向量组与矩阵

反之每个矩阵A

(a
ij)
可以得到n个m维列向量
mn
1 2
i
n
a11 a12 a1 j a1n
A


a21
a22 a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组ห้องสมุดไป่ตู้1, 2, , n 称为矩阵A的列向量组.
a1n x1 a2n x2
am1xm 0 am2 xm 0
am1xm 0
利用矩阵乘法，方程变形为
x1
1
,
2
,
,

m


x2
xm


0
这样由上一章线性方程组有解的条件可得如下结论：
定理 1 若列向量组 1,2 , ,所m 构造的矩阵A，则

1
1

1


1
t1 t2 t3
tr
t12
t
2 2
t
2 3

t
2 r

t1r1
t
r 2
1

t
r 3
1
,
则其行列式|B|为范德蒙行列式，

t
r r
1

由于t i 互不相等，所以|B|≠0，
所以 1, 2 ,, 线r 性无关， 从而 1 ,2 ,,线r 性无关。
例 3 基本向量组 1, 2 , 是n Rn 的极大无关组。
解 由上一节，基本向量组是线性无关的，且任何一个n维向量都可以由它线性表 示（即坐标表示）。
定理 4 如果向量组
能由向量组
线
性表出，且向量组A线性无关，那么
。
证明 不妨设所给向量都是列向量，记矩阵
由已知可得
记
则
反证法，假设
，则矩阵K 的列向量组线性相关，即有不全为0的数
和
为两向量组，其中
即
是对
各分量的顺序进行重排后得到的向量组，则这
两个向量组有相同的线性相关性。
定理 3 在r维向量组 1,2 , 的s 各向量添上n-r个分量变成n维
向量组 1, 2 , 。s
(1)如果
线性相关， 那么 1,2 , 也线s 性相关。
(2)如果 1,2 , 线s 性无关，那么
设矩阵 A
ai1

ai 2 ain


am1 am 2 amn
则矩阵A可以看作由m个n维行向量或n个m维列向量构成，从而可以得到一个行 向量组和列向量组。矩阵A行向量组的秩称为A的行秩，列向量组的秩称为列 秩。
定理 5 矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩。
解 （1）向量组是3个二维向量，故线性相关。
（2）由矩阵
1
A


3 2 2
0 2 1 3
2 0
初等行变换
1 5

1
0

0 0
0 2 0 0
2
6
0 0

所以r( A) 2 3,故向量组线性相关.
定理 2 设p1,p2, …,pn为1，2，…，n的一个排列，
行向量组 1,2 , ,线m 性相关的充要条件是 线性无关的充要条件是 r( A) m. 推论 m n时, m个n维向量总是线性相关的.
r(A) m.
例 1 讨论下列向量组的线性相关性
(1)1 (2,3),2 (3,1),3 (0, 2) (2)1 (1,3, 2, 2),2 (0, 2, 1,3),3 (2, 0,1,5)
第三章 第二讲
1 向量组与矩阵 2 极大线性无关组与向量组的秩 3 向量组的秩与矩阵秩的关系
一、向量组与矩阵
由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.
m个n维的行向量所组成的向量组 1,2 ,构,成m 矩阵：
n个m维的列向量所组成的向量组 1, 2 ,,构成n 矩阵：
B (1, 2 ,, n )
中对
因此，我们不仅可以利用矩阵的初等行变换求出列向量的秩，还可以进一步确定 其中某个部分组的线性相关性，并求出出它的极大线性无关组。
证 设矩阵A的行秩为r1, A的列秩为r2。
那么, A中有r1个行向量线性无关,从而A中有一个r1级子式D不为零,那么A中子式D所
在的r1个列向量也线性无关;
因而
。 同理可证
。
即有
。再由矩阵秩的定义， r1 r2 r( A)
证毕。
定理 6 如果矩阵A经过有限次初等行变换变为B, 则A的列向量与B 应的列向量有相同的线性关系。
二、极大线性无关组与向量组的秩
定义1 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个 部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中向这部分组任 意添一个向量（如果还有的话），所得的部分组都线性相关。
。 极大无关组中向量的个数就称为向量组的秩
易知有如下结论： （1）一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。 （2）向量组线性无关当且仅当其秩等于向量组所含向量的个数。
1
A



2




m

类似地,矩阵A

(aij
)
又有m个n维行向量
mn
a11 a12 a1n
1
a21 a22 a2n
2

A

ai1 ai2 ain
i

am1 am2 amn
m
向量组 1, 2 称m为矩阵A的行向量组．
问题：是否可以利用矩阵来研究向量组的相关问题？
例如研究列向量组 1,2 , ,的m线性相关性，只须考察方程
x11 x22 xmm 0 是否有非零解。
a11x1 a21x2 把分量都写出来得 a12 x1 a22 x2
使得
即
与向量组A 线性无关矛盾，所以 推论 1 等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量 。 推论 2 等价的向量组必有相同的秩 。 推论 3 秩为r的向量组中任意含r个向量的线性无关的部分组
都是极大线性无关组。
三、向量组的秩与矩阵的秩的关系
a11 a21
a12 a1n a22 a2n
也线性无关。
例 2 设向量组
i

(1,
t
i
,
t
2 i
,
,
t
n1 i
),
1

i, r 且 tn,互不i相等，
证明
1
,

2
,,
线性无关。
r
证明： 考察向量组 i (1, ti , ti2 ,, tir1 ), 1 i r.
设
B


1 2

r