概率论与数理统计单元测试二
概率论与数理统计第二章习题参考答案]
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(1)设
X
服从二项分布，其分布律为 P{X
=
k}=
C
k n
pk (1−
)p n−k
K=0，1，2，……n，问 K 取何值时 P{X = k}最大？
（2）设 X 服从泊松分布，其分布率为 p{X = k} = λke−λ ，k=0，1，2……
k!
问 K 取何值时 P{X = k}最大？
（1）
解： M
=
N 试确定常数 a
（2）设随机变量 X 的分布律为 P{X = k} = b ⋅ ⎜⎛ 2 ⎟⎞k , k = 1,2.....
⎝3⎠
试确定常数 b
（3）设随机变量 X 的分布律为 P{X = k} = c ⋅ λk , k = 0,1,2......λ > 0 为常数，
k!
试确定常数 c
N
解：（1） ∑ P{X
6、设随机变量 X 的分布律为 P{X = k} = k , k = 1,2,3,4,5
15
其分布函数为 F (x) ，试求：
（1）
P⎨⎧ ⎩
1 2
<
X
<
5 2
⎫ ⎬ ⎭
，
（2） P{1 ≤ X ≤ 2}，
（3） F ⎜⎛ 1 ⎟⎞ ⎝5⎠
解：（1）
P⎨⎧ ⎩
1 2
<
X
<
5⎫
2
⎬ ⎭
=
P{X
= 1}+
0
2
1
x
xdx+
0
1
(2−
x)dx=
2x
−
x2
/
2−1
0< x ≤1 1< x≤2
概率论与数理统计第二章自测题答案与提示
3.一 射 手 对 同 一 目 标地 独进 立行 四 次 设 计 ，少 若命 至中 一 次 的
2 4 . 若随机变量 X 在 ( 1 , 6 ) 上服从均匀分布，则 程 x Xx 1 0
有实根的概率是 ______ .
概率作业第二章自测题
1 1 x 6 答案 0 .8 ： 提 示f ： (x) 5 。设事 A 件 “方程有实根 其它 0 2 2 而 方x 程 Xx 10 有 实 根 的 充 要 条 X 件 是 40 即 A{X2 40 }{X2 4 }{X 2 }{X 2 }
密度函数。 1 a xb 解：设 X“ : 球的直径” X。 ~ U[a, b], f ( x) b a 其它 0 1 1 6v 6v 3 3 3 3 V X , F(v) P(V X v) P( X ) P( X ) 6 6
0 1 1 2
2 x ( 2 ) 0 x 1 时， F ( x ) f ( t ) dt ( 1 t ) dt x . 0 2 x x 2 x 1 x 2 时， F ( x ) f ( t ) dt ( 1 t ) dt ( t 1 ) dt x 1 0 1 2 x 1 x
ln 10 2 . 3025 n n 1 0 . 5 0 . 9 0 . 5 0 . 1 , n 3 . 322 ln 2 0 . 6931 n 4
5.(柯西分布）设连续随机变量X 的分布函数为: F ( x ) A B arctan x , x
概率作业第二章自测题
一、填空题 1k 1 . 设离散型随机变量 X 的分布律为 P (X k ) 5 A ( )( k 1 , 2 , ) 2 则 A _______ . 1 答案与提示： 。 5
概率论与数理统计测试题二
《概率论与数理统计》测试题二第八章 假设检验一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中 1．设总体),(~2σμN X ，2σ未知，X 为样本均值，,)(1122∑=-=ni i nX X n S ,)(11122∑=--=ni i X X n S 检验假设00:μμ=H 时采用的统计量是 ． )(A nX Z /0σμ-=； )(B 1/0--=n S X T n μ； )(C nX T /0σμ-=； )(D nS X T /0μ-=2．设总体),(~2σμN X ，检验假设2020:σσ=H 对2021:σσ>H ．若用-2χ检验法，则在显著性水平α下的拒绝域是 ．3．关于泊松随机质点流的强度 (每分钟出现的随机质点的期望数)λ有两个二者必居其一的假设，0H ：λ和1H ：λ=1．以10ν表示十分钟出现的随机质点数．设检验规则为：当10ν>7时否定0H 接受1H ，则检验的第一类错误概率 α= ；检验的第二类错误概率β = (只要求写出表达式) ． 4．假定总体X~()1,μN ，关于总体X 的数学期望μ的假设0 H 0=μ：；基于来自总体X 的容量为9的简单随机样本，得样本均值X ．则假设H 0的水平的否定域为： ．5．假设总体X 服从正态分布()23,μN ；()2521,,,X X X 是来自总体X 简单随机样本，0μ是已知常数，X 是样本均值．考虑00H μμ=：的形如{}C X V ≥-=0 μ的水平为的否定域，则其中的未知常数=C ．二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．检验假设00:μμ=H 时，下述说法中正确的是（ ）)(A 若观测值落入接受域，则μ一定等于0μ )(B 若观测值落入拒绝域，则μ一定不等于0μ)(C 若观测值落入接受域，则接受0H 的决策不一定是对的 )(D 若观测值落入接受域，则接受0H 的决策一定是对的2．经过显著性检验而被拒绝的假设（ ）．)(A 一定是正确的； )(B 可能正确，但决策错误的概率是显著性水平α；)(C 一定是错误的； )(D 可能不正确，但决策犯错误的概率是显著性水平α；3．检验假设0H 时，（ ）接受0H 的可能性就越大．)(A 样本容量n 越大； )(B 样本容量n 越小； )(C 显著性水平α越大； )(D 显著性水平α越小．4．设总体)1,(~μN X ，检验00:μμ=H ，对01:μμ≠H ，在显著水平 01.0=α下)33.2,58.2(99.0995.0==Z Z ，则拒绝域是（ ）． )(A ),33.2()33.2,(+∞--∞ ； )(B ),58.2()58.2,(+∞--∞ ； )(C )58.2,(-∞； )(D ),58.2(+∞5．下列说法中正确的是（ ）．)(A 若备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第Ⅰ类错误． )(B 若备择假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第Ⅱ类错误． )(C 若零假设是正确的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第Ⅰ类错误． )(D 若零假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第Ⅱ类错误．三．解答题（本题共10小题，第1至5小题每小题6分，第6至10小题每小题8分，满分70分．） 1．某区进行数学统考，初二年级平均成绩为分，标准差为分，从该区某中学中抽取50位初二学生，测得平均数学统考成绩为78分，试问该中学初二的数学成绩与全区数学成绩有无显著差异？ 2．对7岁儿童作身高调查结果如下所示，能否说明性别对7岁儿童的身高有显著影响？3．某中学从初二年级中各随机抽取若干学生施以两种不同的数学教改实验，一段时间后统一测试结果如下：实验甲：1n =25, 1x =88，11n S =6， 实验乙：2n =27, 2x =82，22n S =9．在测试成绩均服从正态分布的条件下，问两种实验效果差异是否显著(α=0.1)．4．设轴承内环的锻压零件的高度2~(,0.4)N ξμ，现从中抽取20只内环，其平均高度32.3x =mm ，求μ的置信度为95% 的置信区间．5．某市教科所进行初中数学教学实验，实验班是从全市初一新生中抽取的一个n =50的随机样本．初中毕业时该班参加全省毕业会考的平均分为，标准差为，如果全市都进行这种教学实验，并实验后全市毕业生的会考成绩服从正态分布，那么，全市初中毕业会考成绩的平均分不会低于多少(置信度为0.95)？并将其与现在全市初中毕业会考成绩的平均分进行比较．6．某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均长度为, 标准差是, 今从一批产品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下:10.410.610.110.410.510.310.310.210.910.610.810.510.710.210.7问：能否认为该机工作正常？7．某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以来服从方差为5000 (小时2) 的正态分布, 现有一批这种电池, 从它生产情况来看, 寿命的波动性有所变化. 现随机的取26只电池, 测出其寿命的样本方差为9200(小时2)．问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化(0.02)α=？ 8．某市对某矿工人进行的肺检查，对矽肺为0期的50例和肺癌病人10例进行X 光拍片，并从X 光片上测量其1R 值（1R 值为肺门横经的右侧距离，单位cm ）结果矽肺为0期的工人1R 的均值为___1 4.34,x cm =，方差为2210.314s cm =；肺癌病人1R 的均值为___2 6.21,x cm =，方差为222 3.204s cm =，问这两类病人1R 值的方差有无显著差别？9．某香烟厂生产两种香烟，独立地随机抽取容量大小相同的烟叶标本，测量尼古丁含量的毫克数，实验室分别做了六次测定，数据记录如下： 甲 25 28 23 26 29 22 乙 28 23 30 25 21 27试问：这两种香烟的尼古丁含量有无显著差异？给定05.0=α，假定尼古丁含量服从正态分布且具有公共方差．10．据统计，某高校去年大学生中拥有手机的比率为45%，现对400名学生调查其拥有手机情况，发现其中有196名学生拥有手机．试在05.0=α 水平下检验拥有手机的学生比率是否有显著增加（4975.02475.0=）．可能用到的分位点值：645.105.0=Z 96.1025.0=Z ．第三章测验题答案(2010-05-11)班级______ 姓名______ 学号______ 做题时间____分钟******************************************************************************************** 一. 填空(共17分) 1. （5分）设随机变量()X P λ且{2}{4}P X P X ===，则λ= 解：因为()XP λ，属离散型随机变量，故{},0,1,2 0kP X k e k k λλλ-===>.由题设条件{2}{4}P X P X ===可知242!4!ee λλλλ--=，所以212.λ=又因为0,λ>所以λ= 2. （12分，每空2分）根据定义完成下列各式：()()()(,(11)(,))1;(12)(,)1;(21);(22)(31)(,);(32)(,;()(.))X xxy X X xY Xx dx x dx x f f x y dxdy f F f f x y dx x y dx f dx f x y dy F dy F x y y x +∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞-∞-=-=-=--===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰二. 选择(共20分，每题5分)1. 设随机变量X 的绝对值不大于1，且{1}1,8P X=-=1{1}4P X ==，则{11}P X -<<=[ A ](A) (B) 0.5 (C) (D)0.375解：因为随机变量X 的绝对值不大于1，所以必定有X 的所有取值只可能在-1到1之间，即{||1}1P X ≤=，所以{11}{||1}{1}{1}P X P X P X P X -<<=≤-=--=1151.848=--=2.设X 与Y 相互独立且同分布，1{1}{1}2P X P Y =-==-=，1{1}{1}2P X P Y ====，在下列各式中成立的是 [ A ](A) 1{}2P X Y == (B) {}1P X Y ==(C)1{0}4P X Y +== (D) 1{1}4P XY ==解：因为111,22+=所以X 和Y 的取值只能是1或-1，因此利用X 与Y 的边缘分布律和两者独立性的条件可知(X , Y )的联合分布律，如下因此 {1}{1}P X Y P X Y ===-+== 111442=+=，故选项(A)正确，(B)错误；(){0}{1,1}{1,1}P X Y P X Y X Y +===-=⋃==-{1,1}{1,1}P X Y P X Y ==-=+==- 111442=+=，故选项(C)错误；(){1}{1}{1}P XY P X Y X Y ====⋃==-{1}{1}P X Y P X Y ===+==-111442=+=，故选项(D)错误. 3.