抛体运动

抛体运动

定义

对物体以一定的初速度向空中抛出，仅在重力作用下物体所做的运动叫做抛体运动。抛体运动又分为竖直上抛运动、竖直下抛运动、平抛运动和斜抛运动。

公式

以斜抛运动为例

水平方向初速度：v1（初始方向为正）

竖直方向初速度：v2（竖直向上为正）

水平方向速度：

竖直方向速度：

水平方向位移：

竖直方向位移：

合速度：

合速度方向与水平夹角α满足：

合位移：

位移方向与水平夹角β满足：

通常情况下，实际中的抛体都是在介质中运动的。介质对运动的物体有阻力作用，运动速度大大降低。实验证明: 阻力的大小与和方向与介质性质、物体速度、以及物体形状决定。由流体力学知识可知，在流体中运动的物体所受的阻力为:

f = －A | υ | υ( 1)

可见受力方向与相对运动方向相反。这里A =（1/2）ρ·S·c，其中: ρ 为流体的密度，S 为物体垂直于运动方向的截面积，c 为阻力系数，是雷诺数Ｒe 的函数( Ｒe = υ·d/α，υ 为运动的速度，d 为物体的尺寸，α 为流体的运动粘性系数) 。一般情况下，地球自身运动和地球形状的影响非常微小，可忽略不计。于是，运动的物体受力情况如图1 所示。

图1 抛体受力图

将物体所受阻力分为水平方向和竖直方向，即物体在水平方向加速度和竖直方向都存在加速度，所以运动方程可写为:

由重力和阻力在竖直方向上的分力的合力产生的加速度称为竖直加速度，在上升阶段竖直加速度大于重力加速度，并逐渐减小到重力加速度，这样一来使得上升的高度远小于无阻力时的最大高度，在下降阶段竖直加速度小于重力加速度，但方向仍竖直向下。

阻力在水平方向上的分力产生水平加速度，水平加速度的大小随着阻力的减小而减小(见阻力与速度的关系)，方向始终与水平速度相反。由于两个方向的加速度的改变，抛体运动的最大高度，运动时间，射程都要减小，不再遵循

理想情况下的运动时间上升高度射程等公式。为此我们有必要讨论由方程( 2) 、( 3) 构成的方程组的解，但是由于这是一个非线性方程组，很难求其解析解。

阻力) / m( 有阻力) / m阻力) / m( 无阻力) / m 10 21．970．9521．910．96

20 40．473．6841．113．72

30 54．047．8455．217．96

40 60．7012．9262．8313．16

50 60．9918．3062．8618．69

60 53．5323．3655．3023．90

70 39．6127．4941．1128．14

80 21．2530．2021．9230．91

90 0．09831．140．10131．88

速度射程( 有最大高度射程( 无最大高度

m / s 阻力) / m( 有阻力) / m阻力) / m( 无阻力) / m

10 9．451．268．831．27

20 35．375．0035．355．10

30 73．5010．9979．5311．47

40 125．2818．96141．3920．41

50 182．8828．56220．4231．89

60 242．7139．45318．1045．92

70 305．8251．33433．2362．50

80 366．9263．87565．5581．63

90 428．5876．88715．78103．31

结论

由表1、表 2 和图2 可以看出: 考虑阻力后，抛体在空中的所能达到的最大高度和射程等物理量均有不同程度的变化; 物体以一定初速度，不同角度抛射时，抛射角超过10°时实际抛体在空中的运动时间是小于理想状态下计算的时间的，能达到的最大高度也减小了，同时射程也小于理想抛体的射程；同样，以相同抛射角度、不同初速度抛射时，最大高度、射程也都减小。

由图 2 可见改变初速度，对抛体在空中的运动时间、所能达到的最大高度和射程的影响，要比改变抛射角对上述物理量的影响更明显。而在确定的初速度下，能达到最大射程的抛射角也变大了，其具体数值与初速度的大小有关，不再是无阻力时的45°。因此，在实际物体的抛射过程中想要达到预计的高度和射程时，应该考虑阻力作用，对初速度、抛射角度进行适当的修正。

典例：弹道曲线

“从生活走向物理, 从物理走向生活”是高中物理新课程的基本理念之一, 在物理教学中要体现这一理念, 就要引导学生从生产、生活现象中学习物理知识与方法, 运用所学知识与方法分析解决实际问题. 体育运动有其强身健身的作用和惊险刺激的感受, 而在体育运动中, 物理学中的抛体运动是其常见运动形式. 我们在研究抛体运动时, 通常有以下假设: 一是略去空气阻力, 二是不考虑地球自转影响, 三是抛体在地球表面运动, 在上述假设前提下, 抛

体运动的轨迹为一条抛物线.

1 排球运动中的抛体运动

例1.如图1所示, 标准排球场的总长度为18m,女排比赛的网高为2.24m, 在一场校际比赛中, 我校女排队员小李在后排起跳强攻的位置刚好在距网3m的正上方, 然而她击球速度(水平方向) 无论多大, 不是下网就是越界, 试分析其原因(设球被击出后做平抛运动)．如图1所示

分析与解: 当击球位置到球网水平距离恒定时, 依据平抛运动规律可知, 要想使排球被水平击出后不下网, 则球速有一个最小值v1; 但若速度过大, 又会击球越界, 显然, 为了使排球不越界, 击球速度还应有一个最大值v2.为使排

球在运动过程中既不下网又不越界,则必须满足:但若按平抛规律求得的结果v1比v2大, 那就是说: 初速

v0如果小于v1必下网; 初速v 0如果大于v2,则必越界．这就是题目中所出现的情况, 而究其原因就在于击球点的高度不够．

设小李击球点高度为h, 为保证其击球不下网, 初速应满足: