【解析】重庆市南开中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题

重庆市南开中学高2020级高二（下）期末考试理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.已知集合={22|}A x x x -≤，{|1B x x =＜－
或3}x ＞，则A B =（ ）
A. R
B. ()-∞，4
C. (
)431⎡⎫
∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭
-，-， D. ()()13∞⋃+∞－，－
， 【答案】C 【分析】
首先解绝对值不等式，从而利用“并”运算即可得到答案.
【详解】根据题意得，2|2|x x -≤等价于()2
22|2|,0x x x -≤≥，解得
4
43
x ≤≤， 于是()431A B ⎡⎫=∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭
U -，-，
，故答案为C. 【点睛】本题主要考查集合与不等式的综合运算，难度不大.
2.设随机变量 (
)2
~3,1.5X N ，()40.7P X ≤=，则()2P X ≤=（ ）
A. 0.3
B. 0.4
C. 0.2
D. 0.1
【答案】A 【分析】
根据正态分布的对称性即可求得答案.
【详解】由于()40.7P X ≤=，故()40.3P X ≥=，则()()4.320P X P X ≥=≤=，故 答案为A.
【点睛】本题主要考查正态分布的概率计算，难度不大.
3.复数z 满足(1)1z i ai +=-，且z 在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（ ）
A. [11]－
， B. ()1∞－，－ C. ()11－， D. ()1
+∞， 【答案】C 【分析】
首先化简z ，通过所对点在第四象限建立不等式组，得到答案. 【详解】根据题意得，()1(1)1111222
ai i ai a a
z i i ----+=
==-+，因为复平面内对应的点 在第四象限，所以102
1+02
a a -⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得11a -<<，故选C.
【点睛】本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，难度不大.
4.已知0a <
，若4
(2x -的展开式中各项系数之和为81，则展开式中常数项为（ ） A. 1 B. 8
C. 24
D. 32
【答案】B 【分析】
通过各项系数和为1，令1x =可求出a 值，于是可得答案. 【详解】根据题意，
在4
(2x -
中，令1x =，则4
(2)81a -=，而0a <，故1a =-，所以展开式中常数项为31
42=8C ，故答案为B.
【点睛】本题主要考查二项式定理，注意各项系数之和和二项式系数和之间的区别，意在考查学生的计算能力，难度不大.
5.在极坐标系中，圆cos()3
πρ=θ+的圆心的极坐标为（ ）
A. 1(,)23
π-
B. 1(,
)23
π
C. (1,)3
π-
D. (1,)3
π
【答案】A
由圆cos()3
πρ=θ+，化为21(cos )2ρρθθ=-
，∴2212x y x y +=-，
化为221
1()(444
x y -++
=， ∴圆心为1
(,)
4
4
-
，半径r=12．
∵tan α=3
π-
， ∴圆cos()3
π
ρ=θ+的圆心的极坐标为1(,)2
3
π-． 故选A ．
6.从2017年到2019年的3年高考中，针对地区差异，理科数学全国卷每年都命了3套卷，即：全国I 卷，全国II 卷，全国III 卷.小明同学马上进入高三了，打算从这9套题中选出3套体验一下，则选出的3套题年份和编号都各不相同的概率为（ ） A.
184
B.
142
C.
128
D.
114
【答案】D 【分析】
先计算出9套题中选出3套试卷的可能，再计算3套题年份和编号都各不相同的可能，通过古典概型公式可得答案.
【详解】通过题意，可知从这9套题中选出3套试卷共有3
9=84C 种可能，而3套题年份和编
号都各不相同共有3
36A =种可能，于是所求概率为
61
=8414
.选D. 【点睛】本题主要考查古典概型，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度不大.
7.如图阴影部分为曲边梯形，其曲线对应函数为1x
y e =-，在长方形内随机投掷一颗黄豆，则它落在阴影部分的概率是（ ）
A.
2
3
e - B.
1
3
e - C.
43
e
- D.
53
e
- 【答案】D 【分析】
通过定积分可求出空白部分面积，于是利用几何概型公式可得答案.
【详解】由题可知长方形面积为3，而长方形空白部分面积为：()()1
1001|2x x e dx e x e -=-=-⎰，
故所求概率为25133
e e
---
=，故选D. 【点睛】本题主要考查定积分求几何面积，几何概型的运算，难度中等.
