18.2.1 矩形的判定
18.2.1 矩形的判定
18.2.1矩形的判定基础知识、技能与思想方法1．矩形的判定3种：一个直角+平行四边形；对角线相等+平行四边形；三个直角+四边形 2．常常需要把解决线段或角的问题转化为证矩形的问题；典型例题例1已知：如图所示，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，连接AF 、CE 、AC ，若CA=CB ，判断四边形AECF 是什么四边形？ 并证明 分析： 解答：例2 已知：如图所示，l 1∥l 2，l 3交l 1、l 2于A 、C 两点，过A 、C 两点分别作两组内错角的平分线，交于B 、D 两点，判断四边形ABCD 的形状，并说明理由。
分析： 解答：例3已知：如图所示，在矩形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，P 是AD 上的一动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，求PE+PF 的值。
分析： 解答：FDC EAHGN M l 3l 2l1DCBAPFDCE BAO巩固练习1．下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）对角线相等的四边形是矩形；（ ）（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（） （3）有一个角是直角的四边形是矩形；（） （4）有四个角是直角的四边形是矩形；（） （5）四个角都相等的四边形是矩形；（）（6）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（） （7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）（8）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形．（） 2．判断并填空：（1）有一组对角是直角的四边形一定是矩形。
（ ） （2）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形。
（ ） （3）对角线互相平分的四边形是矩形。
（ ） （4）对角互补的平行四边形是矩形。
（ ） （5）有三个角是是矩形，有一个角是是矩形。
（6）两组对边分别平行，且对角线的四边形是矩形。
（7）满足下列条件（ ）的四边形是矩形。
（A ）有三个角相等 （B ）有一个角是直角（C ）对角线相等且互相垂直 （D ）对角线相等且互相平分3．四边形ABCD 中∠A:∠B:∠C:∠D=1:1:1:1且AB=3cm,BC=4cm 则其对角线长为．4．在□ABCD 中,对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，且∠OBC=∠OCB. □ABCD 是理由：5．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD 是矩形。
18.2.1矩形的判定方法
矩形的性质
文字表述
边 角 对角线
矩形的对边平行且相等
D
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线互相平分且相等 A
图形
C
O
B
证明：有四个角是直角的四边形是矩形.
已知：在四边形ABCD中，A B C D 90o 求证：四边形ABCD是矩形.
D
C
O
A
B
A
D
O
B
C
例1：判断下列命题是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形.（ X）
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形.（ ）
（3）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形.（X ）
（4）一组邻角相等的平行四边形是矩形.（ ） （5）对角互补的平行四边形是矩形.（ ）
例2：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC, BD 相交于点O,且OA OD, OAD 50o.求OAB的度数.
D
C
O
A
B
平行四边形
①
四边形
有三个角是直角
②
矩形
必做题：教材55页练习1、2 选做题：
如图，AC、BD是矩形ABCD的两条对角线， 且 AE=CG=BF=DH.求证：四边形EFGH是矩形.
D
C
A
B
证明：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：在四边形ABCD中，A B C 90o 求证：四边形ABCD是矩形.
D
C
A
B
证明：对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
已知：在四边形 ABCD中，OA OC ,OB OD, AC BD. 求证：四边形 ABCD是矩形.
