第八讲-股票价格行为探讨PPT课件
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布朗运动的路径性质 i) 处处连续，处处不可微 ii) 无限变差 iii) 有限二次变差
13
第一节 准备知识之Ito积分
• 布朗运动的路径性质决定了我们不能按照， Riemann的思想定义积分。
• 40年代，日本科学家Ito用新的思路引入了随 机积分（对布朗运动的积分），其基本思想就 是，取左端点，求和，取极限。
3
股票价格特征（续）
股价的预期增量假设来自同一分布，则其相互 独立。
4
第一节 准备知识之Markov性质
随机变量 随机过程：一族随机变量。（变量的值以某种
不确定的方式随时间变化，如股票价格） 随机过程分连续时间和离散时间，一个离散时
间随机过程是指标的变量值只能在某些确定时 间点上变化。一个连续时间变量随机过程是指 标的变量值的变化可以在任何时刻发生。
第八讲 股票价格行为探讨
徐静 经济与工商管理学院 xujing8023@cqu.edu.cn
1
问题：
用什么来描述股票价格变化过程？
2
股票价格特征
股票价格具有某种无记忆性，即要预测股票未 来的价格只需知道现在价格即可，不需要知道 股票的历史价格。
股票价格的下一期增量与当前的股价有关。例 如考虑$10股价与$100股价的两支股票，其下 一期的涨幅显然是不一样的。当前股价越高， 以金钱为单位的涨跌幅度越大。
事实上股票价格总是存在波动率的。合理的假设是无论 股票价格如何，短时间后百分比收益率的方差保持不变。
假设 2 为股票价格比例变化的方差率，则股票价格应满足
的方程为：
dSuSdtSdW t
8
第一节 准备知识之Markov性质
为什么股票价格具有马尔科夫性？ 是因为我们经常假定市场是有效的，也就是说
股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了 过去的价格记录。 市场竞争保证了市场有效性成立。有许多投资 者紧盯着股票市场并试图从中获利，这种情况 导致了在任何时刻的股票价格包含了以往价格 的信息。
7
第一节 准备知识之Markov性质
Markov过程是随机过程的一种，它满足时间 无记忆性（无后效性），是指要对随机过程进 行预测，则预测值只与当前值有关，而与变量 的历史值无关，并且与变量过去到现在的演变 过程无关。
股票价格是Markov过程，即股票将来价格只 与现在有关，一个星期前，一个月前，或一年 前的股价并不影响对股票价格的预测。
9
第一节 准备知识之Weiner过程（布朗运动）
布朗运动：花粉热运动，1828年，英国植物 学家布朗发现的。1905年，Einstein给出了布 朗运动的热运动方程。 从此布朗运动在物理学领域得到了广泛的应用。
10
第一节 准备知识之Weiner过程（布朗运动）
金融学中的布朗运动： 1900年法国学者Bachelier在其博士论文《投 机理论》中，首次用布朗运动来描述股票的价 格变化。这比Einstein的工作还要早五年。但 可惜的是，Barchelier的工作直到他去世之后 才被发现。
d g ( t,X t) g ( t,tX t)d t g ( tX ,X t)d X t 1 2 2 g ( X t,2 X t)2 d t
16
第一节 准备知识之指数鞅
T
E[exp{
0
(u(s)
12(s))ds
2
T
0
(s)dWs}]
T
exp{u(s)ds}
0
17
第二节 不付红利下股票价格行为分析
第二节 不付红利下股票价格行为分析
股价期望漂移率是常数的假设是不恰当的，需 要假设。通常我们要求，股价的期望漂移率要 与股票价格有关。即，假设以股价的比例表示 的期望收益为常数。
如果股价为S，S的期望漂移率为uS，u为恒定 参数。如果股票价格的波动率为0，则这个模 型应为 dS=uSdt
19
第二节 不付红利下股票价格行为分析
假定股票价格过程为广义Weiner过程是非常 具有诱惑力的，即它具有不变的期望漂移率和 方差率，但是，这个模型不能抓住股价的关键 特性，即投资者要求来自股票的期望百分比收 益与股票价格无关。如果投资者在股价为$10 时要求预期收益为每年14%，那么他在股价为 $50时仍然要求每年14%的收益。
18
14
第一节 准备知识wenku.baidu.comIto过程
如下过程称为Ito过程
d X t a (t,X t)d t(t,X t)d W t
当a和 均为常数时，我们称上述过程为 广义Weiner过程。
15
第一节 准备知识之Ito定理
Ito在建立了随机版本的积分之后，又给出了随机版本 的牛顿-莱布尼兹公式：
Ito定理：设X为Ito过程，g为二次可导的二元函数，则
5
小常识：
马尔可夫（Markov, Andrei Andreevich） （1856—1922）是俄国数学家 。马尔可夫研究
的范围很广，对概率论、数理统计、数论、函 数逼近论、微分方程、数的几何等都有建树. 马尔可夫共发表论著70多种，其中《概率演 算》、《有限差分学》堪称经典著作.