8.已知,0x y >，
33
122
x y +=++，则2x y +的最小值为（ ）
A. 9
B. 12
C. 15
D. 3
【答案】D 【分析】
首先可换元2a x =+，2b y =+，通过()332=2a b a b a b ⎛⎫
+++ ⎪⎝⎭
再利用基本不等式即可得到答案.
【详解】由题意，可令2a x =+，2b y =+，则=2x a -，2y b =-，于
()33
12,2a b a b
+=>>，而2=26x y a b ++-， ()3363
2=2=9+9b a a b a b
a b a b ⎛⎫
++++≥+ ⎪⎝⎭
，故2x y +的最小值为3，
故答案为D.
【点睛】本题主要考查基本不等式的综合应用，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度中等.
9.命题P ：“关于x 的方程220x ax ++=的一个根大于1，另一个根小于1”；命题q ：“函数1
()1
x
x h x e +=
-的定义域内为减函数”.若p q ∨为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()3-+∞，
B. ()3-∞-，
C. (]3-∞，
D. R
【答案】B 【
分析】
通过分析命题q 为假命题只能P 真，于是可得到答案.
【详解】命题P 真等价于(1)120f a =++<即3a <-；由于()h x 的定义域为{}|0x x ≠，故命题q 为假命题，而p q ∨为真命题，说明P 真，故选B.
【点睛】本题主要考查命题真假判断，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力，分析能力，难度中等.
10.2019年高考结束了，有5为同学（其中巴蜀、一中各2人，八中1人）高考发挥不好，为了实现“南开梦”来到南开复读，现在学校决定把他们分到123、、三个班，每个班至少分配1位同学，为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则
不同的分配方案种数为（ ） A. 84
B. 48
C. 36
D. 28
【答案】A 【分析】
首先先计算出所有的可能分组情况，从而计算出分配方案.
【详解】设这五人分别为1212,,,,A B B C C ,若A 单独为一组时，只要2种分组方法；若A 组含
有两人时，有11
428C C ⋅=种分组方法；若A 组含有三人时，有11
224C C ⋅=种分组情况；于是共
有14种分组方法，所以分配方案总数共有3
31484A =,故选A.
【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生的分析能力，分类讨论能力， 计算能力，难度中等.
11.给出下列四个说法：①命题“0,x ">都有1
2x x
+
≥”的否定是“00,x ∃≤使得00
1
2x x +
<”；②已知0a b 、＞，
>则a b >”的逆命题是真命题；③1x >是21x >的必要不充分条件;④若0x x =为函数2()2ln x
f x x x x e -=++-的零点，则
002ln 0x x +=，其中正确的个数为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C 【分析】
对于①②③④分别依次判断真假可得答案. 【详解】对于①，命题“0,x ">都有1
2x x
+
≥”的否定是“00,x ∃>使得0012x x +<”，
>a b >”的逆命题为“若a b >
>确；对于③，若1x >则21x >，若21x >则1x >或1x <-，因此1x >是21x >的充分不必
要条件，故③错误；对于④，若0x x =为函数2()2ln x
f x x x x e -=++-，则
020002ln =0x x x x e -++-，即()020000=2ln 0x x x e x x --+>，可令000()2ln h x x x =+，则
00
2
'()10h x x =+
>，故0()h x 为增函数，令()02000=()0x g x e x x -->，显然0()g x 为减函数，所以方程00()=()h x g x 至多一解，又因为002ln 0x x +=时022
000ln 0x x x e x ---∴==，所
以002ln 0x x +=，则④正确，故选C.
【点睛】本题主要考查真假命题的判断，难度中等.
12.已知函数2
()23,(0,)x f x e ax ax x =++-∈+∞，若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围
是（ ） A. (-1,0)
B. 1,22e ⎛⎫
-
- ⎪⎝
⎭ C. 1,2⎛
⎫-∞-
⎪⎝⎭
D.
1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【答案】C 【
分析】
求出原函数的导函数，函数有最小值，则导函数在(0,)+∞小于0有解，于是转化为斜率问题求解得到答案.
【详解】根据题意，得()22x
f x e ax a '=++，若()f x 有最小值，即()f x 在(0,)+∞ 上先递减再递增，即()f x '在(0,)+∞先小于0，再大于0，令()0f x '<，得：2(1)x
e a x <-+，
令(),()2(1)x
g x e h x a x ==-+，只需()h x 的斜率2a -大于过()1,0-的()g x 的切线的斜率即可，设切点为(
)0
0,x x e
，则切线方程为：0
00()x x y e
e x x -=-，将()1,0-代入切线方程得：
0=0x ，故切点为()01，，切线的斜率为1，只需21a ->即可，解得：1
2
a <-，故答案为C.
