中考数学易错题精选-圆的综合练习题

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切．以此类推，如图1，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形
（性质探究）如图1，试探究圆外切四边形的ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系
猜想结论：（要求用文字语言叙述）
写出证明过程（利用图1，写出已知、求证、证明）
（性质应用）
①初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形（填序号）
A：平行四边形：B：菱形：C：矩形；D：正方形
②如图2，圆外切四边形ABCD，且AB=12，CD=8，则四边形的周长是．
③圆外切四边形的周长为48cm，相邻的三条边的比为5：4：7，求四边形各边的长．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据切线长定理即可得出结论；
（2）①圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论；
②根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；
③根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论．
【详解】
性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：
如图1，已知：四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H．
求证：AD+BC=AB+CD．
证明：∵AB，AD和⊙O相切，∴AG=AH，同理：BG=BF，CE=CF，DE=DH，
∴AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圆外切四边形的对边和相等．
故答案为：圆外切四边形的对边和相等；
性质应用：①∵根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等．
∵平行四边形和矩形不存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边的距离相等．
故答案为：B，D；
②∵圆外切四边形ABCD ，∴AB +CD =AD +BC ．
∵AB =12，CD =8，∴AD +BC =12+8=20，∴四边形的周长是AB +CD +AD +BC =20+20=40． 故答案为：40；
③∵相邻的三条边的比为5：4：7，∴设此三边为5x ，4x ，7x ，根据圆外切四边形的性质得：第四边为5x +7x ﹣4x =8x ．
∵圆外切四边形的周长为48cm ，∴4x +5x +7x +8x =24x =48，∴x =2，∴此四边形的四边为4x =8cm ，5x =10cm ，7x =14cm ，8x =16cm ．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切的性质，四边形的周长，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解答本题的关键．
2．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，AD 平分∠BAC ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ．
（1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若AE ＝8，⊙O 的半径为5，求DE 的长．
【答案】（1）直线DE 与⊙O 相切（2）4
【解析】
试题分析：（1）连接OD ，∵AD 平分∠BAC ，∴EAD OAD ∠∠＝，∵OA OD ＝，∴ODA OAD ∠∠＝，∴ODA EAD ∠∠＝，∴EA ∥OD ，∵DE ⊥EA ，∴DE ⊥OD ，又∵点D 在⊙O 上，∴直线DE 与⊙O 相切
（2）
如图1，作DF ⊥AB ，垂足为F ，∴DFA DEA 90∠∠︒＝＝，
∵EAD FAD ∠∠＝，AD AD ＝，∴△EAD ≌△FAD ，∴AF AE 8＝＝，DF DE ＝，∵OA OD 5＝＝，∴OF 3＝，在Rt △DOF 中，22DF 4OD OF -＝＝，∴AF AE 8＝＝ 考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系
点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等．第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长．
3．定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形．
（1）如图1，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DCB ﹣∠ADC=∠A ，求证：四边形ABCD 为圆内接倍角四边形；
（2）在（1）的条件下，⊙O 半径为5．
①若AD 为直径，且sinA=45