已知3{0,0}7P X Y ≥≥=，且4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=，则{max(,)0}P X Y ≥=[ C ].(A)37 (B)47 (C)57 (D) 1649解：本题关键是分析max 函数的含义，从而利用概率的加法公式来解. 具体过程如下：{max(,)0}{00}P X Y P X Y ≥=≥≥或者(){0}{0}P X Y =≥⋃≥(){0}{0}{0}{0}P X P Y P X Y =≥+≥-≥⋂≥({0}{0})X Y ≥≥因为事件和事件不互斥，所以只能利用加法公式{0}{0}{0,0}P X P Y P X Y =≥+≥-≥≥ 44357777=+-=4. 设随机变量2(,)X N μσ，则随着σ的增大，{}P X μσ-<[ ].(A)增大 (B)减小 (C)保持不变 (D)增减不定 解：||{||}{1}{11}(1)(1)2(1)1X X P X P P μμμσσσ---<=<=-<<=Φ-Φ-=Φ-，与σ无关，所以选(C).(0,)σσ>因为两边同时除以以后不等号不变号三. 解答题（请写明求解过程，共63分）1. （18分，每小题6分）已知随机变量X 的分布函数为0,0()sin ,0,21,2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩求(1) A ; (2){||}6P X π<; (3)()f x .解：(1)利用分布函数的右连续性可知，在2x π=点，右连续性表现为2lim (x))2(x F F ππ→+=，根据(x)F 定义可知，当1x >时，()1F x =，所以 左边=2lim (x)x F π→+=2lim 11x π→+=，右边(si 22)n F A A ππ===，故A =1.所以得到0,0()sin ,02,1,2x F x x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩(2) 注意到这个(x)F 在整个实轴都是连续的，根据第二章的结论：只要分布函数是连续函数，那么随机变量在单点处的概率就为0，因此有{||}{}{}66666X X P X P P πππππ<=-<=≤-<<()()66F F ππ=--0sin 6π=-=12=.(3)已知分布函数求概率密度，只需要在密度函数的连续点处对x 求导即可：因此有cos,0 ().20,x xf xπ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它（此题没有()f x无定义的点，否则需要修改相应区间，例如第二章测验解答题第一题.）2.（15分）某元件寿命X服从参数为11000λ=的指数分布，则三个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少？解：随机变量X表示元件寿命，由题意可知其概率密度为1000,01(),.1000xxothe sfeexrwi->⎧⎪=⎨⎪⎩又因为11000100010001{1000}()1000.xP X f x dx e dx e-+∞+∞-≥===⎰⎰即元件能够使用超过1000小时的概率是1e -，又因为三个元件的寿命是相互独立的，所以最后所求概率值即为()313e e--=.3.（10分）已知二维随机向量(X, Y)的联合密度函数为8,01(,)0,xy x yf x y≤≤≤⎧=⎨⎩其它求(X, Y)的关于Y的边缘密度函数.解：通过以下四个步骤求边缘密度：①写定义：()(,)Yf y f x y dx∞-∞+=⎰②定区间：____,01,y<<⎧=⎨⎩其它③化积分：08,0,1yyxydx⎧⎪=⎨⎪⎩<<⎰其它④求积分：34,00,1y y<<⎧=⎨⎩其它.4.（10分）设(1,2),X U求2XY e=的概率密度函数.解：因为(1,2),X U所以有1,12().0,Xxf x<<⎧=⎨⎩其它因为函数2xy e=是严格单调函数，所以可以利用书中第52页定理直接求Y的密度函数.21ln()2xyh y y e==是的原函数，且242412,,,x e y e e e αβ<<<=<=当时则有即定理中的；1ln (2)2(,)1y h y ∈=所以(())1X f h y =.又注意到'()12h y y=， 所以由定理可知·|'((()|)),0,()X Y h y h y f y y f αβ<<⎧=⎨⎩其它241,0,2e y e y⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它（10分）已知(X , Y )的概率密度为1(),0(,,)810x y f x y x y ≤≤⎧≤+⎪=⎨⎪⎩其它求1{}P XY +≤.解：本题所求的是二维随机变量(X , Y )落在某区域中的概率，则{}(,)1GP X Y f x y dxdy ≤+=⎰⎰现要将此二重积分化成累次积分，则要确定这个区域{}(,)|1G x y x y =+≤与0(,)f x y ≠的区域的交集，如下图所示故{}(,)1GP XY f x y dxdy ≤+=⎰⎰11201()8y ydy x y dx -=+⎰⎰1.48= 四. 选做题(10分,100分以外)设(X , Y )的分布函数为(,)(arctan 2)(arctan 3)F x y A B C x y=++,求(1) A,B,C; (2)(,)f x y ; (3)X 和Y 是否相互独立？解：(1)法一：利用二维随机变量的分布函数的性质：(,)0,(,)0,(,)1F y F x F -∞=-∞=+∞+∞=得到()(arctan )0(1)23(arctan )()0(2)22()()1(3)22y A B C x A B C A B C ππππ⎧-+=⎪⎪⎪+-=⎨⎪⎪++=⎪⎩式式式.由(3)式可知，0A ≠. 又因为(,)1F +∞+∞=, 所以(,)(arctan )(arctan )023x F x y A B C y=++≠故00.23arctan arctan B y C x ++≠≠并且 则又（１）（２）式可知21,2B C A ππ===． 因此21(,)(arctan )(arctan )2223x yF x y πππ=++．法二：利用一维随机变量的分布函数的性质()0,()1F F -∞=+∞=来做：因为边缘分布()(,)lim (,)(arctan )()22X y x F x F x F x y A B C π→+∞=+∞==++()(,)lim (,)()(arcta )23n Y x F y F y F x y A B C yπ→+∞=+∞==++作为一维随机变量的分布函数是满足上述性质的，故1()lim (,)lim (arctan )(arctan 23)()()22X x x y F F x A B B x C A C y ππ→+∞→+∞→+∞=+∞=+∞=++=++0()lim (,)lim (arctan )(arctan 23)()()22X x x y F F x A B B x C A C y ππ→-∞→-∞→+∞=-∞=+∞=++=-+0()lim (,)lim (arctan )(arctan )3()22()2Y y x y F F y A B B x C A C y ππ→-∞→+∞→-∞=-∞=+∞=++=+-解此方程组得到21,2B C A ππ===.(2)22222222222(,)(,)1(arctan )(arctan )2211(arct 2313an )2111246.(4)(921213119)F x y f x y x yx yyx x y y x x y y πππππππ∂=∂∂⎡⎤∂++⎢⎥⎣⎦=∂∂⎡⎤⎢⎥⎢⎥∂⨯+⨯⨯⎢⎥⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=∂=⨯⨯⨯=+++++(3)要判断独立性，就要先求边缘分布；法一：因为此题给出的条件是分布函数，所以这里我们先求X 和Y 的边缘分布函数. 根据分布函数的定义，我们有1()(,)lim (,)(arctan )()(arctan )2222X y x xF x F x F x y A B C πππ→+∞=+∞==++=+1()(,)lim (,)()(arctan )(arctan )3322Y x F y F y F x y A B C y yπππ→+∞=+∞==++=+所以对任意的x, y , 有(,)()()X Y F x y F x F y =成立，故X 与Y 独立.法二：利用第(2)题联合密度求边缘密度后，判断是否独立.()(,)X f x f x y dy +-∞∞=⎰222222222222226(4)(9)61(4)9611(4)91arct 3613|(4)93613(4)924an 22()dyx y dy x y dy x y y x x x ππππππππ+-+-+-∞∞∞∞∞∞+∞-∞=++=++=⨯⨯+⎛⎫+ ⎪⨯⨯⎛⎫⨯⨯+ ⎪⎝⎭=⨯+=⎝⎭⨯+=+⎰⎰⎰ ()(,)Y f y f x y dx +-∞∞=⎰222222222222226(4)(9)61(9)4611(9)41arct 2612|(9)42612(9)439an 22()dxx y dx y xdy y x x y y y ππππππππ+-+-+-∞∞∞∞∞∞+∞-∞=++=++=⨯⨯+⎛⎫+ ⎪⨯⨯⎛⎫⨯⨯+ ⎪⎝⎭=⨯+=⎝⎭⨯+=+⎰⎰⎰ 22222623(,)(),(4)(9)(4)(9)()X Y f x y f y x y x y x f πππ==⨯=++++x y 对任意，均成立， 故X 与Y 独立.。
概率论与数理统计第二章测验题答案
第二章测验题答案一. 填空(共28分，每题4分)1. 投掷一枚均匀对称的硬币，以X 表示正面出现的次数，则随机变量在区间 (0.5, 1.5)取值的概率为0.5 . 解：随机变量X 的分布律为所以{0.5}{1}0.551.P X P X <===≤2. 设随机变量~(1,6)U ξ, 则方程210x x ξ++=, 有实根的概率为 4/5 . 解：方程210x x ξ++=有实根，则判别式240ξ∆=-≥, 则2ξ≥或者2ξ≤-,所以()2{}{40}{2}{2}P P P ξξξ=∆=-≥=≥⋃≤-方程有实根{2}{2}P P ξξ=≥+≤-又因为随机变量ξ服从参数为(1,6)的均匀分布，所以其概率密度函数为11,16,16()6150,0,x x f x ⎧⎧<<<<⎪⎪==-⎨⎨⎪⎪⎩⎩其它其它所以6222214{2}(),55{2}()00.P f t dt dt P f t dt dt ξξ+∞---∞-∞≥===≤-===⎰⎰⎰⎰故{}P 方程有实根{2}{2}P P ξξ=≥+≤-45=. 3. 设(2,),(3,)X b p Y b p , 若519{}P X ≥=, 则{1}P Y ≥=19/27.解：由题意知随机变量X 和Y 分别服从参数为2和p 、3和p 的二项分布.5{1}1{0}9P X P X =≥=-=, 得到4{0}9P X ==, 即00222(1)(1)C p p p -=-49=,所以2(1)3p -=, 从而33333219{1}1{0}1(1)1(1)1.327P Y P Y C p p p ⎛⎫≥=-==--=--=-= ⎪⎝⎭4. 设X 的概率密度函数为1,[0,1]32(),[3,6]90,x f x x ⎧∈⎪⎪⎪=∈⎨⎪⎪⎪⎩其它，若k 使得2{}3P X k ≥=, 则k 的取值范围是13k ≤≤.解：此题用画图的方法来解：下图中红线即为()f x 的图像.其中S1表示由红线1()3f x =与x 轴所夹部分的面积，即{01}P X ≤≤13=；S2表示红线2()9f x =与x 轴所夹部分面积，即{36}P X ≤≤22393=⨯=.而{}P X k ≥即表示()f x 图像与x 轴所夹图形在直线x k =右侧的面积(绿色虚线所示范围). 因为2{}3P X k ≥={36}P X =≤≤，所以k 的取值范围只能在1和3之间， 即13k ≤≤.5. 设随机变量(1,4)X N , 则{12}P X <≤= 0.1915 .(已知(0.5)0.6915Φ=.) 解：由(1,4)X N 可知，1,2μσ==. 首先进行正态分布的标准化，在查表计算11211{12}{0}222X X P X P P μμσσ----⎧⎫<≤=<≤=<≤⎨⎬⎩⎭1()(0)2=Φ-Φ0.69150.5=-=0.19156. 设硕士研究生入学数学考试及格率为0.55，则15名考生中数学考试及格人数X 的概率分布是二项分布，参数为15和0.55, 解：15名考生参加考试，可以视为15次伯努利实验。
概率论与数理统计练习册-第二章答案
第二章 随机变量及其分布基础训练Ⅰ一、选择题1、下列表中（ A ）可以作为离散型随机变量的分布律。
A) X 1 －1 0 1 B) X 2 0 1 2P 1/4 1/2 1/4 P －1/4 3/4 1/2C) X 3 0 1 2 D) X 4 1 2 1P 1/5 2/5 3/5 P 1/4 1/4 1/2 2、常数b ＝（ B ）时，),2,1()1( =+=k k k bp k 为离散型随机变量的概率分布。