【点睛】本题主要考查函数的最值问题，导函数的几何意义，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力，难度较大.
二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.
13.已知集合[)21{|}A B x x a A B =+∞=≤≤⋂≠∅，
，，，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】[)2,+∞ 【分析】
通过A B ⋂≠∅，即可得到答案.
【详解】根据题意，A B ⋂≠∅，则2a ≥，所以实数a 的取值范围是[)2,+∞. 【点睛】本题主要集合交的运算，难度较小.
14.一个袋子里装有大小形状完全相同的5个小球，其编号分别为1,2,3,4,5，甲、乙两人进行取球，甲先从袋子中随机取出一个小球，若编号为1，则停止取球；若编号不为1，则将该球放回袋子中。

由乙随机取出2个小球后甲再从袋子中剩下的3个小球随机取出一个，然后停止取球，则甲能取到1号球的概率为__________. 【答案】9
25
【分析】
通过分析，先计算甲在第一次取得编号为1的概率，再计算甲在第二次取得编号为 1的概率，两者相加即为所求.
【详解】甲在第一次取得编号为1的概率为
1
5
；甲在第二次取得编号为1的概率为 2
4254145325C C ⨯⨯=，于是
所求概率为149+52525
=，故答案为925. 【点睛】本题主要考查概率的相关计算，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度中等.
15.已知集合1,2,3,{}4,5,6X Y Z ⋃⋃=，若1,21,2,3,4,5}{},3{,X Y X Y X ⋂=⋃=∉，则集合X Y Z 、、所有可能的情况有_________种. 【答案】128 【分析】
通过确定X,Y,Z 的子集，利用乘法公式即可得到答案.
【详解】根据题意，可知1,2,1,236{}{},{}Z X Y ⊆⊆⊆，
，由于{6}Z ⊆，可知Z 共有 52=32种可能，
而(){4},5X Y ⊆⋃有4种可能，故共有432=128⨯种可能，所以答案为128. 【点睛】本题主要考查子集相关概念，乘法分步原理，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度较大.
16.已知函数()x
x
f x e =
在x =0x 处切线方程为()y h x =,若0[()()]()0f x h x x x -⋅-≥对x ∈R 恒成立，则0x =_________.
【答案】2 【分析】
先求出切线方程，则可得到()y h x =，令()()()m x f x h x =-
，从而转化为()m x 在R 上恒为
增函数，利用导函数研究单调性即可得到答案. 【详解】根据题意得1'()x
x
f x e -=
，故切线方程为()000001x x x x y x x e e
--=-，即 ()()000001x x x x y h x x x e e -==
-+，令()()00
001()()x x x x x x m x f x h x x x e e e
-=-=---，此时0()0m x =，由于0[()()]()0f x h x x x -⋅-≥对x ∈R 恒成立，转化为 00[()()]()0m x m x x x -⋅-≥，则()m x 在R 上恒为增函数，00
11'()x x x x m x e e
--=-，此时0'()0m x =，而2
"
()x
x m x e
-=，当(),2x ∈-∞时，"()0m x <，当()+x ∈∞2，时，"()0m x >，于是'()m x 在=2x 处取得极小值，此时'()'(2)m x m ≥，而()m x 在R 上恒为增函数等价于'()0m x ≥在R 上恒成立，即0'(2)0'()m m x ≥=即可，由于'(2)m 为极小值，则此时只能02x =，故答案为2.
【点睛】本题主要考查导函数的几何意义，利用导函数求函数极值，意在考查学生的分析能力，转化能力，计算能力，难度思维较大.
三、解答题：本大题共70分. （一）必考题：共60分
17.某校为了了解学生对电子竞技的兴趣，从该校高二年级的学生中随机抽取了100人进行检查，已知这100人中有50名男生对电子竞技有兴趣，而对电子竞技没兴趣的学生人数与电子竞技竞技有兴趣的女生人数一样多，且女生中有
5
8
的人对电子竞技有兴趣. ()1在被抽取的女生中与6名高二()20班的学生，其中有3名女生对电子产品竞技有兴趣，先
从这6名学生中随机抽取3人，求其中至少有2人对电子竞技有兴趣的概率；
()2完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“电子竞技的兴趣与性别有关”.
参考数据：
参考公式：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
【答案】()11
2
；()2列联表见解+析，没有.
