盈利，利用每天的销售量＝20+2×降低的价格，即可用含x的代数式表示出每天的销售量；（2）利用每天销售这种童装的利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合“为了增加利润，减少库存”，即可得出每件童装降低的价格；（3）利用每天销售这种童装的利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，即可得出该方程没有实数根，即该专卖店每天盈利不能等于1300元．【解答】解：（1）若每件童装降价x元，则每件盈利（120﹣x﹣80）＝（40﹣x）元，每天可销售（20+2x）件．故答案为：（40﹣x）；（20+2x）．（2）依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．又∵为了增加利润，减少库存，∴x＝20．答：每件童装降价20元时，每天盈利1200元．（3）该专卖店每天盈利不能等于1300元，理由如下：依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1300，整理得：x2﹣30x+250＝0．∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0，∴该方程没有实数根，即该专卖店每天盈利不能等于1300元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程没有实数根”．26．（8分）如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的某块匾额的截面示意图．已知BC＝2.5米，∠MBC＝37°．从水平地面点D处看点C，仰角∠ADC＝45°，从点E处看点B，仰角∠AEB＝53°，且DE＝4.5米，求匾额悬挂的高度AB的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）【分析】过点C作CN⊥AB于N，延长DC交AB的延长线于F，解直角三角形求出CN、BN的长，得出BF的长，再求出≈，设AE＝3x米，则AB＝4x米，AF＝AB+BF＝（4x+3.5）米，AD＝AE+DE＝（3x+4.5）米，然后证AF＝AD，则4x+3.5＝3x+4.5，解得x＝1，即可求解．【解答】解：过点C作CN⊥AB于N，延长DC交AB的延长线于F，如图所示：则CN∥AD，∴∠NCF＝∠ADC＝45°，在Rt△BCN中，CN＝BC•sin37°≈2.5×＝1.5（米），BN＝BC•cos37°≈2.5×＝2（米），在Rt△CNF中，∠NCF＝45°，∴△CNF是等腰直角三角形，∴NF＝CN＝1.5（米），∴BF＝BN+NF＝3.5（米），在Rt△ABE中，∠AEB＝53°，∴∠ABE＝37°，∴tan∠ABE＝tan37°＝≈，设AE＝3x米，则AB＝4x米，AF＝AB+BF＝（4x+3.5）米，AD＝AE+DE＝（3x+4.5）米，在Rt△ADF中，∠ADC＝45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF＝AD，即4x+3.5＝3x+4.5，解得：x＝1，∴AB＝4x＝4（米）．答：匾额悬挂的高度AB的长约为4米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．27．（12分）如图，在矩形中，CE⊥BD，AB＝8，BC＝6，P为BD上一个动点，以P为圆心，PB长半径作⊙P，⊙P交CE、BD、BC交于F、G、H（任意两点不重合）．（1）半径BP的长度范围为＜BP＜5；（2）如图1，连接BF并延长交CD于K，若tan∠KFC＝3，求BP；（3）如图2，连接GH，将劣弧HG沿HG翻折交BD于点M，试探究是否为定值，若是，求出该值，若不是，请说明理由．【分析】（1）当点G和点E重合，当点G和点D重合两种临界状态下分别求出BP的值，因为任意两点不重合，所以BP在两者之间，即可得出BP范围；（2）∠KFC和∠BFE是对顶角，得到tan∠BFE＝3，得出EF的值，再根据△BEF∽△FEG，求出EG的值，进而可求出BP的值；（3）设出圆的半径，利用三角函数表示出PO，GO的值，用面积法求出P'Q，在△P'GQ中，由勾股定理得出MQ的值，进而可求出PM的值，即可得出答案．【解答】解：（1）当G点与E点重合时，BG＝BE，∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，BC＝6，∴BD＝＝＝10，∵CE⊥BD，∴BC•CD＝BD•CE，∴CE＝，在△BEC中，由勾股定理得：BE＝＝＝，∴BP＝BE＝，当点G和点D重合时，∵△BCD是直角三角形，∴BP＝DP＝CP，∴BP＝5，∵F、G、H（任意两点不重合），∴＜BP＜5，故答案为：＜BP＜5；（2）连接FG，∵∠KFC＝∠BFE，tan∠KFC＝3，∴tan∠BFE＝3，∴＝3，∴EF＝，∵BG是圆的直径，∴∠BFG＝90°，∴∠GFE+∠BFE＝90°，∵CE⊥BD，∴∠FEG＝∠FEB＝90°，∴∠GFE+∠FGE＝90°，∴∠BFE＝∠FGE，∴△BEF∽△FEG，∴，即EG＝＝，∴BG＝EG+BE＝4，∴BP＝2；（3）为定值，过P'作P'Q⊥BD，连接P'G、P'M、P'P交GH于点O，设BP＝5x＝PG＝P'G＝P'M，则PO＝P'O＝3x，GO＝4x，∴P'Q•PG＝GO•PP'，∴P'Q＝x，∴MQ＝GQ＝＝x，∴MG＝x，∴PM＝PG﹣MG＝x，∴．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了动圆问题，矩形的性质，面积法的应用，三角函数，形似三角形的判定和性质等知识，熟练利用数形结合思想是解题的关键．28．（12分）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF．（1）求证：△ABF≌△EAD；（2）如图2．若AB＝8，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的长；（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，则的值为1+．【分析】（1）先证AB＝AE，DE＝DC，再证四边形ADCF是平行四边形，得出AF＝CD，进而得出AF＝DE，再由平行线性质得∠AED＝∠BAF，进而证得结论；（2）证△EAD∽△CFE，得＝＝，再由平行四边形的性质得AD＝CF，AF＝CD，则＝＝，得CF＝2，CE＝，然后证△ABE∽△DEC，求得答案；（3）延长BM、ED交于点G，先证△ABE∽△DCE，得＝＝，设CE＝1，BE＝x，DC＝DE＝a，则AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a，可得EF＝AE﹣AF＝ax﹣a＝a（x﹣1），再证△ABF∽△EGF，列方程求解即可．【解答】（1）证明：如图1，∵AE∥CD，∴∠AEB＝∠BCD，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠ABC＝∠AEB，∴AB＝AE，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ABC，∠AED＝∠BAF，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠DEC＝∠BCD，∴DE＝DC，∵CF∥AD，AE∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF＝CD，∴AF＝DE，在△ABF和△EAD中，，∴△ABF≌△EAD（SAS）；（2）方法一：∵CF∥AD，∴∠EAD＝∠CFE，∵∠ECF＝∠AED，∴△EAD∽△CFE，∴＝＝，由（1）知：四边形ADCF是平行四边形，∴AD＝CF，AF＝CD，∵AB＝8，CD＝5，∴AE＝8，DE＝5，∴EF＝AE﹣AF＝8﹣5＝3，∴＝＝，解得：CF＝2，CE＝，∵∠ABC＝∠BCD＝∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DEC，∴＝，即＝，解得：BE＝2；方法二：由（1）知△ABF≌△EAD，∴∠ABF＝∠EAD，∵∠EAD＝∠CFE，∴∠ABF＝∠CFE，∵∠ABC＝∠AEB，∠ABC＝∠ABF+∠EBF，∠AEB＝∠CFE+∠ECF，∴∠EBF＝∠ECF，∵∠BAE＝∠AED＝∠ECF，∴∠EBF＝∠BAE，∵∠BEF＝∠AEB，∴△BEF∽△AEB，∴＝，即＝，解得：BE＝2；（3）如图3，延长BM、ED交于点G，∵△ABE，△DCE均为等腰三角形，且∠ABC＝∠DCE，∴△ABE∽△DCE，∴＝＝，设EC＝1，BE＝x，DC＝DE＝a，则AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a，∴EF＝AE﹣AF＝ax﹣a＝a（x﹣1），∵AB∥DG，∴∠ABG＝∠G∵AD的中点M，∴AM＝DM，∵∠AMB＝∠DMG，∴△AMB≌△DMG（AAS），∴DG＝AB＝ax，∴EG＝DG+DE＝ax+a＝a（x+1），∵AB∥DG（即AB∥EG），∴△ABF∽△EGF，∴＝，即＝，整理得：x2﹣2x﹣1＝0，解得：x＝1+或x＝1﹣（舍去），∴＝x＝1+，故答案为：1+．【点评】本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形判定和性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．。
2020-2021学年江苏省无锡市九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年江苏省无锡市九年级（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知一元二次方程x2−6x−c=0有一个根为2，则另一个根为()A. 2B. 3C. 4D. −82.关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为()A. k=4B. k=−4C. k≥−4D. k≥43.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是()A.B.C.D.4.如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是()A. 2B. 3C. 4D. 55.某圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则该圆锥的侧面积是()A. 30cm2B. 30πcm2C. 15cm2D. 15πcm26.如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠BCD=35°，则∠ABD的度数为()A. 25°B. 35°C. 55°D. 75°7.如图，在▱ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=()A. 2：5：25B. 4：9：25C. 2：3：5D. 4：10：258.下列语句中，正确的有()个．(1)三点确定一个圆(2)平分弦的直径垂直于弦(3)相等的弦所对的弧相等(4)相等的圆心角所对的弧相等．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个9.如图，在△ABC中，AB=6，AC=4，点P是AC的中点．若过点P的直线交AB于Q，使得以A，P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则AQ的长为()A. 3B. 3或43C. 3或34D. 4310.如图，矩形ABCD内接于⊙O，点P是AD⏜上一点，连接PB、PC，若AD=2AB，则cos∠BPC的值为()A. √55B. 2√55C. √32D. 3√510二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.当m=_____时，关于x的方程(m+2)x m2−2+6x−9=0是一元二次方程．12.在比例尺为1:5000的江阴市城区地图上，某段路的长度约为25厘米，则它的实际长度约为_______米13.一棵高3米的小树影长为4m，同时临近它的一座楼房的影长是24m，那么这座楼房高_______m．14.在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为_______．15.某厂6月份生产电视机5000台，8月份生产7200台，平均每月增长的百分率是______．16.若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是．17.矩形ABCD的边AB=6，BC=12，点P为矩形ABCD边上一点，连接AP，若线段AP、BD交点为点E，△PAB为等腰三角形，则AE的长为______．18.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是____________．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）19.20.解下列方程：(1)(x+1)2=9(2)x2−2x−2=020.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的11×11网格中，已知点A(−3,−3)，B(−1,−3)，C(−1,−1)．(1)画出△ABC；(2)画出△ABC关于x轴对称△A1B1C1，并写出各点的坐标；(3)以O为位似中心，在第一象限画出将△ABC放大2倍后的△A2B2C2．21.已知关于x的一元二次方程x2−(m+1)x+2m−3=0(m为常数)．(1)若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根；(2)求证：不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根．22.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，EF//BC，分别交AB、AC、AD于点E、F、G.求证：EG=FG．23.某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算.第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12.经过三年治理，境内长江水质明显改善．(1)求n的值;(2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量;(3)该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加相同的数值a.在(2)的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．24.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AC//DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．25.如图，AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外，图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺要求画图(保留作图痕迹，不写作法)．(1)在图1中，画出△ABC的三条高；(2)在图2中，画出△ABC中AB边上的高．26.一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．27.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，半圆O的直径DE=12cm，点E与点C重合，半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E 始终在BC所在的直线上．设运动时间为x(s)，半圆O与△ABC的重叠部分的面积为S(cm2).(1)当点O与线段BC的中点重合时，求运动时间为多少？(2)在(1)的条件下，求半圆O与△ABC的重叠部分的面积S；(3)当x为何值时，半圆O所在的圆与△ABC的边所在的直线相切？28.△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DE//BC，连接BE(1)如图1已知AB=6，BC=4，若∠DBE=∠EBC，求DE的长；(2)如图2，F为BC的中点，连结DF交BE于G，连结AG并延长交BC于H，求HFBH 的值；(3)如图3，连接DC，若BC=6，AB=9，且△CDE∽△CAD，直接写出AD的长：答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵方程x2−6x−c=0有一个根为2，∴设另一个根为s，则有s+2=6，∴s=4，故选：C．设另一个根为s，根据两根系数关系可知s+2=6，求出s的值即可求出．本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．2.【答案】A【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实数根，∴△=42−4k=16−4k=0，解得：k=4．故选：A．根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键．根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．【解析】解：根据勾股定理，BC=√12+12=√2，AC=√22+22=2√2，AB=√12+32=√10，所以△ABC的三边之比为√2：2√2：√10=1：2：√5，A.三角形的三边分别为2，√12+32=√10，√32+32=3√2，三边之比为2：√10：3√2=√2：√5：3，故A选项错误；B.三角形的三边分别为2，3，√22+32=√13，三边之比为2：3：√13，故B选项错误；C.三角形的三边分别为2，4，√22+42=2√5，三边之比为2：4：2√5=1：2：√5，故C选项正确；D.三角形的三边分别为2+22=√5，√22+32=√13，4，三边之比为√5：√13：4，故D选项错误．故选C．4.【答案】C【解析】解：∵△ABO∽△CDO，∴BODO =ABDC，∵BO=6，DO=3，CD=2，∴63=AB2，解得：AB=4．故选：C．直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案．