A ）2B ）1C ）1/2D ）33、设⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,2/0,0)(x x x x x F ，则（ D ）A ）是随机变量的密度函数 B) 不是随机变量的分布函数 C ）是离散型随机变量的分布函数 D ）是连续型随机变量的分布函数4、设)(1x F 和)(2x F 分别为随机变量21,X X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF x F -=是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ A ）A ）a ＝3/5，b ＝－2/5 B) a ＝2/3，b ＝2/3 C ）a ＝－1/2，b ＝3/2 D ）a ＝1/2，b ＝－3/25、设随机变量),(~2σμN X ,且}{}{c X P c X P >=≤，则=c （ B ）A) 0 B)μ C) μ- D) σ二、填空题1、连续型随机变量取任何给定值的概率为 0 。
2、设离散型随机变量X 分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛5.03.02.0210，则P (X ≤1.5) = 0.5 。
3、设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2x x Ax x x F ，则A = 1 ，X 落在（－1,1/2）内的概率为 1 / 4 。
4、设K 在（0, 5）上服从均匀分布，则方程02442=+++K Kx x 有实根的概率为0.6 。
5、随机变量X 的分布函数)(x F 是事件}{x X ≤的概率。
《概率论与数理统计》习题及答案 第二章
《概率论与数理统计》习题及答案第 二 章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则345A B B B =++， 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
概率论与数理统计课程第二章练习题及解答
概率论与数理统计课程第二章练习题及解答一、判断题（在每题后的括号中 对的打“√”错的打“×” ）1、连续型随机变量X 的概率密度函数)(x f 也一定是连续函数 （×）2、随机变量X 是定义在样本空间S 上的实值单值函数 （√）3、取值是有限个或可列无限多个的随机变量为离散随机变量 （√）4、离散型随机变量X 的分布律就是X 的取值和X 取值的概率 （√）5、随机变量X 的分布函数()F x 表示随机变量X 取值不超过x 的累积概率（√）6、一个随机变量，如果它不是离散型的那一定是连续型的 （×）7、我们将随机变量分成离散型和连续型两类 （×）8、若()()()()P ABC P A P B P C =成立，则,,A B C 相互独立 （×）9、若,,A B C 相互独立，则必有()()()()P ABC P A P B P C = （√） 二、单选题1、设123,,X X X 是随机变量，且22123~(0,1),~(0,2),~(5,3),X N X N X N{22)(1,2,3)i i P P X i =-≤≤=，则（ A ）A ．123P P P >> B. 213P P P >> C. 321P P P >> D. 132P P P >>2、设随机变量~(0,1)X N ，其分布函数为()x Φ，则随机变量min{,0}Y X =的分布函数()F y 为（ D ）A 、1,()(),0y F y y y >⎧=⎨Φ≤⎩ B 、1,()(),0y F y y y ≥⎧=⎨Φ<⎩C 、0,()(),y F y y y ≤⎧=⎨Φ>⎩ D 、0,()(),y F y y y <⎧=⎨Φ≥⎩ 3、设随机变量X 的密度函数为()x ϕ，且()()x x ϕϕ-=，()F x 是X 的分布函数，则对任意实数a ，有（ B ）A 、0()1()aF a x dx ϕ-=-⎰B 、01()()2a F a x dx ϕ-=-⎰C 、()()F a F a -=D 、()2()1F a F a -=-分析 ()()()()a a aF a x dx x tt dt x dx ϕϕϕ-+∞-∞+∞-==--=⎰⎰⎰令1()()()()()2()aa a aax dx x dx x dx x dx x dxFa a x dxϕϕϕϕϕϕ+∞-+∞-∞-∞-==+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（-）+21()()2a F a x dx ϕ-=-⎰，选B4、设1F x （）与2F x （）分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，为使12F x aF x bF x（）=（）-（）是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ A ）A 、3255a b ==-，B 、2233a b ==，C 、1322a b =-=，D 、1322a b ==-，分析 根据分布函数的性质lim 1x F x →+∞=（），即121lim x F x F aF bF a b →+∞=∞∞∞（）=（+）=（+）-（+）=-在给的四个选项中只有A 满足1a b =-，选A5、设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为1f x （）和2f x （），分布函数分别为1F x（）和2F x （），则（ D ） A 、12f x f x （）+（）必为某一随机变量的概率密度 B 、12f x f x （）（）必为某一随机变量的概率密度C 、12F x F x（）+（）必为某一随机变量的分布密度 D 、12F x F x（）（）必为某一随机变量的分布密度 分析 首先可否定选项A 与C ，因为1212[]21f x f xdx f xdx f xdx +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=≠⎰⎰⎰（）+（）（）（）12F F ∞∞≠（+）+（+）=1+1=21对于选项B ，若112x f x -⎧⎨⎩，〈〈-1（）=0，其它，210x f x ⎧⎨⎩，〈〈1（）=0，其它，则对任何 1212(,),0,01x f x f x f xf x dx +∞-∞∈-∞+∞≡=≠⎰（）（）（）（），也应否定C 。
概率论与数理统计第二章补充题及答案
《概率论与数理统计》第二单元补充题一、 填空题：1、函数()f x 为连续型随机变量X 的概率密度函数的充要条件是12），）2、随机变量X 的分布律为5110321210PX ，则2X 的分布律为__________,2X +1的分布律为__________3、设离散型随机变量X 的分布律为 ,2,1,21}{===k k X P k，则随机变量X Y 2sin π=的分布律为4、设离散型随机变量X 的分布律为 k =1, 2, 3,…，则c= .5、设随机变量X 的概率密度函数为，则P (0<X <3π/4)= .6、随机变量)31,10(~b X ，则{}0P X ==，{}1P X ≥=7、随机变量X 的分布律为{}1,2,3,4,5)5a P X k k ===，（， 则a =，(2.5)F =8、随机变量X 服从(0,)b 上的均匀分布，且{}1133P X <<=，则b =9、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则{}1P X ==，{}1P X ≤=二、选择题：1、下列命题正确的是 。
（ A ）连续型随机变量的密度函数是连续函数 （ B ）连续型随机变量的密度函数()0()1f x f x ≤≤满足 （ C ）连续型随机变量的分布函数是连续函数 （ D ）两个概率密度函数的乘积仍是密度函数2、设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，则为使12()()()F x aF x bF x =-是某随机变量的分布函数，下列结果正确的是________（ A ） 32,55a b ==- （ B ） 22,33a b ==- ( C ） 13,22a b =-= （ D ） 13,22a b =-=-三、计算题1、已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为cc c c 167,85,43,21, 确定常数c 并计算P{ξ<1|ξ≠0}.2、已知ξ~⎩⎨⎧<<=其它0102)(x x x ϕ, 求P{ξ≤0.5}; P(ξ=0.5);F(x).3、设连续型随机变量ξ的分布函数为:⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x Axx x F 求：（1）、系数A; （2）、P (0.3<ξ<0.7); （3）、 概率密度φ(x ).4、设随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧<<=其他0102)(x x x f 用Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}21{≥X 出现的次数，求（1）P {Y =2}；（2）P {Y ≥1}.5、已知离散型随机变量X 的概率分布为 ,2,1,32}{===n n X P n ，求随机变量X Y )1(1-+=的分布律和分布函数.6、（1）、已知随机变量X 的概率密度函数为1(),2xX f x e x -=-∞<<+∞，求X 的分布函数。
概率论与数理统计2含答案
一.填空题（共10分）已知P(A)=12，P BA c h=34，P(B) =58，则P( A ∣B ) =______ 。
设随机变量X 服从参数为 λ 的泊松分布，且已知P{ X= 7 } =P{ X= 9 }，则 λ =___________。
3、样本(,,,)X X X n 12 来自总体2~(, )X N μσ，则22(1)~n n S σ- ______________；()~n X S μ- ____________。
其中X 为样本均值，S n X X n i n 22111=--=∑()。
4、设X X X n 12,, 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，记1nn i ii Y a X ==∑，若n Y 为μ的无偏估计，则12,,...n a a a 满足的等式为 。
5、设总体~(1,)X B p ，其中未知参数01<<p , X X X n 12,, 是X 的 样本，则p的矩估计为________，样本的似然函数为_________。
(f x p p p x x(;)()=-1 为 X的 概 率 密 度 函 数 ) 二、选择题（共10分）6、4, 1, 0.6XY DX DY ρ===，则(32)D X Y -=( )。
( A ) 40 ( B ) 34 ( C ) 25.6( D ) 17.67、样本(,,,)X X X n 12 来自总体X ，已知X 服从参数λ=1的指数分布，则Max X X X n {,,,}12 的分布函数为( )。
( A )F z z e z z()=<-≥R S T - 0010 ( B ) F z z e z z n()()=<-≥R S T - 0010 ( C ) F z z e z z ()=<≥R S T - 000 ( D )0 0()n 0nzz F Z e z -<⎧=⎨≥⎩ 8、随机变量~(1,1)X N ，记X 的概率密度为f(x)，分布函数为F( x )，则有( )。
概率论与数理统计-第二与三章练习详细答案
《概率论与数理统计》第二、三章练习一、单项选择题1.设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF x F -=是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 A(A)52,53-==b a (B)32,32==b a (C)23,21=-=b a (D)23,21-==b a解答：因为12()()()1F aF bF +∞=+∞-+∞=(F(x)是分布函数，所以有上述等式成立)所以有111a b -=，故选A 。
2.设随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<=-11102100)(x ex x x F x，则==}1{X P C(A)0 (B)21 (C)121--e (D)11--e解答：因为{}()(0)P X a F a F a ==--，其中(0)lim ()x aF a F x -→-=，将a=1代入，可知答案为C 。