【分析】
（1）计算出从6名学生中随机抽取3人的可能，再计算出抽到的3人中至少有2人对电子竞技有兴趣的可能，利用古典概型公式即得答案；
（2）先填写列联表，然后计算2
K，与6.635比较大小即可得到答案.
【详解】()1从6名学生中随机抽取3人，共有3620
C=种不同的抽取方案；抽到的3人中至
少有2人对电子竞技有兴趣的方案数有：213
33310
C C C
+=种
∴抽取3人中至少有2人对电子竞技有兴趣的概率为101 202
=.
()2设对电子竞技没兴趣的学生人数为x，
对电子竞技没兴趣的学生人数与对电子竞技有兴趣的女生人数一样多 由题250100x +=，解得25x =. 又女生中有
5
8
的人对电子竞技有兴趣， ∴女生人数为
840.5
x
= 男生人数为60，其中有605010-=人对电子竞技没兴趣 得到下面列联表
()2
2100501510255055 6.6356040752599
K ⨯⨯-⨯===<⨯⨯⨯
∴没用99%的把握认为“对电子竞技的兴趣与性别有关”.
【点睛】本题主要考查古典概型，独立性检验统计案例，意在考查学生的计算能力， 分析能力，难度不大.
18.某校20名同学的数学和英语成绩如下表所示：
将这20名同学的两颗成绩绘制成散点图如图：
根据该校以为的经验，数学成绩x 与英语成绩y 线性相关.已知这20名学生的数学平均成绩为88.65，
英语平均成绩91，考试结束后学校经过调查发现学号为7的A 同学与学号为8的B 同学（分别对应散点图中的,A B ）在英语考试中作弊，故将两位同学的两科成绩取消.
()1取消两位作弊同学的两科成绩后，求其余同学的数学成绩与英语成绩的平均数； ()2取消两位作弊同学的两科成绩后，求数学成绩x 与英语成绩y 的线性回归直线方程
ˆˆˆy
bx a =+，并据此估计本次英语考试学号为8的同学如果没有作弊的英语成绩.（结果保留整数）
附：20位同学的两科成绩的参考数据：
20
20
21
1
161850,158545i i
i i i x y
x ====∑∑
参考公式：1
2
2
1
,n
i i
i n
i
i x y nx y
b a y bx x
nx
==-⋅=
=--∑∑
【答案】()190分；()277分. 【分析】
()1计算出剩下18名学生的数学、英语成绩之和，于是求得平均分；
()2可先计算出18
21i i x =∑，
再利用公式可计算出线性回归方程，代入学号为8的同学成绩72x =，即得答案.
【详解】()1由题20名学生的数学成绩之和为88.65201773⨯=，英语成绩之和为
91201820⨯=
取消两位作弊同学的两科成绩后，其余18名学生的数学成绩之和为177381721620--= 其余18名学生的英语成绩之和为18201001001620--=
∴其余18名学生的数学平均分x ，英语平均分y 都为
1620
9018
=； ()2不妨设取消的两名同学的两科成绩分别为()()19192020,,,x y x y
18
1i =∑
20
2
2221817215854565615184146800i i i x x ==--=--=∑
18
20
1
1
81007200146550i
i
i i
i i x y x y ===--=∑∑
18
118
2
21
18146550189090750
0.751468001890901000
18i i
i i i x y x y
b x x
==-⋅-⨯⨯∴=
=
==-⨯⨯-∑∑
900.759022.5a y bx =-=-⨯=
∴数学成绩x 与英语成绩y 的线性回归方程0.7522.5y x =+
代入学号为8的同学成绩72x =，得0.757222.576.577y =⨯+=≈
∴本次英语考试学号为8的同学如果没有作弊，他的英语成绩估计为77分.
【点睛】本题主要考查平均数及方差，线性回归方程的相关计算，意在考查学生的转化能力，分析能力及运算技巧，难度中等.
19.某地区举办知识竞答比赛，比赛共有四道题，规则如下：答题过程中不论何时，若选手出现两题答错，则该选手被淘汰分数记为0，其它情况下，选手每答对一题得1分，此外若选手存在恰连续3次答对题目，则额外加1分，若4次全答对，则额外加2分.已知某选手每次答题的正确率都是
2
3
，且每次答题结果互不影响. ()1求该选手恰答对3道题的概率；
()2记X 为该选手参加比赛的最终得分，求X 的分布列与数学期望.
【答案】()13281；()220881
. 【分析】
(1)通过二项分布公式即可得到概率；
（2）X 可能的取值为0,3,4,6，分别求出所求概率，于是得到分布列和数学期望.