，求BC 的长； ②若四边形ABCD 中有一个角为60°，且BC=CD ，则四边形ABCD 的面积是 ； （3）在（1）的条件下，记AB=a ，BC=b ，CD=c ，AD=d ，求证：d 2﹣b 2=ab+cd ．
【答案】（1）见解析；（2）①BC ＝6，753或754；（3）见解析 【解析】
【分析】 （1）先判断出∠ADC =180°﹣2∠A ．进而判断出∠ABC =2∠A ，即可得出结论；
（2）①先用锐角三角函数求出BD ，进而得出AB ，由（1）得出∠ADB =∠BDC ，即可得出结论；
②分两种情况：利用面积和差即可得出结论；
（3）先得出BE =BC =b ，DE =DA =b ，进而得出CE =d ﹣c ，再判断出△EBC ∽△EDA ，即可得出结论．
【详解】
（1）设∠A=α，则∠DCB=180°﹣α．
∵∠DCB﹣∠ADC=∠A，∴∠ADC=∠DCB﹣∠A=180°﹣α﹣α=180°﹣2α，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=2α=2∠A，∴四边形ABCD是⊙O内接倍角四边形；
（2）①连接BD．
∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°．在Rt△ABD中，AD=2×5=10，sin∠A=4
5
，∴BD=8，根据勾股定理得：AB=6，设∠A=α，∴∠ADB=90°﹣α．
由（1）知，∠ADC=180°﹣2α，∴∠BDC=90°﹣α，∴∠ADB=∠BDC，∴BC=AB=6；
②若∠ADC=60°时．
∵四边形ABCD是圆内接倍角四边形，∴∠BCD=120°或∠BAD=30°．
Ⅰ、当∠BCD=120°时，如图3，连接OA，OB，OC，OD．
∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠OCD=∠OCB=1
2
∠BCD=60°，∴∠CDO=60°，∴AD是⊙O 的直径，（为了说明AD是直径，点O没有画在AD上）
∴∠ADC+∠BCD=180°，∴BC∥AD，∴AB=CD．
∵BC=CD，∴AB=BC=CD，∴△OAB，△BOC，△COD是全等的等边三角形，∴S四边形
ABCD=3S△AOB 3
2
753
．
Ⅱ、当∠BAD=30°时，如图4，连接OA，OB，OC，OD．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD=180°﹣∠BAD=150°．
∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠BCO=∠DCO=1
2
∠BCD=75°，∴∠BOC=∠DOC=30°，∴∠OBA=45°，∴∠AOB=90°．
连接AC，∴∠DAC=1
2
∠BAD=15°．
∵∠ADO=∠OAB﹣∠BAD=15°，∴∠DAC=∠ADO，∴OD∥AC，∴S△OAD=S△OCD．过点C作CH⊥OB于H．
在Rt△OCH中，CH=1
2
OC=
5
2
，∴S四边形ABCD=S△COD+S△BOC+S△AOB﹣
S△AOD=S△BOC+S△AOB=15
22
×5+
1
2
×5×5=
75
4
．
故答案为：7534或754；
（3）延长DC ，AB 交于点E ．
∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠BCE =∠A =12
∠ABC ． ∵∠ABC =∠BCE +∠A ，∴∠E =∠BCE =∠A ，∴BE =BC =b ，DE =DA =b ，∴CE =d ﹣c ． ∵∠BCE =∠A ，∠E =∠E ，∴△EBC ∽△EDA ，∴
CE BC AE AD =，∴d c b a b d
-=+，∴d 2﹣b 2=ab +cd ．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了圆的内接四边形的性质，新定义，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
4．如图，AB 为O 的直径，弦//CD AB ，E 是AB 延长线上一点，CDB ADE ∠=∠． ()1DE 是O 的切线吗？请说明理由；
()2求证：2AC CD BE =⋅．
【答案】（1）结论：DE 是
O 的切线，理由见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）连接OD ，只要证明OD DE ⊥即可；
（2）只要证明：AC BD =，CDB DBE ∽即可解决问题.
【详解】
()1解：结论：DE 是O 的切线．
理由：连接OD ．
CDB ADE ∠=∠，
ADC EDB ∴∠=∠，
//CD AB ，
CDA DAB ∴∠=∠，
OA OD =，
OAD ODA ∴∠=∠，
ADO EDB ∴∠=∠， AB 是直径，
90ADB ∴∠=，
90ADB ODE ∴∠=∠=，
DE OD ∴⊥，
DE ∴是O 的切线．
()2//CD AB ，
ADC DAB ∴∠=∠，CDB DBE ∠=∠，
AC BD ∴=，
AC BD ∴=，
DCB DAB ∠=∠，EDB DAB ∠=∠，
EDB DCB ∴∠=∠，
CDB ∴∽DBE ，
CD DB BD BE
∴=， 2BD CD BE ∴=⋅，
2AC CD BE ∴=⋅．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会
添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.