6
小常识：
11
第一节 准备知识之Weiner过程（布朗运动）
布朗运动也被成为Weiner过程，这是因为数 学家Weiner在对布朗运动的研究中作出了卓 越的贡献。
布朗运动的数学定义 布朗运动是满足如下性质的随机过程
i) 独立增量性 ii) 增量服从正态分布 iii) 路径连续
12
第一节 准备知识之Weiner过程（布朗运动）
马尔可夫为人正直，关心热爱学生，多次抗议沙皇政府和警察 对大学生的迫害，为了伸张正义，他不惜放弃教授的职位.例如， 针对国民教育部1908年关于重申取消大学自治的通告，马尔可 夫给教育大臣写信表示：“我最坚决地拒绝在彼得堡大学充当沙 皇政府走卒的角色，但我将保留自己开设概率论讲座的权利.”
马尔可夫将自己的一生奉献给了数学事业，当有人向他请教数学 的定义，他不无骄傲地说：“数学，那就是高斯、切比雪夫、李 雅普诺夫、斯捷克洛夫和我所从事的事业.”在数学中以他的姓氏 命名的有：马尔可夫准则、马尔可夫策略、马尔可夫正规算法、 马尔可夫时、马尔可夫性质、马尔可夫过程、马尔可夫决策过程、 马尔可夫链等. 他的儿子（小）马尔可夫也是数学家.
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第一节 准备知识之Ito积分
• 布朗运动的路径性质决定了我们不能按照， Riemann的思想定义积分。
• 40年代，日本科学家Ito用新的思路引入了随 机积分（对布朗运动的积分），其基本思想就 是，取左端点，求和，取极限。
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股票价格特征（续）
股价的预期增量假设来自同一分布，则其相互 独立。
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第一节 准备知识之Markov性质
随机变量 随机过程：一族随机变量。（变量的值以某种
不确定的方式随时间变化，如股票价格） 随机过程分连续时间和离散时间，一个离散时
间随机过程是指标的变量值只能在某些确定时 间点上变化。一个连续时间变量随机过程是指 标的变量值的变化可以在任何时刻发生。
第八讲 股票价格行为探讨
徐静 经济与工商管理学院 xujing8023@cqu.edu.cn
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问题：
用什么来描述股票价格变化过程？
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股票价格特征
股票价格具有某种无记忆性，即要预测股票未 来的价格只需知道现在价格即可，不需要知道 股票的历史价格。
股票价格的下一期增量与当前的股价有关。例 如考虑$10股价与$100股价的两支股票，其下 一期的涨幅显然是不一样的。当前股价越高， 以金钱为单位的涨跌幅度越大。
事实上股票价格总是存在波动率的。合理的假设是无论 股票价格如何，短时间后百分比收益率的方差保持不变。
假设 2 为股票价格比例变化的方差率，则股票价格应满足
的方程为：
dSuSdtSdW t
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第一节 准备知识之Markov性质
为什么股票价格具有马尔科夫性？ 是因为我们经常假定市场是有效的，也就是说
股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了 过去的价格记录。 市场竞争保证了市场有效性成立。有许多投资 者紧盯着股票市场并试图从中获利，这种情况 导致了在任何时刻的股票价格包含了以往价格 的信息。
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第一节 准备知识之Markov性质
Markov过程是随机过程的一种，它满足时间 无记忆性（无后效性），是指要对随机过程进 行预测，则预测值只与当前值有关，而与变量 的历史值无关，并且与变量过去到现在的演变 过程无关。
股票价格是Markov过程，即股票将来价格只 与现在有关，一个星期前，一个月前，或一年 前的股价并不影响对股票价格的预测。
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第一节 准备知识之Weiner过程（布朗运动）
布朗运动：花粉热运动，1828年，英国植物 学家布朗发现的。1905年，Einstein给出了布 朗运动的热运动方程。 从此布朗运动在物理学领域得到了广泛的应用。
