高一数学点到平面距离的求法

例谈点到平面距离的求法
立体几何的空间距离是历年高考考查的重点和热点。

由于线面距离、面面距离以及两异面直线间的距离都可以转化为点到平面的距离来解决，因此点到平面的距离更值得我们关注。

点到平面的距离的求法可分为三大类： 一、由点向平面引垂线，且垂足位置可确定
转化到在某平面内，求出点和垂足间的线段的长。

1、 用定义直接构造法
例1、如图，三棱锥S-ABC 中，ABC ∆是等腰三角形，
2AB BC a ==，
0120ABC ∠=,且SA ⊥面ABC ，SA=3a 。

求点A 到平面SBC 的距离。

解：作
AD BC ⊥交BC 于D,连结SD.
SA ⊥平面ABC,根据三垂线定理有SD BC ⊥
又SD AD D ⋂=,BC ∴⊥平面SAD 。

又BC ⊂平面SBC ， ∴平面SBC ⊥平面ADS ，且平面SBC ⋂平面ADS=SD
∴过点A 作AH SD ⊥于H ，则AH ⊥平面SBC 。

在Rt SAD ∆中，
SA=3a,
0sin60AD AB ==
，32
a AH ∴=
=
故点A 到平面SBC 的距离为
32
a 。

【点评】利用构造法关键是定位点在面内的射影。

常常要寻找过已知点且与所给面垂直的面，再过已知点作两垂面交线的垂线。

2、转移构造法 （1）利用平行线转换点
例2、在直三棱柱111ABC A B C -中，11AB BC ⊥,1,AB CC a BC b ===（b >a ）
（1）求证：
11AC AB ⊥ (2)求点1B 到平面1ABC 的距离.
解：(1)连结
1A B ,则11AB A B ⊥，又11AB BC ⊥，故111AB A BC ⊥面。

知
111AC AB ⊥，得1111AC ABB A ⊥面,知11AC AB ⊥。

（2）由（1）得1
11ABC AAC ⊥面面.
11111,A B AB A B ABC ∴平面1111A ABC ABC ∴到平面的距离等于B 到平面的距离
过1A 作
11AG AC ⊥于G , 11AB ACC A ⊥平面, 1AB AG ∴⊥
从而11AG ABC ⊥平面. 故1
AG
即为所求的距离。

易求1AG b
=。

【点评】利用直线与平面平行，把所求的点到平面的距离转移到平行线上另一点到平面的距离来求，
是我们常用的方法。

（2）对称转移或利用定比分点
C
C
例3、如图，已知ABCD 是矩形，AB =a ，AD = b ，PA
平面ABCD ，PA =2c ，Q 是PA 的中点．求P 到
平面BQD 的距离．
解：过A 作AE
BD ⊥垂足为E ，连结QE 。

∵平面BQD 经过线段PA 的中点，∴P
到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离．在△AQE 中，作AH
QE 于H ．∵BD
AE ，
BD QE ，∴BD 平面AQE ．∴BD AH ，AH 平面BQE ，即AH 为A 到平面BQD 的距离．
在Rt △AQE 中，∵AQ =c ，AE =
2
2
b
a a
b +，∴AH =
2
2
2
2
2
2
a
c c b b a abc ++.
例4、已知正方体的棱长为1，O 为上底面
1111A B C D 的中心。

求点O 到平面
11ABC D 的距离。

析：点1A 到平面
1111A B C D 的距离为线段1A E
的长，易求得1A E =
.又O 为
11AC 的中点，故点
O 到平面11ABC D
的距离为4。

【点评】 转移构造常利用已知平面点分某条斜线段所成的比，体现着转化的思想。

二、由点向平面引垂线，垂足无法确定或难确定时 1、等体积法（利用三棱锥的体积公式） 例5、已知在棱长为1的正方体-ABCD A B C D ''''中，E 、F 分别是A B ''、CD 的
中点，求点B 到平面
AEC F
'的距离。