5．如图，在ABC 中，90ACB ∠=，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE AD ⊥交AB 于点E ，以AE 为直径作O ．
()1求证：BC 是O 的切线；
()2若3AC =，4BC =，求tan EDB ∠的值．
【答案】（1）见解析；（2）1tan 2EDB ∠=
． 【解析】
【分析】 ()1连接OD ，如图，先证明OD//AC ，再利用AC BC ⊥得到OD BC ⊥，然后根据切线的判定定理得到结论；
()2先利用勾股定理计算出AB 5=，设
O 的半径为r ，则OA OD r ==，OB 5r =-，再证明BDO ∽
BCA ，利用相似比得到r ：()35r =-：5，解得15r 8=，接着利用勾股定理计算5BD 2=，则3CD 2=，利用正切定理得1tan 12
∠=，然后证明1EDB ∠∠=，从而得到tan EDB ∠的值．
【详解】
()1证明：连接OD ，如图，
AD 平分BAC ∠，
12∴∠=∠，
OA OD =，
23∴∠=∠，
13∴∠=∠，
//OD AC ∴，
AC BC ⊥，
OD BC ∴⊥，
BC ∴是O 的切线；
()
2解：在Rt ACB 中，5AB ==， 设O 的半径为r ，则OA OD r ==，5OB r =-，
//OD AC ， BDO ∴∽BCA ，
OD ∴：AC BO =：BA ，
即r ：()35r =-：5，解得158
r =， 158OD ∴=，258
OB =，
在Rt ODB 中，52
BD ==， 32
CD BC BD ∴=-=， 在Rt ACD 中，3
12tan 132
CD AC ∠===， AE 为直径，
90ADE ∴∠=，
90EDB ADC ∴∠+∠=，
190ADC ∠+∠=，
1EDB ∴∠=∠，
1tan 2
EDB ∴∠=． 【点睛】
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形．
6．如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接PA ，PB ，PC ．将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°到△P'CB 的位置.
(1)设AB 的长为a ，PB 的长为b(b<a)，求△PAB 旋转到△P'CB 的过程中边PA 所扫过区域(图中阴影部分)的面积；
(2)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC 的长.
【答案】(1) S阴影=(a2-b2)；(2)PC=6.
【解析】
试题分析：（1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合，此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积．
（2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长．
试题解析：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，
∴△PAB≌△P'CB，
∴S△PAB=S△P'CB，
S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=（a2-b2）；
（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B，
∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，
∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32；
又∵∠BP′C=∠BPA=135°，
∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形．
PC==6．
考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB， DF．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若DB平分∠ADC，AB=52AD
，∶DE=4∶1，求DE的长．
【答案】(1)见解析;(2)5
【解析】
分析：（1）直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF，再求出∠FDO=∠FCO=90°，得出答案即可；
（2）首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用△ADC～△ACE，得出AC2=AD•AE，进而得出答案．
详解：（1）连接OD．
∵OD=CD，∴∠ODC=∠OCD．
∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠EDC=90°．
∵点F为CE的中点，∴DF=CF=EF，∴∠FDC=∠FCD，∴∠FDO=∠FCO．
又∵AC⊥CE，∴∠FDO=∠FCO=90°，∴DF是⊙O的切线．
（2）∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠ABC=90°．
∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴AB=BC，∴BC=AB=52．
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100．
又∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，
∴△ADC～△ACE，∴AC
AD =
AE
AC
，∴AC2=AD•AE．
设DE为x，由AD：DE=4：1，∴AD=4x，AE=5x，
∴100=4x•5x，∴x=5，∴DE=5．
点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2=AD•AE是解题的关键．
8．如图，已知Rt△ABC中，C=90°，O在AC上，以OC为半径作⊙O，切AB于D点，且BC=BD．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若BC=6，sinA=3
5
，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，P点在⊙O上为一动点，求BP的最大值与最小值.
【答案】（1）连OD，证明略；（2）半径为3；（3）最大值35+3 ，35-3.【解析】
分析：（1）连接OD，OB，证明△ODB≌△OCB即可.
（2）由sinA=3
5
且BC=6可知，AB=10且cosA=
4
5
，然后求出OD的长度即可.
（3）由三角形的三边关系，可知当连接OB交⊙O于点E、F，当点P分别于点E、F重合时，BP分别取最小值和最大值.
详解：（1）如图：连接OD、OB.
在△ODB和△OCB中：
OD=OC,OB=OB,BC=BD;
∴△ODB≌△OCB（SSS）.
∴∠ODB=∠C=90°.
∴AB为⊙O的切线.
（2）如图：
∵sinA=35，∴CB 3AB 5
=, ∵BC=6，∴AB=10,
∵BD=BC=6,
∴AD=AB-BD=4,
∵sinA=35，∴cosA=45
， ∴OA=5，∴OD=3，
即⊙O 的半径为：3. （3）如图：连接OB ，交⊙O 为点E 、F ，
由三角形的三边关系可知：
当P 点与E 点重合时，PB 取最小值.
由（2）可知：OD=3，DB=6,
∴223635+=
∴PB=OB-OE=353. 当P 点与F 点重合时，PB 去最大值，
PB=OP+OB=3+35
点睛：本题属于综合类型题，主要考查了圆的综合知识.关键是对三角函数值、勾股定理、全等三角形判定与性质的理解.