3.设)(x ϕ为标准正态分布的概率密度函数，)(x f 为]3,1[-上均匀分布的概率密度函数，若⎩⎨⎧>≤=0)(0)()(x x bf x x a x g ϕ（0,0>>b a ）为概率密度函数，则b a ,应满足 A (A)432=+b a (B)423=+b a (C)1=+b a (D)2=+b a解答：由概率密度的性质知() 1.g x dx +∞-∞=⎰而3113()()()(0)1424g x dx a x dx bf x dx a b dx a b ϕφ+∞+∞-∞-∞=+=+=+=⎰⎰⎰⎰，故知答案为A 。
4.设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，则随σ的增大，概率}|{|σμ<-X P C(A)单调增大 (B)单调减少 (C)保持不变 (D)增减不定 解答：{||X P X P σμμσσσσ---<=-<-<=<<=--=- 故选C 。
概率论与数理统计第二章习题及答案
概率论与数理统计习题 第二章 随机变量及其分布习题2-1 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5.在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出X 随机变量的分布律.解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P XP C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表X ： 3， 4，5 P ：106,103,101习题2-2 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p ，失败的概率为p -1)10(<<p .（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律.（此时称X 服从以p 为参数的几何分布.）（2）将试验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律.（此时称Y 服从以p r ,为参数的巴斯卡分布.）（3）一篮球运动员的投篮命中率为%45.以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.解：（1）P (X=k )=qk －1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ， 或记r+n=k ，则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k（3）P (X=k ) = (0.55)k －10.45k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P习题2-3 一房间有同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
概率论与数理统计第二章试题
第二章历年试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.下列各函数可作为随机变量分布函数的是（ ） A.⎩⎨⎧≤≤=.,x ,x )x (F 其他01021；B.⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.x x ,,x ;x ,)x (F 1101002；C.⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<-=.x x ,x ;x ,)x (F 1111113；D.⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.x x ,x ;x ,)x (F 11022004；2.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=,,;x ,x )x (f 其他0224则P {-1<X <1}=（ ）A.41B.21 C.43 D.1 3．设随机变量X~N （1，4），Y=2X+1，则Y 所服从的分布为（ ） A ．N （3，4） B ．N （3，8） C ．N （3，16） D ．N （3，17）4．设每次试验成功的概率为p(0<p<1)，则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ）A ．1-（1-p ）3B ．p(1-p)2C ．213)1(p p C - D ．p+p 2+P 35．设随机变量X 在区间[2，4]上服从均匀分布，则P{2<X<3}=（ ）A ．P{3.5<X<4.5}B ．P{1.5<X<2.5}C ．P{2.5<X<3.5}D ．P{4.5<X<5.5} 6．设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤>,1,0;1,2x x x c则常数c 等于（ ）A ．-1B ．21-C ．21 D ．1 7. 设随机变量X 的取值范围是(-1,1),以下函数可作为X 的概率密度的是（ ） A.f(x)=.;11,0,其它<<-⎩⎨⎧x xB.f(x)=.;11,,02其它<<-⎩⎨⎧x xC.f(x)=.;11,0,21其它<<-⎪⎩⎪⎨⎧xD.f(x)=.;11,0,2其它<<-⎩⎨⎧x8.设随机变量X~N(1，4)，5.0)0(,8413.0)1(=Φ=Φ，则事件{13X ≤≤}的概率为（ ） A.0.1385 B.0.2413C.0.2934D.0.34139．下列各函数中，可作为某随机变量概率密度的是（ ） A ．⎩⎨⎧<<=其他,0;10,2)(x x x fB ．⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,0;10,21)(x x fC ．⎩⎨⎧-<<=其他,1;10,3)(2x x x fD ．⎩⎨⎧<<-=其他,0;11,4)(3x x x f10．某种电子元件的使用寿命X （单位：小时）的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=,100,0;100,100)(2x x x x f 任取一只电子元件，则它的使用寿命在150小时以内的概率为（ ）A ．41B ．31C ．21 D ．32 11．下列各表中可作为某随机变量分布律的是（ ） A ． B ．C ．D ．12．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=,x ,;x ,ce f(x)x -0005则常数c 等于（ ）A ．-51B ．51 C ．1 D ．513．某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为（ ）A ．0.002B ．0.04C ．0.08D ．0.10414．已知随机变量X 的分布函数为（ ）F(x)= ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<313132102100x x x x ，则P }{1X ==A ．61B ．21 C ．32 D ．115．设随机变量X 服从参数为3的指数分布，其分布函数记为)(x F ，则=)31(F （ ）A ．e 31 B ．3eC ．11--eD ．1311--e16．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=,,0,10,)(3其他x ax x f 则常数=a （ ）A ．41B ．31C ．3D ．417.设随机变量X 的概率密度为f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<.,0;2x 1,x 2;1x 0,x 其它 则P{0.2<X<1.2}的值是（ ）A.0.5B.0.6C.0.66D.0.718.某人射击三次，其命中率为0.7，则三次中至多击中一次的概率为（ ） A.0.027 B.0.081 C.0.189 D.0.216二、填空题（本大题共15小题，每空2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
概率论与数理统计第二章测试题(最新整理)
第2 章一维随机变量及其分布一、选择题1.设F(x) 是随机变量X 的分布函数，则下列结论不正确的是（A）若F(a)=0，则对任意x≤a有F(x)=0（B）若F(a)=1，则对任意x≥a有F(x)=1（C）若F(a)=1/2，则P(x≤a)=1/2（D）若F(a)=1/2，则P(x≥a)=1/22.设随机变量X 的概率密度f(x) 是偶函数，分布函数为F(x)，则（A）F(x) 是偶函数（B）F(x)是奇函数（C）F(x)+F(-x)=1 （D）2F(x)-F(-x)=13.设随机变量X1, X2的分布函数、概率密度分别为F1 (x)、F2(x)，f1(x)、f2(x)，若a>0,b>0, c>0，则下列结论中不正确的是（A）aF1 (x)+bF2 (x) 是某一随机变量分布函数的充要条件是a+b=1（B）cF1 (x) F2 (x) 是某一随机变量分布函数的充要条件是c=1（C）af1 (x)+bf2 (x) 是某一随机变量概率密度的充要条件是a+b=1（D）cf1 (x) f2 (x) 是某一随机变量分布函数的充要条件是c=14.设随机变量X1, X2是任意两个独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和f2 (x)，分布函数分别为F1 (x)和F2 (x)，则（A）f1 (x) +f2 (x) 必为某一随机变量的概率密度（B）f1 (x) f2 (x) 必为某一随机变量的概率密度（C）F1 (x)+F2 (x) 必为某一随机变量的分布函数（D）F1 (x)F2 (x) 必为某一随机变量的分布函数5.设随机变量X 服从正态分布N (,2) ，Y 服从正态分布N (,2) ，且1 12 2P(| X -1 |< 1) >P(| Y -2|< 1) ，则必有（A）1 <2（B）1>2（C）1<2（D）1>26.设随机变量X 服从正态分布N (,2) ，则随σ的增大，概率P(| X -|<)是某一随机变Commented [c1]: ！值恒为0.68⎨ ⎨ ⎩ ⎩ 和 B={Y>a}独立，且 P ( A ⋃ B )其3 ，则 a = 。
概率论与数理统计第二章自测题答案与提示
解：F ( x ) = ∫ 6t (1 − t )dt = ( 3t − 2t ) = 3 x 2 − 2 x 3 1 F ( y ) = P (Y = 2 X + 1 ≤ y ) = P ( X ≤ ( y − 1)) 2 1 1 ( y −1 ) 1 2 3 2 ( y −1 ) 2 6t (1 − t )dt = ( 3t − 2t ) =∫ = ( y − 1) 2 (4 − y ) 0 0 4 3 ′( y ) = 4 ( y − 1)( 3 − y ) 1 < y < 3 f ( y) = F 0 其它
0 1 1 2
( 2)0 ≤ x < 1时，F ( x ) = ∫ 1 ≤ x < 2时，F ( x ) = ∫
x −∞
x
−∞
f ( t )dt = ∫
1 0
x
0
x2 (1 − t )dt = x − . 2
x 1
f ( t )dt = ∫ (1 − t )dt + ∫
x2 ( t − 1)dt = − x +1 2
概率作业第二章自测题
一、填空题 1 1.设离散型随机变量 X的分布律为 P ( X = k ) = 5 A( ) k ( k = 1,2,L) 2 则A = _______ . 1 答案与提示： 答案与提示： 。 5
ax + b 0 < x < 1 2.已知随机变量 X的密度为： f ( x ) = 的密度为： 其它 0 1 且P ( X > ) = , 则a = _____, b = ______ . 2 8 1 1 1 5 答案与提示： 提示： 答案与提示： a = 1, b = . 提示： (ax + b )dx = 1, ∫1 (ax + b )dx = ∫0 2 8 2
概率论与数理统计习题及答案第二章.doc