18.2.1矩形的性质和判定(教案)
一、教学内容
本节课选自高中数学教材选修18.2.1节“矩形的性质和判定”。教学内容主要包括以下两部分：
1.矩形的性质：讨论矩形的定义及基本性质，如对边平行且相等、对角线互相平分且相等、四个角都是直角等。
2.矩形的判定：学习如何判断一个四边形是否为矩形，包括以下几种情况：
在新课讲授中，我尝试通过案例分析和重点难点解析来帮助学生深入理解矩形的概念。我发现，通过具体的例子和图形展示，学生们更容易接受和理解这些几何性质。然而，我也意识到，对于一些学生来说，将理论知识应用到实际问题中仍然是一个挑战。
实践活动环节，分组讨论和实验操作非常受欢迎，学生们积极参与，热烈讨论。但在小组讨论中，我也注意到有些小组在解决问题时，思路不够清晰，需要更多的引导。这可能是因为他们对矩形性质的应用还不够熟练，或者是团队合作和交流能力还有待提高。
3.提升数学抽象和模型构建能力，通过矩形的性质和判定在实际问题中的应用，培养学生将现实问题转化为数学模型的能力。
4.增强数学运算和数据处理能力，让学生在解决矩形相关问题时，熟练运用几何知识和数学符号进行推导和计算。
5.培养团队合作和交流表达能力，通过小组讨论和课堂展示，提高学生在数学学习中的沟通与合作能力。
同学们，今天我们将要学习的是“18.2.1矩形的性质和判定”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否注意过哪些物体或图形是矩形的？”（如桌子、书本等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索矩形的性质和判定的奥秘。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）矩形的定义及性质：理解矩形的定义，掌握矩形的对边平行且相等、对角线互相平分且相等、四个角都是直角等基本性质。
人教版数学八年级下册18.2.1矩形的判定(教案)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《矩形的判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断一个图形是否为矩形的情况？”比如，在设计海报或家具布局时。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索矩形判定的奥秘。
举例：针对第一个难点，教师可以设计一些具有挑战性的题目，如给出一个四边形，要求学生判断是否为矩形，并说明理由。通过这种方式，帮助学生理解并掌握判定条件的运用。
举例：针对第二个难点，教师可以举一些生活中的实例，如门、窗户等，让学生理解矩形在实际生活中的应用，从而提高解决实际问题的能力。同时，通过分组讨论、合作探究的方式，让学生在实践中突破难点，提高几何思维能力。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了矩形的判定条件、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对矩形判定的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版数学八年级下册18.2.1矩形的判定（教案）
一、教学内容
人教版数学八年级下册18.2.1矩形的判定：
1.矩形的定义及性质复习；
2.矩形判定的三个条件：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；
3.通过实例和练习，使学生掌握矩形的判定方法；
4.能够运用矩形判定方法解决实际问题，提高学生解决几何问题的能力。
-矩形判定的三个条件：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形。这是本节课的核心内容，教师需详细讲解，并通过实例强化理解。
人教版八年级数学下册18.2.1矩形的判定(教案)
在总结回顾环节，我强调了对矩形判定方法的理解和应用，希望学生能够将这些知识点内化为自己的能力。但从学生的反馈来看，我觉得自己在课堂上的讲解和强调可能还不够充分，导致部分学生对某些知识点仍存在疑问。因此，我计划在下一节课开始时，先针对学生的疑问进行解答，然后再进行新课的教学。
-矩形性质的运用：能够利用矩形性质解决实际几何问题，如计算矩形的面积和周长。
举例：讲解矩形定义时，通过比较矩形与一般平行四边形的区别，强调矩形的四个直角特点。在讲解判定方法时，通过图示和实例，让学生理解和记忆每个判定条件。
2.教学难点
-矩形判定方法的理解与应用：学生需要理解判定条件背后的几何原理，能够灵活运用这些条件判断一个四边形是否为矩形。
在实践活动环节，我鼓励学生们分组讨论，这样可以让他们在互动中学习，提高解决问题的能力。同时，实验操作和成果展示也有助于巩固所学知识。然而，我也注意到，在小组讨论过程中，部分学生参与度不高，可能是因为他们对主题兴趣不足或者对知识点掌握不牢。在今后的教学中，我需要更加关注这部分学生，提高他们的学习兴趣和自信心。
4.培养学生的数学建模素养：将矩形性质应用于解决实际问题，引导学生构建数学模型，培养学生的数学建模素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-矩形的定义：明确矩形是一种具有四个直角的平行四边形，这是矩形区别于其他平行四边形的核心特征。
-矩形的判定方法：掌握三个判定条件（四个角都是直角的平行四边形、对角线相等的平行四边形、有三个角是直角的四边形）及其应用。
18.2.1矩形的判定(教案)2023-2024学年八年级下册数学人教版(安徽)