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第一节 准备知识之Weiner过程（布朗运动）
金融学中的布朗运动： 1900年法国学者Bachelier在其博士论文《投 机理论》中，首次用布朗运动来描述股票的价 格变化。这比Einstein的工作还要早五年。但 可惜的是，Barchelier的工作直到他去世之后 才被发现。
d g ( t,X t) g ( t,tX t)d t g ( tX ,X t)d X t 1 2 2 g ( X t,2 X t)2 d t
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第一节 准备知识之指数鞅
T
E[exp{
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(u(s)
12(s))ds
2
T
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(s)dWs}]
T
exp{u(s)ds}
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第二节 不付红利下股票价格行为分析
第二节 不付红利下股票价格行为分析
股价期望漂移率是常数的假设是不恰当的，需 要假设。通常我们要求，股价的期望漂移率要 与股票价格有关。即，假设以股价的比例表示 的期望收益为常数。
如果股价为S，S的期望漂移率为uS，u为恒定 参数。如果股票价格的波动率为0，则这个模 型应为 dS=uSdt
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第二节 不付红利下股票价格行为分析
假定股票价格过程为广义Weiner过程是非常 具有诱惑力的，即它具有不变的期望漂移率和 方差率，但是，这个模型不能抓住股价的关键 特性，即投资者要求来自股票的期望百分比收 益与股票价格无关。如果投资者在股价为$10 时要求预期收益为每年14%，那么他在股价为 $50时仍然要求每年14%的收益。
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第一节 准备知识wenku.baidu.comIto过程
如下过程称为Ito过程
d X t a (t,X t)d t(t,X t)d W t
当a和 均为常数时，我们称上述过程为 广义Weiner过程。
15
第一节 准备知识之Ito定理
Ito在建立了随机版本的积分之后，又给出了随机版本 的牛顿-莱布尼兹公式：
Ito定理：设X为Ito过程，g为二次可导的二元函数，则
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小常识：
马尔可夫（Markov, Andrei Andreevich） （1856—1922）是俄国数学家 。马尔可夫研究
的范围很广，对概率论、数理统计、数论、函 数逼近论、微分方程、数的几何等都有建树. 马尔可夫共发表论著70多种，其中《概率演 算》、《有限差分学》堪称经典著作.
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小常识：
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第一节 准备知识之Weiner过程（布朗运动）
布朗运动也被成为Weiner过程，这是因为数 学家Weiner在对布朗运动的研究中作出了卓 越的贡献。
布朗运动的数学定义 布朗运动是满足如下性质的随机过程
i) 独立增量性 ii) 增量服从正态分布 iii) 路径连续
12
第一节 准备知识之Weiner过程（布朗运动）
马尔可夫为人正直，关心热爱学生，多次抗议沙皇政府和警察 对大学生的迫害，为了伸张正义，他不惜放弃教授的职位.例如， 针对国民教育部1908年关于重申取消大学自治的通告，马尔可 夫给教育大臣写信表示：“我最坚决地拒绝在彼得堡大学充当沙 皇政府走卒的角色，但我将保留自己开设概率论讲座的权利.”
马尔可夫将自己的一生奉献给了数学事业，当有人向他请教数学 的定义，他不无骄傲地说：“数学，那就是高斯、切比雪夫、李 雅普诺夫、斯捷克洛夫和我所从事的事业.”在数学中以他的姓氏 命名的有：马尔可夫准则、马尔可夫策略、马尔可夫正规算法、 马尔可夫时、马尔可夫性质、马尔可夫过程、马尔可夫决策过程、 马尔可夫链等. 他的儿子（小）马尔可夫也是数学家.