9．已知P 是O 的直径BA 延长线上的一个动点，∠P 的另一边交O 于点C 、D ，两点位
于AB 的上方，AB ＝6，OP=m ，1
sin 3P ＝，如图所示．另一个半径为6的
1O 经过点C 、D ，圆心距1OO n ＝．
（1）当m=6时，求线段CD 的长；
（2）设圆心O 1在直线AB 上方，试用n 的代数式表示m ；
（3）△POO 1在点P 的运动过程中，是否能成为以OO 1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n 的值；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)CD=25;(2)m=23812n n - ;(3) n 的值为955或9155 【解析】
分析：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．解Rt △POH ，得到OH 的长．由勾股定理得CH 的长，再由垂径定理即可得到结论；
（2）解Rt △POH ，得到Rt 3
m OH OCH ＝
．在和Rt △1O CH 中，由勾股定理即可得到结论；
（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时，分1OP OO ＝和11O P OO ＝．②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得结论． 详解：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．
在Rt △1sin 63POH P PO =中，＝，，∴2OH =．
∵AB ＝6，∴3OC ＝．
由勾股定理得： 5CH =
∵OH ⊥DC ，∴225CD CH ==．
（2）在Rt △1
sin 3POH P PO m 中，＝，＝，∴3
m OH ＝． 在Rt △OCH 中，2
293m CH ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝．
在Rt △1O CH 中，2
2363m CH n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝． 可得： 22
36933m m n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＝，解得23812n m n -：＝． （3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况：
① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时
i ）1OP OO ＝，即m n ＝，由23812n n n -＝，解得9n ：＝． 即圆心距等于O 、1O 的半径的和，就有O 、1O 外切不合题意舍去．
ii ）11O P OO ＝ n ＝，
解得：23m n ＝，即23n 23812n n
-＝，解得n ： ②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得： 2
8132n m n
-＝．
∵1POO ∠是钝角，∴只能是m n =，即28132n n n
-＝，解得n ：
综上所述：n 点睛：本题是圆的综合题．考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形．解答（3）的关键是要分类讨论．
10．如图1，是用量角器一个角的操作示意图，量角器的读数从M 点开始（即M 点的读数为0），如图2，把这个量角器与一块30°（∠CAB ＝30°）角的三角板拼在一起，三角板的斜边AB 与量角器所在圆的直径MN 重合，现有射线C 绕点C 从CA 开始沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转到与CB ，在旋转过程中，射线CP 与量角器的半圆弧交于E ．连接BE ． （1）当射线CP 经过AB 的中点时，点E 处的读数是 ，此时△BCE 的形状是 ； （2）设旋转x 秒后，点E 处的读数为y ，求y 与x 的函数关系式；
（3）当CP 旋转多少秒时，△BCE 是等腰三角形？
【答案】（1）60°，直角三角形；（2）y＝4x（0≤x≤45）；（3）7.5秒或30秒
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理即可解决问题；
（2）如图2﹣2中，由题意∠ACE＝2x，∠AOE＝y，根据圆周角定理可知∠AOE＝2∠ACE，可得y＝2x（0≤x≤45）；
（3）分两种情形分别讨论求解即可；
【详解】
解：（1）如图2﹣1中，
∵∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOE＝60°，
∴点E处的读数是60°，
∵∠E＝∠BAC＝30°，OE＝OB，
∴∠OBE＝∠E＝30°，
∴∠EBC＝∠OBE+∠ABC＝90°，
∴△EBC是直角三角形；
故答案为60°，直角三角形；
（2）如图2﹣2中，
∵∠ACE＝2x，∠AOE＝y，
∵∠AOE＝2∠ACE，
∴y＝4x（0≤x≤45）．
（3）①如图2﹣3中，当EB＝EC时，EO垂直平分线段BC，
∵AC⊥BC，
∵EO∥AC，
∴∠AOE＝∠BAC＝30°，
∠AOE＝15°，
∴∠ECA＝1
2
∴x＝7.5．
②若2﹣4中，当BE＝BC时，
易知∠BEC＝∠BAC＝∠BCE＝30°，
∴∠OBE＝∠OBC＝60°，
∵OE＝OB，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠BOE＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝1
2
∴x＝30，
综上所述，当CP旋转7.5秒或30秒时，△BCE是等腰三角形；
【点睛】
本题考查几何变换综合题、创新题目、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。