最后，我还要时刻关注学生的反馈，根据他们的学习情况适时调整教学方法和节奏，以提高课堂教学效果。同时，也要鼓励学生们多提问、多思考，培养他们的自主学习能力。这样，我相信他们在矩形的判定这一章节上会有更大的进步。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解矩形的基本概念。矩形是一组对边平行且相等的四边形，它在几何学中具有重要地位，广泛应用于日常生活和工程领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析矩形家具的形状，学习如何运用判定定理来判断一个图形是否为矩形。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调矩形的定义和判定定理这两个重点。对于难点部分，如直角定理和对角线定理，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
举例：通过比较矩形与平行四边形的区别，让学生理解矩形特有的性质。
（2）矩形判定定理的掌握：包括直角定理、对角线定理和一组对边平行且相等定理。这些定理是判断一个四边形是否为矩形的关键，需要学生熟练掌握。
举例：通过具体实例，让学生运用不同判定定理来判断一个四边形是否为矩形。
（3）矩形性质的应用：运用矩形的性质解决实际问题，如计算矩形的面积、周长等。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的几何直观和空间想象能力，通过观察、分析矩形的特点，使学生能够直观感知矩形的基本性质，并在头脑中构建出矩形的空间模型。
2.培养学生的逻辑推理和论证能力，通过矩形的判定定理的学习，引导学生运用严密的逻辑推理方法，证明矩形的相关性质，并能够运用这些定理解决实际问题。
18.2.1矩形的判定
平行四边形
矩形
∵在□ABCD中 ， ∠A=90° 想一想：你认为判 断一个四边形是不 ∴□ABCD是矩形
是矩形，还能用一 些什么方法呢？
木工师傅是怎样知道窗户是矩形的呢?
那么，除度量角度之外,木工师傅 度量什么也能知道做好的门框是矩 形呢?
B
∟ ∟
已知：在四边形ABCD中，
A
D
C
矩形的判定定理2
有三个角是直角的四边形是矩形
几何语言： ∵四边形ABCD中， ∠A= ∠B= ∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形∟AD来自∟BC
定义
矩形判定定理1
对角线相等的平行四边形是矩形。
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
矩形判定定理2
有三个角是直角的四边形是矩形。
考考你
• • • • • • 对角线相等的四边形是矩形。 对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 有一个角是直角的四边形是矩形。 四个角都是直角的四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 对角线相等且有一个角是直角的四边形是 矩形。 • 对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。
解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC，OB=OD=BD 又∵ OA=OD ∴AC=BD ∴四边形ABCD是矩形 ∴ ∠DAB=90O 又∵ ∠OAD=50O ∴ ∠OAB=40O
∴S BC = 4×4 3 =16 3 cm ABCD =AB·
2
C
矩形常用的判定方法 一个角是直角的平行四边形是矩形
∵在□ABCD中 ， ∠A=90° ∴□ABCD是矩形
A B
D
C
对角线相等的平行四边形是矩形
18.2.1 第2课时 矩形的判定
第2课时 矩形的判定1．掌握矩形的判定方法；(重点)2．能够运用矩形的性质和判定解决实际问题．(难点) 一、情境导入 我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线相等且互相平分； 2．四个内角都是直角．这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？二、合作探究 探究点一：有一个角是直角的平行四边形是矩形如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD是BC 边上的高，AE 是△BAC 的外角平分线，DE ∥AB 交AE 于点E .求证：四边形ADCE 是矩形．解析：首先利用外角性质得出∠B ＝∠ACB ＝∠F AE ＝∠EAC ，进而得到AE ∥BC ，即可得出四边形AEDB 是平行四边形，再利用平行四边形的性质得出四边形ADCE 是平行四边形，再根据AD 是高即可得出四边形ADCE 是矩形．证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB .∵AE 是△BAC 的外角平分线，∴∠F AE ＝∠EAC .∵∠B ＋∠ACB ＝∠F AE ＋∠EAC ，∴∠B ＝∠ACB ＝∠F AE ＝∠EAC ，∴AE ∥BC .又∵DE ∥AB ，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE 平行且等于BD .又∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝DC ，∴AE 平行且等于DC ，故四边形ADCE 是平行四边形．又∵∠ADC ＝90°，∴平行四边形ADCE 是矩形． 