习题 2-21. 设 A 为任一随机事件 , 且 P ( A )= p (0< p <1). 定义随机变量1, 发生 ,XA0, 不发生 .A写出随机变量 X 的分布律 .解 { =1}= ,{ =0}=1- p .P X p P X或者X 0 1P1- pp2. 已知随机变量X 只能取 -1,0,1,2 四个值 , 且取这四个值的相应概率依次为1 , 3 , 5 , 7. 试确定常数 c ,并计算条件概率 P{ X1 | X0} .2c 4c 8c 16c解 由离散型随机变量的分布律的性质知，1 3 571,2c4c8c 16c37所以 c .161P{ X1}8所求概率为{ <1|X0 }=2c.P XP{ X 0}1 5 7252c 8c 16c3. 设随机变量 X 服从参数为 2, p 的二项分布 , 随机变量 Y 服从参数为 3, p 的二项分布 ,若P{X ≥1}5, 求P{Y ≥1}.9解 注意 p{x=k}=C n k p k q n k , 由题设 5P{ X ≥1}1 P{ X0} 1 q 2 ,9故 q1 p2 从而.3P{Y ≥1} 1 P{ Y 0}1 (2 )3 19 .3 274. 在三次独立 的重复试验中 , 每次试验成功的概率相同 , 已知至少成功一次的概率19为, 求每次试验成功的概率 .27解设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是19，那么一次都27没有成功的概率是8 . 即 (1 p)38 ,故p = 1 .272735. 若 X 服从参数为的泊松分布 ,且P{X1} P{ X 3}, 求参数 .解 由泊松分布的分布律可知 6 .6. 一袋中装有 5 只球 , 编号为 1,2,3,4,5.在袋中同时取 3 只球, 以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码 , 写出随机变量 X 的分布律 .解 从 1，2，3，4，5 中随机取 3 个，以 X 表示 3 个数中的最大值， X 的可能取值是 3，4，5，在 5 个数中取 3 个共有C 5310 种取法 .{ =3} 表示取出的 3 个数以 3 为最大值， P{=3}=C 22= 1;C 53 10{ =4} 表示取出的 3 个数以 4 为最大值， P{=4}=C 323 ;C 53 10 { =5} 表示取出的 3 个数以 5 为最大值， P{=5}=C 423 .5 C 53X 的分布律是X 3 45P13310105习题 2-31. 设 X 的分布律为X -11P求分布函数( ), 并计算概率 { <0},{ <2},{-2 ≤ <1}.F xPXPXPX0, x 1, 解 (1)0.15, 1≤ x 0,F ( x )=0≤ x 1,0.35, 1,x ≥1.(2) P { X <0}= P { X =-1}=; (3) P { X <2}= P { X =-1}+ P { X =0}+P { X =1}=1; (4) P {-2 ≤ x <1}= P { X =-1}+ P { X =0}=.2. 设随机变量 X 的分布 函数为( ) = + arctan x - ∞< <+∞.F xA Bx试求 : (1) 常数 A 与 B ; (2)X 落在 (-1, 1] 内的概率 .解 (1) 由于 (- ∞)=0,(+∞)=1, 可知F FA B()1 12A, B.A B( )122于是F ( x) 1 1arctan x, x .2(2) P{ 1X ≤1} F (1) F ( 1)1 1 1 1arctan( 1))( arctan1) (2 21 1 1 1 () 1 .2424 23. 设随机变量 X 的分布函数为F ( x )=0,x 0, x,0≤x 1,1,x ≥1,求 P { X ≤ -1}, P { < X <}, P {0< X ≤ 2}.解 P {X ≤ 1} F( 1) 0,P {< X <}= F - F {}- P { X =}=, P {0< X ≤2}= F (2)- F (0)=1.5.X 的绝对值不大于1;P{ X1}1 1}1 假设随机变量 ,P{X; 在事件{ 1 X 1} 出现的条件下 ,84X 在 (-1,1) 内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比 . (1) 求 X 的分布函数 F ( x) P{ X ≤ x }; (2)求 X 取负值的概率 p .解 (1) 由条件可知 ,当 x1时,F ( x) 0 ;当 x 1 时 , F ( 1) 1;当 x 1时 , 8F (1)= P { X ≤ 1}= P ( S )=1.所以P{ 1 X1} F (1) F ( 1)P{X 1}1 1 514.88易见 , 在 X 的值属于 (1,1) 的条件下 , 事件 { 1 X x} 的条件概率为P{ 1 X ≤ x | 1X 1} k[ x( 1)],取 x =1 得到 1= k (1+1),所以 k = 1.2x 1 . 因此P{ 1 X ≤x | 1 X 1}于是 , 对于1 x 1 ,有2P{ 1X ≤ x} P{ 1X ≤ x, 1 X 1}P{ 1 X 1} P{ 1 X ≤ x | 1 X 1}5 x 1 5x 5 . 对于 x ≥1,8 2 16有 F ( x) 1. 从而0, x 1, F ( x)5x 7 , 1x 1,161, ≥x1.(2) X 取负值的概率p P{ X0} F(0) P{ X0} F (0) [F(0)F (0 )] F (0 )7 . 习题 2-4161. 选择题设 f ( x)2x, x [0, c],则 f ( x) 是某一随机变量的概率(1)0,x如果 c =(),[0, c].密度函数 .(A)1(B)1.(C) 1.(D)3.2.3c2f ( x)dx 11 ,于是 c 1解 由概率密度函数的性质可得2xdx, 故本题应选 (C ).(2) 设 X ~ N (0,1), 又常数 c 满足 P{ X ≥ c} P{ X c} , 则 c 等于 ( ).(A) 1.(B) 0.(C)1 (D) -1..2解因为P{ X ≥ c} P{ X c} ,所以 1 P{ X c} P{ X c} , 即2P{ Xc} 1, 从而 P{X c} 0.5 , 即 ( c) 0.5 , 得 c =0. 因此本题应选 (B).(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).cos x, x [0, ],1x2,(A)f (x)(B)f (x),0,其它 .20,其它 .1( x) 2x≥22e,≥ 0,e , x0, (C)f (x) (D)f ( x)20, x0.0,x 0.解 由概率密度函数的性质f ( x)dx 1 可知本题应选 (D).(4) 设随机变量X ~ N(,42) , Y~N(,52), P 1P{X ≤4 },P 2 PY ≥ 5 }, 则( ).(A) 对任意的实数 , P 1P 2 . (B) 对任意的实数 , P 1 P 2 .(C) 只对实数的个别值 ,有P 1 P 2 . (D) 对任意的实数 , P P .12解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数, 有P 1( 1) 1 (1) P 2 .因此本题应选 (A).Xf xf (x)f ( x)F x(5) 设随机变量 的概率密度为 , 且 , 又( )为分布函数 , 则对任意实数 a , 有 ( ).a(A)F ( a) 1∫0 f (x)dx .(B)F ( a)(C) F ( a)F ( a) . (D) Fa解由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为1 a2 ∫0f ( x)dx.2F ( a) 1 .(B).(6) 设随机变量X 服从正态分布N (1, 12 ) , Y 服从正态分布 N ( 2, 22) ,且P{ X11} P{ Y21},则下式中成立的是 (). (A) σ1 < σ2 .(B)σ 1 > σ 2 .(C)μ1 <μ2 .(D)μ1 >μ2 .解 答案是 (A). XN(0 1)u 满足(7) 设随机变量 服从正态分布对给定的正数, 数(0,1),P{ X u }, 若P{X x}, 则 x 等于 ().(A)u .(B)u.(C)u 1-.(D)u 1.2122解 答案是 (C).2. 设连续型随机变量 X 服从参数为的指数分布 ,要使P{ kX 2k}1成立 ,4应当怎样选择数 k ?解 因为随机变量 X 服从参数为的指数分布 , 其分布函数为F ( x)1 e x , x 0,0,x ≤ 0.由题意可知1 P{ k X 2k} F(2k) F ( k) (1 e2 k )(1 e k ) e k e 2 k .4于是kln 2.3. 设随机变量 X 有概率密度f ( x) 4 x 3 , 0 x 1, 0,其它 ,要使 P{ X ≥ a}P{ Xa} ( 其中 a >0) 成立 , 应当怎样选择数 a ?解由条件变形 , 得到 1P{ Xa} P{ Xa},可知P{ X a} 0.5 ,于是a3dx 0.5,因此 a14x.424. 设连续型随机变量 X 的分布函数为0,x 0,F ( x)x 2 , 0≤x ≤1,1,x 1,求: (1)X 的概率密度 ; (2) P{0.3 X 0.7} .解 (1)根据分布函数与概率密度的关系F ( x)f ( x) ,可得f (x)2x, 0 x 1,0, 其它 .(2)P{0.3 X0.7}F (0.7) F (0.3) 0.720.320.4 .5. 设随机变量 X 的概率密度为2x,0≤ x ≤1,f ( x ) ＝其它 ,0,求P {X ≤ 1}与P {1＜ X ≤2}.241}11 1解P{X ≤ 22xdx x 22 ;24P{ 1 X ≤2}1 2 xdx x 2 1 15 .1444 166. 设连续型随机变量 X 具有概率密度函数x,0 x ≤1,f ( x) Ax,1x ≤2,0,其它 .求 : (1) 常数 A ； (2) X 的分布函数 F ( x ).解 (1) 由概率密度的性质可得11 2( A x)dx1 x2xdx12于是A 2；(2) 由公式 F ( x) xf ( x)dx可得当 x ≤0 时 , F ( x) 0 ; 当 0x ≤1时 ,F( x)x1 x2 ;xdx2当 1x ≤2时 ,F ( x)1x(2xdx1当 x >2 时,F ( x) 1.0,1 x2 , 所以F ( x)2 x 22x1,2112[ Ax x 2]A 1,21x 2 x)dx 2x1;2x ≤ 0,0 x ≤ 1,1 x ≤ 2,1,x2.7. 设随机变量 X 的概率密度为1f ( x) 4( x 1), 0 x 2,0, 其它 ,对 X 独立观察 3 次, 求至少有 2 次的结果大于 1 的概率 . 解根据概率密度与分布函数的关系式P{ a X ≤ b} F (b) F ( a)b f ( x)dx ,a可得P{ X 1} 21 ( x 1)dx 54.1 8 所以 , 3 次观察中至少有2 次的结果大于 1 的概率为C 2(5)2(3) C 3 ( 5)3 175 .8 8 2568 4x 2 8. 设 X ~U(0,5) , 求关于 x 的方程 4 Xx 2 0 有实根的概率 .解 随机变量 X 的概率密度为1, ≤ x 5,f ( x)50, 其它 ,若方程有实根 , 则16 X 232≥0, 于是 X 2 ≥ 2. 故方程有实根的概率为P { X 2 ≥2}= 1P{ X 2 2}1 P{2 X2}1 21dx0 512 .59. 设随机变量 X ~ N(3,22) .(1)计算 P{2 X ≤5} , P{ 4 X ≤10}, P{| X | 2}, P{X 3}；(2)确定 c 使得P{ X c} P{ X ≤ c}; (3) 设 d 满足 P{ X d}≥0.9 , 问 d 至多为多少？解 (1) 由 P { a <x ≤ b }= P { a3 X 3 ≤ b 3 } Φ( b 3 ) Φ( a 3)公式,得到2 2 2 22XΦ(1) Φ( 0.5) 0.5328P,{2< ≤5}=P {-4< X ≤10}= Φ(3.5) Φ( 3.5) 0.9996,P{|X|2}=P{X2} +P{X2}=1 2 32 3Φ() +Φ(2 ) =,2P{ X 3} =1 P{ X ≤3} 1Φ( 3 3 ) 1 Φ(0) = .2(2) 若P{Xc}P{ X ≤ c} , 得 1P{ X ≤ c}P{ x ≤ c} ,所以P{ X ≤ c} 0.5由 Φ(0) =0 推得c3 0, 于是 c =3.2 Φ(d3(3)P{ X d}≥ 0.9 即1)≥ 0.9 , 也就是2Φ( d 3 )≥ 0.9 Φ(1.282) ,2因分布函数是一个不减函数, 故(d 3)≥ 1.282,2解得d ≤ 3 2 ( 1.282) 0.436 .10. 设随机变量 X ~ N (2, 2) , 若 P{0 X4} 0.3 , 求 P{X 0} .解 因为X ~ N2,所以 ZX~ N(0,1). 由条件 P{0 X4} 0.3可知0.3 P{0 X4}0 2X 24 22(2P{}( )) ,于是 222 ( )10.3从而 ( )0.65 .,P{X 0}P{X202}(22 所以) 1( ) 0.35.习题 2-5 1. 选择题(1) 设 X 的分布函数为 F ( x ), 则 Y 3 X 1 的分布函数 G y 为( ).(A) F (1 1 (B)F (3 y 1) .y) .3311(C)3F ( y) 1.(D)F ( y).3 3解 由随机变量函数的分布可得 , 本题应选 (A).(2) 设X~N 01 ,令YX 2, 则Y ~().