此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边之间关系是解题关键．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长.圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积=2π×3×5÷2=15π(cm2).故选D．6.【答案】C【解析】解：连接AD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠A=∠BCD=35°，∴∠ABD=90°−35°=55°．故选：C．连接AD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠A=∠BCD=35°，然后利用互余计算∠ABD的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，平行四边形的性质的应用，关键是求出DEAB 和DFBF的值，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，若两三角形不相似，求面积比应根据三角形的面积公式求．根据平行四边形的性质求出DC=AB，DC//AB，求出DE：AB=2：5，根据相似三角形的判定推出△DEF∽△BAF，求出△DEF和△ABF的面积比，根据三角形的面积公式求出△DEF和△EBF的面积比，即可求出答案．【解答】解：根据图形知：△DEF的边DF和△BFE的边BF上的高相等，并设这个高为h，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，DC//AB，∵DE：EC=2：3，∴DE：AB=2：5，∵DC//AB，∴△DEF∽△BAF，∴S△DEFS△ABF =(DEAB)2=425，DEAB=DFBF=25，∴S△DEFS△EBF =12×DF×ℎ12×BF×ℎ=DFBF=25=410，∴S△DEF：S△EBF：S△ABF=4：10：25，故选D．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、垂径定理及其推论、等弧的定义及圆心角、弧、弦的关系，难度不大．利用确定圆的条件、垂径定理的推论、等弧的定义及圆心角、弧、弦的关系分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：(1)不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；(2)平分弦的直径，当被平分的弦是直径时，直径不一定垂直于弦，故错误；(3)在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故错误；(4)相等的圆心角不在同圆或等圆中所对的弧不一定相等，故错误；综上所述，正确的有0个．故选A．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定．注意分类讨论思想的应用．由∠A是公共角，PQ//BC时，△AQP∽△ABC，则AQAB =APAC，即AQ6=24时，PQ不平行BC时，△APQ∽△ABC，AQAC=APAB，即AQ4=26时，去分析求解即可求得答案．【解答】解：∵∠A是公共角，∴当AQAB =APAC，即AQ6=24时，△APQ∽△ABC，解得：AQ=3；当AQ4=26时，△APQ∽△ABC，解得：AQ=43，∴AQ的长为：3或43．故选B．10.【答案】A【解析】解：如图，连接AC，则∠BPC=∠BAC，∵BC=AD=2AB，∴设AB=x、BC=2x，则AC=√AB2+BC2=√x2+(2x)2=√5x，∴cos∠BPC=cos∠BAC=ABAC =√5x=√55，故选：A．连接AC，知∠BPC=∠BAC，由BC=AD=2AB可设AB=x、BC=2x，得AC=√AB2+BC2=√5x，从而由cos∠BPC=cos∠BAC=AB可得答案．AC本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握矩形的性质、圆周角定理及三角函数的定义．11.【答案】2【解析】【分析】考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．本题容易忽视的条件是m+2≠0.根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答．【解答】解：∵方程(m+2)x m2−2+6x−9=0是关于x的一元二次方程，∴m2−2=2，解得m=±2．又∵m+2≠0，∴m≠−2，∴m=2．故答案为2．12.【答案】1250【解析】【分析】本题考查了比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算．根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．【解答】解：设它的实际长度为x厘米，则1：5000=25：x，解得x=125000．125000厘米=1250米．故答案为1250．13.【答案】18【分析】此题考查了平行投影，在同一时刻物高与影长成正比例的知识，解题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答.利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出楼房的高度即可．【解答】解：∵在同一时刻物高与影长成正比例，∴3：4=楼房的高度：24，∴楼房的高度为18米；故答案为18．14.【答案】3【解析】【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC= BC=12AB=3，然后在Rt△AOC中利用勾股定理计算OC即可．【解答】解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，∵OC⊥AB，∴AC=BC=12AB=12×8=4，在Rt△AOC中，OA=5，∴OC=√OA2−AC2=3，即圆心O到AB的距离为3．故答案为3．15.【答案】20%【解析】本题考查的是平均增长率问题，解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量×(1+平均增长率)增长的次数=增长后的量，如果设平均每月增长的百分率是x，那么7月份的台数是5000(1+x)，8月份的台数是5000(1+x)2，而此时是7200，根据8月份的台数，列出方程，求得答案．【解答】解：设平均每月增长的百分率是x．依题意，得5000(1+x)2=7200，解得x1=0.2，x2=−2.2(不合题意，舍去)，答：平均每月增长的百分率应该是20%．故答案为20%．16.【答案】9【解析】【分析】本题主要考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°.利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，=40，据此可得360n解得n=9．故答案为9．17.【答案】4√2或2√17【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、比例的性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．根据题意画出图形，分两种情况：①当P在BC上时；②当P在CD上时，P为CD的中点；由矩形的性质和勾股定理以及相似三角形的性质即可得出结果．【解答】解：分两种情况：①当P在BC上时，如图1所示∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP=90°，AD=BC=4，AD//BC，CD=AB=2，∴△ADE∽△PBE，∴AEPE =ADPB，∵△ABP是等腰三角形，∴PB=AB=6，∴AEPE=2，∴AEAP =23，由勾股定理得：AP=√AB2+PB2=6√2，∴AE=4√2；②当P在CD上时，P为CD的中点，如图2所示：则PD=12CD=3，∴AP=√122+32=3√17，∵AB//CD，∴△ABE∽△PDE，∴AEPE=2，∴AE=2PE，∴AE=23AP=2√17；综上所述，AE的长为4√2或2√17；故答案为：4√2或2√17．18.【答案】3.5【分析】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：作AC的中点E，连接BE、ME．在直角△ABC中，AC=√AB2+BC2=√42+32=5，∵E是直角△ABC斜边AC上的中点，AC=2.5．∴BE=12∵M是CD的中点，E是AC的中点，∴ME=1AD=1．2∴在△BEM中，2.5−1≤BM≤2.5+1，即1.5≤BM≤3.5．∴最大值为3.5，故答案为3.5．19.【答案】(1)x1=2，x2=−4；(2)x1=1+√3，x2=1−√3【解析】【分析】(1)方程利用平方根定义开方即可求出解；(2)方程整理后，利用配方法求出解即可．(1)开方得：x+1=3或x+1=−3，解得：x1=2，x2=−4；(2)方程整理得：x2−2x=2，配方得：x2−2x+1=3，即(x−1)2=3，x−1=±√3，解得：x1=1+√3，x2=1−√3．【点睛】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法和配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键．20.【答案】解：(1)△ABC即为所求：(2)△A1B1C1如图所示；(3)△A2B2C2如图所示．【解析】(1)根据A，B，C的坐标画出△ABC即可；(2)分别作出A，B，C关于x轴的对称点A1，B1C1即可；(3)延长AO到A2使得OA2=2OA，同法作出B2，C2即可解决问题．本题考查作图−位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.【答案】解：(1)把x=1代入方程可得1−(m+1)+2m−3=0，解得m=3，当m=3时，原方程为x2−4x+3=0，解得x1+x2=4，即方程的另一根为3；(2)∵a =1，b =−(m +1)，c =2m −3，∴△=b 2−4ac =[−(m +1)]2−4×1×(2m −3)=(m −3)2+4>0，∴不论m 为何值时，方程总有两个不相等的实数根．【解析】(1)把x =−1代入方程可求得m 的值，再解方程可求得另一根；(2)计算△，△>0可得证．本题主要考查方程根与系数的关系及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键．22.【答案】证明：∵EF//BC ，∴△AEG∽△ABD ，△AFG∽△ACD ，∴EG BD =AG AD ，AG AD =FG CD ，∴EG BD =FG CD ，∵AD 为△ABC 的边BC 上的中线，∴BD =CD ，∴EG =FG ．【解析】由平行线得到△AEG∽△ABD ，△AFG∽△ACD ，推出EG BD =AG AD ，AG AD =FG CD ，得出EG BD =FG CD ，根据BD =CD 即可得到结论．本题考查了相似三角形的性质和判定、三角形的中线，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)由题意可得40n =12，解得n =0.3．(2)由题意可得40+40(1+m)+40(1+m)2=190，解得m 1=12，m 2=−72(舍去)，∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为40(1+m)=40×(1+50%)=60(家)．(3)第二年用乙方案治理降低了(40+60)×0.3=100×0.3=30，则(30−a)+2a= 39.5，解得a=9.5，则Q=20.5．【解析】【分析】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．(1)直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，得出等式求出答案；(2)利用从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家得出等式求出答案；(3)利用n的值即可得出关于a的等式求出答案．24.【答案】解：(1)如图，连接BD，∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°，∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；(2)∵DE//AC，∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，AC，∴CB=AB=8，AF=CF=12∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD，∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE，∴BCCD =CDCE，∴8CD =CD2，∴CD=4，在Rt△BCD中，BD=√BC2+CD2=4√5同理：△CFD∽△BCD，∴CFBC =CDBD，∴CF8=4√5，∴CF=8√55，∴AC=2AF=16√55．【解析】(1)先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；(2)先判断出AC⊥BD，进而求出BC=AB=8，进而判断出△BCD∽△DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC=8是解本题的关键．25.【答案】解：(1)如图1，线段AD、BE、CF为所作；(2)如图2，线段CF为所作．【解析】本题考查了作图—复杂作图，圆周角定理，掌握作图方法是解决问题的关键．(1)连结AD、BE，它们相交于点P，如图1，根据圆周角定理可判断AD、BE为△ABC的高，然后根据三角形的三条高相交于一点可判断CF为高；(2)分别延长BC和AC分别交半圆于D、E，再延长AD和BE相交于点P，然后延长PC 交AB于F，则CF⊥AB，如图2，理由与(1)一样．26.【答案】解：设剪掉的正方形纸片的边长为xcm，正方形边长x须满足解得0<x<10;由题意，得：(30−2x)(20−2x)=264，整理得：x2−25x+84=0，解方程，得：x1=4，x2=21(不符合题意，舍去)．答：剪掉的正方形的边长为4cm．【解析】此题主要考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式组的应用.设剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为(30−2x)cm，宽为(20−2x)cm，然后根据底面积是264cm2即可列出方程求出即可.注意对x的取值范围需要提前进行界定，才可以在解完一元二次方程后对不符合要求的答案进行筛选．27.【答案】解：(1)如图1中，当点O在BC的中点时，x=122=6(s);(2)如图1中，设⊙O与AB交于点H，连接OH，CH，∵BC是直径，∴∠CHB=90°，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠HBC=∠HCB=45°，∴HC=HB，∴OH⊥BC，OH=OB=OC=6，∴S=S扇形OHC +S△OHB=14⋅π⋅62+12×6×6=18+9π；(3)如图2中，当⊙O与AB相切时(点O在点B左侧)，易知OH=BH=6，OB=6√2，OC=12−6√2，∴x=6+12−6√22=9−3√2，如图3中，当⊙O与AB相切时(点O在点B右侧)，易知OH=BH=6，OB=6√2，OC=12+6√2，∴x=6+12+6√22=9+3√2，如图1中，x=6时，⊙O与AC相切，综上所述，当x=0s或(9−3√2)s或6s或(9+3√2)s时，半圆O所在的圆与△ABC的边所在的直线相切．【解析】此题考查了切线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，扇形面积的计算，平移的性质，分类讨论的数学思想，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．(1)根据时间=路程÷速度，即可得到运动时间；(2)如图1中，设⊙O与AB交于点H，连接OH，CH.首先证明△CHB是等腰直角三角形，根据S=S扇形OHC+S△OHB计算即可；(3)分两种情形讨论即可①⊙O与直线AC相切，②⊙O与直线AB相切，分别求出时间即可．28.【答案】解：(1)如图1，∵DE//BC，∴∠DEB=∠EBC，∵∠DBE=∠EBC，∴∠DBE=∠DEB，∴DE=DB，设DE=x，则BD=x，AD=AB−BD=6−x，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =ADAB，即x4=6−x6，解得x=125，即DE的长为125；(2)设AH交DE于M，如图2，∵DM//BH，∴△ADM∽△ABH，∴DMBH =ADAB①，∵DM//HF，∴△GHF∽△GDM，∴HFDM =FGDG②，①×②得HFBH =ADAB⋅FGDG，∵DE//BC，∴ADAB=DEBC=DE2BF=12⋅DGGF∴HFBH =12⋅DGGF⋅GFDG=12；(3)∵△CDE∽△CAD，∴∠CDE=∠A，∵DE//BC，∴∠CDE=∠DCB，∴∠DCB=∠A，∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBD，∴BDBC =BCAB，∴BD6=69，∴BD=4，∴AD=AB−BD=5．【解析】本题考查了相似形的综合题，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．(1)如图1，根据平行线的性质得到∠DEB=∠EBC，等量代换得到∠DBE=∠DEB，求得DE=DB，设DE=x，则BD=x，AD=AB−BD=6−x，根据相似三角形的性质得到结论；(2)设AH交DE于M，如图2，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；(3)根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．。
2020-2021学年江苏省无锡市九年级(上)期中数学试卷-解析版