方法总结：平行四边形的判定与性质以及矩形的判定常综合运用，解题时利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形再证明其中一角为直角即可．探究点二：对角线相等的平行四边形是矩形如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，延长OA 到N ，ON ＝OB ，再延长OC 至M ，使CM ＝AN .求证：四边形NDMB 为矩形．解析：首先由平行四边形ABCD 可得OA ＝OC ，OB ＝OD .若ON ＝OB ，那么ON ＝OD .而CM ＝AN ，即ON ＝OM .由此可证得四边形NDMB 的对角线相等且互相平分，即可得证．证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO ＝OC ，OD ＝OB .∵AN ＝CM ，ON ＝OB ，∴ON ＝OM ＝OD ＝OB ，∴MN ＝BD ，∴四边形NDMB 为矩形．方法总结：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．探究点三：有三个角是直角的四边形是矩形如图，▱ABCD 各内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H .求证：四边形EFGH 是矩形．解析：利用“有三个内角是直角的四边形是矩形”证明四边形EFGH 是矩形． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAB ＋∠ABC ＝180°.∵AH ，BH 分别平分∠DAB 与∠ABC ，∴∠HAB ＝12∠DAB ，∠HBA ＝12∠ABC ，∴∠HAB ＋∠HBA ＝12(∠DAB ＋∠ABC )＝12×180°＝90°，∴∠H ＝90°.同理∠HEF ＝∠F＝90°，∴四边形EFGH 是矩形．方法总结：题设中隐含多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．探究点四：矩形的性质和判定的综合运用【类型一】 矩形的性质和判定的运用如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH .(1)求证：四边形EFGH 是矩形；(2)若E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，且DG ⊥AC ，OF ＝2cm ，求矩形ABCD 的面积．解析：(1)证明四边形EFGH 对角线相等且互相平分；(2)根据题设求出矩形的边长CD 和BC ，然后根据矩形面积公式求得．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD .∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴AO －AE ＝OB －BF ＝CO －CG ＝DO －DH ，即OE ＝OF ＝OG ＝OH ，∴四边形EFGH 是矩形；(2)解：∵G 是OC 的中点，∴GO ＝GC .∵DG ⊥AC ，∴∠DGO ＝∠DGC ＝90°.又∵DG ＝DG ，∴△DGC ≌△DGO ，∴CD ＝OD .∵F 是BO 中点，OF ＝2cm ，∴BO ＝4cm.∵四边形ABCD 是矩形，∴DO ＝BO ＝4cm ，∴DC ＝4cm ，DB ＝8cm ，∴CB ＝DB 2－DC 2＝43cm ，∴S 矩形ABCD ＝4×43＝163(cm 2)．方法总结：若题设条件与这个四边形的对角线有关，要证明一个四边形是矩形，通常证这个四边形的对角线相等且互相平分． 【类型二】 矩形的性质和判定与动点问题如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝24cm ，BC ＝26cm ，动点P 从点A 出发沿AD 方向向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿着CB 方向向点B 以3cm/s 的速度运动．点P 、Q 分别从点A 和点C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．(1)经过多长时间，四边形PQCD 是平行四边形？(2)经过多长时间，四边形PQBA 是矩形？解析：(1)设经过t s 时，四边形PQCD 是平行四边形，根据DP ＝CQ ，代入后求出即可；(2)设经过t ′s 时，四边形PQBA 是矩形，根据AP ＝BQ ，代入后求出即可． 解：(1)设经过t s ，四边形PQCD 为平行四边形，即PD ＝CQ ，所以24－t ＝3t ，解得t ＝6；(2)设经过t ′s ，四边形PQBA 为矩形，即AP ＝BQ ，所以t ′＝26－3t ′，解得t ′＝132. 方法总结：①证明一个四边形是平行四边形，若题设条件与这个四边形的边有关，通常证这个四边形的一组对边平行且相等；②题设中出现一个直角时，常采用“有一角是直角的平行四边形是矩形”来判定矩形．三、板书设计 1．矩形的判定有一角是直角的平行四边形是矩形； 对角线相等的平行四边形是矩形； 有三个角是直角的四边形是矩形． 2．矩形的性质和判定的综合运用在本节课的教学中，不仅要让学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在学习的过程中是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法．教师在例题练习的教学中，若能适当地引导学生多做一些变式练习，类比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的思维，提高课堂教学的效率．。