【详解】()
1该选手每次答题的正确率都是
23
，四道题答对3的情况有3
4C 种 ∴恰答对3道题的概率3
3421323381
P C ⎛⎫=⋅= ⎪
⎝⎭ ()2由题X 可能的取值为0,3,4,6
()3
2116323381P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()3
2116
423381P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()4
2166,381P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭
()()()()11
0134627
P X P X P X P X ==-=-=-==
X ∴的分布列如下
1116161620803462781818181
EX =⋅
+⋅+⋅+⋅=. 【点睛】本题主要考查二项分布的运用，数学期望与分布列的相关计算，意在考查学生的分析能力，转化能力，计算能力，难度中等.
20.已知函数()ln(1)f x x =+.
()1证明：
()1x
f x x x
≤≤+； ()2已知111,,ln n
a n n n n a a a e
b a n -+==+=-，证明：1n n b b +<.
【答案】()1证明见解+析；()2证明见解+析. 【分析】
(1) ()()g x f x x =-，于是证明()0g x <即可，左边可由所证得到； （2）即证10n n b b +-<，表示成含n 的表达式，利用数学归纳法可证. 【详解】()1令()()g x f x x =-，则()1'111x g x x x
-=
-=++
()g x ∴在()1,0-上单调递增，在()0,∞+上单调递减. ()()00g x g ∴≤=，即()()ln 1f x x x =+≤①
当1x >-时，11111x x x
-
=-+>-++ 由①可得，ln 111x x x x ⎛⎫-≤- ⎪
++⎝⎭
即1ln 11x x x ⎛⎫
≤-
⎪++⎝⎭
，即()ln 11x x x +≥+ ()()112ln 1n n n b b a n ++-=-+1
ln ln
n
a
n n a n e n
-+-+=- 由()1可知1
111ln ln 1111n n n n n n
+⎛⎫
=+≥= ⎪+⎝⎭+
111
ln
1
n n a a n n n b b e e n n --++∴-=-≤-+② 下面用数学归纳法证明()ln 1n a n >+ 当1n =时，11ln 2a =>，结论成立； 假设n k =时，结论成立，即()ln 1k a k >+； 当1n k =+时，1n
a k k a a e
-+=+
设()x
h x x e -=+，其中0x >，则()'10x
h x e
-=->
()h x ∴在()0,∞+上单调递增
又10n
a n n a a e
-+-=>，数列{}n a 单调递增，故0n a >
∴由归纳假设和()1中结论
()()
ln 11ln 1n k a k k a a e k e
-+-+=+>++()1
ln 11
k k =++
+ ()()1ln 1ln 1ln 21k k k ⎛
⎫≥+++=+ ⎪+⎝⎭
1n k ∴=+时结论成立，即()ln 1n a n >+
结合②可得()ln 1111
011
n
n a n n b b e e n n -+-+-≤-
<-=++， 即1.n n b b +<
【点睛】本题主要考查利用导数证明不等式，数列与数学归纳法的运用，意在考查学生 的分析能力，转化能力，计算能力，难度较大.
21.已知抛物线:C 2
2y px =的焦点为F ，圆Γ：22
230x y x ++-=与y 轴的一个交点为A ，
圆Γ的圆心为E ，AEF ∆为等边三角形.
()1求抛物线C 的方程；
()2设圆Γ与抛物线C 交于,U V 两点，
点()00,P x y 为抛物线C 上介于,U V 两点之间的一点，设抛物线C 在点P 处的切线与圆Γ交于,M N 两点，在圆Γ上是否存在点Q ，使得直线
QM AN 、均为抛物线C 的切线，若存在求出Q 点坐标（用00,x y 表示）；若不存在，请说明
理由.