2020-2021学年江苏省无锡市锡山区锡东片九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列等式中，一定是一元二次方程的是()+1=0A. x2=1B. x2+1xC. x2+y=0D. ax2+c=0(a、c为常数)2.已知⊙O的半径为5cm，若点A到圆心O的距离为3cm，则点A()A. 在⊙O内B. 在⊙O上C. 在⊙O外D. 与⊙O的位置关系无法确定3.如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA=3，则PB=()A. 2B. 3C. 4D. 54.如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE//AC，若DB=4，AB=6，BE=3，则BC的长是()A. 4B. 4.5C. 2.5D. 25.下列说法：①优弧比劣弧长；②三点可以确定一个圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；其中不正确的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACO=30°，则∠B的度数是()A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°7.某超市一月份的营业额为100万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为()A. 100(1+x)2=1000B. 100+100×2x=1000C. 100+100×3x=1000D. 100[1+(1+x)+(1+x)2]=10008.图O的直径AB=2点D在AB的延长线，DC与⊙O相于点C，连AC.若∠A=3°CD为()A. 13B. √33C. 2√33D. √39.如图，⊙O的直径AB=10，E在⊙O内，且OE=4，则过E点所有弦中，长度为整数的条数为()A. 4B. 6C. 8D. 1010.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(−3,0)，B(3,0)，若在直线y=−x+m上存在点P满足∠APB=60°，则m的取值范围是()A. √6−5√3≤m≤√6+5√3B. −√6−5√3≤m≤√6+5√3C. √3−2√6≤m≤√3+2√6D. −√3−2√6≤m≤√3+2√6二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.一元二次方程x2=2x的根是______．12.若两个相似多边形的对应边之比为5：2，则它们的面积比是______．13.根据疫情需要，某防疫物资制造厂原来每件产品的成本是100元，为提高的生产效率改进了生产技术，连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元，则平均每次降低成本的百分率是______．14.在比例尺为1：10000的地图上，相距7.5cm的两地A、B的实际距离为______m.15.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在AD⏜上，则∠BEC=______度．16.关于x的一元二次方程(2m−4)x2+3mx+m2−4=0有一根为0，则m=______．17.如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PC(点C为切点)，则线段PC长的最小值为______．18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，E、F是BC的三等分点，过点C、E、F分别作AB的垂线，垂足分别为D、G、H，连接AE、AF，分别交CD、EG于M、N，记△CME的面积为S1，△ENF的面积为S2，△FHB的面积为S3，则1S1+1 S2+1S3的值是______．三、解答题（本大题共9小题，共84.0分）19.用适当的方法解一元二次方程：(1)2x2−3x=2；(2)x2+6x−111=0．20.如图，在正方形网格中，△ABC各顶点都在格点上，点A，C的坐标分别为(−5,1)、(−1,4)，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；(3)点C1的坐标是______ ；点C2的坐标是______ ；过C、C1、C2三点的圆的圆弧ĈC1C2的长是______ (保留π)．21.已知关于x的一元二次方程x2+x+m−1=0．(I)当m=0时，求方程的实数根．(Ⅱ)若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．22.如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．23.已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．(1)求BD的长；(2)求图中阴影部分的面积．24.元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果，已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元．当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时，陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元．(1)求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？(2)在(1)的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，为了尽快售出且使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值．x−3，并且与x轴、y轴分别交于点A、B．25.已知：如图，直线l的解析式为y=34(1)求A、B两点的坐标；(2)一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位/秒的速度向x轴正方向运动，问在什么时刻与直线l相切？(3)在题(2)中，在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿射线BA方向以0.5个单位/秒的速度运动，设t秒时点P到动圆圆心的距离为s．①求s与t的关系式；②问在整个运动过程中，点P在动圆的圆面(圆上和圆内部)上，一共运动了多长时间？(直接写出答案)26.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB延长线于点F．(1)判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O半径为5，CD=6，求DE的长；(3)求证：BC2=4CE⋅AB．27.如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为4的正方形ABCD的中心在原点O处，且AB//x轴，点P在正方形ABCD的边上，点P从点A处沿A→B→C→D→A→B→⋯匀速运动，以点P为圆心，以1为半径长画圆，在运动过程中：(1)当⊙P第1次与x轴相切时，则圆心P的坐标为______；(直接写出结果)(2)当圆心P的运动路程为2019时，判断⊙P与y轴的位置关系，并说明理由；(3)当⊙P第一次回到出发的位置时，即⊙P运动一周，求⊙P运动一周覆盖平面的区域的面积．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、正确；B、不是整式方程，则不是一元二次方程，选项错误；C、含有两个未知数，则不是一元二次方程，选项错误；D、当a=0时，不是一元二次方程，选项错误；故选A．本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2.【答案】A【解析】解：∵OA=3cm<5cm，∴点A在⊙O内．故选：A．根据点到圆心的距离与圆的半径大小的比较，确定点A与⊙O的位置关系．本题考查的是点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离比圆的半径小，可以确定点A在圆内．3.【答案】B【解析】解：连接OA、OB、OP，∵PA，PB分别切圆O于A，B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，在Rt△AOP和Rt△BOP中，{OA=OBOP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)，∴PB=PA=3，故选：B．连接OA、OB、OP，根据切线的性质得出OA⊥PA，OB⊥PB，然后证得Rt△AOP≌Rt△BOP，即可求得PB=PA=3．本题考查了三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵DE//AC，∴DB：AB=BE：BC，∵DB=4，AB=6，BE=3，∴4：6=3：BC，∴BC=4.5，故选：B．由△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE//AC，根据平行线分线段成比例定理解答即可．此题考查了平行线分线段成比例定理，解题时注意：平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．5.【答案】C【解析】解：①优弧比劣弧长，不一定，在同圆或等圆中结论成立，故①错误．②三点可以确定一个圆，错误，应该是过不在同一直线上的三个点确定一个圆．故②错误．③长度相等的弧是等弧，错误，长度相等的弧不一定相等，等弧的长度相等，故③错误．④经过圆内的一个定点可以作无数条弦，故④正确．故选：C．根据等弧的定义，优弧，劣弧的定义，确定圆的条件，弦的定义一一判断即可．本题考查等弧的定义，优弧，劣弧的定义，确定圆的条件，弦的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．6.【答案】C【解析】解：连接OA，如图，∵OA=OC，∠ACO=30°，∴∠ACO=∠CAO=30°，∴∠AOC=120°，∴∠B=60°．故选：C．连接OA，要求∠B，可求与它同弧所对的圆心角∠AOC；而∠AOC是等腰三角形AOC的顶角，在已知底角的前提下可求出顶角．本题考查了圆周角定理及三角形内角和定理的知识，解题的关键是正确地构造圆心角．7.【答案】D【解析】解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为100×(1+x)，∴三月份的营业额为100×(1+x)×(1+x)=100×(1+x)2，∴可列方程为100+100×(1+x)+100×(1+x)2=1000，即100[1+(1+x)+(1+x)2]=1000．故选：D．先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．8.【答案】D【解析】解：右图所示，连C，OC，∴∠BC=9°，∵AB=，∵AB是径，∴D=√OD2−OC2=√22−12=√3，∴OD2，∴∠D=∠CBA−D=60−30°=3°，∴OC1，∴BCD=∠A=30°，C=90°，选D．先B，OC由AB是直径，可知∠BCA=9°，而∠A=30°，易求∠CBA，又DC线，用弦切角定理可知∠CB=∠A=30°，再利用角形角质可D切线质得∠=∠A=30°，∠OCD= 9°，易得OD，由勾股定理可CD．本题考查了直径所对的周角等0、切性质、弦角定理、三角形外角性质，解题的关键连BCC，构造直角三角形AC，利勾股定解此题的关键．9.【答案】C【解析】解：∵AB=10，∵OB=OA=OC=5，过E作CD⊥AB于E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，∵OB⊥CD，∴∠CEO=90°，由勾股定理得：CE=√OC2−OE2=√52−42=3，∵OE⊥CD，OE过O，∴CD=2CE=6，∵AB是过E的⊙O的最长弦，AB=10，∴过E点所有弦中，长度为整数的条数为1+2+2+2+1=8，故选：C．过E作CD⊥AB于E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，AB是过E的⊙O的最长弦，根据勾股定理和垂径定理求出CD=6，得出弦的长度为6(1条)，7、8、9(都有2条)，10(1条)，即可得出答案．本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是能求出符合条件的所有情况．10.【答案】C【解析】解：如图，作等边三角形ABE，∵A(−3,0)，B(3,0)，∴OA=OB=3，∴E在y轴上，作等边三角形ABE的外接圆⊙Q，设直线y=−x+m与⊙Q相切，切点为P，当P与P1重合时m的值最大，当P与P2重合时m的值最小，当P与P1重合时，连接QP1，则QP1⊥直线y=−x+m，∵OA=3，∴OE=3√3，设⊙Q的半径为x，则x2=32+(3√3−x)2，解得x=2√3，∴EQ=AQ=PQ=2√3，∴OQ=√3，由直线y=−x+m可知OD=OC=m，∴DQ=m−√3，CD=√2m，∵∠ODC=∠P1DQ，∠COD=∠QP1D，∴△QP1D∽△COD，∴PQOC =QDCD，即2√3m=√3√2m，解得m=√3+2√6，当P与P2重合时，同理证得m=√3−2√6，∴m的取值范围是√3−2√6≤m≤√3+2√6，故选：C．作等边三角形ABE，然后作外接圆，求得直线y=−x+m与外接圆相切时的m的值，即可求得m的取值范围．本题考查了一次函数图象与系数的关系，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，求得直线与外接圆相切时的m的值是解题的关键．11.【答案】x1=0，x2=2【解析】解：移项，得x2−2x=0，提公因式得，x(x−2)=0，x=0或x−2=0，∴x1=0，x2=2．故答案为：x1=0，x2=2．先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．12.【答案】25：4【解析】解：∵两个相似多边形的对应边的比是5：2，∴这两个多边形的面积比是52：22，即这两个多边形的面积比是25：4，故答案为：25：4．根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答即可求出结果．本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的面积的比等于相似比平方是解题的关键．13.【答案】10%【解析】解：设平均每次降低成本的百分率是x，依题意，得：100(1−x)2=81，解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(不合题意，舍去)．故答案为：10%．设平均每次降低成本的百分率是x，根据生产该产品原来的成本价及经过连续两次降低成本后的成本价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14.【答案】750【解析】解：设AB的实际距离为x cm，∵比例尺为1：10000，∴7.5：x=1：10000，解得x=75000，75000cm=750m．故答案为：750．设AB的实际距离为x cm，根据比例尺的定义得到7.5：x=1：10000，利用比例的性质求得x的值，注意单位统一．此题考查了比例线段，用到的知识点是比例线段的性质，关键是根据比例线段的性质列出算式，注意单位的统一．15.【答案】45∠BOC，【解析】解：连接OB、OC，则∠E=12∵O是正方形外接圆的圆心，∴∠BOC=90°，∠BOC=45°．∴∠BEC=12连接OB、OC，根据正方形的性质，易得出∠BOC=90°，根据圆周角定理，可求出∠BEC= 45°．正确理解圆心角与圆周角的关系是解决本题的关键．16.【答案】−2【解析】解：∵关于x的一元二次方程(2m−4)x2+3mx+m2−4=0有一根为0，∴m2−4=0且2m−4≠0，∴(m+2)(m−2)=0且m≠2，解得：m=−2．故答案是：−2．把x=0代入已知方程列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．本题考查了一元二次方程的解的定义．此题是根据一元二次方程的解的定义列出关于系数的方程，通过解方程来求系数的值．17.【答案】2√115 【解析】解：连接OP 、OC ，如图所示， ∵PC 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥PC ， 根据勾股定理知：PC 2=OP 2−OC 2，∴当PO ⊥AB 时，线段PC 最短，∵在Rt △AOB 中，OA =3，OB =4，∴AB =5，∴∴S △AOB =12OA ⋅OB =12AB ⋅OP ，即OP =3×45=125，∵OC =2，∴PC =√OP 2−OC 2=√(125)2−22=2√115， 故答案为：2√115． 连接OP ，OC ，由PC 为圆O 的切线，利用切线的性质得到OC 与PC 垂直，利用勾股定理列出关系式，由OP 最小时，PC 最短，根据垂线段最短得到OP 垂直于AB 时最短，利用面积法求出此时OP 的值，再利用勾股定理即可求出PC 的最短值．此题考查了切线的性质，勾股定理的应用，熟练掌握切线的性质是解本题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．18.【答案】52【解析】解：BF =EF =CE =2，△BFH 是等腰直角三角形，因而BH =2×√22=√2， S 3=1，根据CD//EG//FH ，BF =EF =CE ，则△CME 与△ENF 中，EN 、CM 边上的高都等于BH =√2，△BCD 是等腰直角三角形，因而CD =6×√22=3√2， 根据EG CD =BG BD =23，因而EG =23CD =2√2，DM EG =34，则MD =34EG =3√22，则CM=3√22，△CME的面积S1=12×CM×√2=32，同理S2=65，因而1S1+1S2+1S3的值是52．根据题意可以求出CD、EG、FH的长，△FHB是等腰直角三角形，面积容易得到，△CME 与△ENF中EN，CM边上的高都等于BH的长．根据相似三角形的性质就可以求出EN、CM的长．就可以求出两个三角形的面积．本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等．善于发现题目中的相似三角形是解决本题的关键．19.【答案】解：(1)2x2−3x=2，2x2−3x−2=0，(2x+1)(x−2)=0，∴2x+1=0或x−2=0，∴x1=−12，x2=2；(2)x2+6x−111=0，x2+6x+9=111+9，即(x+3)2=120，∴x+3=±2√30，∴x1=−3+2√30，x2=−3−2√30．