求数列通项公式an的常用方法
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专题：求数列通项公式a n 的常用方法
一、 观察法
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。
例1 已知数列 64
61
32291613854121，，，，，-- 写出此数列的一个通项公式。
解 观察数列前若干项可得通项公式为n
n n
n a 232)
1(--=
二、 公式法
1、 运用等差（等比）数列的通项公式.
2、 已知数列}{n a 前n 项和n S ，则⎩⎨⎧≥-==-2111
n S S n S a n n
n
（注意：不能忘记讨论1=n ）
例2、已知数列{a n }的前n 和n S 满足,1)1(log 2+=+n S n 求此数列的通项公式。 解得121-=+n n S ，当n n n n n n S S a n a n 2222,31111=-=-=≥==+-时当时 所以⎩⎨
⎧≥==)
2(2
)1(3
n n a n n
三、1()n n a a f n +=+（()f n 可以求和）−−−−
→解决方法
累加法 例3、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。
解析：121(2)n n a a n n --=-≥
1
2...
5312312-=-=-=--n a a a a a a n n 上述1n -个等式相加可得：
211n a a n -=- 2n a n ∴=
练习：1、已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。
2、 已知数列{}n a 满足11,a =()1
132,n n n a a n --=+≥求通项公式n a
3、若数列的递推公式为1*
113,23()n n n a a a n N ++==-⋅∈，则求这个数列的通项公式
4. 已知数列{}n a 满足 11,a =且
)
1(11n +=
-+n n a a n ，则求这个数列的通项公式
四、1()n n a f n a +=⋅（()f n 可以求积）
−−−−→解决方法
累积法
例4、在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项
公式。
解析：原式可化为n
11
2
21
11......
23
n n n n n n n
a
a
a a
a a
---=+-=
=
1232
112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=
⋅⋅⋅⋅ 123211143n n n n n n --=⋅⋅⋅⋅+-2
1
n =
+ 又1a 也满足上式；21
n a n ∴=+ *
()n N ∈
练习：1、已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n
a 1
1+=+，求n a 。
2、已知11a =,1()n n n a n a a +=-*
()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 3、已知数列{}n a 满足11,a =12n
n n a a +=，求通项公式n a
五、1(n n a Aa B +=+≠其中A,B 为常数A 0,1）−−−−−
→解 决 方 法
待定常数法 可将其转化为1()n n a t A a t ++=+，其中1
B
t A =-，则数列{}n a t +为公比等于A 的等比数列，然后求n a 即可。
例5 在数列{}n a 中， 11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式。 解析：设()13n n a t a t -+=+，则132n n a a t -=+
1t ∴=，于是()1131n n a a -+=+
{}1n a ∴+是以112a +=为首项，以3为公比的等比数列。
1231n n a -∴=⋅-
练习：1、 在数列{}n a 中， 11a =，123n n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式。
2、已知12a =，1
142n n n a a ++=+，求n a 。
3、已知数列}{n a 满足112,2(21)n n a a a n +==+-，求通项n a
4.已知数列}a {n 满足1a 425a 3a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。
六、1n
n n c a a pa d
+⋅=+（0c p d ⋅⋅≠）−−−−→
解决方法倒数法
例6 已知14a =，1221n
n n a a a +⋅=+，求n a 。
解析：两边取倒数得：
11112n n a a +-=，设1,n n b a =则1112
n n b b +-=； 令11
()2
n n b t b t ++=+；展开后得，2t =-；1
2122n n b b +-∴=-； {}2n b ∴-是以1117224b a -=-=-为首项，1
2
为公比的等比数列。
171242n n b -⎛⎫⎛⎫
∴-=- ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
；即1
171242n n a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，得12
227n n n a ++=-； 练习：1、设数列}{n a 满足,21=a 1,1n
n n a a a +=
+求.n a 2、在数列{}n a 中，112,3n
n n a a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式.
3、在数列{}n a 中，1121,23
n
n n a a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式.