【答案】()12
4y x =；()2存在,000032,11x y Q x x ⎛⎫
--
⎪++⎝⎭
. 【分析】
(1)由题意EF p =，从而求得抛物线方程；
（2）设()()1122,,,M x y N x y ，可设出切线方程QM l 及QN l ，并设出过点M 的直线
()11x x t y y -=-与抛物线C 相切，从而联立抛物线知0∆=，同理，可表示过点N 的切线，
从而计算两直线相交的交点，于是可得答案. 【详解】()
1AEF 是等边三角形，
∴原点O 为,E F 中点，∴半径EF p =
圆()2
2:14x y Γ++=，半径2EF p ==，抛物线2
:4.C y x =
()2设()()1122,,,M x y N x y ，
过点,M N 作抛物线C 的两条切线（异于直线MN ）交于点Q ，并设切线()111:QM l x x t y y -=-，()222:QN l x x t y y -=-
由替换法则，抛物线C 在点()00,P x y 处的切线方程为()002y y x x =+ 即00:,2MN y l x y x =
-记002
y
t =① 设过点M 的直线()11x x t y y -=-与抛物线C 相切，代入抛物线方程2
4y x =得
2114440y ty ty x -+-=
()21116160t ty x ∴∆=--=，即2110t y t x -+=
根据韦达定理011
011
t t x t t y =⎧⎨
+=⎩，
由①可得，01
11022y x t y y =
=- 2101024y y x y ∴=+② 同理可得，2
20
2x t y =
∴切线()1
110
2:QM x l x x y y y -=
-③ ()2
220
2:QN x l x x y y y -=
-④ 联立0
0:2
MN y l x y x =
-与圆可得，()()
2222200000482430y x x y x x y ++++-= 韦达定理可得()()222000000122
0003434124411
x x x y x x x x y x x ---⋅===+++ ()200000
122000828844411
x y x x x x x y x x +++=-=-=-+++，
联立③、④并代入可求得0122
003
41Q x x x x y x -==+，代入③可求得 0021
Q y y x =-+. 所以
()22
1Q Q
x
y ++=22
000032111x y x x ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
()()()()
22
20000
22
002242216411x y x x x x -+-+==++
即切线,QM QN 的交点Q 在圆Γ上，故存在圆上一点000032,11x y Q x x ⎛⎫
-- ⎪++⎝⎭
满足,QM QN 均为抛物线C 的切线.
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力，分析能力，转化能力，难度较大.
（二）选考题：共10分，请在第22、23任选一题作答. 【选项4-4：坐标系与参数方程】
22.在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C
的直角坐标方程为2
2
40x y x +-=.
()1求圆C 的极坐标方程；
()2设圆C 与圆Γ
：22cos sin 12ρρθθ++=交于,A B 两点，求AB .
【答案】()1 s =4co ρθ；()2 4. 【分析】
（1）直接通过cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
即可得到答案；
（2）可先求出圆Γ的标准方程，求出两圆交点，于是可得答案.
【详解】()1根据题意，可得圆C 的极坐标方程为：2
4cos 0ρρθ-=即s =4co ρθ；
()2圆Γ
的直角坐标方程为：22
212x y x +++=
，联立22
22
40212x y x x y x ⎧+-=⎪⎨+++=⎪⎩
， 两式相减，
可得3=6x +，
即=2-3x 代入第一条式子，
可解得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
3x y =⎧⎪⎨=⎪
⎩
于是AB .
【点睛】本题主要考查直角坐标方程和极坐标方程的互化，圆的交点计算，意在考查学生的
转化能力，计算能力，难度中等.
【选修4-5：不等式选讲】
23.已知函数()211f x x x =-++.
()1求不等式()5f x ≤的解集；
()2若2()2f x x x a ≤-+，求实数a 的取值范围.
【答案】(1) 4,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ (2) 21+4⎡⎤
∞⎢⎥⎣⎦
， 【分析】
(1)可先将()f x 写成分段函数的形式，从而求得解集；
（2）2()2f x x x a ≤-+等价于2()2f x x x a -+≤，令2
()()2hx
f x x x -+=，故m a
x ()a h x ≥即可，从而求得答案.
【详解】（1）根据题意可知：()
()()311()311311x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪
=--<<⎨⎪-≥⎩
，当1x ≤-时，即315x -+≤，
解得4
13
x -
≤≤-；当11x -<<时，即35x -≤，解得11x -<<；当1x ≥时，即 315x -≤，解得12x -≤≤.综上，不等式
()5f x ≤的解集为4,23⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
； （2）2
()2f x x x a ≤-+等价于2
()2f x x x a -+≤，令2
()()2h x f x x x -+=，故
max ()a h x ≥即可，①当1x ≤-时，2()1h x x x --=+，此时max ()=(1)1h x h -=；②当
11x -<<时，2(+)3h x x x =-+，此时max 113()=()24
h x h =
；当1x ≥时，2
+()15h x x x =--， 此时max 521()=()24h x h =
；综上所述，max 521()=()24h x h =，故214
a ≥，即实数a 的取值范 围是21+4⎡⎤
∞⎢⎥⎣⎦
，. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的求解，含参恒成立问题，意在考查学生的分析能力，
计算能力及分类讨论能力，难度中等.。