【解析】(1)利用因式分解法求解即可；(2)利用配方法求解即可．此题考查了解一元二次方程−因式分解法，配方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．20.【答案】(1)△A1B1C1如图所示；(2)△A2B2C2如图所示；(3)(1,4)；(1,−4)；√17π.【解析】解：(1)见答案；(2)见答案；(3)C1(1,4)，C2(1,−4)，根据勾股定理，OC=√12+42=√17，过C、C1、C2三点的圆的圆弧是以CC2为直径的半圆，π×2OC=√17π.ĈC1C2的长=12故答案为：(1,4)；(1,−4)；√17π.【分析】(1)根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；(2)根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；(3)根据平面直角坐标系写出点C1、C2的坐标，利用勾股定理求出OC的长，再根据过C、C1、C2三点的圆的圆弧是以CC2为直径的半圆，列式计算即可得解．本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，以及弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．21.【答案】解：(Ⅰ)当m=0时，方程为x2+x−1=0．△=12−4×1×(−1)=5>0．∴x=−1±√5，2×1∴x 1=−1+√52，x 2=−1−√52．(Ⅱ)∵方程有两个不相等的实数根，∴△>0即(−1)2−4×1×(m −1)=1−4m +4=5−4m >0∵5−4m >0∴m <54．【解析】(Ⅰ)令m =0，用公式法求出一元二次方程的根即可；(Ⅱ)根据方程有两个不相等的实数根，计算根的判别式得关于m 的不等式，求解不等式即可．本题考查了一元二次方程的解法、根的判别式．一元二次方程根的判别式△=b 2−4ac ． 22.【答案】解：设小正方形的边长为xcm ，由题意得10×8−4x 2=80%×10×8，80−4x 2=64，4x 2=16，x 2=4．解得：x 1=2，x 2=−2，经检验x 1=2符合题意，x 2=−2不符合题意，舍去；所以x =2．答：截去的小正方形的边长为2cm ．【解析】等量关系为：矩形面积−四个全等的小正方形面积=矩形面积×80%，列方程即可求解．读懂题意，找到合适的等量关系是解决本题的关键，实际问题中需注意负值应舍去． 23.【答案】解：(1)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵BC =6cm ，AC =8cm ，∴AB =10cm ，∴OB =5cm ．连OD ，∵OD =OB ，∴∠ODB =∠ABD =45°，∴∠BOD =90°，∴BD =√OB 2+OD 2=5√2cm ．(2)S 阴影=S 扇形−S △OBD =90360π⋅52−12×5×5=25π−504cm 2．【解析】(1)由AB 为⊙O 的直径，得到∠ACB =90°，由勾股定理求得AB ，OB ，连OD ，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；(2)根据S 阴影=S 扇形−S △OBD 即可得到结论．本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，三角形的面积，连接OD 构造直角三角形是解题的关键． 24.【答案】解：(1)设甲种苹果的进价为a 元/千克，乙种苹果的进价为b 元/千克，依题意，得：{a +b =183(a +4)+4(b +2)=82， 解得：{a =10b =8． 答：甲种苹果的进价为10元/千克，乙种苹果的进价为8元/千克．(2)依题意，得：(4+x)(100−10x)+(2+x)(140−10x)=960，化简，得：x 2−9x +14=0，解得：x 1=2，x 2=7，∵要尽快售出，∴x =2．答：x 的值为2．【解析】(1)设甲种苹果的进价为a 元/千克，乙种苹果的进价为b 元/千克，根据“1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元，当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时，陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)根据总利润=每千克的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．25.【答案】解：(1)解：如图所示：在y=34x−3中，令x=0，得y=−3；令y=0，得x=4，故A，B两点的坐标分别为A(4,0)，B(0,−3)．(2)设t秒时圆与直线l相切，设切点为H，圆心为C．如图所示，连接CH，则CH⊥AB.由∠CAH=∠BAO，∠CHA=∠BOA=90°，则△ACH∽△ABO，故CHOB =ACAB．①当点C在点A的左侧时，13=4−0.4t5解得t=356当点C在点A的右侧时，13=0.4t−45解得t=856综上，t=356或t=856；(3)①先证点P与动圆圆心C的连线平行于y轴．当时，s=3−0.3t当t>10时，s=0.3t−3；②203秒．(3)①设在t秒，动圆的圆心在C点处，动点在P处，此时OC=0.4t，BP=0.5t，C点的坐标为(0.4t,0)，连接PC．∵OCBP =0.4t0.5t=45，又OABA=45，∴OCBP=OABA，∴CP//OB，∴PC⊥OA，第21页，共23页∴P 点的横坐标为0.4t ，又∵P 点在直线AB 上，∴P 点的纵坐标为|0.3t −3|，即s ={3−0.3t(0≤t ≤10)0.3t −3(t >10)； ②由①知，当PC =1时，P 点在动圆上，当0≤PC <1时，P 点在动圆内． 当PC =1时，由对称性可知，有两种情况：①当P 点在x 轴下方时，PF =−(0.3t −3)=1，解之得t =203； ②当P 点在x 轴上方时，PF =0.3t −3=1，解之得：t =403． ∴当203≤t ≤403时，0≤PC ≤1，此时点P 在动圆的圆面上，所经过的时间为403−203=203． 答：动点在动圆的圆面上共经过了203秒．【解析】(1)根据题意可将A ，B 代入解析式中求出两点坐标；(2)当圆与直线相切时，根据直线l 与x 轴的角度可求出圆心坐标，然后再求出时间t ；(3)①先证点P 与动圆圆心C 的连线平行于y 轴．当0≤t ≤10时，s =3−0.3t ；当t >10时，s =0.3t −3；②可设在t 秒时，动圆的圆心在F 点处，动点在P 处，此时OF =0.4t ，BP =0.5t ，F 点的坐标为(0.4t,0)，连接PF ．因为OC BP =0.4t 0.5t =45，又OA BA =45，所以可得到OC BP =OABA ，进而可得到CP//OB ，PC ⊥OA ，所以P 点的横坐标为0.4t ，又结合P 点在直线AB 上，可得P 点的纵坐标为0.3t −3，因此可见：当PC =1时，P 点在动圆上，当0≤PC <1时，P 点在动圆内，而当PC =1时，由对称性可知，有两种情况：①当P 点在x 轴下方时，PC =−(0.3t −3)=1，解之可得t 的值，②当P 点在x 轴上方时，PC =0.3t −3=1，解之得t 的另一个值，进而可得到当203时，0≤PC ≤1，并且此时点P 在动圆的圆面上，所经过的时间为403．本题主要考查对于一次函数的应用以及对于圆和直线相切的性质的认识．解题时，对于动点问题，一定要分类讨论． 26.【答案】解：(1)EF 与⊙O 相切，理由如下：连接AD ，OD ，如图所示：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°．∴AD ⊥BC ．∵AB=AC，∴CD=BD=12BC．∵OA=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD//AC．∵EF⊥AC，∴EF⊥OD．∴EF与⊙O相切．(2)解：由(1)知∠ADC=90°，AC=AB=10，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD=√AC2−CD2=√102−62=8．∵S ACD=12AD⋅CD=12AC⋅DE，∴12×8×6=12×10×DE．∴DE=245．(3)证明：由(1)得：CD=12BC，AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵EF⊥AC，∴∠DEC=90°=∠ADC，∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAD，∴CDAC =CECD，∴CD2=CE⋅AB，∵AB=AC，∴14BC2=CE⋅AB，∴BC2=4CE⋅AB．【解析】(1)连接AD，OD，证明OD是△ABC的中位线，得出OD//AC.由已知条件证得EF⊥OD，即可得出结论；(2)根据勾股定理求出AD，再由三角形面积计算即可；(3)由(1)得CD=12BC，AD⊥BC，证明△CDE∽△CAD，得出CDAC=CECD，则CD2=CE⋅AB，第22页，共23页即可得出结论．本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及三角形面积等知识；熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．27.【答案】(−2,0)【解析】解：(1)当⊙P第1次与x轴相切时，圆心P在正方形的BC边上，且点P到x 轴的距离为1，∴圆心P的坐标为(−2,1)，故答案为：(−2,1)；(2)⊙P与y轴相切，理由：∵正方形ABCD的边长为4，∴⊙P运动一周时，圆心P的运动路程为4×4=16，∵2019÷16=1263，16∴⊙P运动了126周多，圆心P在AB上，且AP=3，∴圆心P的坐标为(−1,2)，∴圆心P到y轴的距离d=1，∵⊙P的半径r=1，∴d=r，∴⊙P与y轴相切；×4=32−4+π=28+π，(3)S=4×2×4−1×1×4+90π×12360∴⊙P运动一周覆盖平面的区域的面积为28+π．(1)根据切线的性质即可得到结论；(2)由题意得到⊙P运动一周时，圆心P的运动路程为4×4=16，由于2019÷16= 1263，于是得到⊙P运动了126周多，圆心P在AB上，且AP=3，得到圆心P的坐16标为(−1,2)，根据切线的判定定理即可得到结论；(3)根据正方形和扇形的面积公式即可得到结论．本题考查了切线的性质，扇形的面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．第23页，共23页。
江苏省无锡市锡中实验学校2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
江苏省无锡市锡中实验学校2020-2021学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．sin45°的值等于（）A．12B．√22C．√32D．12．一组数据3，4，6，8，8，9的中位数和众数分别是（）A．7，8 B．7，8，5 C．5，8 D．7，5，7 3．已知⊙O的半径为3，若OP＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．无法判断4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB，tan∠B＝2，则AC的长为（）A．1 B．2 C D．5．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:，堤高BC＝12m，则坡面AB的长度是（）A．15m B．C．24m D．6．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为（）A．B．C．m D．7．下列命题中，正确的是（）①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③90°的圆周角所对的弦是直径；④三角形的内心为三角形各内角平分线的交点；⑤同弧所对的圆周角相等．A ．①②③B ．②③④C ．②③⑤D ．③④⑤ 8．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD 为O 的直径，弦AB DC ⊥于E ，1ED =寸，10AB =寸，求直径CD 的长.”则CD =A ．13寸B ．20寸C ．26寸D ．28寸9．如图，边长为3的正五边形ABCDE ，顶点A 、B 在半径为3的圆上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE 绕点A 逆时针旋转，当点E 第一次落在圆上时，则点C 转过的度数为（ ）A ．12°B ．16°C ．20°D ．24°10．如图，A （12，0），B （0，9）分别是平面直解坐标系xOy 坐标轴上的点，经过点O且与AB 相切的动圆与x 轴、y 轴分别相交与点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是（ ）A ．B ．10C ．7.2D ．二、填空题 11．圆弧的半径为2，弧所对的圆心角为120°，则该弧的长度为_____．12．一组数据1，2，3，x ，5的平均数是3，则该组数据的方差是_____．13．圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：7，则∠D ＝_____°．14．一个圆锥的母线长为4，侧面积为12π，则这个圆锥的底面圆的半径是 ． 15．如图所示，点A ，B ，C ，D 均在⊙O 上，OB ⊥AC ，若∠BOC ＝58°，∠ADB ＝_____°．16．如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，若∠BAC ＝45°，OB ＝4，则图中阴影部分的面积为_____．17．已知△ABC 的边AB=2cm ，⊙O 是其外接圆，且半径也为2cm ，则∠C 的度数是 ． 18．如图所示，将一副三角板摆放在一起，组成四边形ABCD ，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB ＝45°，连接BD ，则tan ∠CBD 的值为_____．19．如图，Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，OA ＝8cm ，AB ＝6cm ，以O 为圆心，4cm 为半径作⊙O ，点C 为⊙O 上一个动点，连接BC ，D 是BC 的中点，连接AD ，则线段AD 的最大值是_____cm ．三、解答题20．计算：（1）2030π︒-+（2）2145|5|2-︒⎛⎫+- ⎪⎝⎭（3）已知α为锐角，()sin 152α︒-=，计算2cos 3tan αα-+ 21．为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低分为6分）请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查一共抽取了 名居民；（2）直接写出本次调查获取的样本数据的平均数为 ，中位数为 ；（3）社区决定对该小区1500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？22．如图，已知点C 是∠AOB 的边OB 上的一点，求作⊙P ，使它经过O 、C 两点，且圆心在∠AOB 的平分线上．23．如图，在△ABC 中，BC ＝6，sin A ＝35，∠B ＝30°，求AC 和AB 的长．24．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，并且AD 是⊙O 的直径，C 是BD⌢的中点，AB 和DC 的延长线交于⊙O 外一点E ，求证：BC ＝EC ．25．如图1，为放置在水平桌面l 上的台灯，底座的高AB 为5cm .长度均为20cm 的连杆BC ，CD 与AB 始终在同一水平面上.（1）旋转连杆BC ，CD ，使BCD ∠成平角，150ABC ∠=︒，如图2，求连杆端点D 离桌面l 的高度DE .（2）将（1）中的连杆CD 绕点C 逆时针旋转，使165BCD ∠=︒，如图3，问此时连杆端点D 离桌面l 的高度是增加了还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm ，参1.41≈ 1.73≈）26．如图，在ABC ∆中，AB AC =,以AC 边为直径作⊙O 交BC 边于点D ,过点D 作DE AB ⊥于点E ，ED 、AC 的延长线交于点F .（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若,且,求⊙O 的半径与线段的长.27．（发现问题）爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图1，点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （2，0）．动点B 在⊙O 上，连结AB ，作等边△ABC （A ，B ，C 为顺时针顺序），求OC 的最大值．（解决问题）小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB ，以OB 为边在OB 的左侧作等边三角形BOE ，连接AE ．（1）请你找出图中与OC 相等的线段，并说明理由；（2）请直接写出线段OC 的最大值．（迁移拓展）（3）如图2，BC ＝，点D 是以BC 为直径的半圆上不同于B 、C 的一个动点，以BD 为边作等边△ABD ，请求出AC 的最值，并说明理由．28．如图1，有一块直角三角板，其中AB 16=，ACB 90∠=，CAB 30∠=，A 、B 在x 轴上，点A 的坐标为()20,0，圆M 的半径为，圆心M 的坐标为(-，圆M 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右做平移运动，运动时间为t 秒； ()1求点C 的坐标；()2当点M 在ABC ∠的内部且M 与直线BC 相切时，求t 的值；()3如图2，点E 、F 分别是BC 、AC 的中点，连接EM 、FM ，在运动过程中，是否存在某一时刻，使EMF 90∠=？若存在，直接写出t 的值，若不存在，请说明理由．参考答案1．B【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．【详解】sin45°=√2．2故选B．【点睛】错因分析：容易题.失分的原因是没有掌握特殊角的三角函数值.2．