解：连结AE 、BF 、EF ，则点B 到平面
AEC F
'的距离即为点B 到平面AEF 的
距离。

设点B 到平面AEF 的距离为h, 根据--=E ABF B AEF V V 则
1
1=3
3ABF
AEF
EG S
h
S ,得h 【点评】 由于四面体以不同面为底的体积相等，因而等体积法的关键是将距离看成是某四面体的高。

2、 运用面面角或利用斜线和平面所成的角
例6、在直角梯形ABCD 中，0
90D BAD ∠=∠=,1
2
AD DC AB a ==
=。

将ADC ∆沿AC 折起
使D 到'
D ，如果二面角'
D
AC B --为060，求点'D 到面ABC 的距离。

⇒
A
解：设'
D 在平面ABC 内的射影为O,
E 为AC 的中点，连结OE
A
B
A
由于
'D E AC ⊥,故'D EO ∠为二面角的平面角，即'D EO ∠＝060。

又'D E =
2
a ，所以
'D O ='D E 0sin 60＝
4
a 。

例7、已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B 到平面ＥＦＧ的距离. 解：设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作GM BR
⊥，Ｒ为垂足． 又EB GM ⊥,
所以平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ。

又ＥＲ为它们的交线
∴∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ 由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得
10
2
=⋅=⇒=MG CG MB RB MG MB CG RB ，
在Ｒｔ△ＲＥＢ中, sin sin 11
BR BER ER θ
=∠=
=
于是得所求之距离sin 11
d EB BER =⋅∠=
【点评】此法体现着角与距离间的转化，另一个变化是利用距离求角，应引起我们的足够重视。

3、利用两平行平面的距离确定 对上例，有如下的计算方法：
解： 把平面EFG 补成一个正四棱柱的截面所在的平面.则面GMT 是正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1经过F 、E 、G 的截面所在的平面.MG 交BB 1于N ，TG 交DD 1于Q.作BP//MG ，交CG 于P ，连结DP.则有平面GTM//平面PDB 。

它们之间的距离就是所求之距离，于是可以把点B 平移到平面PDB 上任何一个位置。

而这两个平行平面的距离d 又同三棱柱GQN —PDB 的体积有关，所以可以利用三棱柱的体积确定所求之距离。

则有三棱柱GQN —PDB 的体积V 的关系式：
BN S d S V CD B PD B ⋅=⋅=∆∆（*）.易求出BN=
2
3
，CP=
43
，，
BD=24
，PBD S ∆=
，8=∆CDB S 由关系式（*）可得，
3
2
83118⨯=⨯d
于是平行平面间的距离
11112=
d ,即点B 到面EFG 的距离为11。

【点评】若两平面平行，则平面内的任一条直线到另一个平面的距离等于两平面间的距离，对于分别位于两个平行平面内的异面直线之间的距离也等于两平面间的距离。

在解题过程中要注意体会。

三、向量法
例8、 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1.
求： 点C 到平面AEC 1F 的距离.
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A （2，0，0），
C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）. ∵AEC 1F 为平行四边形，
11,
,(2,0,)(2,0,2),2.(0,0,2).
AEC F AF EC z z F ∴∴=-=-∴=∴由为平行四边形由得 设1n 为平面AEC 1F 的法向量，
)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然 110,0410
2020
0,n AE x y x y n AF ⎧⋅=⨯+⨯+=⎧⎪⎨⎨-⨯+⨯+=⋅=⎩⎪⎩由得⎪⎩
⎪⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=+-=+.41,
1,022,014y x x y 即111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ，则 .33
33
4116
1
133|
|||cos 1111=++
⨯=
⋅=
n CC α ∴C 到平面AEC 1F
的距离为1||cos 3d
CC α===
【点评】若点P 为平面α外一点，点A 为平面α内任一点，平面的法向量为
，则点P 到平面α的
距离公式为d =。

当我们学习了空间解几以后，还有点到平面的距离公式，这里从略。