一元函数微分学

f
(x)
L或f
(x0 )
L
若当x>x0且x无限趋于x0(即x以x0的右侧趋于x0，记为 x→x0+)时，函数f(x)无限地趋近于固定常数R，则称当 x趋于x0时，f(x)以R为右极限，记作
lim
x x0
f (x) R或f (x0 )
R
举例：
x x<0
设函数f(x),求f(x)= 1 x≥0
lim
xx0
f
(x)
A或f
(x)
A(x
x0 )
若自变量x趋于x0时，函数f(x)没有一个固定的变化趋势，
如：则lxim称2函x数2 f(x4)在点lxxi m0处1 x没x2有11极限2。
而 lim 1 不存在，lim sin 1 不存在
x0 x
x0
x
注：极限的实质是描述在自变量的某个变化过程中函数 是否有确定的变化趋势。函数有确定的变化趋势，就 可能有极限；否则函数就一定无极限。
lim f (x) A或f (x) A(x )
x
如
lim 1 0或 1 0(x )
x x
x
1
lim
x
2x
0
②x →- ∞
定义2, 若当x<0,而|x|无限增大时,函数f(x)无限地趋近于某
个固定常数A,则称当x趋于负无穷时,f(x)以A为极限。
记作 lim f (x) A或f (x) A(x )
求 lim f (x)和 lim f (x)
x0
x0
定理1 当x→x0时，函数f(x)极限存在的充分必要条件是当
x→x0时，函数f(x)的左、右极限都存在且相等，即
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
4、无穷小x量x0
xx0
x x0
定义5 在某个变化过程中，以0为极限的变量称为在这个 变化过程中的无穷小量，简称无穷小，常用希腊字母
x0
x
x0
x x0
1
f
(0 )
lim (1
x0
x
)
1 x
2
lim
x0
(1
x 2
)
2 x
2
1
e2
e
f(x)在x=0处有极限存在，必须
得 b e
三、函数的连续性
1、函数的连续与连续函数
定义6 设函数f(x)在点x0及其邻域内有定义并满
足
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
lim y
x0
0
(△x为x0点处自变量的改变量，△y为相应的函数 改变量)
(6)对于连续函数(基本初等函数在其定义区间上都是连续
函数)，极限符号与函数符号可以互相交换。
即
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
f (lim xx0
x)
2、函数的间断点
若函数f(x)在点x0处不连续，则称f(x)在点x0处发生间断， 使f(x)发生间断的点x0称为f(x)的间断点。
若函数f(x)在点x0处有下列三种情况之一，则f(x)在点x0处 间断：
例如：书p85练习：16, 19, 20
16 lim (x sin 3 tan x) lim x sin 3 lim sin x
x0
x 2x
x0
x x0 2x • cosx
0 1 lim sin x • lim 1 1 11 1
2 x0 x x0 cos x 2
2
19
lim ( x 3)x x x
=A1+A2+……+An
lim(u1,u2……un)=limu1·limu2·……limun=A1A2……An 推论1 若在某个变化过程中，变量u以A为极限，k为常
数，则lim(ku)=klimu=kA
推论2 若limu=A,则limun=An(n为正整数)
推论3 若limu=A,对正整数n, n A存在，则
g(x)
在其有定义的区间内也连续。
(2)连续函数的有关结论
①多项式函数：
y an xn an1xn1 a1x a0
在(-∞,+∞)内连续;
②有理函数
y
an xn bm xm
an1xn1 a1x a0 bm1xm1 b1x b0
在分母不为0的点都是连续的。 ③初等函数在其定义区间内都是连续的。
(1)变量u±v以A±B为极限，即
Lim(u+v)=A±B
(2)变量uv以AB为极限，即
Lim(uv)=AB (3)当B≠0时，变量
u以 v
A
B为极限，即
lim u A vB
注：定理3 的结论(1),(2)可以推广到有限个变量的情形，
即若 lim ui Ai (i=1,2,……,n)