A【分析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此可得答案．【详解】解：将数据从小到大排列为3、4、6、8、8、9，则这组数据的中位数为（6+8）÷2＝7,众数为8．故选：A．【点睛】本题考查众数与中位数的意义．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．3．B【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；点与圆心的距离d ＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【详解】解：∵OP＝4＞3，∴点P在⊙O外部．故选：B．【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．4．B【分析】根据正切的定义得到BC=12AC，根据勾股定理列式计算即可．【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠B=2，∴ACBC=2，∴BC=12 AC，由勾股定理得，AB2=AC2+BC22=AC2+（12AC）2，解得，AC=2，故选B．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A 的正切是解题的关键．5．C【分析】直接利用坡比的定义得出AC的长，进而利用勾股定理得出答案．【详解】解：Rt△ABC中，BC＝12cm，tanA＝1∴AC＝BC÷tanA＝，∴AB24cm．故选：C．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡比的定义是解题关键．6．D【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数的定义求得BD和CD，再根据BC=BD+CD即可求解．【详解】解：过A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，AD=120m，∴=，在Rt△ACD中，∵∠CAD=60°，AD=120m，∴，∴BC=BD+CD==．故选D．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．7．D【分析】根据圆的有关性质（垂径定理、圆周角定理）及切线长定理对各小题分析判断即可得解．【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，本说法错误；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，本说法错误；③90°的圆周角所对的弦是直径，本说法正确；④三角形的内心为三角形各内角平分线的交点，本说法正确；⑤同弧所对的圆周角相等，本说法正确；故选：D．【点睛】本题考查了圆的有关性质（垂径定理、圆周角定理）及切线长定理，掌握定理的内容是解题关键．8．C【分析】连接AO，根据垂径定理及勾股定理即可求出半径，即可求出CD的长.【详解】如图，连接AO，设AO=OD=r，故OE=r-1，∵AB=10，∴AE=5，由AO2=AE2+OE2，即r2=52+( r-1)2，解得r=13，故CD=2r=26故选C【点睛】此题主要考查垂径定理，解题的关键是根据勾股定理进行求解.9．A【分析】根据点E旋转的角度和点C旋转的角度相等,所以求出点E旋转的角度即可.【详解】解: 如图设圆心为O,连接OA, OB,点E落在圆上的点E'处.AB=OA=OB,∠OAB=60o,同理∠OAE'=60o,∠EAB=108o,∴∠EAO=∠EAB-∠OAB=48o,∴∠EAE'=∠OAE'-∠EAO=60o-48o=12o点E旋转的角度和点C旋转的角度相等,∴点C旋转的角度为12o,故选A.【点睛】本题主要考查旋转的性质，注意与圆的性质的综合.10．C【分析】设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接OF，OD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABO是直角三角形，FO+FD=PQ，由三角形的三边关系知，FO+FD≥OD；只有当点F、O、D共线时，FO+FD=PQ有最小值，最小值为OD的长，即当点F在直角三角形ABO的斜边AB的高OD上时，PQ=OD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时OD＝OA OBAB⋅＝12915⨯＝7.2.【详解】解：如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、OF、OD，则FD⊥AB．∵A（12，0）、B（0，9），∴AO＝12，BO＝9，∴AB＝15，∴∠AOB＝90°，∴PQ是圆F的直径，∴FO+FD ＝PQ ，∴FO+FD≥OD ，当点F 、O 、D 共线时，PQ 有最小值，此时PQ ＝OD ，∴OD ＝OA OB AB ⋅＝12915⨯＝7.2． 故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形的三边关系，得到FO+FD≥OD 是解题的关键． 11．43π． 【分析】 根据弧长公式S=180n r π解答即可． 【详解】 解：该弧的长度＝1202180π⨯＝43π， 故答案为：43π． 【点睛】本题考查了弧长的计算，熟记公式即可解题，属于基础题．12．2【分析】先用平均数是3可得x 的值，再结合方差公式计算即可．【详解】平均数是315=（1+2+3+x +5），解得：x =4， ∴方差是S 215=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]15=⨯10=2． 故答案为2．【点睛】本题考查了平均数和方差的概念，解题的关键是牢记方差的计算公式，难度不大． 13．120【分析】根据圆内接四边形对角互补，求出∠A 与∠B ，∠C 的度数即可得出答案．解：设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、7x，根据圆内接四边形对角互补有2x+7x＝180°，解得，x＝20°，∴∠B＝3x＝60°，∴∠D＝180°﹣∠B＝120°，故答案为：120．【点睛】此题主要考查了圆内接四边形对角互补的性质，根据已知得出，∠A+∠C=3x+7x=180°是解题关键．14．3．【解析】试题分析：根据圆锥的侧面积=底面半径×母线长×π，进而求出即可．解：∵母线为4，设圆锥的底面半径为x，∴圆锥的侧面积=π×4×x=12π．解得：x=3．故答案为3．考点：圆锥的计算．15．29【分析】根据垂径定理可得点B是AC中点，由圆周角定理可得∠ADB=12∠BOC，继而得出答案．【详解】解：∵OB⊥AC，∴AB=CB，∴∠ADB＝12∠BOC＝12×58°＝29°．故答案为29．【点睛】此题考查了圆周角定理及垂径定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．【分析】先证得△OBC是等腰直角三角形，然后根据S阴影=S扇形OBC-S△OBC即可求得．【详解】解：由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝90°，∴△OBC是等腰直角三角形∴图中阴影部分的面积＝29041443602π⨯-⨯⨯＝4π-8，故答案为：4π-8．【点睛】本题考查的是圆周角定理及扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．17．30°或150°．【解析】试题分析：根据等边三角形的性质得到∠AOB=60°，分点C在优弧AB上和点C在劣弧AB 上两种情况，根据圆周角定理计算即可．解：∵AB=2cm，⊙O的半径也为2cm，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，当点C在优弧AB上时，∠C=∠AOB=30°，当点C在劣弧AB上时，∠C=150°．故答案为30°或150°．考点：圆周角定理．18 【分析】如图所示，连接BD ，过点D 作DE 垂直于BC 的延长线于点E ，构造直角三角形，将∠CBD 置于直角三角形中，设CE 为x ，根据特殊直角三角形分别求得线段CD 、AC 、BC ，从而按正切函数的定义可解．【详解】解：如图所示，连接BD ，过点D 作DE 垂直于BC 的延长线于点E,∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°∴∠DCE ＝45°，∵DE ⊥CE∴∠CEB ＝90°，∠CDE ＝45°∴设DE ＝CE ＝x ，则CD x ，在Rt △ACD 中，∵∠CAD ＝30°，∴tan ∠CD AC ，则AC ，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝∠BCA ＝45°∴BC ，∴在Rt △BED 中，tan ∠CBD ＝DEBE ＝12． 【点睛】 本题考查了用定义求三角函数，同时考查了特殊角的三角函数值，如何作辅助线，是解题的关键．19．7【分析】连接OC ，作直角△ABO 斜边中线AE ，连接ED ，当DE 、AE 共线时AD 取最大值．【详解】解：由题意知OB ＝10连接OC ，作直角△ABO 斜边中线OE ，连接ED ，则DE ＝12OC ＝2，AE ＝12OB ＝5． 因为AD ＜DE+AE ，所以当DE 、AE 共线时AD ＝AE+DE 最大为7cm ．故答案为：7．【点睛】本题考查和圆有关的最值问题．将AD 转化为AE 和DE 的数量关系是解答关键．20．（1）72．（2）7；（3）﹣ 【分析】（1）先计算乘方和三角函数值，再计算加减法即可；（2先计算乘方和三角函数值、绝对值，再计算加减法即可；（3）先由特殊角的三角函数值计算出α，再代入求值即可.【详解】解：（1）原式＝3﹣ ＝2+32 ＝72． （2）原式＝4﹣2×1+5 ＝4﹣2+5＝7．（3）∵α为锐角，()sin 15α︒-=∴α﹣15°＝45°．∴α＝60°．∴2cos 3tan αα-+＝﹣2×12＝﹣﹣＝﹣．【点睛】本题考查了含特殊角的三角函数值的四则运算，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 21．（1）50；（2）8.26分，8分；（3）300份.【分析】（1）根据总数=个体数量之和计算即可；（2）根据平均数、中位数的定义计算即可；（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可；【详解】解：（1）本次调查的居民总人数为4+10+15+11+10＝50（名），故答案为：50；（2）本次调查获取的样本数据的平均数为46107158119101050⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝8.26（分）， 中位数为882+＝8（分），故答案为：8.26分，8分；（3）1050×1500＝300（份），答：估计需准备300份“一等奖”奖品．【点睛】本题考查的是条形统计图综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.22．答案见解析【分析】首先作出∠AOB的角平分线，再作出OC的垂直平分线，两线的交点就是圆心P，再以P 为圆心，PC长为半径画圆即可．【详解】解：如图所示：．【点睛】本题考查基本作图,掌握垂直平分线及角平分线的做法是本题的解题关键.．23．AC＝5．AB＝【分析】过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△BCD中利用锐角三角函数和勾股定理求出CD、BD，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数和勾股定理求出AC、AD,即可.【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt △BCD 中，sinB ＝sin30°＝12＝CD BC．∴CD ＝12×6＝3，BD ＝ 在Rt △ACD 中，sinA ＝CD AC ＝35， ∴AC ＝53CD ＝5．∴AD 4，∴AB ＝AD+BD＝．【点睛】本题考查了锐角三角函数和勾股定理．构造直角三角形是解决本题的关键．24．详见解析【分析】连接AC ，先根据直径所对的角是直角，圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等得到∠E=∠D ，∠EBC=∠E ，从而根据等角对等边可证BC=EC ．【详解】证明：连接AC∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD=90°=∠ACE ．∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠EBC=∠D∵C 是弧BD 的中点，∴∠1=∠2，∴∠1+∠E =∠2+∠D =90∘，∴∠E =∠D ，∴∠EBC=∠E ，∴BC=EC【点睛】主要考查了圆内接四边形的性质和圆、等腰三角形的有关性质．根据圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等得到∠EBC=∠E 是解题的关键．25．（1）39.6DE cm ≈；（2）下降了，约3.2cm .【分析】（1）如图2中，作BO ⊥DE 于O ．解直角三角形求出OD 即可解决问题．（2）作DF ⊥l 于F ，CP ⊥DF 于P ，BG ⊥DF 于G ，CH ⊥BG 于H ．则四边形PCHG 是矩形，求出DF ，再求出DF-DE 即可解决问题．【详解】（1）过点B 作BO DE ⊥，垂足为O ，如图2，则四边形ABOE 是矩形，1509060OBD =-=∠， ∴sin 6040sin 60203DO BO =⋅=⨯=，∴539.6DE DO OE DO AB cm =+=+=≈.（2）下降了.如图3，过点D 作DF l ⊥于点F ，过点C 作CP DF ⊥于点P ，过点B 作BG DF ⊥于点G ，过点C 作CH BG ⊥于点H ，则四边形PCHG 为矩形，∵60CBH ︒∠=，∴30BCH ︒∠=，又∵165BCD ︒∠=，∴45DCP ︒∠=，∴sin 60CH BC ︒==*sin 45DP CD ==∴DF DP PG GF DP CH AB =++=++5=.∴下降高度：55DE DF -=-=3.2cm ≈.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．26．（1）证明参见解析；（2）半径长为154，AE =6. 【分析】（1）已知点D 在圆上，要连半径证垂直，连结OD ，则OC OD =，所以ODC OCD ∠=∠，∵AB AC =，∴B ACD ∠=∠.∴B ODC ∠=∠，∴OD ∥AB .由DE AB ⊥得出OD EF ⊥，于是得出结论；（2）由35OD AE OF AF ==得到35OD AE OF AF ==，设3OD x =，则5OF x =.26AB AC OD x ===，358AF x x x =+=，362AE x =-，由363285x x -=，解得x 值，进而求出圆的半径及AE 长.【详解】解：（1）已知点D 在圆上，要连半径证垂直，如图2所示，连结OD ，∵AB AC =，∴B ACD ∠=∠.∵OC OD =，∴ODC OCD ∠=∠.∴B ODC ∠=∠，∴OD ∥AB .∵DE AB ⊥，∴OD EF ⊥.∴EF 是⊙O 的切线；（2）在Rt ODF ∆和Rt AEF ∆中，∵35OD AE OF AF ==，∴35OD AE OF AF ==. 设3OD x =，则5OF x =.∴26AB AC OD x ===，358AF x x x =+=.∵32EB =，∴362AE x =-.∴363285x x -=，解得x =54，则3x=154,AE=6×54-32=6,∴⊙O 的半径长为154，AE =6.【点睛】1.圆的切线的判定；2.锐角三角函数的应用.27．[解决问题]（1）OC ＝AE ，（2）OC 的最大值为3．[迁移拓展]（3）AC 的最大值为．AC 的最小值为﹣．【分析】（1）结论：OC=AE ．只要证明△CBO ≌△ABE 即可；（2）当E 、O 、A 共线，AE 有最大值，此时OC 有最大值，据此求解即可；（3）当点A 在线段BD 的左侧时，以BC 为边作等边三角形△BCM ，由△ABC ≌△DBM ，推出AC=MD ，推出欲求AC 的最大值，只要求出DM 的最大值即可，当点D 在BC 上方，DM ⊥BC 时，DM 的值最大；当点A 在线段BD 的左侧时，同理可求AC 的最小值.【详解】解：【解决问题】（1）如图1中，结论：OC＝AE，理由：∵△ABC，△BOE都是等边三角形，∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，∴∠CBO＝∠ABE，∴△CBO≌△ABE（SAS），∴OC＝AE．（2）在△AOE中，AE≤OE+OA，∴当E、O、A共线，∴AE的最大值为3，∴OC的最大值为3．【迁移拓展】（3）如图2中，以BC为边作等边三角形△BCM，∵∠ABD＝∠CBM＝60°，∴∠ABC＝∠DBM，且AB＝DB，BC＝BM，∴△ABC≌△DBM（SAS），∴AC＝MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，∵BC ＝＝定值，∠BDC ＝90°，∴点D 在以BC 为直径的⊙O 上运动，由图象可知，当点D 在BC 上方，DM ⊥BC 时，DM 的值最大，最大值＝+2 ，∴AC 的最大值为+2 ．当点A 在线段BD 的右侧时，同理可得AC 的最小值为．综上所述AC 的最大值为+2，最小值为. 【点睛】本题考查与圆有关的动点问题，等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用转化的思想思考问题，掌握旋转法添加辅助线，属于中考压轴题．28．（1）(C 8,；（2）t=18s ；（3）t 15=±【解析】【分析】（1）如图1中，作CH ⊥AB 于H ．解直角三角形求出CH ，OH 即可．（2）如图1﹣1中，设⊙M 与直线BC 相切于点N ，作MH ⊥AB 于H ．求出OH 的长即可解决问题．（3）设M （﹣5+t ，，EF 12=AB =8，由∠EMF =90°，可得EM 2+MF 2=EF 2，由此构建方程即可解决问题．【详解】（1）如图1中，作CH ⊥AB 于H ．∵A （20，0），AB =16，∴OA =20，OB =4．在Rt △ABC 中，∵∠ACB =90°，AB =16，∠CAB =30°，∴BC 12=AB =8，CH =BC •sin60°，BH =BC •cos60°=4，∴OH =8，∴C （8，）．（2）如图1﹣1中，设⊙M与直线BC相切于点N，作MH⊥AB于H．∵MN=MH MN⊥BC，MH⊥BA，∴∠MBH=∠MBN=30°，∴BH==9，∴点M的运动路径的长为5+4+9=18，∴当点M在∠ABC的内部且⊙M与直线BC相切时，t的值为18s．（3）∵C（8，，B（4，0），A（20，0）．∵CE=EB，CF=F A，∴E（6，），F（14，，设M（﹣5+t，），EF12=AB=8．∵∠EMF=90°，∴EM2+MF2=EF2，∴（6+5﹣t）2+2+（14+5﹣t）2+）2=82，整理得：t2﹣30t+212=0，解得：t=15【点睛】本题是圆的综合题，考查了平移变换，解直角三角形，切线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
