中考数学易错题精选-圆的综合练习题

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切．以此类推，如图1，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形

（性质探究）如图1，试探究圆外切四边形的ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系

猜想结论：（要求用文字语言叙述）

写出证明过程（利用图1，写出已知、求证、证明）

（性质应用）

①初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形（填序号）

A：平行四边形：B：菱形：C：矩形；D：正方形

②如图2，圆外切四边形ABCD，且AB=12，CD=8，则四边形的周长是．

③圆外切四边形的周长为48cm，相邻的三条边的比为5：4：7，求四边形各边的长．

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据切线长定理即可得出结论；

（2）①圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论；

②根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；

③根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论．

【详解】

性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：

如图1，已知：四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H．

求证：AD+BC=AB+CD．

证明：∵AB，AD和⊙O相切，∴AG=AH，同理：BG=BF，CE=CF，DE=DH，

∴AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圆外切四边形的对边和相等．

故答案为：圆外切四边形的对边和相等；

性质应用：①∵根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等．

∵平行四边形和矩形不存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边的距离相等．

故答案为：B，D；

②∵圆外切四边形ABCD ，∴AB +CD =AD +BC ．

∵AB =12，CD =8，∴AD +BC =12+8=20，∴四边形的周长是AB +CD +AD +BC =20+20=40． 故答案为：40；

③∵相邻的三条边的比为5：4：7，∴设此三边为5x ，4x ，7x ，根据圆外切四边形的性质得：第四边为5x +7x ﹣4x =8x ．

∵圆外切四边形的周长为48cm ，∴4x +5x +7x +8x =24x =48，∴x =2，∴此四边形的四边为4x =8cm ，5x =10cm ，7x =14cm ，8x =16cm ．

【点睛】

本题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切的性质，四边形的周长，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解答本题的关键．

2．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，AD 平分∠BAC ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ．

（1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；

（2）若AE ＝8，⊙O 的半径为5，求DE 的长．

【答案】（1）直线DE 与⊙O 相切（2）4

【解析】

试题分析：（1）连接OD ，∵AD 平分∠BAC ，∴EAD OAD ∠∠＝，∵OA OD ＝，∴ODA OAD ∠∠＝，∴ODA EAD ∠∠＝，∴EA ∥OD ，∵DE ⊥EA ，∴DE ⊥OD ，又∵点D 在⊙O 上，∴直线DE 与⊙O 相切

（2）

如图1，作DF ⊥AB ，垂足为F ，∴DFA DEA 90∠∠︒＝＝，

∵EAD FAD ∠∠＝，AD AD ＝，∴△EAD ≌△FAD ，∴AF AE 8＝＝，DF DE ＝，∵OA OD 5＝＝，∴OF 3＝，在Rt △DOF 中，22DF 4OD OF -＝＝，∴AF AE 8＝＝ 考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系

点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等．第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长．

3．定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形．

（1）如图1，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DCB ﹣∠ADC=∠A ，求证：四边形ABCD 为圆内接倍角四边形；

（2）在（1）的条件下，⊙O 半径为5．

①若AD 为直径，且sinA=45

，求BC 的长； ②若四边形ABCD 中有一个角为60°，且BC=CD ，则四边形ABCD 的面积是 ； （3）在（1）的条件下，记AB=a ，BC=b ，CD=c ，AD=d ，求证：d 2﹣b 2=ab+cd ．

【答案】（1）见解析；（2）①BC ＝6，753或754；（3）见解析 【解析】

【分析】 （1）先判断出∠ADC =180°﹣2∠A ．进而判断出∠ABC =2∠A ，即可得出结论；

（2）①先用锐角三角函数求出BD ，进而得出AB ，由（1）得出∠ADB =∠BDC ，即可得出结论；

②分两种情况：利用面积和差即可得出结论；

（3）先得出BE =BC =b ，DE =DA =b ，进而得出CE =d ﹣c ，再判断出△EBC ∽△EDA ，即可得出结论．

【详解】

（1）设∠A=α，则∠DCB=180°﹣α．

∵∠DCB﹣∠ADC=∠A，∴∠ADC=∠DCB﹣∠A=180°﹣α﹣α=180°﹣2α，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=2α=2∠A，∴四边形ABCD是⊙O内接倍角四边形；

（2）①连接BD．

∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°．在Rt△ABD中，AD=2×5=10，sin∠A=4

5

，∴BD=8，根据勾股定理得：AB=6，设∠A=α，∴∠ADB=90°﹣α．

由（1）知，∠ADC=180°﹣2α，∴∠BDC=90°﹣α，∴∠ADB=∠BDC，∴BC=AB=6；

②若∠ADC=60°时．

∵四边形ABCD是圆内接倍角四边形，∴∠BCD=120°或∠BAD=30°．

Ⅰ、当∠BCD=120°时，如图3，连接OA，OB，OC，OD．

∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠OCD=∠OCB=1

2

∠BCD=60°，∴∠CDO=60°，∴AD是⊙O 的直径，（为了说明AD是直径，点O没有画在AD上）

∴∠ADC+∠BCD=180°，∴BC∥AD，∴AB=CD．

∵BC=CD，∴AB=BC=CD，∴△OAB，△BOC，△COD是全等的等边三角形，∴S四边形

ABCD=3S△AOB 3

2

753

．

Ⅱ、当∠BAD=30°时，如图4，连接OA，OB，OC，OD．

∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD=180°﹣∠BAD=150°．

∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠BCO=∠DCO=1

2

∠BCD=75°，∴∠BOC=∠DOC=30°，∴∠OBA=45°，∴∠AOB=90°．

连接AC，∴∠DAC=1

2

∠BAD=15°．

∵∠ADO=∠OAB﹣∠BAD=15°，∴∠DAC=∠ADO，∴OD∥AC，∴S△OAD=S△OCD．过点C作CH⊥OB于H．

在Rt△OCH中，CH=1

2

OC=

5

2

，∴S四边形ABCD=S△COD+S△BOC+S△AOB﹣

S△AOD=S△BOC+S△AOB=15

22

×5+

1

2

×5×5=

75

4

．