(A)N( 2, 1). (B)N(0,1) . (C) N( 2,1) . (D)N (2,1) .解 由正态分布函数的性质可知本题应选 (C).2. 设 X ~ N(1,2), Z 2X 3 , 求 Z 所服从的分布及概率密度 . 解 若随机变量 X ~ N(,2) , 则 X 的线性函数 YaX b 也服从正态分布 , 即Y aX b ~ N( a b,( a ) 2). 这里 1,2 , 所以 Z ~ N(5,8) .概率密度为1 ( x 5) 2f (z)16,x.e43. 已知随机变量 X 的分布律为X -1137P(1) 求 ＝2－ X 的分布律； (2) 求 ＝3＋ 2分布律 .YYX解 (1)2－X-5-1123P(2)3＋X 23 41252P4. 已知随机变量 X 的概率密度为1， 1 x 4，f X ( x)＝2 x ln 20，其它，且 Y ＝2－ X , 试求 Y 的概率密度 .解 先求Y的分布函数F Y ( y):F Y ( y) = P{ Y ≤ y}P{2X ≤ y}P{X ≥2 y}2 y1 P{ X 2y} =1-f X ( x)dx.于是可得 Y 的概率密度为1, 1 2 y4,f Y ( y)f X (2y)(2 y)=2(2 y) ln 20,其它 .1, 2 y1,f Y ( y)即2(2 y) ln 20,其它 .5. 设随机变量 X 服从区间 (-2,2) 上的均匀分 布, 求随机变量 YX 2 的概率密度 .解 由题意可知随机变量 X 的概率密度为f X ( x)1 ,2 x2,40, 其它 .因为对于 0<y <4,F Y ( y) P{ Y ≤ y} P{ X 2 ≤ y} P{y ≤ X ≤ y }F X ( y ) F X ( y ) .于是随机变量YX 2 的概率密度函数为f Y ( y)1 f X ( y )11 , 0 y 4.f X ( y )y4 2 y2 yf ( y)1 , 0 y 4,即4 y0,其它 .总习题二1. 一批产品中有 20%的次品 , 现进行有放回抽样 , 共抽取 5 件样品 . 分别计算这 5 件样品中恰好有 3 件次品及至多有 3 件次品的概率 .解 以 X 表示抽取的 5 件样品中含有的次品数 . 依题意知 X ~ B(5,0.2) .(1) 恰好有 3 件次品的概率是 P X C 5 0.2 3 0.8 .{ =3}= 3 23(2) 至多有 3 件次品的概率是C 5k 0.2k 0.85 k .k 02. 一办公楼装有 5 个同类型的供水设备 . 调查表明 , 在任一时刻 t 每个设备被使用 的概率为 . 问在同一时刻(1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？ (2) 至少有 1 个设备被使用的概率是多少？ (3) 至多有 3 个设备被使用的概率是多少？(4) 至少有 3 个设备被使用的概率是多少？解 以 X 表示同一时刻被使用的设备的个数，则X ~B (5,,{ = }=k k5 kP X kC 50.1 0.9, k =0,1, ,5.(1) 所求的概率是 P XC 50.1 0.90.0729 ;{ =2}=223(2)所求的概率是 P X(1 0.1)5 0.40951 ;{ ≥ 1}=1(3)所求的概率是{ ≤ 3}=1-P{ =4}- { =5}=;P XXP X(4) 所求的概率是 P { X ≥ 3}= P { X =3}+ P { X =4}+ P { X =5}=.3. 设随机变量 X 的概率密度为xkf ( x)e , x ≥0,0， x0,1且已知k θ, 求常数.,2k x解由概率密度的性质可知dx1得到 k =1.e1x1由已知条件1, 得.1 e dx2ln 24. 某产品的某一质量指标 X ~ N(160, 2 ) , 若要求 P{120 ≤X ≤ 200} ≥, 问允许最大是多少 ?解 由P{120 ≤ ≤ 200} P{ 120 160 X160 200 160X≤ ≤ }= ( 404040) (1( ))2 ( ) 1≥,( 40 ) ≥ , 40最大值为 .得到 查表得 ≥ , 由此可得允许5.设随机变量 X 的概率密度为( x ) = e -| x | , - ∞< <+∞.φX A x试求 : (1) 常数 ; (2) {0< <1}; (3)的分布函数 .AP X解 (1)由于(x)dxAe |x|dx 1, 即2 Ae x dx 1故 2A = 1, 得1到A = .2所以φ( x ) =1 e -|x |.2(2) P {0< X <1} = 11 xdx1 ( e x 11 e 10.316.e2 ) 220 (3)因为 F ( x)x1 e |x| 得到2 dx,11当 x <0 时 , F ( x)x x x ,2 e dx 2e当 x ≥0 时,F ( x)1 0x1 xe x1 x,2e dx2dx 1 e21e x ,x0,所以 X 的分布函数为F ( x)21 ex,1 x ≥ 0.2。
概率论与数理统计 第二章 随机变量及其概率分布 练习题 答案详解
第二章 随机变量及其概率分布（概率论与数理统计）练习题答案与提示（答案在最后）1．一盒零件中有9个合格品和3个废品，现从中任取一个零件，如果是废品不再放回，而从其余剩下的零件中另取一个，如此继续下去，直到取得合格品为止，求取出的废品个数ξ的分布律．2．在汽车行进路上有四个十字路口设有红绿灯，假定在第一．第三个路口汽车遇绿灯通行的概率为6.0，在第二．第四个路口通行的概率为5.0，并且各十字路口红绿灯信号是相互独立的．求该汽车在停下时，已通过的十字路口数的概率分布．3．把4个球任意放到3个盒中，每个球都以同样的概率31落到任一个盒中，用ξ表示落到第一个盒中的球的个数，求ξ的分布律．4．设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是01.0，且一台设备的故障能由一个人处理，考虑两种配备维修工人的方案：其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台．试比较两种方案在设备发生故障时不能及时维修的概率大小．5．设在保险公司里有2500个同一年龄的人参加了人寿保险，在一年里每个人死亡的概率为002.0，每个参加保险的人在每年一月一日付12元保险费，而在死亡时其家属可到保险公司领取赔付费2000元．试问：(1) 一年内保险公司亏本的概率是多少？(2) 一年内保险公司获利不少于10000元的概率是多少？ 6．某盒产品中有8件正品，2件次品，每次从中任取一件进行检查，直到取得正品为止．分别按不放回抽样和有放回抽样，求所需抽取次数的分布律．7．从一批有90个正品和10个次品的产品中任取5个，求抽得的次品数ξ的概率分布．8．通过某路口的每辆汽车发生事故的概率为0001.0=p ，假设在某段时间内有1000辆汽车通过此路口，求在此时间内发生两次以上事故的概率．9．设某种晶体管的寿命ξ（单位：小时）的概率密度函数为=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤>,100,0,100,1002x x x (1) 若一个晶体管在使用150小时后仍完好，那么该晶体管使用时间少于200小时的概率是多少？(2) 若一个电子仪器中装有三个独立工作的这种晶体管，在使用150小时之后恰有一个管子损坏的概率是多少？10．设随机变量ξ在)6,0(上服从均匀分布，求方程04522=-++ξξx x有实根的概率．11．以下哪个可以是随机变量的分布函数：(1) =)(x F 211x+， (2) =)(x F arctgx π2143+ (3) =)(x F x －e ， (4) =)(x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<．，，，，，1 1112121 03x x xx12．设随机变量ξ的概率分布为==)(k P ξk a2， ,3,2,1=k ， 求：(1) 常数a ； (2) )(为偶数ξP ； (3) )5(≥ξP ．13．已知ξ的分布律为==)(k P ξkck 6.0， ,3,2,1=k ， 求常数c ．14．设随机变量ξ的分布律为ξ 0 1 2 P31 61 21 求ξ的分布函数，并求：(1) )21(≤ξP ；(2) )231(≤<ξP ；(3) )231(≤≤ξP .15．设随机变量ξ的分布律为ξ 2- 0 2 3P71 73 72 71求ξ的分布函数．16．一个靶子是一个半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆的概率与该圆的面积成正比，并假设每次射击都能中靶，以ξ表示弹着点与圆心的距离，求随机变量ξ的分布函数．17．已知一本书中每页上的印刷错误ξ服从参数为2.0的泊松分布，试求(1) ξ的概率分布；(2) 求每页上印刷错误不多于一个的概率．18．设随机变量ξ的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=，，，，，，， ，41415.0112.010)(x x x x x F求ξ的分布律．19．下列哪一个函数可能成为随机变量ξ的密度函数： (1) =)(x f x-e， +∞<<∞-x ；(2) =)(x f )1(12x +π， +∞<<∞-x ；(3) =)(x f ⎩⎨⎧≤其它；，，，011x(4) =)(x f ⎩⎨⎧<<其它．，，，00sin πx x20．若)(x f ，)(x g 均在同一区间],[b a 上是概率密度函数，证明： (1) )(x f +)(x g 不是这区间上的概率密度函数；(2) 对任一数k (10<<k )，)()1()(x g k x kf -+是这个区间上的概率密度函数．21．已知连续型随机变量ξ的分布函数为⎩⎨⎧<≥+=-000e )(x x B A x F x ，，，λ (0>λ为常数)，求：(1) 常数A ，B ；(2) 密度函数)(x f ．22．设连续型随机变量ξ的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-，，，，000e )(22x x B A x F x 求:(1) 常数A ，B ；(2) )21(<<ξP ；(3) ξ的密度函数)(x f ．23．设随机变量ξ的密度函数为)(x f xc λλ-=e(0>λ为常数)，求：(1) 常数c ；(2) ξ的分布函数；(3) )21(<ξP ．24．某加油站每周补充油料一次，如果它的周出售量ξ（单位：千加仑）是一个随机变量，密度函数为=)(x f ⎩⎨⎧<<-其它，，，，010)1(54x x 要使在给定的一周内油库被吸光的概率是01.0，这个油库的容量应该是多少千加仑？25．设随机变量ξ的概率密度为=)(x f ，其它，，，，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<<0211102x x x ax 求:(1) 常数a ；(2) 分布函数)(x F ；(3) )35.0(<<ξP ．26．某商店出售某种商品，据历史记录分析，每月销售量服从参数为5的泊松分布，问该商店月初应库存多少件此种商品，才能以999.0的概率满足顾客的需要？27．已知某自动车床生产的零件，其长度ξ（单位：厘米）服从正态分布)75.0,50(~2N ξ，如果规定零件长度在5.150±厘米之间的为合格品， 求：(1) 零件的合格率；(2) 生产三只零件，至少有一只是不合格的概率． 28．某数学竞赛中的数学成绩)10,65(~2N ξ，若85分以上者为优秀，试问数学成绩优秀的学生占总人数的百分之几？29．某地抽样调查考生的英语成绩近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数%3.2，求考生的英语成绩在60分到84分之间的概率．30．设随机变量ξ服从参数为2，p 的二项分布，即),2(~p B ξ，随机变量η),3(~p B ，若95)1(=≥ξP ，求)1(≥ηP ． 31．已知ξ服从参数为λ的Poisson 分布，且==)1(ξP )2(=ξP ，求)4(=ξP ．32．已知离散型随机变量ξ的分布律为ξ 1 2 3 4 5P 51 51 51 51 51 求：(1) 12+=ξη；(2) 2)2(-=ξη的分布律．33．设随机变量ξ的分布律为ξ 2π-2ππP 2.0 3.0 4.0 1.0求：(1) 2ξη=；(2) ξηcos =的分布律．34．设某球直径的测量值为随机变量ξ，若已知ξ在],[b a 上服从均匀分布，求该球体积36ξπη=的概率密度．35．设)1,0(~N ξ，求ξη=的概率分布密度． 36．设随机变量ξ服从]2,2[ππ-上的均匀分布，求随机变量ξηsin =的分布密度)(x f ．答案详解1． ξ 0 1 2 3P 43 4492209 22012． ξ 0 1 2 3 4P 4.0 3.0 12.0 09.0 09.0 3．把一个球放入盒中看作一次试验，每个球落到第一个盒中的概率都为31，4个球放入（3个）盒中可以看作4重贝努里试验，所以落入第一个盒中的球数)31,4(~B ξ，即ξ的分布律为:)(k P =ξ=kk k C -44)32()31(，4,3,2,1,0=k4．