【课件】18.2.1 矩形(第2课时矩形的判定)
归纳：
对角线相等且互相平分的 四边形是矩形 ∵ AC=BD 且OA=OC OB=OD ∴四边形ABCD是矩形
本节课我们学习了什么内容，你能总结吗？
谈一谈，今天你有何收获？
1.判定一个四边形是矩形的方法是： ABCD ∠A=90°
ABCD AC = BD ∠A= ∠B= ∠C=90°
ABCD 是矩形
四边形ABCD 是矩形
拓展：
(1)对角线相等的四边形是矩形吗? (2)需要添加什么条件才能使 对角线相等的四边形是矩形吗? 等腰梯形
木工朋友在制作窗框后，需 要检测所制作的窗框是否是矩 形，那么他需要测量哪些数据， 其根据又是什么呢？
测量…？
矩形的判定方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
A D
∵在 ABCD中 ∠B=90°
B
C
∴四边形ABCD是矩形
∟
有一个角是直角 有两个角是直角 有三个角是直角 的 四边形是矩形吗？
O B
D C
证明： ∵四边形ABCD是矩形 ∴ AO=BO=CO=DO 又∵ AE=BF=CG=DH ∴OE=OF=OG=OH
7、已知： 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O， E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点， A 且AE=BF=CG=DH。 D 求证：四边形EFGH是矩形。 E H O
（3）四个角都是直角的四边形是矩形。（
（4）对角线相等的四边形是矩形； （ ） （5）对角线互相平分且相等的四边形是矩形（ ） （6）两组对边分别平行，且对角线相等的四 边形是矩形． ( )
ห้องสมุดไป่ตู้
用一用
例 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点 O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数． D
18.2.1第2课时矩形的判定
唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。
而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。
“教授”和“助教”均原为学官称谓。
前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。
“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。
唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。
至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。
至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。
我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。
特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。
知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。
根本原因还是无“米”下“锅”。
于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。
所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。
要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。
18.2.1 第2课时 矩形的判定
∴四边形ABCD是矩形．
图18－2－12
第2课时
矩形的判定
重难互动探究
探究问题一 例1 矩形的判定
如图18－2－13所示，已知ABCD，下列条件：①AC＝
BD；②AB ＝AD；③∠1＝∠2 ；④AB⊥BC.其中能说明 ABCD是矩
形的有________(填序号)．
[答案] ①④ 图18－2－13
第2课时
矩形的判定
(3)将直角尺靠窗框的一个角，如图18－2－30③，调整窗框
的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，如图18－2－
矩 形，由此可得 30④，说明窗框合格，这时窗框是____ 有一个角是直角的平行四边形是矩形 _______________________________________________ ． ◆知识链接——[新知梳理]知识点一
需要测量什么
判定
[ 解析 ] 利用绳子测量 ，只能检验这个四边形的两组对边是 否相等以及其对角线是否相等，结合矩形的定义和判定定理去解
决问题．
第2课时
矩形的判定
解：因为是用绳子测量，所以利用判定定理1比较好． 当AD＝BC，AB＝CD时，四边形ABCD是平行四边形．
图18－2－14
第2课时
矩形的判定
[ 解析 ] 利用平行四边形的邻角互补和角平分线的性质，可 得△EBC，△AFD和△AMB都是直角三角形，且∠AMB＝∠E＝∠F＝
90°，从而得到四边形MENF中有三个角是直角，使问题得证．
第2课时
矩形的判定
