数列不等式证明的几种方法

数列不等式证明的几种方法

一、巧妙构造，利用数列的单调性

例1. 对任意自然数n，求证：。

证明：构造数列

。

所以，即为单调递增数列。

所以，即

。

点评：某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题，均可构造数列，通过数列的单调性解决。

二、放缩自然，顺理成章

例2. 已知函数，数列的首项，以后每项按如下方

式取定：曲线处的切线与经过（0，0）和两点的直线平行。

求证：当时：

（1）；

（2）。

证明：（1）因为，所以曲线处的切线斜率为。

又因为过点（0，0）和两点的斜率为，所以结论成立。（2）因为函数

，

所以，即，因此

；

又因为。

令，且。

所以

因此，

所以

三、导数引入

例3. 求证：

证明：令，且当时，，所以

。要证明原不等式，只须证

。

设，

所以。

令，

所以。

设，

所以上为增函数

所以，即

所以

同理可证

所以。对上式中的n分别取1，2，3，…，

，得。

四、裂项求和

例4. 设是数列的前n项和，且

（1）求数列的首项，及通项；

（2）设，证明。

解：（1）首项（过程略）。

（2）证明：将，

得，

则

点评：本题通过对的变形，利用裂项求和法化为“连续相差”形式，从而达到证题目的

五、独辟蹊径，灵活变通

独辟蹊径指处事有独创的新方法，对问题不局限于一种思路和方法，而是善于灵活变通，独自开辟新思路、新方法。

例5. 已知函数。设数列，数列满足

（1）求证：；

（2）求证：。

证明：（1）证法1：由

令，则只须证；易知，只须证。

由分析法：

。

因为，，

所以，得证。

证法2：由于的两个不动点为。又，所以

所以

所以

，

由上可求得，

因此只需证，

即证：

又

（2）由（1）知，

所以

故对任意。

点评：本题（1）中法1通过构造新数列，将复杂的问题转化为证数列为递减数列，进而用分析法展示出证明思路的魅力；法2则是独辟蹊径利用“不动点”，求出通项公式，借助二项式定理放缩给出证明。