按第一种方案，每人负责20台，设每个工人需维修的设备数为ξ，则)01.020(~，B ξ．这里设备发生故障时不能及时维修的事件，也就是一个工人负责的20台设备中至少有两台发生了故障，其概率为)2(≥ξP -=-=)0(1ξP )1(=ξP20002099.001.01⋅⋅-=C 1912099.001.0⋅⋅-C 2.00!02.01--≈e 2.01!12.0--e =-=-2.02.11e 0175231.0．上述近似计算是用了泊松定理，其中参数2.0==np λ.按第二种方案，3名维修工人共同维护80台设备，设需要维修的设备数为η，则)01.080(~，B η，这里设备发生故障时不能及时维修的事件，就是80台中至少有4台发生故障，其概率为)4(≥ηP =∑=--30808099.001.0C 1k k k k∑=--≈308.0!8.01k k e k 00908.0≈，比较计算结果，可见第二种方案发挥团队精神，既能节省人力，又能把设备管理得更好．5．(1) 000069.0， (2) 986305.06．不放回抽样，所需抽取次数的分布律为:ξ 1 2 3P 54 458 451放回抽样，所需抽取次数的分布律为:==P )(k ξ54)51(1⋅-k ， ,3,2,1=k7．==)(k P ξ510059010C C C k k -⋅， 5 ,4 ,3 ,2 ,1 ,0=k 8．0045.09．(1) 41， (2) 9410．5.011．(4)12．(1) 1=a ， (2) 31， (3) 16113．由分布律的性质可知:∑∞====1)(1k k P ξ∑∞=16.0k kk c ，为了求级数∑∞=16.0k kk 的和，令)(x f =∑∞=1k k k x ，逐项求导，得)(x f '=∑∞=-11k k x =x -11，从而 ⎰'xx x f 0d )(=⎰-x x 0d x 11，即)(x f －)0(f =)1ln(x --，又因)0(f =0，从而)(x f =)1ln(x --，令6.0=x ，得=)6.0(f 25ln 4.0ln =-，从而1)2ln 5(ln --=c14．=)(x F ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<212121103100x x x x ，，，，，，， (1) 31； (2) 0； (3) 6115．=)(x F ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤--<3 ,1,32,76,20,74,02,71,2,0x x x x x 16．=)(x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<2,1,20,4,0,02x x xx 17．(1) ==)(k P ξ2.0e !2.0-k k ， ,2,1,0=k ， (2) 983.0)1(=≤ξP 18． ξ 1- 1 4P 2.0 3.0 0.5 19．(2) 20．略21．(1) 1=A ，1-=B (2) =)(x f ⎩⎨⎧<≥-0,0,0 ,e x x x λλ22．(1) 1=A ，1-=B ， (2) 4712.0， (3) =)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-0 ,0,0,e 22x x x x23．(1) 21， (2) =)(x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<-,0,e 211,0 ,e 21x x x xλλ (3) 2e 1λ--24．设油库的容量为x 千加仑，据题意，01.0)(=>x P ξ，即99.0)(=≤x P ξ，=≤)(x P ξ⎰-xdx 04x )(15=--=5)1(1x 99.0，从而01.0)1(5=-x ，3981.01=-x ，解得6019.0=x （千加仑）25．(1) 1， (2) =)(x F ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<≤<,2,1,21,123,10,2,0,02x x x x x x (3) 875.026．1327．(1) 9545.0， (2) 1304.0 28．%3.229．设考生的英语成绩为ξ，则ξ),72(~2σN ，由题意知，=≥)96(ξP 023.0)729672(=-≥-σσξP ， 故977.0)24()2472(=Φ=<-P σσσξ， 查表得，224=σ，所以12=σ，因此，)12,72(~2N ξ，从而所求概率为=≤≤)8460(ξP )1272841272127260(-≤-≤-ξP )1()1(-Φ-Φ=6824.0= 30．=<)1(ξP 94951=-，即94)1(C )0(2002=-==p p P ξ，解得31=p ，从而=≥)1(ηP )1(1<-ηP )0(1=-=ηP =--=3003)1(1p p C 271931．2e 32-32．(1) η 3 5 7 9 11 (2) η 0 1 4 9P 51 51 51 51 51 P 51 52 51 5133．(1) η 0 42π 2πP 3.0 0.6 0.1(2) η 1- 0 1P 1.0 6.0 3.034．=)(y f η⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-其它－,0,66,92133323b y a y a b πππ 35．=)(y f η⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,0,0,e 222y2y y －π36．ξ的密度函数为=)(x f ξ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-,,0,22,1其它πππx由于x y sin =在]2,2[ππ-内严格单调增加，因此存在反函数y x arcsin =，其导数为:211y x y -='，x y sin =在]2,2[ππ-上的最大值为1，最小值为1-，利用随机变量的单调函数的分布密度的公式，得η的密度函数为:=)(y f η⎪⎩⎪⎨⎧<<-',,0,11)(arcsin )(arcsin 其它，y y y f ξ⎪⎩⎪⎨⎧<<--=其它,0,11,112y yπ。
概率论与数理统计-第二章习题附答案
习题2-21. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0<p <1). 定义随机变量1,,0,A X A =⎧⎨⎩发生不发生. 写出随机变量X 的分布律.解2. 已知随机, 且取这四个值的相应概率依次为cc c c 167,85,43,21. 试确定常数c , 并计算条件概率}0|1{≠<X X P . 解由离散型随机变量的分布律的性质知，13571,24816c c c c+++= 所以3716c =. 所求概率为P {X <1| X 0≠}=258167852121}0{}1{=++=≠-=cc c c X P X P . 3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的二项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的二项分布,若{P X ≥51}9=, 求{P Y ≥1}.解注意p{x=k}=k k n kn C p q -,由题设5{9P X =≥21}1{0}1,P X q =-==-故213q p =-=. 从而{P Y ≥32191}1{0}1().327P Y =-==-=4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为1927, 求每次试验成功的概率. 解设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是2719，那么一次都没有成功的概率是278. 即278)1(3=-p , 故p =31. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且{1}{3}P X P X ===, 求参数λ.解由泊松分布的分布律可知6=λ.6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大, 写出随机变量X 的分布律.解X1. 设X 的分布律为解 (1) F (x )=0,1,0.15,10,0.35,01,1,1.x x x x <-⎧⎪-<⎪⎨<⎪⎪⎩≤≤≥(2) P {X <0}=P {X =-1}=0.15;(3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1; (4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=0.35. 2. 设随机变量X 的分布函数为F (x ) = A +B arctan x -∞<x <+∞.试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率.解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知()0112,.2()12A B A B A B πππ⎧+-=⎪⎪⇒==⎨⎪+=⎪⎩ (2) {11}(1)(1)P X F F -<=--≤1111(arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+-11111().24242ππππ=+⋅---=3. 设随机变量X 的分布函数为F (x )=0, 0,01,21,1,,x xx x <<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ≤ ≥求P {X ≤-1}, P {0.3 <X <0.7}, P {0<X ≤2}.解P {X 1}(1)0F -=-=≤,P {0.3<X <0.7}=F (0.7)-F {0.3}-P {X =0.7}=0.2,P {0<X ≤2}=F (2)-F (0)=1.习题2-41.选择题 (1) 设2, [0,],()0, [0,].x x c f x x c ∈=∉⎧⎨⎩如果c =( ), 则()f x 是某一随机变量的概率密度函数.(A)13. (B) 12. (C) 1. (D) 32. 本题应选(C ).(2) 设~(0,1),X N 又常数c 满足{}{}P X c P X c =<≥, 则c 等于( ). (A) 1. (B) 0. (C) 12. (D) -1. 本题应选(B).(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).(A) cos ,[0,],()0,x x f x π∈=⎧⎨⎩其它. (B) 1,2,()20,x f x <=⎧⎪⎨⎪⎩其它.(C) 22()2,0,()0,0.≥x x f x x μσ--=<⎧⎩ (D) e ,0,()0,0.≥x x f x x -=<⎧⎨⎩本题应选(D).(6) 设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且12{1}{1},P X P Y μμ-<>-<则下式中成立的是( ).(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) μ1 <μ2. (D) μ1 >μ2. 答案是(A).(7) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的正数)10(<<αα, 数αu 满足{}P X u αα>=, 若{}P X x α<=, 则x 等于( ).(A) 2u α . (B) 21α-u. (C) 1-2u α. (D) α-1u .答案是(C).2. 设连续型随机变量X 服从参数为λ的指数分布,要使1{2}4P k X k <<=成立, 应当怎样选择数k ?解X 其分布函数为1e ,0,()0,0.≤x x F x x λ-->=⎧⎨⎩由题意可知221{2}(2)()(1e )(1e )e e 4k k k k P k X k F k F k λλλλ----=<<=-=---=-.于是ln 2k λ=.3.设随机变量X 有概率密度34,01,()0,x x f x <<=⎧⎨⎩其它,要使{}{}≥P X a P X a =<(其中a >0)成立, 应当怎样选择数a ?解由条件变形,得到1{}{}P X a P X a -<=<,可知{}0.5P X a <=, 于是304d 0.5a x x =⎰,因此a =4. 设连续型随机变量X 的分布函数为20,0,()01,1,1,,≤≤x F x x x x <=>⎧⎪⎨⎪⎩求: (1) X 的概率密度; (2){0.30.7}P X <<.