解：四边形 MENF 是矩形． 理由：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴∠ABC＋∠BCD＝180°. ∵BE ，CE 分别是∠ABC，∠BCD 的平分线， 1 1 ∴∠EBC＝ ∠ABC ，∠ECB＝ ∠BCD， 2 2 1 1 ∴∠EBC＋∠ECB＝ ∠ABC＋ ∠BCD＝90°， 2 2 ∴∠E ＝90°. 同理∠F＝90°，∠AMB＝90°， ∴∠EMF＝90°， ∴四边形 MENF 是矩形．
18,2.1矩形的判定
3、进一步，至少有几个角是直角 的四边形是矩形？ 教师巡视 命题：有三个角是直角的四边形 是矩形 4、你能证明吗？ 已知： A D 求证： 证明：
B C
矩形的判定定理： 有三个角是直角的 四边形是矩形 。 总结：从角的方面判定矩形的方法 有： 1、有一个角是直角的平行四边形 是矩形（定义） 2、有三个角是直角的四边形是矩 形
的应用
2、只有一把米尺，怎样检验我们 教室的窗框是矩形呢？
3、课本第 55 页练习 1
【课堂小结】 这节课你有哪些收获？
学生自己总 让学生有所得 这 节 课 你 收 结，不全面 获了什么？ 的由学生补 充完善。
教师倾听 还有什么疑 惑吗？ 【一试身手】 1.能判断一个四边形是矩形的条件是 （ ） A.有一个角是直角 B.有 两个角是直角 C.对角线互相平分且相等 D.对 角线相等 2、BD、BE 分别是∠ABC 与它的邻补角 的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD， EB=7,则 AD= 。 3.如图，□ABCD 中，∠1=∠2.此时四 边形 ABCD 是矩形吗？ 为什么？ 教师巡视 学生做 更加全面的关 注不同层次的 学生，以便及 时反馈
板 书 设 计
学生回答和 纠错
（第 3 题）
【布置作业】 1、习题 18.2 第 1、2 题 2、选做题：请你利用今天所学 的知识制作一个精美的矩形相框，把 美丽的照片放进去，装饰我们的教室 吧！
布置作业
对学生的评价
18.2.1 矩形（第 2 课时）
从角的方面探索矩形的判定方法 1、有一个角是直角的平行四边形是矩形（定 义） 2、有三个角是直角的四边形是矩形 从对角线的方面探索矩形的判定方法 3、对角线相等的平行四边形是矩形 1、使学生能应用矩形的定义、判定等知 识，解决简单的问题，进一步培养学生数 学发现问题、提出问题、分析问题、解决 教 学 反 思 问题的能力。 2、 灵活运用所学知识， 给学生自主学习空间。 3、关注不同层次的学生，以便及时反馈。 4、及直角的 方法； 2、 让学生发 现其他解 法。 学生总结
18.2.1矩形的判定
18.2.1矩形的判定编制:目标：明确矩形的判定方法能利用矩形判定方法解决一般地应用重点：矩形的判定方法难点：矩形判定方法及一般运用 一． 知识要点 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。
符号语言：在平行四边形ABCD 中，90BAD ∠=o Q ,∴平行四边形ABCD 是矩形.2.有三个角是直角的四边形是矩形。
符号语言：在四边形ABCD 中，90,BAD ADC DCB ∠=∠=∠=∴o Q 四边形ABCD 是矩形.3.对角线相等的平行四边形是矩形。
符号语言：在平行四边形ABCD 中，,AC BD =∴Q 平行四边形ABCD 是矩形.二．经典例题和变式知识点1：矩形的判定方法例1.如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O.已知下列6个条件：①AB//DC;②AB=DC;③AC=BD;④∠ABC=90°;⑤OA=OC;⑥OB=OD则其中不能使四边形ABCD 成为矩形的一组条件是（ ）A.①②③B.②③④C.②⑤⑥D.④⑤⑥变式练习1. 已知平行四边形ABCD ，AC 、BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（ ）A. ∠BAC=∠DCAB.∠BAC=∠DACC.∠BAC=∠ABDD.∠BAC=∠ADB2. 如图，ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件____________（只添加一个即可），使ABCD 是矩形.3. 如图，AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，且∠BAD=∠CAE ，求证：四边形BCDE 是矩形.例2.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）证明：BD=CD；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．变式练习4.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，△AOD为正三角形，AD=4,则平行四边形的面积为：_________5.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形. （1）求证：四边形ADBE是矩形（2）求矩形ADBE的面积6.如图，点M是平行四边形ABCD的边AD的中点，点P是边BC上的一个动点，PE//MB，PF ∥MC，分别交MC于点E、交MB于点F，如果AB：AD=1：2，试判断四边形PEMF的形状，并说明理由．三、 分层达标阶梯训练： A 基础演练 1. 下列命题正确的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B.两条对角线互相平分的四边形是矩形C.有三个角是直角的四边形是矩形D.两条对角线互相垂直的四边形是矩形2.