则 lim(u1+u2+……+un)=limu1+limu2+……+limun
n
此时,也称数列
Xn收敛于A,否则,若当n无限增大时,Xn
不能趋近某个固定的常数A,则称当n→∞时,数列 Xn
发散。
如数而：列数数列 n列n1(12)1是nn1收是敛收 n的敛 都，的是且，发且lnim散lnni 的mn1。21n1 0
例4
求lim (1 n
1)n n
分析：由列表观察，当n→∞时,
3、左极限和右极限
引入：书 P76,讨论左、右极限的必要性。
定义4 设函数f(x)在点x0的邻域内(x0点可以除外)有定义， 若当x<x0且x无限趋于x0(即x从x0的左侧趋于x0，记为 x→x0-)时，函数f(x)无限地趋近于固定常数L，则称当 x趋于x0时，f(x)以L为左极限，记作
lim
x x0
(x)0 (x)
举例：书P83
(2) lim (1 1 )x e 或
x
x
1
lim (1 x) x e
x0
一般地， lim (1 1 ) (x) e
(x) (x)
1
或
lim (1 (x)) (x) e
(x)0
注：①该极限呈“1∞”型
②括号内是两项的和,其中一项为1,另一项与 幂指数互例。
lim x sin 0
x0
x
在某个变化过程中，绝对值无限增大且可大于任意给定
的正实数的变量称为无穷大量。
注：无穷大量与无穷小量的关系：
无穷大量的倒数是无穷小量，而非零的无穷小量的倒数 是无穷大量。
二、极限的运算
1、极限的四则运算法则
定理3 在某个变化过程中，若变量u与变量v分别以A，B 为极限，则有以下结论：
lim (1
x
3 x
)
x •3
3
lim (1 x
3 x
)
x 3
3
e3
20
lim (1
x
)
1 x
11
lim (1
x
)
1 x
• lim (1
x )11
x0
2
x0
2
x0
2
lim
x0
1
(
x 2
)
2 x
•(
1 2
)
•111
lim x0
1
(
x 2
)
2 x
1 2
1
e2
书P84例15，设函数
x sin 1 b
x0 lim
x
2
2、导数概念
定义7 设函数y=f(x)在点x0的邻域内有定义，当自变量x在
x0处取得改变量△x(≠0)时，函数y取得相应的改应量
y f (x0 x)
若△x→0时，两个改变量之比
yf的( x极0限)
x
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
存在，则称函数函数y=f(x)在点x0处可导。并称此极限值 为函数y=f(x)在点x0处的导数，记为
f
(x)
f (x0
)B
②当x→x0时，若 ③当x→x0时，若
lim
xx0
lim
xx0
A 0 lim B 0 xx0
A 0, lim B 0即 "
0则"型x。limx0
xx0
0
f
(x)
则采取约去0因子法(因式分解、分母或分子有理化)
(3)当x→x0时，" " 型
①当分子与分母的最高次幂相等时，其极限值等于分子，
lim n u n lim u n A
推论4 若α，β为无穷小量,则α±βαβ均为无穷小量。
如何求limf(x)的极限？
(1)当x→x0时且f(x)为整式，则点x0处的极限值等于该点
的函数值，即
lim
xx0
f (x)
f (x0 )
A
(①2)当当xx→→xx00时时，，f若(x)xl为imx0有B理 分0 式则函xlim数x0 ，f (即x)
四、导数与微分的概念
1、引入导数概念的实例
(1)某时刻t0的瞬时速度(书P91)
v
|t t0
lim
t 0
s t
lim
t 0
s(t0
t) t
s(t0 )
(2)切线问题（书P91～92）
设曲线y=f(x)，点M(x0,y0)为曲线上一个定义点，过该点 的切线倾角为α,则
tan lim f (x0 x) f (x0 ) ( )
单调有界数列必有极限。
0
Baidu Nhomakorabea
1
1
n
3
n
记 lim (1 1)n e
n n
2、函数的极限
（重要极限）
(1)x→∞
①x→+∞ 引例:考察
y1
,当x>0且趋于正无穷时的变化趋势。
x
定义2 设函数y=f(x)，若当x无限增大时，函数f(x)`无限
趋近于某个固定的常数A，则称当x趋于正无穷时，
f(x)以A为极限，记作
x0