解 (1) 由()()F x f x '=得2,01,()0,其它.x x f x <<⎧=⎨⎩(2) 22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F <<=-=-=.5. 设随机变量X 的概率密度为f (x )＝2,01,0,x x ⎧⎨⎩ ≤≤ 其它,求P {X ≤12}与P {14X ＜≤2}. 解{P X ≤12201112d 2240}x x x ===⎰;1{4P X <≤12141152}2d 1164x x x ===⎰. 6. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数,01,(),12,0,x x f x A x x <=-<⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它.求: (1) 常数A ；(2) X 的分布函数F (x ).解 (1) 由概率密度的性质可得12221121111d ()d []122x x A x x xAx x A =+-=+-=-⎰⎰,于是2A =；(2) 由公式()()d x F x f x x -∞=⎰可得〔过程简略〕220,0,1()221, 2.1,021,12x F x x x x x x x =->⎧⎪⎪<⎪⎨⎪-<⎪⎪⎩≤≤,≤,7. 设随机变量X 的概率密度为1(1),02,()40,x x f x ⎧⎪⎨⎪⎩+<<=其它, 对X 独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率.解2115{1}(1)d 48P X x x >=+=⎰.所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为223333535175()()()888256C C +=. 8.设~(0,5)X U , 求关于x 的方程24420x Xx ++=有实根的概率.解若方程有实根, 则21632X -≥0, 于是2X ≥2. 故方程有实根的概率为P {2X ≥2}=21{2}P X -<1{P X =-<<11d 5x =-15=-.10. 设随机变量2~(2,)X N σ, 若{04}0.3P X <<=, 求{0}P X <.解因为()~2,X N σ2,所以~(0,1)X Z N μσ-=. 由条件{04}0.3P X <<=可知02242220.3{04}{}()()X P X P ΦΦσσσσσ---=<<=<<=--,于是22()10.3Φσ-=, 从而2()0.65Φσ=.所以{{}2020}P P X X σσ==--<<22()1()0.35ΦΦσσ-=-=.习题2-52. 设~(1,2),23X N Z X =+, 求Z 所服从的分布与概率密度.解若随机变量2~(,)X N μσ, 则X 的线性函数Y aX b =+也服从正态分布, 即2~(,()).Y aX b N a b a μσ=++这里1,μσ==所以Z ~(5,8)N .概率密度为()f z=2(5)16,x x ---∞<<+∞.3. 已知随机变量X 的分布律为(1) 求Y ＝2解 (1)(2)4.已知随机变量()X f x ＝1142ln 20x x <<⎧⎪⎨⎪⎩， ， ， 其它，且Y ＝2－X , 试求Y 的概率密度.解)(y F Y ={P Y ≤}{2y P X =-≤}{y P X =≥2}y -1{2}P X y =-<-=1-2()d yX f x x --∞⎰.于是可得Y 的概率密度为121,2(2)ln 20, ,()其它.Y y y f y -<<-⎧⎪=⎨⎪⎩5. 设随机变量X 服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量2Y X =的概率密度.解因为对于0<y <4,(){Y F y P Y =≤2}{y P X =≤}{y P =X (X X F F =-.于是随机变量2Y X =的概率密度函数为()Y fy (X X f f =0 4.y =<<即()04,0,.其它f y y =<<⎩。
概率论与数理统计第二章自测题答案与提示
为了更好地备考，我将关注以下几个方向：深入理解概率论的基本概念和性质；掌握条件概率的计算 方法；熟悉常用随机变量的期望和方差的计算公式；提高解决实际问题的能力。同时，我也会注重培 养自己的逻辑思维和分析能力，以便更好地应对各种考试挑战。
THANKS
感谢观看
通过具体例题，解析如何运用概 率的基本性质和计算方法，解决 复杂的概率计算问题。
随机变量分布题
通过具体例题，解析如何运用随 机变量的性质和分布函数，解决 随机变量分布的问题。
随机变量变换题
通过具体例题，解析如何运用随 机变量的变换方法，解决随机变 量变换的问题。
04
自测题答案总结与反思
答案总结
要点一
填空题答案及解析
填空题1答案：0.6
01
输标02入题
解析：此题考查概率的计算，根据概率的基本性质， 互斥事件的概率和为1，因此$P(A) + P(B) = 1$，解 得$P(A) = 0.6$。
03
解析：此题考查随机变量的期望和方差的计算，根据 期望和方差的定义，随机变量X的期望$E(X) = sum x_i p_i$，方差$D(X) = sum (x_i - E(X))^2 p_i$。
概率论与数理统计第二章 自测题答案与提示
• 自测题答案 • 题目解析与提示 • 重点与难点解析 • 自测题答案总结与反思
01
自测题答案
选择题答案及解析
选择题1答案：B 选择题2答案：C 选择题3答案：D
解析：此题考查概率的基本性质，事件A和B的并集概 率等于它们概率之和减去它们的交集概率，即$P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)$。
建议
为了提高自己的理解和应用能力，我建议在未来的学习中更加注重基础知识的掌握，多做一些练习题来加深对概 念的理解。同时，我也应该学会如何将理论知识应用于实际问题中，提高自己的分析和解决问题的能力。
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《概率论与数理统计》单元测试二
一、填空题（每题3分，共30分）
1.某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是0.1两，则100个该型号螺丝钉重量不超过10.2斤的概率近似为 （答案用标准正态分布函数表示）。
2.设521,,X X X 是来自总体)1,0(~N X 的简单随
机
样
本
，
统
计
量
)(~/)(25242321n t X X X X X C +++，则常数
=C ，自由度=n 。
3.设随机变量321,,X X X 相互独立，且
)6,0(~1U X ，)4,0(~2N X ，)3(~3πX ，记
32132X X X Y +-=，则=)(Y D 。
4.设随机变量X,Y 相互独立，2)(-=X E ，
2)(=Y E ，1)(=X D ，4)(=Y D ，根据切比雪
夫不等式，≤≥+}5|{|Y X P 。
5.设由来自总体)81.0,(~μN X 的一个容量为9的简单随机样本计算得样本均值为5，则未知参数
μ的置信水平为0.95的置信区间为 。
6.
设随机变量
22~()n χχ，则
2
()E χ= ，2
()D χ= 。
7.设随机变量X 的分布律为
则=)(2
X E 。
8.若总体),(~2
σμN X ，从中抽取样本为
n X X X ,,21，则μ的矩估计为 。
9.设),,(~2σa N X 则2
3
-=X Y 服从的分布
为 。
10.从总体)3.6,52(~2
N X 中抽取容量为30的样本，则样本均值落在50.8到53.8之间的概率为 。
二、选择题（每题3分，共30分）
1.已知随机变量X 服从二项分布),(p n b ，且
4.2)(=X E ，44.1)(=X D ，则p n ,的值为
（ ）。
A ．6.0,4==p n B.4.0,6==p n C. 3.0,8==p n D.1.0,24==p n
2.设n X X X ,,21是来自正态总体),(2σμN 的
样本，∑=--=n i i
X X n S 1
22
)(11，则=)(2
S D （ ）。
A ．n /4
σ B. n /24
σ C. )1/(4-n σ D. )1/(24-n σ
3. 设总体X 服从正态),(2σμN 分布，
n X X X ,,21是来自X 的样本，为使
∑=-=n
i i X X A 1||ˆσ
是σ的无偏估计量，则A 的值为（ ）。
A ．
n
1 B.
n 1 C. 1
1-n D. )1(2-n n π
4.对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平0
5.0=α下，接受假设00:μμ=H ，则在显著水平01.0=α下，下列结论中正确的是（ ）。
A ．必接受0H B. 可能接受，也可能拒绝0H C. 必拒绝0H D. 不接受，也不拒绝0H 5.总体X 服从于二项分布),(p n
B ，其中p 是未知参数，n X X X ,,21是来自总体X 的一组样本，则下列不是统计量的为( )
A ．∑=-n i i X X n 12
)(1 B. )
1(1p np np X n
i i --∑=
C. 1X
D.61+X
6.总体均值μ的区间估计中，正确的说法是（ ）
A ．置信度α-1一定时，样本容量增加，置信区间的长度变长
B. 置信度α-1一定时，样本容量增加，置信区间的长度变短
C. 置信度α-1变小，置信区间的长度变短
D. 置信度α-1变大，置信区间的长度变短 7.设n X X ,,1 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，X 是样本均值，记
∑=--=n
i i X X n S 1
221)(11∑=-=n
i i X X n S 1
2
22
)(1∑=--=n i i X n S 1223
)(11μ∑=-=n i i X n S 1
22
4)(1μ 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（ ） A ．1/1--=
n S X T μ B. 1/2--=
n S X T μ
C. n
S X T /3μ-= D. n
S X T /4μ-=
8.现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，今从中随机无放回地抽取3张，则得奖金的数学期望是（ ）。
A ．6 B. 12 C.7.8 D. 9
9.设随机变量X 的方差存在，并且满足不等式
9
2
}3|)({|≤
≥-X E X P ，则一定有（ ）。
A ．2)(=X D B. 97
}3|)({|<<-X E X P
C. 2)(≠X D
D. 97
}3|)({|≥<-X E X P
10.将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X 和Y 的相关系数等于（ ）。
A ．-1 B.0 C.1/2 D.1
三、（10分）假定一条生产流水线一天内发生故障的概率为0.1，流水线发生故障时全天停止工作。
若一周5个工作日中无故障这条生产线可产生利润20万元，一周内如果发生一次故障仍可产生利润6万元，发生两次或两次以上故障就要亏损两万元，求一周内这条流水线产生利润的数学期望。
四、（10分）设随机变量X 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,
0,0,2
cos 21
)(其它πx x x f
对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于
3/π的次数，求Y 2的数学期望。
五、（10分）设12,,n X X X 是取自双参数指数分布总体的一组样本，密度函数为
1,(;,)0,x e
x f x μ
θ
μθμθ
--⎧>⎪=⎨⎪⎩
其它
其中,0μθ>是未知参数，12,,,n x x x 是一组样本值，求：
（1）,μθ的矩法估计； （2）,μθ的极大似然估计.
六、（10分）设总体20~(,)
X N μσ分布， 12(,,,)n X X X =X 为一组样本。
欲检验假设00:H μμ=，10:H μμ≠，显著性水平α事先给定，(,)μ∈-∞+∞未知，200σ>已知. 试构造适
当检验统计量并给出拒绝域（临界点由分位点给出）。
附加题：
1、设总体X 的概率分布为
θ
θθθθ21)1(23
21022--P X
其中θ(0<θ<1/2)是未知参数,利用总体X 如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3。
求θ的矩估计值和最大似然估计值。
2、测定某种溶液中的水份，设水份含量的总体服从正态分布()
2,σa N ，得到的10个测定值给出
037.0,452.02==s x ，试问可否认为水份含量的
方差04.02
=σ
？（05.0=α）。