如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到点E ，使DE=AD ，连接EB 、EC 、DB ，添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是（ ）A.AB=BEB.DE ⊥DCC.∠ADB=90°D.CE ⊥DE3.四边形ABCD 的对角线相交于点O ，在下列条件中，不能判断它是矩形的是（ ）A.AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90°B.AO=CO ，BO=DO ，AC=BDC.∠ADC+∠BCD=180°，∠ABC=∠BAD=90°D.∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠BAD=180°4.如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且OA=OB ，若AD=4，∠AOD=60°，则AB 的长为_________5.如图，在矩形ABCD 中，M 为AD 边的中点，P 为BC 上一点，PE ⊥MC ，PF ⊥MB ，当AB 、BC 满足条件______时，四边形PEMF 为矩形．2题图 4题图 5题图6.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P 是AB 上的任意一点，作PD ⊥AC 于点D ，PE ⊥CB 于点E ，连结DE ，则DE 的最小值为___________7.如图,矩形ABCD 中,点E. F 分别是AB 、CD 的中点,连接DE 和BF,分别取DE 、BF 的中点M 、N,连接AM,CN,MN,若AB=22,BC=32，则图中阴影部分的面积为 .6题图 7题图8.如图，在ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF=BE ，连接AF 、BF.（1）求证：四边形BFDE 是矩形．（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：△ADF 是等腰三角形．9.如图，将ABCD 的边AB 延长到点E ，使BE=AB ，连接DE ，交边BC 于点F.（1）求证：△BEF ≌△CDF ．（2）连接BD ，CE ，若∠BFD ＝2∠A ，求证四边形BECD 是矩形B.能力提升10.如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E.已知∠A=30°,BC=2，AF=BF ，则四边形BCDE 的面积为( )A.32B.33C.4D.3411.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，垂足为O ，点E 、F 、G 、H 分别为边AD 、AB 、BC 、CD 的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH 的面积为______．12.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是AC 的中点，DE ⊥AC ，AE//BD ，若BC=4，AE=5，则四边形ACBE 的周长是______．10题图 11题图 12题图13.如图，已知平行四边形ABCD ，∠ABC ，∠BCD 的平分线BE 、CF 分别交AD 于E 、F ，BE ，CF 交于点G ，点H 为BC 的中点，GH 的延长线交GB 的平行线CM 于点M ，连接BM ，判断四边形GBMC 的形状并说明理由。
18.2.1矩形的判定优质课
2. 具备条件____的四边形是矩形． [ D ]
A．两条对角线相等
B．对角线互相垂直
C．一组对角是直角 D．有三个角是直角
3. 能够判断一个四边形是矩形的条件是 [ C ]
A．对角线相等
B．对角线垂直
C．对角线互相平分且相等
D．对角线垂直且相等
例4：已知:如图,四边形ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，且AC⊥BD。E、F、G、H分别是AB、 BC、CD、AD的中点。 求证：四边形EFGH是矩形
2、对角线相等的四边形是矩形。 （ ╳ ）
3、对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。 （ ╳ ）
√ 4、邻角相等的平行四边形是矩形。 （ ） √ 5、对角线相等且互相平分的四边形是矩形（ ）
5、平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10，
则四边形ABCD是矩形 。
（√ ）
A
D
B
C
巩固新知
选择题
∴四边形ABCD是平行四边形
∵ ∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
例2、已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、 BC和AD、CD分别相交于点B、D．
（1）猜想AC和BD间的关系是______； （2）试用理由说明你的猜想．
探究2
观察对角线的变化:
判定定理3 对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：平行四边形ABCD，AC=BD。
∴四边形ABCD是矩形
矩形的判定方法： （1）有三个角是直角的四边形是矩形。 （2）有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （3）对角线相等的平行四边形是矩形。
情境：工人师傅有一根足
够长的刻度尺，如何检验窗 框是否成矩形？ 说说你的理 由
判断下列说法是否正确?