无锡市天一实验学校2020-2021学年第一学期初三数学期中考试
无锡市天一实验学校2020-2021学年第一学期期中考试初三数学试卷202011一、选择题（每小题3分，共30分）1．sin60°的值为（ ）A ．12BC D2x 的取值范围是（ ）A ．x ≠1B ．x ≤1C ．x ≥1D ．x ＜13．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．x ＋2y ＝3B ．x 2＋6＝0C ．239x x +=D ．2(3)2x x x +=-4．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝3，BD ＝6，DE ＝2，则BC 的长度为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．如图，AB 是⊙O 的直径，DB 、DE 分别切⊙O 于点B 、C ，若∠ACE ＝35°，则∠D 的度数是（ ）A ．65°B ．55°C ．60°D ．70°6．下列四个命题：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③经过三个点一定可以作圆；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．47．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D ，E 在⊙O 上，若∠AEC ＝25°，则∠BDC 的度数为（ ）A．100°B．110°C．120°D．115°8．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长10m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE＝0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB＝6m，则石坝的坡度为（）A．34B．35C．3D．49．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝O为△ABC三条高的交点，则OA的长度为（）ABCD10．如图，点A（－1，0），点B（－4，0），□ABCO的顶点D在第二象限，反比例函数y＝kx（k＜0）图象经过点D和BC边的中点E，若∠C＝α，则用含α的式子表示k的值为（）A．－4tanαB．－3tanαC．－259tanαD．－289tanα二、填空题（每小题2分，共16分）11．方程x2＝2x的解为．12．如果74x yy+=，那么xy＝．13．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，∠A＝60°，那么BC＝．14．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是．15．如图，在4×5的正方形网格中点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC＝．16．⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠BOC ＝110°，则∠A 的度数是 ．17．在数学必修拓展课上，小兰利用一张直角三角形纸片折出了一个菱形AFDE ，若图所示，若∠ACB ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，则折痕EF 的长为 ．18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，点O 为△ABC 边上一点，⊙O 是以点O 为圆心，1为半径的圆，若点O 沿三角形的边顺时针方向运动一周，则⊙O 扫过区域的面积为 ．三、解答题（本大题共10小题，共84分）19．计算：（8分）（1）214sin 60tan 452-⎛⎫---- ⎪⎝⎭（2）tan 602+20．解下列方程：（8分）（1）x 2＋4x －3＝0（2）x 2－4x ＋4＝(3x －6)221．（6分）先化简代数式：2221244a b a b a b a ab b 2--÷-+++，然后选择一个使原式有意义的a 、b 值代入求值． 22．（8分）如图，在正方形ABCD 中，点E 在AD 上，EF ⊥BE 交CD 于点F ．（1）求证：△ABE ∽△DEF ；（2）连结BF ，若△ABE ∽△EBF ，试确定点E 的位置并说明理由．B AB C D EF23．（6分）由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C 处有生命迹象．在废墟一侧地面上探测点A 、B 相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C 的深度．1.4141.732，结果精确到0.1）24．（10分）如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接DE 、OE ．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系并说明理由．（2）若⊙O 半径r ＝6，DE ＝8，求AD 的长．25．（8分）某保健柜加工销售芝麻核桃粉，平均每天可销售20千克芝麻核桃粉，每千克赢利18元，双十一临近，为了抓住商机，增加赢利，尽快减少库存，该专柜决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每千克降价1元，专柜平均每天可多售出5千克．求该专柜平均每天赢利400元，且让顾客得到实惠，每千克芝麻核桃粉应降价多少元？26．（6分）门环，在中国绵延了数千多年的，集实用、装饰和门第等级为一体的一种古建筑构件，也成为中国古建“门文化”中的一部分，现有一个门环的示意图如图所示，点O 为正六边形ABCDEF 的中心．（1）请用无刻度直尺与圆规，过点O 作一个⊙P ，使⊙P 与直线AF 和直线AB 同时相切（请保留作图痕迹）；A DC F（2）若正六边形ABCDEF 的边长为18cm ，试求（1）中⊙P 的半径．（结果保留根号）27．（10分）如图1，在▱ABCD 中，AB ＝6，∠B ＝α（60°＜α≤90°）．点E 在BC 上，连接AE ，把△ABE 沿AE 折叠，使点B 与AD 上的点F 重合，连接EF ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）如图2，点M 是BC 上的动点，连接AM ，把线段AM 绕点M 顺时针旋转α得到线段MN ，连接FN ，求FN 的最小值（用含α的代数式表示）．B FO28．（14分）如图，在矩形OABC中，点A坐标为（8，0），点C坐标为（0，6），将矩形OABC绕坐标原点O逆时针方向旋转90°得矩形ODEF，矩形ODEF的对角线OE所在直线为l．（1）直线l的解析式为：________________；（2）若直线l以每秒1个单位的速度向右运动，当直线l经过点B时停止运动，设运动时间为t秒，若直线l扫过矩形OABC的面积为S，试求S与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点P为线段BC上一点，在直线l出发的同时，点P以每秒2个单位的速度沿B →C→B的方向运动，以点P为圆心，BP为半径作⊙P，请问当t为何值时，直线l与⊙P相切？。
2023-2024学年江苏省无锡市惠山区天一实验学校九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年江苏省无锡市惠山区天一实验学校九年级（上）期中数学试卷一.选择题（共10小题，每小题3分，共计30分） 1．（3分）下列方程中是一元二次方程是（ ） A ．1x 2+x =2 B ．2x +6＝7C ．x 2+y 2＝5D ．3x 2﹣5x +2＝02．（3分）已知3a ＝2b （a ≠0，b ≠0），下列变形错误的是（ ） A ．ab=23B ．b a=23C ．b a=32D ．a 2=b33．（3分）若一元二次方程x 2﹣4x +3＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1•x 2的值是（ ） A ．3B ．﹣3C ．﹣4D ．44．（3分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则tan A 的值是（ ）A ．35B ．34C ．53D ．435．（3分）某网络学习平台2020年的新注册用户数为100万，2022年的新注册用户数为178万，设新注册用户数的年平均增长率为x （x ＞0），根据题意所列方程正确的是（ ） A ．100x 2＝178 B ．100（1+x ）2＝178C ．100（1﹣x ）2＝178D ．100（1+2x ）＝1786．（3分）下列说法正确的是（ ） A ．等弧所对的圆心角相等 B ．相等的弦所对的弧相等 C ．过三点一定可以确定一个圆 D ．垂直于半径的直线是圆的切线7．（3分）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O ，另一边所在直线与半圆相交于点D 、E ，量出半径OC ＝5cm ，弦DE ＝8cm ，则直尺的宽度为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm8．（3分）如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝45°，过点A 作AB 的垂线交BC 于点D ，DE 平分∠ADB 交AB 于点E ．若DE ＝4，则AC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．2√3D ．3√29．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC 外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）A ．52π−74B ．52π−72C ．54π−74D ．54π−7210．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，OA ＝OB ＝3√5，点C 为平面内一动点，BC =32，连接AC ，点M 是线段AC 上的一点，且满足CM ：MA ＝1：2．当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是（ ）A ．（35，65）B ．（35√5，65√5）C ．（65，125） D ．（65√5，125√5）二.填空题（共8小题，每小题3分共计24分）11．（3分）在比例尺为像1：1000000的地图上，相距75cm 的两地A 、B 的实际距离为 km ． 12．（3分）已知圆锥的底面半径是1cm ，母线长为3cm ，则该圆锥的侧面积为 cm 2．13．（3分）如图，点P 把线段AB 的黄金分割点，且AP ＜BP ．如果AB ＝2，那么BP ＝ （结果保留小数）．14．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 在⊙O 上，若∠ABC ＝70°，则∠D 的度数为 °．15．（3分）如图，过原点O 的直线与反比例函数y 1=k 1x （x ＞0）和y 2=k2x （x ＞0）的图象分别交于点A 1，A 2，若OA 1OA 2=32，则k 1k 2= ．16．（3分）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为 里．17．（3分）若实数x ，y ，m 满足x +y +m ＝6，3x ﹣y +m ＝4，则代数式﹣2xy +1的最大值为 ． 18．（3分）如图，DE 平分等边△ABC 的面积，折叠△BDE 得到△FDE ，AC 分别与DF ，EF 相交于G ，H 两点．若DG ＝m ，EH ＝n ，用含m ，n 的式子表示GH 的长是 ．三.解答题（共10小题，共计96分） 19．（8分）解方程： （1）x 2﹣4x ﹣5＝0； （2）x 2﹣4x ﹣2＝0． 20．（8分）计算：（1）√8−4sin45°+(13)0； （2）2cos60°+|1−√2|+(12)−1．21．（8分）如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且AD CD=CD BD．（1）求证：△ACD ∽△CBD ； （2）求∠ACB 的大小．22．（10分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+k ＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根．第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A （0，4）、B （4，4）、C （6，2）． （1）经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标为 ； （2）这个圆的半径为 ；（3）直接判断点D （5，﹣2）与⊙M 的位置关系．点D （5，﹣2）在⊙M （填内、外、上）； （4）在方格中，连接AB ，AC ，BC ，将△ABC 以原点O 为位似中心，缩小为原来的12，请画出缩小后的图形△A 1B 1C 1．24．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，E 在⊙O 上，∠CAB ＝2∠EAB ，点F 在线段AB 的延长线上，且∠AFE ＝∠ABC ．（1）求证：EF 与⊙O 相切；（2）若BF ＝1，sin ∠AFE =45，求BC 的长．25．（10分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC落在x轴上，点B的坐标为（﹣1，0），AB ＝3，BC＝6，边AD与y轴交于点E．（1）直接写出点A、C、D的坐标；（2）在x轴上取点F（3，0），直线y＝kx+b（k≠0）经过点E，与x轴交于点M，连接EF．①当∠MEF＝15°时，求直线y＝kx+b（k≠0）的函数表达式；②当以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边所在直线相切时，求点M的坐标．27．（12分）如图，正方形ABCD中，点B关于直线的CD对称点为E，F为AD边上一动点，EF交CD 于G，CF交BG于H．（1）当F为AD中点时，求证CG＝2DG；（2）若线段DF满足DF2＝DG•DC．①求证：CF＝BG；②求FDAD的值．28．（12分）【学习心得】（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝°．【初步运用】（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝24°，求∠BAC的度数；【方法迁移】（3）如图3，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°（不写作法，保留作图痕迹）；【问题拓展】（4）①如图4①，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝m，M为边CD上的点．若满足∠AMB＝45°的点M 恰好有两个，则m的取值范围为．②如图4②，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的长．2023-2024学年江苏省无锡市惠山区天一实验学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共10小题，每小题3分，共计30分） 1．（3分）下列方程中是一元二次方程是（ ） A ．1x 2+x =2 B ．2x +6＝7C ．x 2+y 2＝5D ．3x 2﹣5x +2＝0【分析】本题根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：A 、不是整式方程，故错误． B 、是一元一次方程，故错误； C 、方程含有两个未知数，故错误； D 、符合一元二次方程的定义，正确； 故选：D ．2．（3分）已知3a ＝2b （a ≠0，b ≠0），下列变形错误的是（ ） A ．ab=23B ．b a=23C ．b a=32D ．a 2=b3【分析】根据比例的性质进行变形，再判断即可． 【解答】解：A 、∵3a ＝2b ，∴两边都除以3b 得：ab=23，故本选项不符合题意；B 、∵3a ＝2b ，∴两边都除以2a 得：ba=32，故本选项符合题意；C 、3a ＝2b ，∴两边都除以2a 得：ba=32，故本选项不符合题意；D 、∵3a ＝2b ，∴两边都除以6得：a2=b3，故本选项不符合题意；故选：B ．3．（3分）若一元二次方程x 2﹣4x +3＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1•x 2的值是（ ） A ．3B ．﹣3C ．﹣4D ．4【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：∵一元二次方程x 2﹣4x +3＝0的两个根是x 1，x 2， ∴x 1•x 2＝3． 故选：A ．4．（3分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则tan A 的值是（ ）A ．35B ．34C ．53D ．43【分析】根据锐角三角函数的定义得出tan A =BCAC ，再代入求出答案即可． 【解答】解：∵AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°， ∴tan A =BC AC =43， 故选：D ．5．（3分）某网络学习平台2020年的新注册用户数为100万，2022年的新注册用户数为178万，设新注册用户数的年平均增长率为x （x ＞0），根据题意所列方程正确的是（ ） A ．