f(x)=
x
(1
x
)
1 x
2
x0
试求当b等于何值时，f(x)在x=0处的极限存在。
[分析]该函数是分段函数,x=0是它的分段点，在x=0的左 右两侧函数的表达式不同，因此需要考虑在此点处的 左、右极限。
解 f (0) lim (xsin 1 b) lim (xsin 1) lim b b
则称续函点数。f(x)在点x0在处连续，点x0称为f(x)的连
注: (1)在几何图形上，函数f(x)的图形在其连续点
x0处是不能断开的；
(2)若 连续；
lim
x x0
f
(x)
f
(x0 )
，则称f(x)在点x0处左
(3)若 续；
lim
x x0
f
(x)
f
(x0 )，则称f(x)在点x0处右连
(4)f(x)在点x0处连续的充分必要条件是，在点 x0处左连续又右连续即
x0
x0
lim f (x) f (0)即f (x)在x 0处连续 x0
(5)若函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续，则称f(x)在 区间(a,b)内连续，这时 (a,b)称为f(x)的连续区间。若 函数f(x)在开区间(a,b)内连续，且在左端点a右连续， 在右端点b左连续，则称f(x)在闭区间[a,b]连续。
α、β、γ等表示。
注: (1)无穷小量是一个特殊的变量
(2)无穷小量与有极限变量的关系是：变量y以A为极限的 充分必要条件是y可以表示为A与与一个无穷小量的和
即 lim y A y A (lim 0)
定义2 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量。
如：lim kx 0(其中k为常数)
x0
1
x
如:
lim 1 0 x x
lim 2x 0
x
(2)x→x0
引例:①讨论当x→2时,函数y=x2的变化趋势。
②讨论当x→1时,函数 y x2 1 的变化趋势。 x 1
一般地，若自变量无限接近于某一x0时，函数f(x)有接近 于某一固定常数的变化趋势，就称函数f(x)在点x0处 有极限。
定义3 设函数f(x)在点x0的邻域内（点x0可以除外）有定 义，若当x无限趋于x0(但x≠x0)时，函数f(x)无限地趋 近于某个固定常数Ａ，则称当x趋于x0时，f(x)以Ａ为 极限，记作
引例： 例1 数列 例2 数列
1,
1 2
,
1 4
,
1 , 8
1 2n
,
1,1,1,1(摆动数列)
例3 数列 1, 2, 3, 4, n ,
定义1，给定一个数列 Xn ，若当n无限增大时，Xn无
限地趋近某个固定的常数A，则称当n趋于无穷时，数
列 Xn以A为极限，记作
lim Xn A 或Xn→A(n→∞)
分母的最高次幂系数之比。如
lim
x
2x3 5x3
x2 2x
1 3
2 5
②当分子的最高次幂小于分母的最高次幂时，其极限值
=0
③当分子的最高次幂大于分母的最高次幂时，其极限值
=∞
2、两个重要极限
(1) lim sin x 1
x0 x
注：①该极限呈 " 0 "型
0
②一般形式为： lim
sin (x) 1
(1)在点x0处没有定义；
(2)在点x0处极限不存在；
(3)在点x0处有定义，且极限
lim
xx0
f (x)
f (x0 )
lim
x x0
f
(x) 存在，但
举例：书P88～89
3、连续函数的运算
(1)连续函数的运算法则
定理4 设函数f(x)，g(x)是连续函数，则下列函数
f (x) g(x) f (x) • g(x) f (x) f (g(x))
lim
xx0
f (x)
f (x0 )
f (x0 )
f (x0 )
f (x0 )
举例：证明函数
x sin 1
f(x)=
x
0
x0 x0
在x=0处是连续的。
证明：∵f(0)=0
f (0 ) lim f (x) lim x sin 1 0
x0
x0
x
f (0 ) lim f (x) lim 0 0
第二章 一元函数微分学
一、极限概念
1、数列及数列的极限 数列是按一定规律排列的一串数
x1,x2……,xn，……
简记作 xn ，数列也可看作是定义在正整数集合上的函
数
Xn=f(n),(n=1,2,……)
Xn称为数列的通项或一般项。
问题：给定一个数列 xn ，当项数n无限增大时，通
项Xn的变化趋势是什么？,,