18.2.1矩形的判定
矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 一个角是直角
平行四边形
矩形
边
矩形的对边平行且相等
矩 形 的 性 质
角
矩形的四个角都是直角
对角线
矩形的 两条对角线相等且互相平分
八年级 数学
猜想加证明
有三个角是直角的四边形是矩形吗?
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 求证:四边形ABCD是矩形. 证明: ∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴AD∥BC,AB∥CD.
二.判断题
对角线相等的四边形是矩形。 对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 有一个角是直角的四边形是矩形。 四个角都是直角的四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 对角线相等且有一个角是直角的四边形是 矩形。 对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。
三、为了庆祝十一国庆节，八年级（3）班同 学要在广场上布置一个矩形的花坛。计划用 “串红”摆成两条对角线。如果一条对角线用 了37盆“串红”，还 需要从花房运来多少盆 “串红”？为什么？如果一条对角线用了48盆 呢？为什么？
证明： ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD（矩形的对角线相等) AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分） ∵ E、F、G、H分别是AO、BO、 CO、DO的中点 ∴OE=OF=OG=OH ∴四边形EFGH是平行四边形（对角 线互相平分的四边形是平行四边形） ∵EO+OG=FO+OH 即EG=FH
（A）对角线相等（B）四个角相等（C）是轴对称图形 （D）对角线垂直
(3) 、甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观 时，一木工师傅拿尺子要他们帮助检测一 个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检 测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认 为最有说服力的是（ D ） A、甲量得窗框两组对边分别相等； B、乙量得窗框对角线相等； C、丙量得窗框的一组邻边相等； D、丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对 角线也相等。
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礼县四中初二级数学备课组
主备教师：苟万红
授课教师：
课题：矩形的判定
课型
新授课
第2课时
三维目标
知识与能力
理解并掌握矩形的判定方法，能用判定定理判断一个四边形是否是矩形。
过程与方法
在观察、探究过程中，逐步感受矩形的判定定理，增强学生分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观
进一步锻炼学生的数学应用能力，增强合作交流能力，热爱学习。
内容
分析
教学重点
矩形的判定定理。
Байду номын сангаас教学难点
对角线相等的平行四边形是矩形及对角线相等且互相平分的四边形是矩形的理解。
教法
学法
启发小组探究
教具
学具
多媒体
学情分析
八年级（4）班共41人，大多数同学基础差，学数学的兴趣也不浓厚，缺乏自主学习的信心。
主备人教学案
授课教师个性化教学案2017年4月7日
一、复习导入
1、矩形的定义及性质。
2、直角三角形斜边中线的性质定理。
二、预习检测
1、矩形的判定方法。
三、新知探究
1、木工师傅在制作窗框后，需要检测所制作的窗框是否是矩形，你有办法吗？如果工人师傅量得窗框的两组对边相等后，接着量窗框的对角线的长度相等，那么窗框一定是矩形。这是为什么？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。
四、巩固运用
五、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
六、课后作业
课本60页第1、2题。
七、教学反思