100x 2＝178 B ．100（1+x ）2＝178C ．100（1﹣x ）2＝178D ．100（1+2x ）＝178【分析】根据2022年的新注册用户数为178万列方程即可得到答案； 【解答】解：由题意可得，100（1+x ）2＝178， 故选：B ．6．（3分）下列说法正确的是（ ） A ．等弧所对的圆心角相等B．相等的弦所对的弧相等C．过三点一定可以确定一个圆D．垂直于半径的直线是圆的切线【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对A选项、B选项进行判断；根据确定圆的条件对C选项进行判断；根据切线的判定定理对D选项进行判断．【解答】解：A．等弧所对的圆心角相等，所以A选项符合题意；B．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，所以B选项不符合题意；C．过不共线的三点一定可以确定一个圆，所以C选项不符合题意；D．过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，所以D选项不符合题意．故选：A．7．（3分）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，则直尺的宽度为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】过点O作OF⊥DE，垂足为F，由垂径定理可得出EF的长，再由勾股定理即可得出OF的长【解答】解：过点O作OF⊥DE，垂足为F，∵OF过圆心，∵DE＝8cm，∴EF=12DE＝4cm，∵OC＝5cm，∴OE＝5cm，∴OF=√OE2−EF2=√52−42=3cm．故选：C．8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，过点A作AB的垂线交BC于点D，DE平分∠ADB交AB于点E．若DE＝4，则AC的长为（）A．3B．4C．2√3D．3√2【分析】过点A作AG⊥BC于点G，根据含30°，45°角的直角三角形的性质和勾股定理计算即可．【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，∵∠C＝45°，∴∠GAC＝∠C＝45°，∴GA＝GC，∴AC=√GA2+GC2=√2GA；∵∠B＝30°，∠BAD＝90°，∴∠ADB＝60°，∠GAD＝30°，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝30°，∵DE＝4，∴AE=12DE=2，∴AD=√DE2−AE2=2√3，∴GD=12AD=√3，∴AG=√AD2−GD2=3，∴AC=√2GA=3√2，故选：D．9．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（）A ．52π−74B ．52π−72C ．54π−74D ．54π−72【分析】作AB 的垂直平分线MN ，作BC 的垂直平分线PQ ，设MN 与PQ 相交于点O ，连接OA ，OB ，OC ，则点O 是△ABC 外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明△AOC 是直角三角形，从而可得∠AOC ＝90°，然后根据图中阴影部分的面积＝扇形AOC 的面积﹣△AOC 的面积﹣△ABC 的面积，进行计算即可解答．【解答】解：如图：作AB 的垂直平分线MN ，作BC 的垂直平分线PQ ，设MN 与PQ 相交于点O ，连接OA ，OB ，OC ，则点O 是△ABC 外接圆的圆心，由题意得：OA 2＝12+22＝5， OC 2＝12+22＝5， AC 2＝12+32＝10， ∴OA 2+OC 2＝AC 2， ∴△AOC 是直角三角形， ∴∠AOC ＝90°， ∵AO ＝OC =√5，∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC 的面积﹣△AOC 的面积﹣△ABC 的面积=90π×(√5)2360−12OA •OC −12AB •1=5π4−12×√5×√5−12×2×1 =5π4−52−1 =5π4−72，故选：D ．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，OA ＝OB ＝3√5，点C 为平面内一动点，BC =32，连接AC ，点M 是线段AC 上的一点，且满足CM ：MA ＝1：2．当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是（ ）A ．（35，65）B ．（35√5，65√5） C ．（65，125）D ．（65√5，125√5）【分析】由题意可得点C 在以点B 为圆心，32为半径的⊙B 上，在x 轴的负半轴上取点D （−3√52，0），连接BD ，分别过C 和M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，先证△OAM ∽△DAC ，得OM CD=OA AD=23，从而当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，然后分别证△BDO ∽△CDF ，△AEM ∽△AFC ，利用相似三角形的性质即可求解．【解答】解：∵点C 为平面内一动点，BD =32， ∴点C 在以点B 为圆心，32为半径的⊙B 上，在x 轴的负半轴上取点D （−3√52，0），连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ， ∵OA ＝OB =3√5， ∴AD ＝OD +OA =9√52， ∴OA AD=23，∵CM ：MA ＝1：2， ∴OA AD=23=CM AC，∵∠OAM ＝∠DAC ，∴△OAM ∽△DAC ， ∴OM CD=OA AD=23，∴当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值， ∵OA ＝OB =3√5，OD =3√52， ∴BD =√OB 2+OD 2=152， ∴CD ＝BC +BD ＝9， ∵OM CD=23，∴OM ＝6，∵y 轴⊥x 轴，CF ⊥OA ， ∴∠DOB ＝∠DFC ＝90°， ∵∠BDO ＝∠CDF ， ∴△BDO ∽△CDF ，∴OBCF =BDCD ，即3√5CF =1529， 解得CF =18√55， 同理可得，△AEM ∽△AFC ， ∴ME CF=AM AC=23，即18√55=23，解得ME =12√55， ∴OE =√OM 2−ME 2=6√55， ∴当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是（65√5，125√5）， 故选D ．二.填空题（共8小题，每小题3分共计24分）11．（3分）在比例尺为像1：1000000的地图上，相距75cm 的两地A 、B 的实际距离为 750 km ． 【分析】比例尺＝图上距离与实际距离的比，由此即可计算． 【解答】解：75÷11000000=75000000（cm ）＝750（km ）． ∴两地A 、B 的实际距离为750km ． 故答案为：750．12．（3分）已知圆锥的底面半径是1cm ，母线长为3cm ，则该圆锥的侧面积为 3π cm 2． 【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×1÷2＝3π． 故答案为：3π．13．（3分）如图，点P 把线段AB 的黄金分割点，且AP ＜BP ．如果AB ＝2，那么BP ＝ 1.2 （结果保留小数）．【分析】由黄金分割的定义得AP BP=BP AB，即可得出答案．【解答】解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＜BP ）， ∴AP BP=BP AB =√5−12， ∴BP =√5−12AB =√5−1≈1.2，故答案为：1.2．14．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 在⊙O 上，若∠ABC ＝70°，则∠D 的度数为 20 °．【分析】由AB 为⊙O 直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB ＝90°，根据题意即可求得∠A 的度数，然后由同弧所对的圆周角相等，即可求得∠D 的度数． 【解答】解：∵AB 为⊙O 直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵∠ABC ＝70°，∴∠A ＝90°﹣70°＝20°， ∴∠D ＝∠A ＝20°． 故答案为：20．15．（3分）如图，过原点O 的直线与反比例函数y 1=k 1x （x ＞0）和y 2=k2x （x ＞0）的图象分别交于点A 1，A 2，若OA 1OA 2=32，则k 1k 2=94．【分析】△OA 1N ∽△OA 2M ，根据三角形相似比的平方等于面积比，即可求解． 【解答】解：分别过点A 1、A 2作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，则△OA 1N ∽△OA 2M ， ∵OA 1OA 2=32，即两个三角形的相似比为3：2，则△OA 2M 和△OA 1N 的面积比为：9：4， 而k 1k 2=2S △OA 2M 2S △OA 1N=94，故答案为：94．16．（3分）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为 9 里．【分析】由AB 切圆于D ，BC 切圆于C ，连接OD ，得到OD ⊥AB ，OC ⊥BC ，BD ＝BC ＝9里，由勾股定理求出AC =√AB 2−BC 2=12，由tan A =OD AD =BCAC ，求出OD ＝4.5（里），即可得到答案． 【解答】解：如图，⊙O 表示圆形城堡，由题意知：AB 切圆于D ，BC 切圆于C ，连接OD ， ∴OD ⊥AB ，OC ⊥BC ，BD ＝BC ＝9里， ∵AD ＝6里，∴AB ＝AD +BD ＝15里， ∴AC =√AB 2−BC 2=12，∵tan A =OD AD =BCAC ， ∴OD 6=912，∴OD ＝4.5（里）．∴城堡的外围直径为2OD ＝9（里）． 故答案为：9．17．（3分）若实数x ，y ，m 满足x +y +m ＝6，3x ﹣y +m ＝4，则代数式﹣2xy +1的最大值为 32．【分析】结合已知条件解含参的二元一次方程组，然后代入﹣2xy +1中确定其取值即可． 【解答】解：由题意可得{x +y =6−m 3x −y =4−m ，解得{x =5−m2y =7−m 2，则﹣2xy +1 ＝﹣2×5−m 2×7−m2+1 =−(5−m)(7−m)2+1 =−m 2−12m+352+1 =−(m−6)22+32≤32， ∴代数式﹣2xy +1的最大值为32．故答案为：32．18．（3分）如图，DE 平分等边△ABC 的面积，折叠△BDE 得到△FDE ，AC 分别与DF ，EF 相交于G ，H 两点．若DG ＝m ，EH ＝n ，用含m ，n 的式子表示GH 的长是 √m 2+n 2 ．【分析】根据等边三角形的性质得到∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，根据折叠的性质得到△BDE ≌△FDE ，根据已知条件得到图形ACED 的面积＝S △BDE ＝S △FDE ，求得S △FHG ＝S △ADG +S △CHE ，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°， ∵折叠△BDE 得到△FDE ， ∴△BDE ≌△FDE ，∴S △BDE ＝S △FDE ，∠F ＝∠B ＝60°＝∠A ＝∠C ， ∵DE 平分等边△ABC 的面积， ∴图形ACED 的面积＝S △BDE ＝S △FDE ， ∴S △FHG ＝S △ADG +S △CHE ，∵∠AGD ＝∠FGH ，∠CHE ＝∠FHG ， ∴△ADG ∽△FHG ，△CHE ∽△FHG ，∴S △ADGS △FHG =(DGGH )2=m 2GH 2，S △CHES △FHG =(EH GH )2=n 2GH 2， ∴S △ADG S △FHG +S △CHE S △FHG =m 2+n 2GH 2=S △ADG +S △CHE S △FHG=1， ∴GH 2＝m 2+n 2，解得GH =√m 2+n 2或GH =−√m 2+n 2（不合题意舍去）， 故答案为：√m 2+n 2．三.解答题（共10小题，共计96分） 19．（8分）解方程： （1）x 2﹣4x ﹣5＝0； （2）x 2﹣4x ﹣2＝0．【分析】（1）方程利用因式分解法求解即可； （2）方程利用配方法求解即可．【解答】解：（1）x 2﹣4x ﹣5＝0， （x ﹣5）（x +1）＝0， x ﹣5＝0或x +1＝0， 解得x 1＝5，x 2＝﹣1； （2）x 2﹣4x ﹣2＝0， x 2﹣4x ＝2， x 2﹣4x +4＝2+4， （x ﹣2）2＝6， x ﹣2＝±√6，∴x 1＝2+√6，x 2＝2−√6． 20．（8分）计算：（1）√8−4sin45°+(13)0； （2）2cos60°+|1−√2|+(12)−1．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】解：（1）√8−4sin45°+(13)0 ＝2√2−4×√22+1＝2√2−2√2+1 ＝1；（2）2cos60°+|1−√2|+(12)−1 ＝2×12+√2−1+2 ＝1+√2−1+2 =√2+2．21．（8分）如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且AD CD=CD BD．（1）求证：△ACD ∽△CBD ； （2）求∠ACB 的大小．【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD ∽△CBD ；（2）由（1）知△ACD ∽△CBD ，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A ＝∠BCD ，然后由∠A +∠ACD ＝90°，可得：∠BCD +∠ACD ＝90°，即∠ACB ＝90°．【解答】（1）证明：∵CD 是边AB 上的高，∴∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∵AD CD =CD BD ．∴△ACD ∽△CBD ；（2）解：∵△ACD ∽△CBD ，∴∠A ＝∠BCD ，在△ACD 中，∠ADC ＝90°，∴∠A +∠ACD ＝90°，∴∠BCD +∠ACD ＝90°，即∠ACB ＝90°．22．（10分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+k ＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根．第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．【分析】（1）计算根的判别式的值得到Δ＞0，则根据根的判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到AB 、AC 的长为k +1，k ，讨论：当k +1＝5时，三角形三边长分别为5、5、4；当k ＝5时，三角形三边长分别为5、5、6．【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k +1）2﹣4（k 2+k ）＝4k 2+4k +1﹣4k 2﹣4k＝1＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）x =2k+1±12×1， 解得x 1＝k +1，x 2＝k ，即AB 、AC 的长为k +1，k ，当k +1＝5时，即k ＝4，三角形三边长分别为5、5、4；当k ＝5时，三角形三边长分别为5、5、6；综上所述，k 的值为4或5．23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A （0，4）、B （4，4）、C （6，2）．（1）经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标为 （2，0） ；（2）这个圆的半径为 2√5 ；（3）直接判断点D （5，﹣2）与⊙M 的位置关系．点D （5，﹣2）在⊙M 内 （填内、外、上）；（4）在方格中，连接AB ，AC ，BC ，将△ABC 以原点O 为位似中心，缩小为原来的12，请画出缩小后的图形△A 1B 1C 1．【分析】（1）连接AB ，BC ，分别作线段AB ，BC 的垂直平分线，交于点M ，则点M 即为经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心，即可得出答案．（2）连接AM ，利用勾股定理求出AM 的值，即可得出答案．（3）连接DM ，利用勾股定理求出DM 的值，与⊙M 的半径作比较，即可得出结论．（4）利用位似的性质作图即可．【解答】解：（1）连接AB ，BC ，分别作线段AB ，BC 的垂直平分线，交于点M ，则点M 即为经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心，点M 的坐标为（2，0）．故答案为：（2，0）．（2）连接AM ，由勾股定理得，AM =√22+42=2√5，∴这个圆的半径为2√5．故答案为：2√5．（3）连接DM ，由勾股定理得，DM =√32+22=√13，∵√13＜2√5，∴点D （5，﹣2）在⊙M 内．故答案为：内．（4）如图，△A 1B 1C 1即为所求．24．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，E 在⊙O 上，∠CAB ＝2∠EAB ，点F 在线段AB 的延长线上，且∠AFE ＝∠ABC ．（1）求证：EF 与⊙O 相切；（2）若BF ＝1，sin ∠AFE =45，求BC 的长．【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得OE ⊥EF 即可；（2）根据锐角三角函数可求出半径，进而得到AB 的长，再根据直角三角形的边角关系求出AC ，由勾股定理求出BC 即可．【解答】（1）证明：如图，连接OE ，∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠OEA ，∴∠FOE ＝∠OAE +∠OEA ＝2∠OAE ，∵∠CAB ＝2∠EAB ，∴∠CAB ＝∠FOE ，又∵∠AFE＝∠ABC，∴∠CAB+∠ABC＝∠FOE+∠AFE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°＝∠FOE+∠AFE，∴∠OEF＝90°，即OE⊥EF，∵OE是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：在Rt△EOF中，设半径为r，即OE＝OB＝r，则OF＝r+1，∵sin∠AFE=45=OEOF=rr+1，∴r＝4，∴AB＝2r＝8，在Rt△ABC中，sin∠ABC=ACAB=sin∠AFE=45，AB＝8，∴AC=45×8=325，∴BC=√AB2−AC2=24 5．25．（10分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．【解答】（1）解：设每千克核桃应降价x元．根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+x2×20）＝2240．化简，得x2﹣10x+24＝0 解得x1＝4，x2＝6答：每千克核桃应降价4元或6元．（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．此时，售价为：60﹣6＝54（元），设按原售价的m折出售，则有：60×m10=54，解得m＝9答：该店应按原售价的九折出售．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC落在x轴上，点B的坐标为（﹣1，0），AB ＝3，BC＝6，边AD与y轴交于点E．（1）直接写出点A、C、D的坐标；（2）在x轴上取点F（3，0），直线y＝kx+b（k≠0）经过点E，与x轴交于点M，连接EF．①当∠MEF＝15°时，求直线y＝kx+b（k≠0）的函数表达式；②当以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边所在直线相切时，求点M的坐标．【分析】（1）利用矩形的性质求出相应线段，利用点的坐标的意义解答即可；（2）①求出线段OF，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的边角关系求得点M的坐标，再利用待定系数法解答即可；②利用分类讨论的思想方法分两种情况：Ⅰ、当以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边AB所在直线相切相切时，Ⅱ、当以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边CD所在直线相切相切时，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质解答即可得出结论．【解答】解：（1）点B的坐标为（﹣1，0），∴OB ＝1．∵矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝6，∴CD ＝3，OC ＝5，AE ＝1，DE ＝5．∴A （﹣1，3），C （5，0），D （5，3）；（2）①∵点F （3，0），∴OF ＝3．∵OE ＝3，∴OE ＝OF ．∴∠OEF ＝∠OFE ＝45°．∵∠MEF ＝15°，∴∠OEM ＝60°或30°．∴OM ＝OE •tan60°＝3√3或OM ＝OE •tan30°=√3．∴M （3√3，0）或（√3，0）．∴{3√3k +b =0b =3或{√3k +b =0b =3． 解得：{k =−√33b =3或{k =−√3b =3． ∴直线y ＝kx +b （k ≠0）的函数表达式为：y =−√33x +3或y =−√3x +3；②设EM 的中点为G ，过点G 作GH ⊥AB 于点H ，延长HG 交CD 于点N ，则GN ⊥CD ，如图，由题意：以线段EM 为直径的圆与矩形ABCD 的边AD ，BC 所在直线相交．∴以线段EM 为直径的圆与矩形ABCD 的边AB ，CD 所在直线可能相切．Ⅰ、当以线段EM 为直径的圆与矩形ABCD 的边AB 所在直线相切相切时，则GH =12EM ．设M （m ，0），则OM ＝m ．∴EM =√OE 2+OM 2=√m 2+9．∵GH ⊥AB ，OB ⊥AB ，EA ⊥AB ，∴AE ∥GH ∥BM ．∵EG ＝GM ，∴GH 为梯形ABME 的中位线．∴GH =12（1+1+m ）=2+m 2． ∴2+m 2=12√m 2+9． 解得：m =54．经检验，m =54是原方程的根，∴M （54，0）； Ⅱ、当以线段EM 为直径的圆与矩形ABCD 的边CD 所在直线相切相切时，则GN =12EM ．∵GN ⊥CD ，MC ⊥CD ，ED ⊥CD ，∴DE ∥GN ∥CM ．∵EG ＝GM ，∴GN 为梯形CMED 的中位线．∴GN =12（5+5﹣m ）=10−m 2． ∴10−m 2=12√m 2+9． 解得：m =9120．经检验，m =9120是原方程的根，∴M （9120，0）．综上，当以线段EM 为直径的圆与矩形ABCD 的边所在直线相切时，点M 的坐标为（54，0）或（9120，0）．27．（12分）如图，正方形ABCD 中，点B 关于直线的CD 对称点为E ，F 为AD 边上一动点，EF 交CD 于G ，CF 交BG 于H ．（1）当F 为AD 中点时，求证CG ＝2DG ；（2）若线段DF 满足DF 2＝DG •DC ．①求证：CF ＝BG ；②求FD AD 的值．【分析】（1）利用正方形的性质，轴对称的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；（2）①利用相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；②设正方形的边长为a ，则AD ＝CD ＝a ，设FD ＝CG ＝x ，DG ＝CD ﹣CG ＝a ﹣x ，利用DF 2＝DG •DC 列出方程，解方程即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ．∵点B 关于直线的CD 对称点为E ，∴BC ＝CE ，∴AD ＝CE ．∵F 为AD 中点，∴DF =12AD ，∴DF =12CE ．∵AD ∥BC ，∴△FDG ∽△ECG ，∴DG CG =DF CE ， ∴DG CG =12，∴CG ＝2DG ；（2）①证明：∵DF 2＝DG •DC ，∴DF DG =DC DF ．∵∠FDG ＝∠CDF ＝90°，∴△FDG ∽△CDF ，∴∠DFG ＝∠DCF ．∵AD ∥BC ，∴∠DFG ＝∠E ，∵点B 关于直线的CD 对称点为E ，∴DC 垂直平分BE ，∴GB ＝GE ，∴∠E ＝∠GBC ，∴∠GBC ＝∠FCD ．在△FDC 和△GCB 中，{∠FCD =∠GBCCD =BC∠D =∠BCG =90°， ∴△FDC ≌△GCB （ASA ），∴CF ＝BG ；②解：由①知：△FDC ≌△GCB ，∴DF ＝CG ．设正方形的边长为a ，则AD ＝CD ＝a ，设FD ＝CG ＝x ，∴DG ＝CD ﹣CG ＝a ﹣x ，∵DF 2＝DG •DC ，∴x 2＝（a ﹣x ）a ，∴x 2+ax ﹣a 2＝0，∴x =−a±√a 2−4(−a 2)2=−1±√52a （负数不合题意，舍去）， ∴x =−1+√52a ． ∴DF =−1+√52a ． ∴DF AD =−1+√52a a =−1+√52．28．（12分）【学习心得】（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝45°．【初步运用】（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝24°，求∠BAC的度数；【方法迁移】（3）如图3，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°（不写作法，保留作图痕迹）；【问题拓展】（4）①如图4①，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝m，M为边CD上的点．若满足∠AMB＝45°的点M 恰好有两个，则m的取值范围为2≤m＜√2+1．②如图4②，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的长．【分析】（1）由圆周角定理可得出答案；（2）取BD的中点O，连接AO、CO．由直角三角形的性质证明点A、B、C、D共圆，由圆的性质得出∠BDC＝∠BAC，则可得出答案；（3）作出等边三角形OAB，由圆周角定理作出图形即可；（4）①在BC上截取BF＝BA＝2，连接AF，以AF为直径⊙O，由图形可知BF≤m＜BQ，由勾股定理求出BF和BQ的长，则可得出答案；②作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．由圆周角定理及勾股定理可得出答案．【解答】解：（1）∵∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，∠BAC＝90°，∴∠BDC=12∠BAC＝45°；故答案为：45；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴OA=12BD，OC=12BD，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝24°，∴∠BAC＝24°；（3）作图如下：由图知，∠AP1B=12∠AOB＝30°；同理∠AP2B＝30°．（4）①2≤m＜√2+1．在BC上截取BF＝BA＝2，连接AF，以AF为直径⊙O，⊙O交AD于E，交BC于F，连接EF，过圆心O作OG⊥EF于H且交圆O．于G，过G作⊙O的切线KQ交AD于K交BC于Q，如图所示：∵BA＝BF＝2，∴AF＝2√2，∴⊙O的半径为√2，即OF＝OG=√2，∵OG⊥EF，∴FH＝1，∴OH＝1，∴GH=√2−1，∴BF≤m＜BQ，∴2≤m＜2+√2−1，即2≤m＜√2+1，故答案为：2≤m＜√2+1；②如图，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°．在Rt△BOC中，BC＝6+2＝8，∴BO＝CO＝4√2．∵OE⊥BC，O为圆心，∴BE=12BC＝4，∴DE＝OF＝2．在Rt△BOE中，BO＝4√2，BE＝4，∴OE＝DF＝4．在Rt△AOF中，AO＝4√2，OF＝2，∴AF =√OA 2−OF 2=2√7，∴AD ＝2√7+4．方法二：延长DB 至E ，使DE ＝DA ，延长DC 至F ，使DF ＝DA ，易证△AEF 是等腰直角三角形，由∠BAC ＝45°可知，BE 2+CF 2＝BC 2，∴（x ﹣6）2+（x ﹣2）2＝82，∴x =4+2√7．方法三：过点C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于点E ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，∠BAC ＝45°，∴△ACE 为等腰直角三角形，可证明△ACD ≌△CEF ，∴EF ＝CD ＝2，CF ＝AD ＝x ，∵AD ∥EF ，∴AD EF=BD BF ， ∴x 2=6x−8，∴x ＝2√7+4．。
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无锡市天一实验学校200-2021学年第一学期期中考试
初三数学试卷 2020.11
一、选择题(每小题3分，共30分) 1.sin60°的值为（ ） A.21 B.33 C.23 D.3
2.若式子x 1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）
A.x ≠1
B.x ≤1
C.x ≥1
D.x ＜1
3.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A.x+2y=3
B.x 2+6=0
C.x 2+x 3＝9
D..x(x+3)=x 2-2
4.如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，AD ＝3，BD ＝6，DE ＝2，则BC 的值为（ ）
A.5
B.6
C.7
D.8
5.如图，AB 是⊙的直径，DB 、DE 分别切⊙O 于点B 、C ，若∠ACE ＝35°，则∠D 的度数是（ ）
A.65°
B.55°
C.60°
D.70°
6.有下列说法:①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等③经过三个点一定可以作圆；④相等的圆心角对的弧相等.其中正确的有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
（第4题） （第5题） （第7题）
7.如图AB 是⊙O 的直径，点C 、D 、E 在⊙O 上，∠AEC ＝25°，∠BDC ＝（ ）
A.100°
B.110°
C.120°
D.115°
8.如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度把一根长10m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出杆长1m 处的D 点离地面的高度DE ＝0.6m ，又量得杆底与坝脚的距离AB ＝6m ，则石坝的坡度为（ ）
A.43
B.5
3 C.3 D.4
（第8题） （第9题） （第10题）
9.如图，在△ABC 中，AB ＝AC=5，BC ＝25，若点O 为△ABC 三条高的交点，则OA 的长度为（ ） A.253 B.352 C.5 D.4
53 10.如图，点A(-1，0)，点B(-4，0)，平行四边形ABCD 的顶点D 在第二象限，反比例函数y=x (k<0)图像过点D 和BC 边的中点E,若∠C=α，则k 的值(用含α的式子表示为)（ ）
A.-4tan α
B.-3tan α
C.925-tan α
D.9
28-tan α 二、填空题(每小题2分，共16分)
11.方程x 2＝2x 的解是_________.
12.如果x y x +=4
7，那么y x =_________. 13.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB=6，∠A ＝60°，则BC ＝_________.
14.若关于x 的一元二次方程kx 2-2x-1＝0有两个实数根，则实数的取值范围是_________.
15.如图，在4×5的正方形网格中点A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC ＝_________.
16.⊙O 是AC 的外接圆，∠BOC ＝110°，则∠A 的度数等于_________.
17.在数学必修拓展课上，小兰利用一张直角三角形纸片折出了一个菱形AFDE ，如图所示，若∠ACB ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，则折痕EF 的长为_________.
（第15题） （第17题） （第18题） 18.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，点O 为△ABC 边上一点，⊙0是以点O 为圆心，1为半径的圆，若点O 沿三角形的边顺时针方向运动一周，则⊙O 扫过区域
的面积为_________.
三、解答题(本大题共10小题，共84分)
19.计算:(本题满分8分)
(1)-（-21）-2-4sin60°-tan45° (2)tan60°+│2-3│
20.解下列方程:(本题满分8分)
(1)x 2+4x-3=0 (2)x 2-4x+4=(3x-6)2
21. (6分)化简代数式b a b a 2+-+2
22244b ab a b a ++--1，然后选择一个你喜欢的代入求值.
22.(8分)如图，在正方形ABCD 中，点E 为线段BC 上一点，EF ⊥AE ，交CD 于点F.
(1)求证:△ABE ∽△ECF ；
(2)若△ABE ∽△AEF ，试确定BE 与EC 的数量关系，并说明理由.
23.(6分)由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废下方点C处有生命迹象，在废墟一侧地面上探测点A、B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°(如图所示)，试确定生命所在点C的深度.(参考数据:2≈1.414，3≈1.732，结果精确到0.1)
24.(10分)如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点连接DE、OE.
(1)试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若⊙O半径r＝6，DE＝8，求AD的长.
25.(8分)某保健柜加工销售芝麻核桃粉，平均每天可销售20千克芝麻核桃粉，每千克赢利18元，双十一临近，为了抓住商机，增加赢利，尽快减少库存，该专柜决定采取适当降价措施.经调查发现，如果每千克降价1元，专柜平均毎天可多售出5千克，求该专柜平均每天赢利400元，且让顾客得到实惠，每千克芝麻核桃粉应降价多少元?
26.(6分)门环，在中国绵延了数千多年的，集实用、装饰和门第等級为一体的一种古建筑构件，也成为中国古建“门文化”中的一部分，现有一个门环的示意图如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心.
(1)请用无刻度直尺与圆规，过点O作一个⊙P，使⊙P与直线AF和直线AB同时相切.(请保留作图痕迹)
(2)若正六边形ABCDEF E的边长为18cm，试求(1)中⊙P的半径.(结果保留根号)
27.(10分)如图1，在平行四边形中，AB＝6，∠B＝α(60°＜α≤90°)，点E在BC上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B与AD上的点F重合，连接EF.
(1)求证:四边形ABEF是菱形；
(2)如图2，点M是BC上的动点，连接AM，把线段AM绕点M顺时针旋转α得线段MN，连接FN，求FN的最小值(用含α的代数式表示)
28.(14分)如图，在矩形OABC中，点A坐标为(8，0)，点C坐标为(0，6)，将矩形OABC绕坐标原点O逆时针方向旋转90°得矩形ODEF，矩形ODEF的对角线OE所在直线为l.
(1)直线l的解析式为:_________________.
(2)若直线l以每秒1个单位的速度向右运动，当直线l经过点B时停止运动，设运动时间为t秒，若直线l扫过矩形OABC的面积为S，试求S与t的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，点P为线段BC上一点，在直线l出发的同时，点P以每秒2个单位的速度沿B→C→B的方向运动，以点P为圆心，BP为半径作⊙P，请问当t为何值时，直线与⊙P相切?。